Calcolo combinatorio

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1 Calcolo combiatorio Il pricipio fodametale del calcolo combiatorio Il pricipio fodametale del calcolo combiatorio può essere euciato così: Se dobbiamo fare N scelte e la prima scelta può essere fatta i 1 modi, la secoda scelta i 2 modi e così via fio all N-esima scelta che può essere fatta i N modi, allora la successioe delle N scelte può essere fatta i N modi diversi. Facciamo u esempio: suppoiamo di voler orgaizzare ua vacaza e di poter scegliere la meta tra Parigi, Lodra e Moaco il mezzo di trasporto tra treo, aereo e auto il periodo tra vacaze di Natale e vacaze di Pasqua I quati modi diversi possiamo orgaizzare la ostra vacaza? Possiamo rappresetare la situazioe co u grafo ad albero : Ci accorgiamo che percorredo i vari rami dell albero abbiamo vacaze diverse: per esempio seguedo le frecce i figura abbiamo Parigi, i treo, a Natale. Quidi, poiché ogi percorso-vacaza termia ell ultimo livello, per sapere quate vacaze diverse possiamo orgaizzare basta cotare le termiazioi dell albero, che soo 18. E chiaro ache che il umero delle termiazioi si ottiee moltiplicado 3 (possibilità per la prima scelta) * 3 (possibilità per la secoda scelta)*2 (possibilità per la terza scelta) secodo il pricipio fodametale del calcolo combiatorio che abbiamo euciato. 201

2 Permutazioi Se abbiamo oggetti distiti e dobbiamo metterli i fila (quidi l ordie è importate) quate file (permutazioi) diverse possiamo fare? Cosideriamo per esempio la parola scuola: quati aagrammi si possoo fare? Gli oggetti i questo caso soo le sei lettere della parola s,c,u,o,l,a e soo tutte distite. Immagiiamo di riempire i successioe sei caselle (per formare l aagramma cioè la ostra fila ): per riempire la prima casella ho 6 possibili scelte (posso usare ua delle sei lettere), per riempire la secoda casella però ho solo 5 possibili scelte perché ua lettera l ho già usata e o posso ripeterla e così via fio al riempimeto dell ultima casella per la quale ho solo 1 scelta. Quidi per il pricipio fodametale del calcolo combiatorio avremo possibili file cioè permutazioi dei 6 oggetti distiti (le lettere s,c,u,o,l,a ). I geerale il umero delle permutazioi di elemeti distiti sarà dato dal prodotto che viee idicato co il simbolo e si legge fattoriale. ( 1) ( 2) 2 1! Il umero delle permutazioi di elemeti distiti viee i geere idicato co abbiamo: P = = ( ) ( )! P e quidi Osservazioi! cresce molto rapidamete: per esempio 5!=120, 6!=720, 7!=5040 ecc. Si ha ioltre che! = ( 1)! Per covezioe si poe 0!=1 202

3 Disposizioi semplici Cosideriamo adesso questo problema: quati diversi codici di 5 cifre distite si possoo formare co le 10 cifre 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9? E chiaro che ache i questo caso l ordie è importate: si tratta di scegliere come riempire 5 caselle potedo scegliere tra u isieme di 10 elemeti e quidi, ragioado come ell esempio precedete, avremo 10 possibilità di scelta per la cifra da mettere ella prima casella, 9 (perché le cifre devoo essere distite) possibilità di scelta per la secoda casella e così via I coclusioe possiamo comporre codici diversi co cifre distite I questo caso si parla di disposizioi di ordie 5 su 10 oggetti distiti e il loro umero si idica co il simbolo D 10, 5. Geeralizzado il umero delle disposizioi semplici cioè seza ripetizioi di elemeti scelti tra elemeti distiti è = ( ) ( ) ( ) D, + Note E chiaro che e che el caso i cui = si ritrova il umero delle permutazioi P. L ultimo fattore risulta + 1 = ( 1) perché quado si riempie l ultima casella (la - esima) abbiamo già scelto -1 elemeti e quidi abbiamo acora solo -(-1) possibilità. Osservazioe Possiamo esprimere il umero delle disposizioi moltiplichiamo e dividiamo per ( )! abbiamo : D, ache utilizzado i fattoriali: se D, = ( 1) ( + 1) ( )!! = ( )! ( )! 203

4 Disposizioi co ripetizioe Riprediamo l esempio precedete: quati soo i codici di 5 cifre ache ripetute che si possoo formare co le 10 cifre 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9? Se i questo caso posso ripetere le cifre per ogi casella da riempire avrò sempre 10 possibilità. Quidi avrò 10 = codici diversi. I geerale il umero delle disposizioi co ripetizioe (possoo ripetere gli elemeti) di rip ordie su oggetti distiti si idica co D, e risulta rip, D = NOTA 1 Metre se cosideriamo le disposizioi semplici (seza ripetizioe), el caso delle disposizioi co ripetizioe rip D, è chiaro che dovrà essere D, si può avere ache >. Per esempio se cosideriamo la schedia del totocalcio i cui ci soo 13 caselle (corrispodeti alle varie partite di campioato di ua data domeica) che si possoo riempire co i simboli 1,2,X (1=vittoria della squadra che gioca i casa; 2=vittoria della squadra che gioca fuori casa; X= rip 13 pareggio) le possibili schedie soo D = e i questo caso =13 e =3. 3,13 3 NOTA 2 Abbiamo sempre cosiderato che gli elemeti (di cui cosideriamo le permutazioi o le disposizioi) siao distiti (cioè diversi tra loro): ma se alcui degli elemeti coicidoo? Come facciamo per esempio se dobbiamo calcolare quati aagrammi si possoo formare co la parola classe i cui due lettere soo uguali? Possiamo cosiderare all iizio gli oggetti (le lettere) come se fossero tutti diversi (per esempio pesado di associare alle due s due colori diversi) e quidi avremo 6! permutazioi. Ma poiché i realtà due lettere coicidoo permutadole tra loro ho sempre lo stesso aagramma: per esempio classe e classe rappresetao lo stesso aagramma e così per ciascua altra coppia 6! tipo lcasse lcasse i coclusioe avrò solo permutazioi. 2! I geerale quidi se 1 elemeti coicidoo tra loro, 2 elemeti soo uguali tra loro ecc. dovremo dividere! per 1!, 2! ecc. 5! Per esempio gli aagrammi della parola mamma sarao. 2!3! 204

5 Combiazioi semplici Comiciamo co il seguete problema. "Nel gioco del poer ad ogi giocatore vegoo distribuite 5 carte da u mazzo di 32. I quati modi diversi può essere servito u giocatore?" Osserviamo subito che due gruppi di cique carte soo diversi solo se differiscoo per almeo ua carta metre o è importate i quale ordie soo arrivate le cique carte. I modi possibili i cui ciascu giocatore può essere servito è quidi iferiori al umero delle disposizioi semplici di 32 elemeti a gruppi di 5: più precisamete ogi mao corrispode a 5! disposizioi diverse. Quidi il umero dei gruppi di cique carte diverse sarà dato da: Geeralizzado viee data la seguete defiizioe: = Si chiama combiazioe semplice di ordie su elemeti distiti ( ) u gruppo (o mi iteressa l ordie) di elemeti scelti tra gli elemeti. Se idichiamo co C, il umero delle combiazioi di ordie su elemeti per quato osservato i precedeza si ha C, = D P, = ( 1) ( 2)...( + 1)! Il umero delle combiazioi C si idica ache co il simbolo, che si legge " su " ( 1) ( 2)...( + 1) =! Moltiplicado umeratore e deomiatore per (-)! si ottiee! =!( )! Occorre ioltre osservare che avedo posto 0!=1 segue che = =

6 Proprietà Prima proprietà = Ifatti abbiamo! = = ( )!( + )!! =!( )! Questa proprietà può essere facilmete spiegata osservado che ad ogi -sottoisieme i u isieme di elemeti corrispode u (-)-sottoisieme (sottoisieme complemetare). Secoda proprietà Per 1<<-1 vale 1 1 = + 1 Possiamo dimostrare questa proprietà algebricamete (utilizzado la formula per calcolare il coefficiete biomiale e sviluppado), oppure facedo u esempio. Suppoiamo di estrarre tre carte da u mazzo di 40 carte: i quati modi diversi posso farlo? 40 E chiaro che ci soo combiazioi. 3 Ma i quate di queste compare il settebello (sette di quadri)? Sarao le combiazioi di ordie 39 2 su 39 elemeti cioè dal mometo che mi rimagoo solo da scegliere due carte su 39 2 carte perché poi aggiugo il settebello. E i quate combiazioi il settebello o c è? Questa volta sarao le combiazioi di ordie 39 3 su 39 elemeti cioè poiché devo scegliere tre carte solo tra 39 carte (tolgo il settebello). 3 Ma il umero totale delle combiazioi iiziali sarà dato dalla somma del umero delle combiazioi dove c è il settebello co il umero delle combiazioi dove il settebello o c è e quidi dovrà essere =

7 Combiazioi e coefficieti della poteza di u biomio Il umero delle combiazioe Cosideriamo ifatti Poiché per defiizioe C, si ritrova ache sviluppado la poteza di u biomio. ( a+ b) co N e a, b R (a+b) =(a+b)(a+b) (a+b) volte i termii dello sviluppo soo tutti di grado e del tipo a - b (0<<) cioè otteuti prededo a i (-) tra gli fattori (a+b) e, di cosegueza, b fra i rimaeti. Pertato i termii di questo tipo soo tati quate soo le combiazioi di ordie su elemeti, cioè il coefficiete di a - b è. Quidi: ( a+ b) = = 0 a 1 a b 2 a b Per questo il umero di combiazioi C, = viee ache chiamato coefficiete biomiale I coefficieti dello sviluppo di ( a + b) ( a + b) ( a + b) ( a + b) si possoo scrivere i modo da formare u triagolo chiamato triagolo di Tartaglia : a b b = 0 a b

8 Osservado il triagolo di Tartaglia si possoo fare alcue cosiderazioi: 1. I primi e gli ultimi termii di ogi riga del triagolo di Tartaglia soo uguali a 1 e questo coicide co il fatto che = = I ogi riga i termii equidistati dagli estremi soo uguali, i accordo co la prima proprietà che abbiamo visto per le combiazioi. 3. Ogi termie itermedio di ua riga si ottiee, i accordo co la secoda proprietà che abbiamo visto per le combiazioi, sommado ella riga precedete il termie di ugual posto co quello che lo precede. 4. La somma dei termii di ogi riga del triagolo di Tartaglia è ua poteza di 2 e precisamete: 1 = = = = = =2 5 cioè i geerale = Nota Quidi il umero totale di tutti i sottoisiemi di u isieme di elemeti (sottoisiemi co 0,1,2,. elemeti) è uguale a

9 Scheda sul calcolo combiatorio I cavalieri della tavola rotoda I quati modi diversi possoo sedersi attoro alla tavola rotoda i 12 cavalieri? Idichiamo i cavalieri co i umeri da 1 a 12. E chiaro che se la tavola fosse diritta la risposta sarebbe 12! (umero delle permutazioi di 12 elemeti distiti) ma ci accorgiamo che le 12 permutazioi del tipo dao origie alla stessa permutazioe circolare. Quidi i modi diversi i cui i 12 cavalieri potrao sedersi attoro alla tavola rotoda sarao soltato 12! = 11! 12 I geerale quidi avremo che il umero delle permutazioi circolari di oggetti distiti sarà:! = ( 1)! 209

10 Problemi sul calcolo combiatorio 1. Co le cifre 1,2,3,4,5,6,7,8,9 quati umeri di tre cifre distite si possoo formare? [504] 2. Dei umeri dell esercizio precedete quati soo dispari? Quati soo pari? Quati termiao co la cifra 9? Quati soo maggiori di 700? [ 280; 224; 56; 168 ] 3. Quati aagrammi si possoo formare co la parola studete? [ ] 4. Co le cifre 1,2,3,5,8 quati umeri di tre cifre distite si possoo fare? Quati soo pari? Quati soo divisibili per 5? E se si possoo ripetere le cifre? [a. 60 ; 24 ;12 b. 125; 50 ; 25 ] 5. Cosideriamo sul piao 6 puti tali che a tre a tre o siao allieati. Quati triagoli si possoo disegare scegliedo come vertici i sei puti? [ 20 ] 6. Quate soo le diagoali di u poligoo covesso di lati? [ ( 3) 2 ] 7.Quati icotri sigolari si possoo orgaizzare co 6 giocatori di teis? [15] 8.Quati ambi si possoo formare co i 90 umeri del lotto? [4005] 9.Quate formazioi diverse si possoo formare co 11 giocatori facedo giocare tutti i giocatori i tutti i ruoli? [11!] 10.Quati soo gli aagrammi della parola scuola? 11.Quati soo gli aagrammi della parola babbo? E della parola mamma? [6!] [20; 10] 12.Dati 10 puti distiti del piao a tre a tre o allieati, quate rette si ottegoo cogiugedoli due a due? [45] 210

11 13.Giocado a poer i quati modi diversi si possoo avere i mao 4 assi? 14.I quati modi diversi si possoo pescare 4 carte da u mazzo di 40 carte? [28] [91390] 15.Quate partite si giocao i u campioato composto da 15 squadre? (cosidera che c è adata e ritoro). [210] 16.Il codice di ua cassaforte è composto da 5 lettere scelte tra le 26 lettere dell alfabeto aglosassoe. Se le lettere possoo essere ache ripetute, quati codici diversi si possoo impostare? [ ] 17.Le targhe automobilistiche soo costituite da due lettere seguite da tre cifre seguite a loro volta da due lettere. Se le lettere soo scelte tra le 26 lettere dell alfabeto aglosassoe, quate targhe diverse si possoo comporre? [ ] 18.L ultimo gioro di scuola i 20 studeti della IV B si salutao e oguo abbraccia tutti gli altri. Quati abbracci si soo scambiati? [190] 19.Per effettuare ua gita 9 amici hao a disposizioe ua Pada e ua Tipo : i quati modi possoo distribuirsi tra le due macchie suppoedo che 4 salgao ella Pada e 5 ella Tipo? [126] 20.Cosidera la situazioe del problema precedete: i quati modi possoo distribuirsi se i proprietari delle auto voglioo guidare (giustamete) oguo la propria auto? [35] 21.I ua scuola, che comprede u liceo classico e u liceo scietifico, la rappresetaza degli studeti al Cosiglio di Istituto è formata da 4 studeti del liceo scietifico e da 2 studeti del classico. Se elle liste soo preseti 10 studeti per lo scietifico e 4 per il classico, i quati modi diversi può essere formata la rappresetaza degli studeti? [1260] 22.I quati modi diversi si possoo pescare 4 carte di cuori da u mazzo di 40 carte? [210] 23.I quati modi diversi si possoo pescare 4 carte dello stesso seme da u mazzo di 40? [ 840] 211

12 24.Quate soo le schedie del totocalcio diverse co 12 risultati esatti? (i quati modi diversi si può fare 12 ) [26] 25. Co le cifre 1,2,4,6,8 quati umeri di tre cifre distite si possoo formare? Quati di questi soo pari? [60; 48 ] 26. Quati soo gli aagrammi della parola classe? 27. I quati modi diversi si possoo pescare tre carte da u mazzo di 40 carte? [360] [9880] amici per fare ua gita hao a disposizioe due auto e u motorio. Se su ogi auto salgoo quattro persoe e due persoe sul motorio, i quati modi diversi possoo sistemarsi? E se i proprietari delle auto e del motorio voglioo guidare il proprio mezzo? [3150; 140 ] 29. Quate soo le possibili schedie del totocalcio co 11 risultati esatti? [312] amici, dopo ua cea, si salutao ed oguo strige la mao a tutti gli altri. Quate soo le strette di mao? [66] 31. I ua classe di 22 studeti, di cui 12 femmie e 10 maschi, si deve formare u gruppo per ua ricerca costituito da tre maschi e tre femmie. I quati modi diversi si può formare il gruppo? [26400] 32. Cosidera la situazioe dell esercizio precedete: se tra i maschi ci soo due gemelli, quati soo i gruppi i cui i due gemelli o soo isieme? [24640] 33. Nell ippica è chiamata corsa tris ua corsa i cui gli scommettitori devoo idoviare i cavalli che arriverao al 1, 2,3 posto. Se partoo 10 cavalli, quali soo i possibili ordii di arrivo? [720] 34. I ua classe di 24 alui si devoo eleggere i due rappresetati di classe. I quati modi diversi si può fare questa scelta? 212 [276]