Interesse composto con Mathcad

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1 Interesse composto con Mathcad Quando si depositano soldi su un conto in banca questi fruttano interessi: soldi che la banca paga per l'uso dei tuoi soldi in un periodo di tempo. Se si lasciano i soldi sul conto corrente per un intero periodo di interesse, l'interesse che si guadagna è pari al tasso di interesse moltiplicato per il deposito. Se si lasciano i soldi in banca per più periodi di interesse, l'interesse sarà composto: l'interesse verrà pagato sia sul deposito di partenza sia sull'interesse maturato precedentemente. Calcolare il Bilancio Se l'interesse viene aggiunto al deposito al termine di ogni periodo contabile, la somma totale nel conto è legato al tasso di interesse e al numero di volte che l'interesse viene composto. Per esempio, se una banca offre il 6% annuo composto trimestralmente la banca paga 1,5% ogni tre mesi. La tabella sotto mostra l'interesse maturato su un deposito di otate come l'interesse aumenta per ogni periodo contabile. I passi seguenti mostrano come vengono computati i bilanci. Il deposito iniziale è di 1000 ed è rappresentato dalla variabile bilancio. Il tasso di interesse è dato da, il tasso d'interesse annuo e il numero di periodi contabili è dato da periodo. Si possono cambiare le condizioni del conto modificando questi numeri. bilancio periodo 4 Dopo tre mesi: nuovo_bilancio bilancio.. periodo % bilancio nuovo_bilancio= 1015 Dopo altri tre mesi:

2 piùnuovo_bilancio nuovo_bilancio.. periodo % nuovo_bilanci piùnuovo_bilancio= e così via Ricorrenza Si può stabilire una formula di ricorrenza per spiegare cosa viene fatto ad ogni passaggio di cui sopra. Ricorrenza vuol dire che il valore successivo è basato sui valori precedenti. Se si usa un vettore, o una serie di numeri interrelati, possiamo stabilire il bilancio iniziale a 1000 e calcolare il resto dei numeri nel vettore fissato su questo valore iniziale. Bilanci successivi vengono calcolati moltiplicando il totale precedente per il tasso di interesse periodico ( ), aggiungendo questo al bilancio precedente. periodo Bilancio iniziale e tasso di interesse bilancio umero di periodi contabili in un anno periodo 4 umero totale di periodi: i Bilancio dopo i periodi: bilancio.. i periodo % bilancio i 1 bilancio i 1 Il bilancio alla fine di ogni periodo è dato da questo vettore: bilancio=

3 Va notato che il bilancio alla fine di un anno è diverso dal moltiplicare semplicemente i 1000 dollari iniziali per un interesse del 6%: bilancio 4 = %. bilancio 0 bilancio 0 = 1060 Questo è l'effetto dell'interesse composto. Prova a cambiare il tasso di interesse nell'esempio precedente e vedere qual è la differenza. Calcolare il bilancio mediante una Espressione a forma chiusa Si può usare una espressione a forma chiusa per il bilancio alla fine di i periodi ad un tasso percentuale periodico r. Va ricordato che: bilancio 1 bilancio. 0 1 r e bilancio 2 bilancio. 1 1 r bilancio. 0 1 r 2 Dopo 2 periodi l'esponenziale è un due, dopo tre periodi un tre e così via. L'espressione a forma chiusa è: Bilancio. i Bilancio 0 1 r i Il vettore bilancio potrebbe essere computato come r. periodo % r = Bilancio period r periodo bilancio 4 = Bilancio4 = E' possibile confrontare qualunque numero di periodi nella forma ricorrenza e nell'espressione a forma chiusa per convincersi che sono la stessa cosa. Qual è il vantaggio di una forma chiusa? Con l'espressione a forma chiusa si può computare il bilancio dopo qualunque numero di periodi di interesse senza dover computare tutti i bilanci precedenti. Da notare che si possono avere valori nel vettore fino al numero massimo computato (nel nostro caso, 7). Calcoliamo il bilancio dopo 50 periodi d'interesse trimestrali.

4 Bilancio50 = Esaminiamo questa situazione più attentamente. Si era cominciato con un tasso percentuale annuo di: = 6 da computarsi trimestralmente, e cioè, 4 che fruttava un interesse trimestrale di IT IT = 1.5 Abbiamo visto che il bilancio dopo un anno nel nostro deposito iniziale sarebbe stato: Bilancio4 = Cosa sarebbe il bilancio dopo un anno se l'interesse fosse computato 5 volte l'anno? 10 volte l'anno? ogni giorno? prova a modificare il valore di sopra e verifica! Forma generalizzata Sotto c'è una formula di ricorrenza che generalizza queste computazioni ad un numero arbitrario di periodi di interesse all'anno. La formula computa l'interesse percentuale per periodo, lo moltiplica per il bilancio corrente per trovare l'interesse per quel periodo, e poi aggiunge l'interesse al bilancio corrente per determinare il nuovo bilancio..06 umero di periodi di interesse l'anno: 4 umero di trimestri: i 1.. Bilancio iniziale: T

5 Bilancio dopo i periodi: T i T. i 1 T i 1 Il valore finale di T dopo periodi, alla fine dell'anno, è: T = Forma chiusa generalizzata Come sopra si può determinare l'equazione a forma chiusa per lo stesso interesse. Questa equazione è scritta come una funzione qui sotto: A A, A. 0 1 dove A 0 è l'importo iniziale, R è il tasso di interesse ed è il numero di periodi di interesse all'anno. A, R sarebbe il bilancio del conto dopo periodi. Usando i valori dell'esempio precedente possiamo computare A, R nell'equazione a forma chiusa generalizzata A, = Da notare che il valore dif A, R e il valore di T sopra espressi sono gli stessi, ma il modo in cui sono stati trovati è diverso. Adesso tornate indietro e cambiate il valore di. Cosa succede al valore di A, R? Tracciare il grafico A(,R) Man mano che si aumenta, i valori dif A, R vanno da 1060 a circa Dopo un pò, aumentando il numero di periodi di contabilizzazione, non altera l'importo di A, R. Esaminate il grafico sotto. Per un tasso fisso e una serie di valori, si ha come risultato il grafico seguente:

6 1062 A, Si vede che il grafico si appiattisce per valori alti di. Cosa significa questo? Man mano che aumenta, i periodi di contabilizzazione diventano più brevi, e quando si ha un numero infinito di periodi di contabilizzazione, non si matura un interesse significativo maggiore di, diciamo, 50 periodi. A quanto ammonta dunque quell'interesse? Qual è l'interesse massimo che si potrebbe guadagnare? Il Valore limite Diamo un'occhiata al moltiplicatore nella formula per A, R a diversi valori di = = = = 1.06 I valori si avvicinano ad un numero, ma quale? Questo numero si chiama valore limite. Interesse composto continuativo: la forma chiusa La forma limite dell'interesse viene definita interesse composto continuativo. Questo porta al valore limite di interesse che viene pagato. La formula che segue viene impiegata per l'interesse composto continuativo. C I A. 0 e I C =

7 Le formule A, e C I computano solo il bilancio dopo un anno. Se l'interesse viene contabilizzato volte l'anno, per un periodo di Y anni, la formula di ricorrenza o iterativa necessariamente dovrebbe iniziare da 1 e proseguire fino ad volte Y. Ciò potrebbe essere lento e richiedere molta memoria per un computer. Anche questa volta è facile trovare una forma chiusa. L'importo dopo un anno è. A 0 1 Usiamo questo importo come bilancio iniziale all'inizio del secondo anno, in modo che alla fine di due anni abbiamo: o. A 0 1. A e così via. La formula, allora, per il bilancio dopo Y anni è data da B,, Y A Y Qui, il totale nel conto è una funzione di, il numero di volte che l'interesse viene contabilizzato ogni anno;, il tasso percentuale annuale; e Y il numero di anni. Dopo 8 anni contabilizzando 12 volte all'anno al tasso percentuale annuo del 6% abbiamo: B 12, 0.06, 8 = ello stesso modo, se l'interesse viene contabilizzato continuamente, l'importo dopo un anno sarebbe: C IY, A. I 0 e. Y C, 1 = e dopo 8 anni: C 0.06, 8 = Riferimenti bibliografici John Goebel, Contemporary Precalculus, Janson Publications, Inc., Providence, RI (1988). John Goebel, Precalculus, un libro elettronico pubblicato da MathSoft, Inc.