3. Calcolo letterale

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1 Parte Prima. Algera 1) Moomi Espressioe algerica letterale 42 Isieme di umeri relativi, talui rappresetati da lettere, legati fra loro da segi di operazioi. Moomio Espressioe algerica che o cotiee le operazioi di addizioe e di sottrazioe. L espressioe 21a 2 2 è u moomio i cui 21 è detto coefficiete e il prodotto dei suoi fattori letterali a 2 2 è detta parte letterale. I moomi si suddividoo i: iteri se al deomiatore o compaioo lettere; frazioari se al deomiatore compaioo lettere. Due moomi si dicoo: simili se hao uguale la parte letterale; opposti se soo simili e hao per coefficiete due umeri opposti; uguali se soo simili e hao ache uguale coefficiete. Grado Grado complessivo Si defiisce grado complessivo di u moomio la somma degli espoeti delle lettere del moomio. Grado relativo a ua lettera Si defiisce grado relativo a ua lettera l espoete co cui tale lettera compare.

2 Operazioi co i moomi Somma algerica Prodotto Quoziete Poteza La somma (differeza) di due moomi simili è u moomio simile a essi, avete per coefficiete la somma (differeza) dei moomi dati. Il prodotto di due o più moomi è u moomio che ha per coefficiete il prodotto dei coefficieti e per parte letterale tutte le lettere che figurao ei moomi, ciascua scritta ua volta sola, co espoete uguale alla somma degli espoeti co i quali figura ei sigoli fattori. Il quoziete di due moomi, il primo divisiile per il secodo, è u moomio che ha per coefficiete il quoziete dei coefficieti e per parte letterale le lettere del dividedo, ciascua co espoete uguale alla differeza degli espoeti che essa ha el dividedo e el divisore. La poteza di u moomio è u moomio che ha per coefficiete la poteza del coefficiete e per parte letterale le stesse lettere della ase, ciascua co espoete uguale al prodotto del suo espoete per l espoete della poteza. Massimo comu divisore e miimo comue multiplo di moomi Massimo comu divisore (M.C.D.). Il massimo comu divisore di due o più moomi è u moomio il cui coefficiete corrispode al M.C.D. dei coefficieti e la cui parte letterale è data dalle lettere comui ai moomi dati, prese ciascua ua volta sola e co il miimo espoete. Miimo comue multiplo (m.c.m.). Il miimo comue multiplo di due o più moomi è u moomio il cui coefficiete corrispode al m.c.m. dei coefficieti e la cui parte letterale è data dalle lettere comui e o comui ai moomi dati, prese ciascua ua volta sola e co il massimo espoete. 43

3 Parte Prima. Algera 2) Poliomi Si defiisce poliomio la somma algerica di più moomi, i quali soo detti termii del poliomio. Grado Grado assoluto. Il grado assoluto di u poliomio corrispode al maggiore dei gradi dei moomi che lo compogoo. Grado relativo. Il grado relativo di u poliomio rispetto a ua lettera è il maggiore espoete che la lettera preseta el poliomio. U poliomio si dice: omogeeo se tutti i moomi che lo compogoo soo dello stesso grado; completo se figurao tutte le poteze di ua lettera fio al grado zero. 3) Prodotti otevoli Quadrato di u iomio ( a+ ) a + 2a+ 44 ( a ) a 2a+ Cuo di u iomio ( a+ ) a + 3a + 3a ( a ) a 3a + 3a Poteza -esima di u iomio ( a+ ) a a a a N v. capitolo 17 per i coefficieti iomiali 0 1,,,

4 Poteze di u iomio I coefficieti dello sviluppo di u iomio si susseguoo secodo il seguete prospetto, detto triagolo di Tartaglia: Ifatti: Quadrato di u triomio 1 a+ a + 2a+ 2 2 a + 3a+ 3a a + 4a+ 6a + 4a a + 5a+ 10a + 10a + 5a ( a + + c ) a + + c + 2a + 2ac + 2c Quadrato di u poliomio 2 2 ( a1+ a a 1+ a) a1 + a a 1 + a + 2aa aa a 1a Somma per la differeza di due termii ( a ) ( a+ ) a

5 Parte Prima. Algera 4) Scomposizioe di u poliomio i fattori U poliomio si dice riduciile se si può decomporre el prodotto di due o più poliomi e moomi di grado iferiori. Scomporre o fattorizzare u poliomio i fattori sigifica metterlo sotto forma di prodotto di due o più poliomi che soo irriduciili. 4.1 Scomposizioe mediate raccoglimeto a fattor comue totale o a fattore parziale Raccoglimeto a fattore comue totale. Cosiste el calcolare il M.C.D. dei termii e el metterlo i evideza davati a ua paretesi e si iserisce ella paretesi il risultato della divisioe di ciascu termie del poliomio per il M.C.D. Raccoglimeto a fattore parziale. Si ricorre a esso quado il M.C.D. dei termii è 1. Si raccoglie u fattore comue fra alcui dei termii preseti, quidi, si raccoglie u altro fattore comue ad altri termii. Se elle paretesi delle due scomposizioi effettuate si trova lo stesso poliomio, si può mettere i evideza questa stessa paretesi. 4.2 Scomposizioe mediate prodotti otevoli Triomio che sia quadrato di u iomio a + 2a+ ( a+ ) a 2a+ ( a ) Quadriomio che sia cuo di u iomio a + 3a + 3a + ( a+ ) a 3 3a 2 + 3a 2 3 ( a ) 3 46

6 Differeza di due quadrati 2 2 a ( a ) ( a+ ) Differeza di due cui ( ) a ( a ) a + a Somma di due cui ( ) a + ( a+ ) a a Differeza di poteze co uguale espoete ( ) N a ( a ) a + a + a a Somma di poteze co uguale espoete dispari ( ) N a + ( a+ ) a a + a... a Differeza di poteze co uguale espoete pari ( ) N a ( a+ ) a a + a... + a Triomio caratteristico di secodo grado x 2 + ( a+ ) x + a ( x + a) ( x + ) 4.3 Teorema del resto e teorema di Ruffii Divisioe di u poliomio per u moomio dispari pari Per dividere u poliomio per u moomio, o ullo, si divide ciascu termie del poliomio per il moomio e si addizioao algericamete i quozieti parziali otteuti. 47

7 Parte Prima. Algera Divisioe di due poliomi i ua variaile Dividedo multiplo del divisore Il poliomio P( x) è divisiile per il poliomio D ( x ), o ullo, se esiste u poliomio Q( x) tale che: P( x) D( x) Q( x) Q( x) è detto poliomio quoziete dei due poliomi dati e si scrive: 48 P( x) Q x D( x) ( ) Se il grado del dividedo P( x) è m e il grado del divisore D( x) è m, il quoziete Q( x) ha grado m. Dividedo o multiplo del divisore Se P( x) e D( x) soo due poliomi ella variaile x, e il grado di P( x) è o miore del grado di D( x) o ullo, allora si può determiare uo e u solo poliomio Q( x), detto quoziete, di grado uguale alla differeza dei gradi di P( x) e D( x), e uo e u solo poliomio R( x), detto resto, di grado iferiore a quello di D ( x ), i modo che si aia: P( x) D( x) Q( x)+ R( x) Teorema del resto Il resto R della divisioe di u poliomio P( x) per il iomio x a (co a R ) è dato dal valore che assume il poliomio quado al posto di x si sostituisce il umero a, ossia l opposto del termie oto del divisore: P( a) R P( x) ( x a) Q( x)+ R P( a) ( a a) Q( a)+ R

8 Teorema di Ruffii Codizioe ecessaria e sufficiete affiché u poliomio P( x) sia divisiile per il iomio x a (co a R ) è che il poliomio si aulli quado al posto di x si sostituisce il umero a: P( a) 0 Q( x ): P( x) ( x a) Q( x) a è detto zero o radice del poliomio. Regola di Ruffii 1 Quado si divide il poliomio P( x) a x + a x ax + a per il iomio D( x) x a, il quoziete Q( x), che è di grado 1, ha il primo coefficiete uguale al primo coefficiete a ( ) del dividedo. Ciascuo dei coefficieti successivi di Q( x) si ottiee moltiplicado per a il coefficiete che lo precede e sommado al prodotto il coefficiete di P( x) che occupa lo stesso posto. L ultimo umero calcolato i tal modo è il resto R della divisioe che può essere R 0 oppure R c (costate). Divisiilità di iomi otevoli del tipo a Dividedo Divisore Divisiilità Resto a a pari dispari sì R a a 0 a a + pari sì R ( a) a 0 dispari o R ( a) a 2a a + a + pari o R ( a) + a 2a dispari sì R ( a) + a 0 a + a pari dispari o R a + a 2a 49

9 Parte Prima. Algera Zeri di u poliomio Ogi radice itera di u poliomio del tipo 1 P( x) a x + a x ax + a è u divisore del termie oto e ogi radice razioale p q (co p e q primi tra loro) del poliomio ha per umeratore u divisore del termie oto e per deomiatore u divisore del coefficiete del termie di grado massimo. 5) M.C.D. e m.c.m. di due o più poliomi Massimo comu divisore (M.C.D.). Il massimo comu divisore di due o più poliomi, che siao stati scomposti i fattori, è u poliomio che si ottiee dal prodotto dei fattori comui, presi ua sola volta e co il miimo espoete. Miimo comue multiplo (m.c.m.). Il miimo comue multiplo di due o più poliomi, che siao stati scomposti i fattori, è u poliomio che si ottiee dal prodotto dei fattori comui e o comui, presi ua sola volta e co il massimo espoete. 6) Frazioi algeriche Defiizioe Dicesi frazioe algerica il quoziete di due poliomi (o moomi), il secodo dei quali o ullo. I due poliomi (o moomi), dei quali la frazioe algerica costituisce il quoziete, si chiamao termii della frazioe, più esattamete umeratore e deomiatore.