Random walk classico. Simulazione di un random walk

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1 Radom walk classico Il radom walk classico) è il processo stocastico defiito da co prob. S S0 X k, co X k k co prob. e le X soo tra di loro idipedeti. k Si tratta di u processo a icremeti idipedeti e ideticamete distribuiti i.i.d.); la distribuzioe dell icremeto è di tipo beroulliao, co due soli possibili valori e ). Seza perdita di geeralità poiamo S 0 0. Il radom walk asimmetrico si ottiee ivece co passi asimmetrici co prob. p X k co prob. -p Fabio Bellii 0 Simulazioe di u radom walk help uidrd UNIDRND Radom matrices from the discrete uiform distributio. R UNIDRNDN) returs a matri of radom umbers chose uiformly from the set {,, 3,...,N}. The size of R is the size of N. Alteratively, R UNIDRNDN,MM,NN) returs a MM by NN matri. Fabio Bellii 0

2 Simulazioe di u radom walk Xuidrd,00000,00); X:5,:5) as. Y*X-3 Fabio Bellii 0 Simulazioe di u radom walk Z[zeros00000,) cumsumy,)]; Z:5,:5) as plotas') Fabio Bellii 0

3 Simulazioe di u radom walk plotz:000,:0)') Fabio Bellii 0 Simulazioe di u radom walk for i:0 subplot5,4,i) plotzi,:)) ais[ 0-0 0]) grid o ed Fabio Bellii 0

4 Simulazioe di u radom walk Qual è la posizioe al tempo t? Dopo quato tempo raggiugo per la prima volta u livello prefissato, ad esempio S? Dopo quato tempo ritoro per la prima volta all asse delle S0)? Quate volte icrocio l asse delle? Qual è la frazioe di tempo spesa al di sopra dell asse delle? Qual è il massimo della traiettoria? Tutte queste domade hao ovviamete ua risposta probabilistica: la risposta è ua distribuzioe di probabilità. Fabio Bellii 0 Metodo Mote Carlo Nel seguito daremo ua risposta matematica rigorosa ad alcue delle domade poste ella slide precedete. Per adesso le affrotiamo da u puto di vista sperimetale, utilizzado il Metodo Mote Carlo, che cosiste el simulare u umero molto elevato di traiettorie e aalizzare le distribuzioi empiriche delle gradezze di iteresse. L idea di ricorrere a massicce simulazioi umeriche per valutare delle probabilità o dei valori attesi, o tipicamete i fiaza dei prezzi di strumeti derivati, è stata resa possibile dall avveto dei calcolatori elettroici. La formalizzazioe e lo sviluppo si ricoducoo di solito a Vo Neuma e Ulam, ell ambito del Progetto Mahatta. Il ome deriva ovviamete dalla città di Mote Carlo, leggedaria i quegli ai per il casiò. Fabio Bellii 0

5 Posizioe al tempo t subplot,,) histz:,5)) subplot,,) histz:,50)) subplot,,3) histz:,75)) subplot,,4) histz:,00)) Fabio Bellii 0 Media e variaza della posizioe al tempo t subplot3,,) plotmeaz)) subplot3,,) plotvarz)) subplot3,,3) plotstdz)) Fabio Bellii 0

6 Tempo di primo passaggio al livello for i:00000 amifidzi,:))); if isemptya); Ti)00; else Ti)a; ed ed Fabio Bellii 0 Tempo di primo passaggio al livello bis[::0]; probhistct,bis)./00000; prob[prob:50) prob00)]' prob o ci passa mai ei primi 00 laci) Si tratta i realtà di u esempio di distribuzioe dalle code estremamete pesati La distribuzioe di probabilità tede a 0 molto letamete quato t tede a ifiito: se calcoliamo il valore atteso el ostro esempio otteiamo circa 5,7 Il valore atteso seza trocameto è ifiito Fabio Bellii 0

7 Numero di icroci co l asse delle for i:00000 Ni)sizefidZi,:)0),); ed bis[:50]; probhistcn,bis)./00000; plotprob) Fabio Bellii 0 Frazioe di tempo sopra l'asse delle for i:00000 Ni)sizefidZi,:)>0),); ed histn,0) Fabio Bellii 0

8 Risultati teorici Alcui dei risultati che abbiamo visto dal puto di vista sperimetale possoo essere otteuti el caso del radom walk classico seza bisogo di strumeti matematici sofisticati. Osserviamo itato che el caso del radom walk classico tutte le traiettorie soo equiprobabili; qualsiasi fissata sequeza di passi ha probabilità ^-). Il problema è quidi di tipo combiatorio, di coteggio del umero di traiettorie co determiate caratteristiche. Idichiamo co la posizioe al tempo ; se si soo avuti p passi verso l'alto e q passi verso il basso, evidetemete p q, p q da p, q cui ricaviamo Fabio Bellii 0 Risultati teorici Idichiamo ora co N,) il umero di traiettorie equiprobabili) che dall'origie 0,0) portao al puto,); quate soo? Dato che devo fare p passi verso l'alto e q passi verso il basso, abbiamo che N,) è pari al umero di modi di predere p passi tra gli possibili: N, ) p e di cosegueza la probabilità p,) di essere el puto al tempo è data da p, ) osserviamo che deve essere pari, altrimeti è impossibile arrivarci. Fabio Bellii 0

9 Il pricipio di riflessioe Sia A, ), B, ), co > e, >0. A e B soo due puti al di sopra dell'asse delle, B è quello più a destra. Idichiamo co A',- ) il puto che si ottiee riflettedo il puto A al di sotto dell'asse delle. Il pricipio di riflessioe afferma che il umero di cammii da A a B che toccao o attraversao l'asse delle è uguale al umero di cammii da A' a B. La dimostrazioe è puramete grafica: Fabio Bellii 0 Il teorema del ballottaggio Siao >0 e >0 iteri positivi; il umero di cammii che vao dall'origie al puto,) rimaedo sempre al di sopra dell'asse delle è pari a N,)*/ E' u famoso teorema che è ua cosegueza immediata del pricipio di riflessioe; vediamo perché. Il umero di cammii che vao da 0,0) a,) rimaedo sempre al di sopra dell'asse delle è evidetemete pari al umero di cammii che vao da,) a,) rimaedo sempre al di sopra dell'asse delle ; Il umero di cammii totale da,) a,) è pari al umero di cammii tra 0,0) e -,-), cioè N-,-); Il umero di cammii da,) a,) che toccao l'asse delle, dal pricipio di riflessioe, è pari al umero di cammii da,-) a,), che è N-,). Fabio Bellii 0

10 Il teorema del ballottaggio Fabio Bellii 0 Quidi il umero di cammii da 0,0) a,) che o toccao l'asse delle è dato dalla differeza "Se i u ballottaggio il vicitore ha voti di vataggio su N totali, la probabilità che ello spoglio sia sempre stato i vataggio è /N" ), )! )!! )! )! )! )! )! )! ), ), N N N Tempo di primo passaggio i 0 Fabio Bellii 0 Idichiamo co u la probabilità di trovarci i 0 al tempo ; sappiamo che Iiziamo a dimostrare il seguete lemma: la probabilità che il radom walk rimaga strettamete positivo fio al tempo icluso, è pari a p u p,0) quidi ), 0) 0,..., 0, u S S PS > > >

11 Tempo di primo passaggio i 0 Ifatti per calcolare PS > 0, S > 0,..., S > 0) possiamo codizioare rispetto alla posizioe al tempo : PS > 0, S > 0,..., S > 0) PS > 0, S > 0,..., S k ), k Ma ciascu addedo di questa somma può essere calcolato dal teorema del ballottaggio: k PS > 0, S p,) u > 0,..., S k ) N,3) N,5) N,5)...) N,) N,3) N,) Fabio Bellii 0 Tempo di primo passaggio i 0 Ifatti per simmetria p,) p, ) p,) u Sempre per simmetria abbiamo che PS > 0, S > 0,..., S > 0) PS < 0, S < 0,..., S < 0) quidi PS 0, S 0,..., S 0) u Si ha u primo passaggio i 0 al tempo se S 0, S S 0, S u -) u 0,..., S 0,..., S ) 0) e o è veroche ache 0); quidi la probabilità è Fabio Bellii 0