Successioni e Progressioni

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1 Successioi e Pogessioi Ua successioe è ua sequeza odiata di umei appateeti ad u isieme assegato: ad esempio, si possoo avee successioi di umei itei, azioali, eali, complessi Il pimo elemeto della sequeza viee, covezioalmete, chiamato a 0, il secodo a e così via; a è il temie geeale I modi i cui vegoo di oma descitte le successioi soo due: co ua legge: ciascu temie a è assegato mediate ua fuzioe che, i geeale, dipede da Ad esempio, a = +, co εn, è la successioe dei umei dispai; icosivamete: ciascu temie a è assegato mediate ua fuzioe icosiva che, i geeale, dipede dai temii pecedeti a -, a -,,a,a 0 Ad esempio, la successioe a0= a= defiita da co > è la celebeima successioe di Fiboacci: a = a + a,,, 3, 5, 8, 3, Ua categoia che meita u più accuato esame è quella delle pogessioi, successioi dipedeti lieamete dal solo temie pecedete Pogessioi aitmetiche Ua successioe di umei a,a,,a si dice pogessioe aitmetica se è defiita icosivamete a= a el seguete modo: a = a + d cioè se la diffeeza ta due temii cosecutivi è costate ed uguale alla agioe d della pogessioe Sulle pogessioi aitmetiche si possoo dimostae facilmete le segueti fomule: Il temie geeale a si può espimee come a = a + ( ) d Ifatti, poichè : a a = d; a 3 a = d; a a - = d, sommado membo a membo si ottiee: a a + a 3 a + + a a - = ( )d, da cui si ha: a + a = ( )d Il geeico temie a si può espimee come Ifatti: a = a - +d = a - +d = = a s +( - s )d La somma dei pimi temii è: = ( + ) S a a Ifatti si scive S a patie dal pimo temie aggiugedo d fio al temie -esimo: S = a + (a + d) + (a + d) + + a Oa si scive S a patie dal temie -esimo sottaedo d fio al pimo temie: S = a + (a d) + (a d) + + a Sommado membo a membo si ottiee: S = (a + a ) + (a + a ) + + (a + a ) = (a + a ) La somma dei temii da a a a s è: S = ( a + a )( s+ ) Ifatti a +a s = (a + d) + (a s- + d) = a + +a s-, e duque: S = (a +a + +a + + +a s- +a s- +a s ) = (a +a s )+(a + +a s- )+ +(a s- +a + )+(a s +a ) = (a +a s )( s +) Esempio a Data la successioe:, scivee il decimo temie della successioe a 0 i temii del a = a + 7 tezo temie a 3 e calcolae la somma dei temii compesi ta questi Si ha a 0 = a 3 + (0 3) 7 = a ; la somma dei temii dal quato al oo è S = ( a4 + a9)( 9 4+ ) = ( a+ + a+ 56) 6= 46 a = a s + ( s) d s

2 Pogessioi geometiche Ua successioe di umei a, a,, a si dice pogessioe geometica se è defiita a= a icosivamete el seguete modo: a = k a cioè se il appoto ta due temii cosecutivi è costate ed uguale alla agioe k della pogessioe Sulle pogessioi geometiche si possoo dimostae facilmete le segueti fomule: Il temie geeale a si può espimee come a = a k - Ifatti: a = ka, a 3 = ka,, a - = ka -, a = ka - Moltiplicado membo a membo si ottiee: a a a a = a a a a k k, dacui a = ak 3 3 ( ) volte Il geeico temie a si può espimee come Ifatti: a = ka - = k a - = = k (-s) a s La somma dei pimi temii è: Ifatti: Quidi: S = a + + a = a + ka + k a + + k a Moltiplicado ambo i membi dell uguagliaza sopa scitta pe k e sottaedo S si ottiee: ks S = ka + k a + + k a a ka k a k a = k a a La tesi ( s + ) La somma dei temii da a a a s è: Ifatti: a = ka, a = ka = k a,, a = k a, a = k a 3 S = a Il podotto di temii è: P = ( a a ) k k ( s ) ( s ) + + s s ( ) ( s + ) k S = a + a + a + + a + a = a + k+ k + + k + k = a k Ifatti: P = a a a a Pe la popietà commutativa del podotto si può scivee: P = a a a a S k = a k a = a s k ( -s) Moltiplicado membo a membo si ottiee: P = ( a a ) ( a a ) ( a a ) ( a a ) ( a a ); 3 ma ogi fattoe del podotto sopa scitto gode della popietà che il podotto di due temii equidistati dagli estemi è costate ed è uguale al podotto dei temii estemi: se p, soo i temii equidistati dagli estemi, è p = a a Petato: P = ( a a ) dacui P = ( a a ) Il podotto dei temii da a a a s è: ( ) ( s+ P= a a ) s Ifatti: ( ) ( s+ ) P = aas a+ as as a+ asa = a as Esempio a Data la successioe:, scivee il decimo temie della successioe a 0 i temii del a = 7a tezo temie a 3 e calcolae la somma dei temii compesi ta questi Calcolae iolte il podotto dei pimi 3 temii Si ha a 0 = a 3 7 (0-3) = a ; la somma dei temii dal quato al oo è: ( 9 4+ ) S = a4 = 75 =

3 Il podotto dei pimi 3 temii è: ( ) ( + P a a ) ( ) 3 3 = 3 = 545 = 4875 Pogessioi miste Ua successioe di umei a, a,, a si dice pogessioe mista se o è è geometica, è a= a aitmetica, ma è defiita icosivamete el seguete modo: co k, d 0 a = k a + d Pe le pogessioi miste è valida la seguete fomula, della quale si omette la dimostazioe: k il geeico temie a si può espimee come: a = k a0 + d k Esempio 3 a = 5 Data la successioe:, scivee il decimo temie della successioe a 0 i temii del a = 7a + 6 tezo temie a 3 Si ha a (0 3) 7 (0 3) = a = = 78 7 = Successioi pe icoeza lieai = x0 Nella successioe x= x x+ = α x + β x soo dati i pimi due temii e ciascuo dei successivi dipede dai due temii immediatamete pecedeti Esiste u metodo pe scivee il temie geeico x i modo che dipeda solo da Si isolve iazitutto l equazioe x α x β = 0 Se le due soluzioi S e S soo distite, alloa si può dimostae che x, = a S + b S co a e b coefficieti oppotui Pe tovae a e b, si sostituisce pima = 0 e poi = ell espessioe di x, otteedo u sistema di due equazioi i a,b che si isolve utilizzado i valoi oti di x 0 e x Se ivece le soluzioi coicidoo, cioè se S =S =S, alloa si può dimostae che x = a S + b S = ( a+ b ) S, co a e b coefficieti oppotui che si detemiao come el caso pecedete Esempio 4 = 0 Data la seguete successioe, detta successioe di Fiboacci: x = x+ = x + x icavae l espessioe del temie geeico x Si tatta della successioe 0,,,, 3, 5, 8, 3,, Qui α = β =, quidi si deve isolvee dappima x x = 0 Le soluzioi soo divese: + 5 S 5 = e S = Quidi 5 5 x a + b = + Se = 0 alloa 0 = a + b cioè b = - a; se = alloa = a + b = a 5 e quidi a= e b= 5 5 3

4 + 5 5 Si può scivee oa: x = 5 Nota bee: sommado umei atuali si ottegoo umei atuali, quidi oostate compaiao adici ell espessioe di x, queste si semplificao sempe quado si sviluppao le poteze Esempio 5 = 0 Data la seguete successioe: x =, icavae l espessioe del temie geeico x x+ = 5x 6x Si tatta della successioe 0,, 5, 9, 65, Qui α = 5 e β = 6, quidi si deve isolvee dappima x 5x + 6 = 0 Le soluzioi soo divese: S = 3 e S = Quidi x = a 3 +b Se = 0 alloa 0 = a +b cioè b = a; se = alloa = 3a +b = 3a a = a e quidi a = e b = Segue che x = 3 Esempio 6 = x Data la seguete successioe: x =, calcolae 3 x+ = 6x 9x Coviee scivee il temie geeico Poiché α = 6 e β = 9, l equazioe x 6x +9 = (x 3) = 0 ha due soluzioi coicideti S = S = S = 3 Quidi x = a 3 +b 3 Se = 0 alloa = a; se = alloa = 3a +3b = 6+3b e quidi a = e b = 5 Segue che x = = (+5 ) 3 Pe tovae il isultato basta adesso sostituie =, otteedo x = 44 3 e 3 ESERCIZI a Data la successioe: a = a a) calcolae la somma dei pimi temii; b) espimee, mediate il quito temie della successioe, a a =3 Data la successioe: a = a a) calcolae la somma dei pimi 7 temii; b) calcolae la somma dei temii dal tezo al sesto; c) calcolae il podotto dei pimi 4 temii; d) calcolae il podotto dei temii dal tezo al sesto; e) espimee, mediate il secodo temie della successioe, a 5 x = 44 a =3 3 Data la successioe: a = a + a) calcolae la somma dei pimi 4 temii; 4

5 b) espimee, mediate il secodo temie della successioe, a 0 4 Sia a la successioe così defiita: a0 =x Sapedo che a 000 = 00 +, quato vale x? a = a 5 Calcolae la somma dei umei che compogoo le tee fomate da te elemeti che soo i pogessioe aitmetica (cescete o decescete) e soo tali che la loo somma sia 7, il loo podotto sia Detemiae il umeo dei temii di ua pogessioe aitmetica la cui somma è 36, la cui agioe è 6 e il cui temie geeale vale 38 7 Il pofesso Geeosi ha figli Pe Natale compea loo dei cioccolatii Sapedo che il pimogeito e magia la metà più uo, il secodogeito magia la metà di quelli che tova più uo, il tezogeito la metà di quelli che tova più uo, fio all ultimo figlio, il dodicesimo, che magia la metà dei cioccolatii tovati più uo, lasciado la cofezioe vuota, quati cioccolatii ha compeato il pof Geeosi? 8 La combiazioe pe apie ua cassafote è data da ua sequeza di quatto umei otteuti cosideado i temii della successioe a = pe i valoi di geeati ell odie dal b0 = quato, sesto, oo, udicesimo temie della successioe b =3 ; quidi di ogi b = 3b b umeo tovato si cosidei la somma delle cife, che deve essee effettuata fichè o ci si iduce ad u umeo di ua sola cifa Qual è la combiazioe della cassafote? 9 I ua matice di 4 ighe pe 3 coloe soo memoizzate le 5 cate di u mazzo da gioco: i semi (cuoi =, quadi =, fioi = 3, picche = 4) sulle ighe, le cate (Asso =,, Fate =, Doa =, Re = 3) sulle coloe Si decide di scopie le cate che soo memoizzate elle caselle di posto (a, b ), dove a = ( + ) mod 4 +, b = ( + 5) mod 3 + [NB P mod Q è il esto della divisioe P:Q] Calcolae la diffeeza ta la somma delle cife di posto pai e la somma delle cife di posto dispai del podotto dei umei associati alle pime 0 cate scopete 0 Sia Q u quadato di lato uitaio; sia Q il quadato otteuto cogiugedo i puti medi dei lati di Q; sia Q il quadato otteuto cogiugedo i puti medi dei lati di Q ; e così via! Si costuisce quidi ua successioe di quadati iscitti uo ell alto Calcolae la quata poteza del appoto ta le agioi della successioe dei peimeti co la successioe delle aee dei quadati Data la successioe: = x =30, x+ = 0x 5x x96 calcolae