Progressioni aritmetiche

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1 Progressioi aritmetiche Comiciamo co due esempi: Esempio Cosideriamo la successioe di umeri:, 7,, 5, 9, La successioe è tale che si passa da u termie al successivo aggiugedo sempre +4. Si dice ache che la successioe precedete è ua progressioe aritmetica. è il primo termie della progressioe, è l ultimo termie e +4 (il umero che si aggiuge ad u termie per avere il successivo) si chiama ragioe della progressioe. Ioltre visto che i termii aumetao sempre, la progressioe cosiderata è crescete. Esempio Cosideriamo la successioe di umeri: 5, 9,, La successioe è tale che si passa da u termie al successivo aggiugedo sempre -6. La successioe precedete è ua progressioe aritmetica di ragioe -6. I termii della successioe dimiuiscoo sempre e la progressioe cosiderata è decrescete. Possiamo geeralizzare quato visto ei due esempi precedeti co la seguete defiizioe: Ua progressioe aritmetica é ua successioe di umeri reali tale che la differeza tra due termii cosecutivi della successioe è costate. Questa costate si chiama ragioe della progressioe stessa: se la ragioe è positiva la successioe è crescete, se la ragioe è egativa la succesioe è decrescete. Simbolicamete, idicado co a il termie -simo della successioe e co d la sua ragioe, possiamo scrivere: a = a + d a = a + d = a + d + d = a + d a 4 = a + d = a + d + d = a + d... a = a - + d = a + (-)d + d = a + ( - )d dove l ultima espressioe: a = a + ( - )d ()

2 forisce ua relazioe geerale per calcolare il termie di posto (a ) di ua progressioe aritmetica di cui si coosce il primo terie (a ) e la ragioe (d). Esempio Calcolare il -mo termie di ua progressioe aritmetica per cui il primo termie vale e la ragioe vale 5. Applicado la formula precedete, abbiamo subito: a = a + (-)d = + 5 = + 60 = 6. La relazioe () puó essere utilizzata per calcolare uo qualuque degli elemeti preseti a partire dagli altri. Cosí possiamo scrivere ache le relazioi: a a ( ) d () a a d a a d () (4) Esempio 4 Calcolare la ragioe di ua progressioe aritmetica di cui si coosce il primo termie uguale a 4 ed il 5-mo uguale a. Applicado la formula () precedete, abbiamo subito: d Esempio 5 Di ua progressioe aritmetica si sa che il primo termie vale 5, che il suo termie -simo vale e che la ragioe vale -/. Calcolare. Applicado la formula (4) precedete, abbiamo subito: 5 4 ( ) 0. Esempio 6 Di ua progressioe aritmetica si sa che a = e a 7 = 7. Calcolare: ) la ragioe d; ) il primo termie a. Applicado la formula () precedete due volte, abbiamo subito:

3 a a d a7 a 6d a7 a 4d a a d 7 4d a d d 4. a 7 Esempio 7 Tra due umeri assegati 4 e 5 determiare altri quattro umeri (compresi tra i due dati), i modo da otteere sei umeri i progressioe aritmetica. Per risolvere il problema, basta teer coto del fatto che, dei sei umeri i progressioe aritmetica, a = 4 e a 6 = 5 e = 6. Applichiamo allora la formula () precedete ed abbiamo: a6 a 5 4 d I quattro umeri richiesti soo allora: a 4, a, a , a É iteressate otare che, per ua progressioe aritmetica, la somma dei termii equidi-stati dagli estremi è costate. Cosí, per la progressioe dell Esempio, abbiamo: Per la progressioe dell Esempio, abbiamo: I geerale, abbiamo che: a + a - = a + d + a - = a + a, a + a - = a + d + a - = a + a,... a r+ + a -r = a + rd + a -r = a + a, e, per la proprietà trasitiva dell uguagliaza: + = = + 5 = (-) = 9 + =. a + a - = a + a - =... = a r+ + a -r = a + a (5) Il risultato precedete è importate per dimostrare la formula che cosete di calcolare la somma S dei primi termii di ua progressioe aritmetica. Ifatti, per la proprietà commutativa dell addizioe di umeri reali, possiamo scrivere: S = a + a a - + a

4 S = a + a a + a e, sommado membro a membro: S = (a + a ) + (a + a - ) (a - + a ) + (a + a ) = (a + a ); ifie, per la proprietà (5) S a a (6) Esempio 8 Calcolare la somma dei primi 0 termii della progressioe aritmetica dello Esempio 5 (dove a =5 e a 0 = ). Applicado la formula (6) precedete, abbiamo subito: S Nota storica A proposito della formula (6) e della proprietà (5), sembra che il matematico tedesco GAUSS ( ), il pricipe dei matematici, abbia ituito i due risultati all età di 9 ai, durate l esecuzioe di u test di Matematica. Dovedo calcolare la somma dei primi 60 umeri iteri (da a 60), il ragazzo Gauss porto immediatamete la risposta al proprio maestro, dopo aver otato che la somma dei termii equidistati dagli estremi era sempre uguale a 6 (+60 = +59 = +58 =...) e che quidi bastava moltiplicare questa somma costate per il umero delle coppie da sommare (0), otteedo cosí: 06 = 80. Si raccota ache che il maestro di Gauss, stupito da tata astuzia, regaló al precoce ragazzo u libro di aritmetica, igorado certamete che quel ragazzo sarebbe divetato uo dei piú celebri matematici di tutti i tempi. Esercizi Scrivere i primi sei termii di ua progressioe aritmetica il cui primo termie è uguale a e la cui ragioe è uguale a /. Calcolare il vetesimo termie della progressioe aritmetica dello esercizio. Ua progressioe aritmetica è tale che a 7 = 8 e d = -. Calcolare a e a 5.

5 Calcolare il umero dei termii di ua pogressioe aritmetica di ragioe, sapedo che a = 7 e a =. Per l esercizio precedete, calcolare S (somma dei primi termii della progressioe). Di ua progressioe aritmetica si coosce a 5 = 5 e d = -. Calcolare: a) a ; b) S 5 ; c) S 5. Tra i umeri 4 e 5 iserire 5 umeri (compresi tra i due dati), i modo da otteere ua progressioe aritmetica: a) crescete; b) decrescete. Di ua progressioe aritmetica si sa che a 5 = e a = 47. Calcolare: ) la ragioe d; ) il primo termie a ; ) S 5. Calcolare x i modo che 5x -, 7x +, 4x + siao termii cosecutivi di ua progressioe aritmetica. Calcolare la somma dei primi umeri dispari. Calcolare la somma dei primi umeri pari. U capitale di 0 ML viee depositato i baca co u iteresse semplice auo del 7% (questo sigifica che, alla fie di ogi ao di deposito, il capitale aumeta del 7% del suo valore al mometo del deposito). Determiare l evoluzioe del capitale fio alla fie dei primi sette ai di deposito. Dimostrare che, depositado u capitale C ad u iteresse semplice auale i, dopo t ai di deposito il capitale è uguale a C(+it). Per perforare u pozzo di 0 m di profodità si domada il prevetivo da tre ditte. La ditta A chiede ua somma fissa di lire per movimeto mezzi e di lire per metro di scavo. La ditta B chiede ua somma fissa di lire per movimeto mezzi e di 0000 lire per metro di scavo. La ditta C chiede ua somma fissa di lire per movimeto mezzi e di lire per metro di scavo. Determiare quale dei tre prevetivi risulta piú coveiete.

6 Ua successioe di umeri reali si dice progressioe armoica quado i reciproci dei suoi termii formao ua progressioe aritmetica. Fare due esempi di progressioi armoiche. Iserire fra e 9 due umeri x e y i modo che la successioe x y 9 sia ua progressioe armoica. a, b e c soo termii cosecutivi di ua progressioe aritmetica. Provare che a+b, a+c e b+c soo termii cosecutivi di ua progressioe armoica. I ua progressioe aritmetica l ottavo termie è doppio del quarto termie ed il vetesimo termie è uguale a 40. Calcolare la ragioe ed il primo termie della progressioe.

7 Progressioi geometriche Comiciamo co due esempi: Esempio Cosideriamo la successioe di umeri:, 6,, 4, 48, 96 La successioe è tale che si passa da u termie al successivo moltiplicado il precedete per. Si dice ache che la successioe precedete è ua progressioe geometrica. è il primo termie della progressioe, 96 è l ultimo termie e (il umero che moltiplica u termie per avere il successivo) si chiama ragioe della progressioe. Ioltre, visto che i termii aumetao sempre, la progressioe cosiderata è crescete. Esempio Cosideriamo la successioe di umeri: 6, 4,, 6 La successioe è tale che si passa da u termie al successivo moltiplicado il precedete per ½. La successioe precedete è ua progressioe geometri-ca di ragioe ½. I termii della successioe dimiuiscoo sempre e la pro-gressioe cosiderata è decrescete. Possiamo geeralizzare quato visto egli esempi co la seguete defiizioe: Ua progressioe geometrica é ua successioe di umeri reali tali che il rapporto tra due termii cosecutivi della successioe è costate. Questa costate si chiama ragioe della progressioe stessa: se la ragioe è positiva e maggiore di, la successioe è crescete; se la ragioe è compresa tra zero e ( esclu-so), la succesioe è decrescete; se la ragioe è uguale a la successioe é costate (tutti i suoi termii soo uguali); se la ragioe é egativa la successioe é oscillate (i suoi termii soo alterativamete positivi e egativi). Simbolicamete, idicado co a il termie -simo della successioe e co q la sua ra-gioe, possiamo scrivere: a = a q a = a q = a qq = a q a 4 = a q = a q q = a q... a = a - q = a q - q = a q - dove l ultima espressioe: ½ ½ ½

8 a a q () forisce ua relazioe geerale per calcolare il termie di posto (a ) di ua progressioe geometrica di cui si coosce il primo termie (a ) e la ragioe (q). Esempio Calcolare il quito termie di ua progressioe geometrica per cui il primo termie vale e la ragioe vale ¾. Applicado la formula precedete, abbiamo subito: a 4 a q Esempio 4 Calcoliamo l iteresse composto di u capitale C 0 depositato i baca per ai co u iteresse percetuale auo uguale a i. Alla fie di ogi ao abbiamo la seguete situazioe: Ao Capitale C 0 + i C 0 = C 0 (+i) = C C + i C = C 0 (+i)+i C 0 (+i) = C 0 (+i)(+i) = C 0 (+i) = C C + i C = C 0 (+i) +i C 0 (+i) = C 0 (+i) (+i) = C 0 (+i) = C C 0 (+i) = C Possiamo allora otare che la successioe: C 0, C, C, C,..., C é ua progressioe geometrica il cui primo termie é C 0 e la cui ragioe é + i; il capitale C alla fie dell -simo ao di deposito é dato da C C i 0 Allora se C 0 = ML (u milioe di lire) e i = 7%, dopo 0 ai il capitale sarà uguale a: C ML. ML, 00 cioè quasi raddoppiato (ma certamete svalutato!). La relazioe () può essere utilizzata per calcolare uo qualuque degli elemeti preseti a partire dagli altri. così possiamo scrivere ache le relazioi:

9 a q a q () log a () a q a (4) a Esempio 5 Calcolare la ragioe di ua progressioe geometrica di cui si coosce il primo termie uguale a 4 ed il quito termie uguale a 8. Applicado la formula () precedete, abbiamo subito: 8 q Esempio 6 Di ua progressioe geometrica si sa che il primo termie vale 7, che il suo termie -simo vale e che la ragioe vale 8/7. Calcolare. Applicado la formula (4) precedete, abbiamo subito: 5 7 log log 4 log Esempio 7 Di ua progressioe geometrica si sa che a = e a 8 = 7. Calcolare: ) la ragioe q; ) il primo termie a. Applicado la formula () precedete due volte, abbiamo: a8 5 q 7 5 q 5 q 7 a a q a 8 a a q a a a 7. a a 5 q q 7 Esempio 8 Dati due umeri, 4 e 5, determiare altri due umeri (compresi tra i due dati), i modo da otteere quattro umeri i progressioe geometrica. Per risolvere il problema, basta teer coto del fatto che, dei sei umeri i

10 progressioe geometrica, a = 4 e a 4 = 4 e = 4. Applichiamo allora la formula () precedete ed abbiamo: 4 q 6. 4 I due umeri richiesti soo allora:, a a Calcoliamo la somma S dei primi termii di ua progressioe geometrica. Possiamo scrivere: S a a q a q K a q qs a q a q a q K a q a q e, sottraedo membro a membro: S qs a aq S ( q) a( q ) ifie, S a q q (6) Esempio 9 Calcolare la somma dei primi 0 termii di ua progressioe geometrica sapedo che a = e q = ½). Applicado la formula (6) precedete, abbiamo subito: S Cosideriamo le poteze successive di due umeri miori di, ad esempio /0 e /:

11 Possiamo otare che ma mao che l espoete aumeta, il valore della poteza diveta sempre più piccolo; al limite, quado l espoete diveta gradissimo, la poteza diveta piccolissima. I termii matematici più precisi, scriviamo: q lim q 0 (da leggere: se il valore assoluto di q é miore di, allora il limite per che tede all ifiito di q é uguale a zero). La cosiderazioe precedete é importate per calcolare la somma di ifiiti termii di ua successioe geometrica la cui ragioe (i valore assoluto) é miore di. Abbiamo subito: q a q lim S lim a. (7) q q La (7) é, tra l altro, utile per calcolare la frazioe geeratrice di u umero decimale pe-riodico come egli esempi che seguoo. Esempio 0 Calcolare la frazioe geeratrice del umero 7. _. Abbiamo: _ L espressioe i paretesi puó essere cosiderata come la somma degli ifiiti termii di ua progressioe geometrica co primo termie uguale a e co ragioe uguale a /0. Essedo la ragioe miore di, possiamo applicare la formula (7) precedete ed abbiamo: 0 7. _ Queste cosiderazioi sul limite di ua successioe soo molto ituitive. Lo studete avrà occasioe di studiare, i termii molto più precisi, il limite di ua successioe.

12 Esempio Calcolare la frazioe geeratrice del umero.. Abbiamo: dove l espressioe i paretesi idica la somma degli ifiiti termii di ua progressioe geometrica (primo termie uguale a, ragioe uguale a /00) e l ultima uguagliaza richiama la regola empirica di scrittura della frazioe geeratrice di u umero decimale periodico. Nota storica Zeoe (496 a.c a. C.) ato a Elea, città dell Italia meridioale, ci ha lasciato alcui paradossi celebri che lui utilizzava per dimostrare che i metodi della logica erao isufficieti per reder coto ache di fatti molto baali (e sosteere, i tal modo, le idee del filosofo, suo maestro, Parmeide). Il più celebre dei suoi paradossi é quello di Achille e la Tartaruga. Il piè veloce Achille, pur corredo ad ua velocità 0 volte superiore a quella della Tartaruga, o potrà mai raggiugerla ache se questa ha u solo stadio di vataggio su di lui. Ifatti, metre Achille percorre lo stadio di svataggio, la Tartaruga percorre /0 di stadio; metre Achille percorre il decimo di stadio che gli resta, la Tartaruga percorre /00 di stadio e così via, all ifiito: Achille o raggiugerà mai la Tartaruga. Fiumi di ichiostro soo stati cosumati su questo paradosso (e su altri aaloghi), per cercare di dimostrare dov era l igao el ragioameto. Oggi sappiamo risolvere il paradosso co l ausilio delle progressioi geometriche e co il passaggio al limite utilizzato per dimostrare la formula (7). Ifatti, se poiamo uguale a il tempo che Achille impiega a percorrere uo stadio, abbiamo che il tempo che impiega a raggiugere la Tartaruga é: 0 t.... (fiito) I realtà, ache la dimostrazioe della formula (7) ha delle difficoltà logiche ascoste e solo recetemete (egli ultimi decei) é stata trovata ua soluzioe più soddisfacete co la teoria dell aalisi o-stadard (vedi l articolo di William I. McLaughli i Scietific America, November 994: Resolvig Zeo s Paradoxes)

13 Esercizi Scrivere i primi sei termii di ua progressioe geometrica il cui primo termie è uguale a e la cui ragioe è uguale a /. Calcolare il vetesimo termie della progressioe geometrica dello esercizio. Ua progressioe geometrica è tale che a 7 = 8 e q = /. Calcolare a e a 5. Calcolare il umero dei termii di ua progressioe geometrica di ragioe, sapedo che a = 8 e a =. Per l esercizio precedete, calcolare S (somma dei primi termii della progressioe). Di ua progressioe geometrica si coosce a 5 = 6 e q = -/. Calcolare: a) a ; b) S ; c) S 5. Tra i umeri 4 e 5 iserire 5 umeri (compresi tra i due dati), i modo da otteere ua progressioe geometrica: a) crescete; b) decrescete. Di ua progressioe geometrica si sa che a = e a 9 = 96. Calcolare: a) la ragioe q; b) il primo termie a ; c) S 4. Calcolare x i modo che i umeri x +, x +, 4x - siao termii cosecutivi di ua progressioe geometrica. Scrivere ache i tre umeri i progressioe. Determiare la frazioe geeratrice di. 7 e di 7.. U capitale di 0 ML viee depositato i baca co u iteresse composto auo del 9%. Determiare l evoluzioe auale del capitale fio alla fie dei primi sette ai di deposito. Determiare dopo quati ai raddoppia u capitale C, depositato i baca co u iteresse composto auo del 9%. U capitale di 0 ML viee depositato i baca co u iteresse auo del 0%. Calcolare il capitale alla fie del secodo ao di deposito se

14 gli iteressi vegoo calcolati (e capitalizzati): a) aualmete; b) ogi mesi; c) mesilmete; d) ogi settimaa A partire dal990, Fracesca deposita i baca, il primo geaio di ciascu ao, 5 ML, co u iteresse composto auo del 9%. Calcolare la somma di cui disporrà Fracesca al dicembre dell ao 000. Determiare cique umeri i progressioe geometrica tali che la somma dei primi tre é uguale a 0 e la somma degli ultimi tre é uguale a 0. Ua pallia viee lasciata cadere da u altezza di u metro ed esegue ua serie di rimbalzi fio a / dell altezza precedete. Calcolare lo spazio complessivo percorso dalla pallia dopo cique rimbalzi. I primi due termii di ua progressioe geometrica soo e 8. Calcolare: a) la ragioe; b) il sesto termie; c) la somma dei primi sei termii; d) il prodotto dei primi sei termii. Si dispoe di ua scacchiera 88. Partedo dal primo quadratio i alto a siistra e proseguedo verso destra e poi verso il basso, si poe u chicco di grao el primo quadratio, due chicchi el secodo quadratio, otto el terzo e così via, fio al sessataquattresimo quadratio. Calcolare il umero dei chicchi di grao posti (!) sulla scacchiera.