IL CALCOLO COMBINATORIO

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1 IL CALCOLO COMBINATORIO Calcolo combiatorio è il termie che deota tradizioalmete la braca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordiare secodo date regole gli elemeti di u isieme fiito di oggetti. Il calcolo combiatorio si iteressa soprattutto di cotare tali modi, ovvero le possibili cofigurazioi degli elemeti dell isieme; solitamete rispode a domade quali "I quati modi diversi si possoo scegliere...", "Quate soo le possibili combiazioi..." ecc. Più formalmete, dato u isieme di oggetti si vuole cotare le cofigurazioi che possoo assumere oggetti tratti da questo isieme, co. Prima di affrotare u problema combiatorio bisoga capire due fatti importati: Se l'ordiameto è importate, ovvero se due cofigurazioi soo le stesse a meo di u riordiameto (Per esempio, la tera (X,Y,Z) è uguale alla tera (Z,X,Y)?) Se si possoo avere più ripetizioi di uo stesso oggetto, ovvero se uo stesso oggetto dell'isieme può o meo essere riusato più volte all'itero di ua stessa cofigurazioe. Permutazioi semplici (seza ripetizioi) Ua permutazioe di u isieme di oggetti è ua sequeza ordiata dei suoi elemeti ella quale ogi oggetto viee presetato ua ed ua sola volta. Ad esempio, avedo a disposizioe l isieme delle tre lettere X, Y e Z soo permutazioi le sequeze XYZ, XZY, YXZ, Per cotare quate siao le permutazioi di u isieme co oggetti, si osservi che il primo elemeto della cofigurazioe (tera ell esempio precedete) può essere scelto i modi diversi, il secodo i ( - 1), il terzo i ( - 2) e così via sio all'ultimo che potrà essere preso i u solo modo essedo l'ultimo rimasto. Ua rappresetazioe ad albero facilita la compresioe: ell esempio 1 elemeto 3 scelte X Y Z 2 elemeto 2 scelte Y Z X Z X Y 3 elemeto 1 scelta Z Y Z X Y X I totale scelte. Il prodotto di u umero aturale co tutti i suoi precedeti si idica col umero seguito da u puto esclamativo e si legge fattoriale : ! (tre fattoriale) Duque, idicado co il simbolo P il umero delle possibili permutazioi, si ottiee che esse soo esattamete (si legge: fattoriale), i formula P ( 1) ( 2) Quati soo i possibili aagrammi della parola ROMA? Si tratta di cotare tutte le possibili permutazioi sulle quattro lettere, duque P 4 4! Ciò o sigifica che ogi permutazioe abbia u sigificato ella ligua italiaa! Se vogliamo effettivamete scrivere tutti gli aagrammi o ci resta che costruire l albero e leggere tutte le quatere otteute. 2. Quati umeri di cique cifre, tutte diverse, si possoo scrivere utilizzado le cifre 5, 6, 7, 8, 9? Si tratta di cotare tutti i umeri che si possoo otteere scambiado l ordie delle cique cifre, duque P 5 5!

2 Permutazioi co ripetizioi I alcui casi u isieme può coteere elemeti che si ripetoo. I questo caso alcue permutazioi di tali elemeti sarao uguali tra loro. Ad esempio, se vogliamo cotare gli aagrammi della parola BABBO dobbiamo escludere dal totale delle permutazioi possibili (che soo 5! ) quelle che scambiao le tre B tra loro, ossia le permutazioi delle tre lettere uguali (che soo 3! ). Per questo, avremo che i possibili aagrammi soo 5! diviso 3! I formula P! Se cotiamo gli aagrammi della parola MAMMA dovremo escludere sia le permutazioi delle tre M che le permutazioi delle due A e, duque, 5! diviso ( 3! 2! ) Idicado duque co 1, 2 il umero di volte che si ripetoo rispettivamete gli elemeti 1, 2 le permutazioi co ripetizioe divegoo: 1 2 P! 1 2! 1. Quati soo i possibili aagrammi della parola OSSESSIONE? Si tratta di cotare tutte le possibili permutazioi di 10 lettere co ripetizioi di 2 (le O), di 4 (le S) e di 2 (le E) lettere, cioè 10! P 10 2,4, ! 4! 2! Quati umeri di tre cifre si possoo scrivere utilizzado le cifre 7, 8, 9? Si tratta di cotare tutti i umeri che si possoo otteere scambiado l ordie delle tre cifre, quelli che hao due cifre 7 o due cifre 8 o due cifre 9, e quelli che hao tre cifre uguali a 7 o ad 8 o a 9; duque, ell ordie, P 3 3! tre volte P 3 2 3! / 2! 3 e tre volte P 3 3 3! / 3! 1 i totale Disposizioi semplici (seza ripetizioi) Ua disposizioe semplice di elemeti (si dice ache di classe ) di u isieme S di elemeti, co < è ua presetazioe ordiata di elemeti di S ella quale o si possoo avere ripetizioi di uo stesso oggetto. Ad esempio, possiamo cotare quate strighe di quattro lettere diverse si possoo formare co le lettere dell alfabeto. Attezioe, el valutare le disposizioi, è sempre importate idetificare quati e quali soo gli elemeti a disposizioe (alfabeto italiao 21 lettere) quati soo gli elemeti che formao i sottisiemi da cotare (4 lettere diverse) che si devoo cotare ache i sottisiemi co gli stessi elemeti ma ordiati diversamete Per avere il umero di queste cofigurazioi si cosidera che il primo compoete di ua tale sequeza può essere scelto i modi diversi, il secodo i ( 1) e così via sio al esimo che può essere scelto i ( 1) modi diversi, o ache ( + 1). Nel ostro esempio, rappresetado la situazioe co u albero, abbiamo

3 1 el. 21 scelte A B Z 2 el. 20 scelte B C Z A C Z A B V 3 el. 19 scelte C D Z B C V 4 el. 18 scelte D Z C V Iterpretado l albero si capisce che per ciascua delle 21 scelte del 1 elemeto si possoo fare 20 scelte per il 2 elemeto (per u totale di coppie), per ogua delle coppie si possoo fare 19 scelte per il 3 elemeto (per u totale di tere), per ogua delle tere si possoo fare 18 scelte per il 4 elemeto (per u totale di quatere) Idicado co il simbolo D le disposizioi semplici di elemeti scelti su u isieme di elemeti, otteiamo la formula D, ( 1) ( 2)... ( + 1) Nel ostro esempio, la risposta è D 21, strighe co quattro lettere, ache se sarao molte meo quelle che hao sigificato ella ligua italiaa! Se vogliamo visualizzare tutte le strighe i questioe basta seguire i rami dell albero ABCD, ABCE, ABCF,, ABCZ ABDC, ABDE, ABDF,, ABDZ ABZC, ABZD, ABZE,, ABZV solo per il ramo più a siistra dell albero! e così via Nota bee: il umero degli elemeti dei sottisiemi da cotare, 4 ell esempio, coicide col umero dei fattori che compaioo ella sequeza di moltiplicazioi; pertato ello sviluppo delle disposizioi basta partire da e scrivere fattori cosecutivi, seza calcolare + 1 le permutazioi semplici possoo essere iterpretate come disposizioi semplici di elemeti presi su u isieme di elemeti; ifatti D (-1) (-2) (-3) ( fattori) e quidi D P 1. Quati soo gli icotri di calcio di u campioato all italiaa (adata e ritoro) che comprede 16 squadre? Si devoo cotare tutte le possibili coppie (icotri) ordiate (A cotro B adata e B cotro A ritoro) su u totale di 16 elemeti, duque le disposizioi D 16, icotri 2. Quati umeri di 3 cifre, tutte diverse, si possoo scrivere utilizzado le cifre 5, 6, 7, 8, 9? Si tratta di cotare tutti i umeri che si possoo scrivere scegliedo 3 cifre, seza ripetizioi, sulle 5 date; l ordie delle cifre porta aturalmete a umeri diversi per cui soo le disposizioi D 5, umeri

4 Disposizioi co ripetizioi Se ella scelta dei elemeti di ua disposizioe sugli elemeti di u isieme si possoo avere ripetizioi di uo stesso elemeto allora stiamo cotado le disposizioi co ripetizioi. Cerchiamo, cioè, il umero delle possibili sequeze ordiate di oggetti da scegliere fra gli elemeti di u isieme di oggetti, oguo dei quali può essere preso più volte. Riferedoci ache alla solita rappresetazioe ad albero, si ituisce facilmete che si hao possibilità per scegliere il primo compoete, per il secodo ed altrettate per il terzo e così via sio al - esimo che completa la cofigurazioe. Il umero cercato è pertato: volte, ossia, i formula D ' 1. Quati umeri di 3 cifre si possoo scrivere utilizzado le cifre 5, 6, 7, 8, 9? Si tratta di cotare tutti i umeri che si possoo scrivere scegliedo 3 cifre, ache ripetute, sulle 5 date cotado, aturalmete ache l ordie delle cifre, per cui D 5, umeri 2. Quate strighe di tre lettere si possoo formare co le lettere dell alfabeto italiao? Dobbiamo cotare i sottisiemi ordiati di tre lettere, ache ripetute, su u totale di 21 lettere, ossia D 21, Combiazioi semplici (seza ripetizioi) Si chiama combiazioe semplice ua presetazioe di elemeti di u isieme ella quale o ha importaza l'ordie dei compoeti e o si può ripetere lo stesso elemeto più volte. Il calcolo delle combiazioi di elemeti (o di classe ) estratti da u isieme S di oggetti distiti si può fare cosiderado tutte le disposizioi dei elemeti sugli elemeti dati (ossia D ) e osservado che occorre raggruppare i u uica cofigurazioe i sottisiemi che si distiguoo solo per il diverso ordiameto, cioè per la permutazioe dei loro elemeti. Quidi il umero delle combiazioi semplici di elemeti di lughezza si ottiee dividedo per! (umero di permutazioi) il umero delle disposizioi semplici di elemeti di lughezza Allora il calcolo richiesto si può scrivere C D P 1) 2)! ) Ua osservazioe molto iteressate è che, se moltiplichiamo umeratore e deomiatore per la quatità (-)! Si ottiee ua formula coteete solo dei fattoriali (teorema dei tre fattoriali) C, 1) 2)! ) ) ( ) 1) ) ! ( )! 1. Quati ambi diversi si possoo realizzare al gioco del lotto? Quati teri? Si tratta di cotare i sottisiemi di due (o di tre) elemeti (o ordiati) su u isieme di 90 umeri, cioè C 90,2 (90 89) / (2 1) 4005 C 90,3 ( ) / (3 2 1)

5 SCHEMA RIASSUNTIVO Permutazioi semplici P Permutazioi co ripetizioi P! Disposizioi semplici D, 1) 2) ) Disposizioi co ripetizioi D ' 1) Combiazioi semplici C P! D 2) ) C,! ( )!