Probabilità e Statistica I

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1 Probabilità e Statistica I Elvira Di Nardo (Dipartimeto di Matematica) Uiversità degli Studi della Basilicata [email protected] Tel:097/05890 Prerequisiti: serie umeriche; sviluppo i serie di Taylor di fuzioi; calcolo di itegrali e di derivate. SPAZIO CAMPIONE

2 La teoria della probabilità asce dai giochi di azzardo. Azzardo Azar = difficile i relazioe ad alcui puteggi meo frequeti detti azari che possoo otteersi el gioco dei dadi. U U esperimeto che forisce esiti diversi, ache quado ogi volta è ripetuto allo stesso modo, è detto esperimeto casuale Defiizioe L isieme S di tutti i possibili esiti di u esperimeto casuale è detto spazio campioe dell esperimeto. 3 Ad uo stesso esperimeto casuale si possoo associare diversi spazi campioe. Esempio: Lacio di u dado: A) S=,,3,4,5,6 ; B) S= pari, dispari C) S= si, o { } Esempio: Si cosideri u ura co tre palle: ua biaca (B), ua era (N), ua rossa (R). Si estraggao due palle dall ura. A) co ripetizioe B) seza ripetizioe I: si estrae I: si estrae III: si rimette detro la palla II: si osserva il colore della palla N R II: si osservao i colori delle palle N 4

3 Defiizioe U eveto è u sottoisieme dello spazio campioe dell esperimeto casuale. Operazioi Uioe Uioe (Somma) Itersezioe Itersezioe (Prodotto) (Prodotto) Complemetazioe Complemetazioe E l eveto che cosiste degli esiti coteuti i uo dei due (o etrambi) eveti E l eveto che cosiste degli esiti coteuti i etrambi gli eveti EU E E I E E l eveto che cosiste degli esiti coteuti i S ma o ell eveto assegato. E C, E 5 Esercizio : Si lacio tre moete eque. Descrivere i segueti eveti: a) si verifica almeo ua volta testa ; b) si verifica esattamete ua volta testa ; c) o si verifica alcua volta testa ; d) si verifica o più di due volte croce. Esercizio : Si laciao due dadi. Descrivere lo spazio campioe associato ai segueti esperimeti casuali: a) uscita coppie di umeri pari; b) uscita coppie di umeri primi; c) uscita coppie che foriscoo somma pari a 7. Esercizio 3: Descrivere lo spazio campioe associato al seguete esperimeto casuale: si estrae ua palla da u ura che cotiee palle rosse e ere fio a quado o e esce ua rossa 6

4 Esercizio: Soo aalizzati 49 campioi di policarboato plastico per studiare la resisteza alle graffiature e agli urti. I risultati soo riassuti come segue: Urti Alta Bassa Alta 40 4 Graffiature Bassa 3 Sia A l eveto che u campioe possiede ua alta resisteza agli urti e B l eveto che u campioe possiede ua alta resisteza alle A B, A B, A graffiature. Descrivere gli eveti: U I C L isieme Ø è detto eveto impossibile. Due eveti A e B a itersezioe vuota AI B = Ø si dicoo mutuamete esclusivi. 7 Esercizio: Si selezioao due coettori e si misura il loro spessore per verificare se soddisfao ua certa specifica. A) Descrivere lo spazio campioe. B) Descrivere l isieme degli esiti per i quali almeo uo dei due coettori soddisfa le specifiche. E C) Descrivere l isieme degli esiti per i quali almeo uo dei due coettori o soddisfa le specifiche. E D) Descrivere l isieme degli esiti per i quali essuo dei due coettori soddisfa le specifiche. E 3 E) Calcolare uioe e itersioe dei precedeti isiemi. F) Calcolare la complemetazioe dei precedeti isiemi. Spazio campioe fiito Esercizio: Si cosideri il tempo ecessario a ua reazioe chimica e E = x x < 0, E = x 3 < x 8 Calcolare: { } { } < E C UE, EIE E IE, Spazio campioe ifiito 8

5 I diagrammi ad albero U idustria produce automobili co u certo umero di possibili opzioi: a) co o seza trasmissioe automatica; b) co o seza aria codizioata; c) co stereo SONY, PHILIPS,AIWA; d) l estero di colore biaco, ero, verde, rosso. Se lo spazio campioe cosiste di tutti i tipi possibili di auto prodotte, qual è la sua cardialità? Trasmissioe Si No Aria codizioata Si Si No No Stereo S P A S P A S P A S P A Colore B N V R B N V R B N V R B N V R B N V R B N V R B N V R B N V R B N V R B N V R B N V RB N V R 9 Calcolo Combiatorio Regola Fodametale del Calcolo Combiatorio Suppoiamodi formareua sequeza effettuado ua successioe di scelte tali che: ) vi soo possibilità per la prima scelta, ) vi soo per la secoda scelta;... ) vi siao per la -esima scelta allora il umero totale di sequezeche si possooformareco tali scelte è il prodotto L. Esempio precedete: x x 3 x 4 = 48 possibili scelte. Questa regola cosete di calcolare la cardialità degli spazi campioi fiiti. 0

6 Esercizio: Ad u ristorate si può prazare scegliedo tra due atipasti, sei primi, quattro secodi, due cotori, tre vii, ua frutta, tre dolci.quati prazi completi distiti e seza bis si possoo fare? Esercizio: quate parole di tre lettere possoo essere scritte utilizzado solo le cique vocali, ma seza ripetizioe? ( x ), x,..., x - pla ordiata { x, x,..., x } - pla o ordiata Mettere i fila, i coloa, i coda = ordiameti Si cosideri due lettere? l'isieme { A, B,C, D }. I quati modi si possoo selezioare DA DB DC DD A) Se due coppie soo distiguibili i base all ordie e soo ammesse ripetizioi: 6 = 4, dove S =, posti su cui sistemare B) Se due coppie soo distiguibili i base all ordie ma o soo ammesse ripet.: = 4 3 ( ) L( + ) = ( ), dove S =, posti. C) Se due coppie o soo distiguibili quado costituite dalle stesse lettere e soo ammesse le ripetizioi: =, dove S =, posti. D) Se due coppie o soo distiguibili quado costituite dalle stesse lettere e o soo ammesse ripetizioi: 4 6 =, dove S =, posti. AA BA CA AB BB CB AC BC CC AD BD CD

7 Come si scelgoo oggetti tra? A) Campioi ordiati co ripetizioe. (Disposizioi Complete) comparire. Il loro umero è pari a. { x, x,, x } Soo sequeze x, x, K, x di elemeti estratti da u isieme A = K i i i seza alcua restrizioe sul umero di voltei cui u determiato elemeto può Esercizi :) Quate coloe è possibile teoricamete giocare el gioco del totocalcio? ) Se si laciao0 moete (o ache :se si lacia ua 0 volte) quate sequeze si possoo otteere? 3) (Caso geerale) Quati soo i sottoisiemi di u isieme di cardialità? moeta 3 B) Campioi Soo sequeze x, x, K, x di elemeti estratti da u isieme A = i i ( ) = ( )( ) L( + ) - fattoriale decrescete ( ). { x, x, K, x } dove essu elemeto può comparire più di ua volta. Il loro umero è pari a ordiati seza i u arbitro e u raccattapalle? ripetizioe. (Disposizioi) Esercizi: )I quati modi il lacio di 3 dadi forisce facce tutte diverse? ) Se ho0 ragazzi, i quati modi posso scegliere: u portiere, Caso speciale :Se = allora Formula di Stirlig :! e ( ) =!(permutazioi) π Esercizio: Date 5 persoe, i quati modi si possoo mettere i coda davati ad uo sportello? 4

8 Permutazioi co oggetti uguali Presi oggetti, dei quali m< uguali fra loro, e gli altri tutti diversi l uo dall altro e dai precedeti, quate -uple ordiate distiguibili potremo costruire utilizzado quegli oggetti? x m! =! Numero di permutazioi lasciado ialterato l ordie degli m oggetti uguali Numero di permutazioi degli m oggetti uguali Numero di permutazioi degli oggetti cosiderati diversi Esercizio: I u ura ci soo 6 pallie: 3 biache e le altre 3 di colore diverso tra loro. I quati modi diversi si possoo estrarre? 5 Permutazioi cicliche Ua "permutazioe ciclica di oggetti è uo dei modi i cui tali oggetti possoo essere disposti itoro ad u tavolo circolare =!/ 6

9 D) Campioi o ordiati seza ripetizioe. (Combiazioi) { y, y,, y } Soo sequeze x, z, K, t di elemetiestratti da u isieme A = K dove essu elemetopuò comparirepiù di ua volta e o importa l'ordie di ( ) estrazioe. Il loro umeroè pari a = - coefficiete biomiale.! Proprietà a) =, b) = 0, <, c) =, 0 d) = + Esercizio: ) U gruppo di persoe è formato da 3 uomii, 7 doe e 8 bambii. Determiare il umero di sottogruppi di 5 persoe i cui a) o ci soo uomii b) c è u solo uomo c) c è Mario e essu altro uomo d) c è Mario e solo due doe. 7 C) Campioi o ordiati co ripetizioe. (Combiazioe completa) estrazioe. Il loro umero è pari a + { y, y, K, y } Soo sequeze x, z, K, t di elemeti estratti da u isieme A = dove ogi elemeto può comparire più di ua volta e o importa l'ordie di Ad esempio cosideriamo le combiazioi complete di classe 5 formate co le lettere a,b,c. Tra di esse vi è la sequeza aaaaa, che sarebbe possibile solo aggiugedo all isieme altre 4 a, cosiderate distite. Esercizio: quate combiazioi co ripetizioe si possoo formare co 3 dei 4 simboli? 8

10 I quati modi si possoo permutare le lettere della parola CONSUMABILE? I quati modi si possoo permutare le lettere della parola MISSISSIPPI? S,S,S,S,I,I,I,I,P,P,M Coefficiete Multiomiale 9 Partiamo dalla lettera S. Ci soo modi di posizioare la lettera S. Restao altre 7 posizioi da riempire. Ci soo modi di posizioare la lettera I. Ci soo modi di posizioare la lettera P 4 e alla fie la lettera M viee posta ell'uico posto rimasto. 7 3 = 4 4 Suddivisioi. Soo sequezex, z, K, t A = { y, y, K, y } i cui! 7! 4!7! 4!3! ci soo oggettidi u ulterioretipo, K, 3!!!! 0!0! =! 4!4!!! + + L+ m =. Il loro umeroè paria,, L, ficietemultiomiale. = 4,4,, di elemetidistiguibili estrattida u isieme oggettidi u prefissatotipo, m oggettidi u ulterioretipo m e m - coef - 0

11 Esercizio : Trovare il umero di sequeze o ordiate e co ripetizioe lughe 4 formate dalle lettere A,B,C,D,E. Esercizio : Trovare il umero di sequeze o ordiate e co ripetizioe lughe 4 formate dalle lettere A,B,C,D,E coteeti almeo A. Esercizio 3: Trovare il umero di sequeze o ordiate e co ripetizioe lughe 4 formate dalle lettere A,B,C,D,E coteeti esattamete A. Esercizio 4: Vegoo selezioati quattro umeri dai segueti -5,-4,-3,-, -,,,3,4. I quati modi le selezioi avvegoo i modo che il prodotto di questi 4 umeri sia positivo e a) i umeri soo distiti; b) ogi umero può essere selezioato 4 volte; c) ogi umero può essere selezioato al più 3 volte.