Elementi di Calcolo Combinatorio

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1 Elemeti di Calcolo Combiatorio Alessadro De Gregorio Sapieza Uiversità di Roma Idice 1 Premessa 1 2 Permutazioi 2 3 Disposizioi 3 4 Combiazioi 4 5 Il coefficiete multiomiale 7 6 Esercizi di riepilogo 8 1 Premessa Il calcolo combiatorio si occupa di determiare la cardialità degli isiemi fiiti ed è pertato utile per calcolare la probabilità di u eveto secodo l impostazioe classica. Iiziamo co il seguete risultato. Se abbiamo due isiemi I = {a 1, a 2,..., a } e J = {b 1, b 2,..., b m } composti da elemeti distiti il umero di modi di scegliere u elemeto di I e J è m. I altre parole la cardialità dell isieme prodotto I J = {(a i, b j, 1 i, 1 j m} è m. Ifatti per ogi a i I abbiamo m scelte possibili dell elemeto b j J come riportato ella seguete tabella (a 1, b 1 (a 1, b 2 (a 1, b m (a 2, b 1 (a 2, b 2 (a 2, b m (a, b 1 (a, b 2 (a, b m Questo risultato può essere geeralizzato prededo come riferimeto degli esperimeti. Lemma 1 (Regola fodametale del calcolo combiatorio. Cosideriamo r esperimeti. Suppoiamo che il primo esperimeto abbia 1 esiti possibili, che per oguo di questi esiti il secodo esperimeto abbia 2 esiti possibili, che per oguo degli esiti dei primi 1

2 A. De Gregorio 2 PERMUTAZIONI due esperimeti il terzo esperimeto abbia 3 esiti possibili e così via. Allora se sequeze distite di esiti degli r esperimeti producoo esiti fiali distiti, allora gli r esperimeti hao i totale 1 2 r esiti possibili. 2 Permutazioi Ua permutazioe di oggetti è uo dei possibili ordiameti (o cofigurazioi i cui si possoo presetare gli oggetti stessi. Se cosideriamo oggetti distiti, parliamo di permutazioi semplici o seza ripetizioe. Il umero complessivo di permutazioi semplici di oggetti è dato da P = ( =! (2.1 co P 0 = 0! = 1. Questo risultato si può giustificare seguedo il seguete approccio. Immagiiamo di dover disporre gli oggetti su posizioi. Il primo elemeto al primo posto può essere scelto i modi possibili, per la secoda posizioe avremo quidi 1 scelte, e così via. Pertato per la regola fodametale del calcolo combiatorio abbiamo che tutti i modi possibili di ordiare oggetti distiti soo ( Esempio. Le permutazioi dell isieme {a, b, c} soo P 3 = 3! = 6, ovvero {a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b, c, a}, {c, b, a}, {c, a, b} Esempio. Cosideriamo 18 persoe che si siedoo a caso i altrettate poltroe i fila. I quati modi si possoo sedere? Se le 18 persoe soo divise i 3 gruppi di 6 amici, qual è la probabilità che o ci siao ifiltrati tra i gruppi? La risposta alla prima domada è P 18 = 18!. Per quato riguarda la secoda domada P (o ifiltrati = # casi favorevoli # casi possibili = P 3P 6 P 6 P 6 = 3!(6!3. P 18 18! Se degli oggetti 1, 2,..., r ( r j=1 j =, soo uguali tra loro, allora si parla di permutazioi co ripetizioe. Tutte le permutazioi possibili i questo caso soo ˆP ( 1, 2,..., r =! 1! 2!... r!. (2.2 Cosideriamo per semplicità il caso i cui ci siao oggetti uguali (e diversi. Le permutazioi! di questi oggetti uguali tra di loro o dao luogo ad u ordiameto diverso. Pertato il umero di permutazioi possibili soo! = ( 1 ( + 1! 2

3 A. De Gregorio 3 DISPOSIZIONI Questo ragioameto può essere immediatamete geeralizzato e porta al risultato (2.2. Esempio. Quati soo tutti i possibili modi di aagrammare la parola PEPPER? Soo ˆP (3,2,1 6 = 6! 3!2! = 60. Esempio. Quati soo tutti i possibili modi di aagrammare la parola ZUZZURELLO- NE? La risposta è ˆP (3,2,2,2,1,1,1 12 = 12! 3!2!.2!2!. 3 Disposizioi Ua disposizioe di oggetti di classe è u raggruppameto ordiato di degli oggetti. Le disposizioi differiscoo per l ordie e la composizioe o per etrambi. Diremo che le disposizioi soo semplice o seza ripetizioe quado u elemeto può essere presete ua sola volta. Il umero di possibili disposizioi di elemeti di classe è dato da! D, =, 0. (3.1 (! I effetti abbiamo modi di ordiare il primo elemeto della sequeza, 1 modi per il secodo, ecc., ed + 1 modi ordiare il -esimo elemeto. Quidi per la regola fodametale del calcolo combiatorio abbiamo che tutti i possibili ordiameti soo Si osservi che P = D,. ( 1 ( + 1 =! (!. Esempio. Tutti i possibili sottoisiemi ordiati di classe 2 dell isieme {a, b, c}, soo Cioè soo i umero pari a D 3,2 = 6. {a, b}, {b, a}, {a, c}, {c, a}, {b, c}, {c, b}. Esempio. Tra i 25 membri di ua società bisoga scegliere il presidete ed il segretario, quate soo le scelte possibili? Soo D 25,2 = 25! 23! = 600. Le disposizioi co ripetizioe di elemeti di classe soo gli ordiameti di oggetti quado gli oggetti si possoo ripetere. Il umero di disposizioi co ripetizioe risulta essere ˆD, =, che può essere ricavato osservado che per ciascua delle posizioi ci soo modi possibili di scegliere u oggetto. 3

4 A. De Gregorio 4 COMBINAZIONI Esempio. Per l isieme {a, b, c}, si ha ˆD 3,2 = 9 ifatti {a, b}, {b, a}, {a, c}, {c, a}, {b, c}, {c, b}, {a, a}, {b, b}, {c, c} Esempio. Quate soo le possibili coloe del totocalcio? Soo ˆD 3,13 = Combiazioi Ua combiazioe di oggetti di classe è uo dei possibili raggruppameti o ordiati di elemeti presi tra gli oggetti. Pertato le combiazioi differiscoo tra loro solo per la composizioe e o per l ordie i cui si presetao gli oggetti. Se gli elemeti si possoo presetare solo ua volta, allora parliamo di combiazioi semplici o seza ripetizioe. Il umero di totale di combiazioi semplici di oggetti di classe è pari a C, = ( =!!(!, 0. Per giustificare questo risultato ricordiamo acora ua volta che l ordie o cota elle combiazioi. Quidi se scelgo oggetti, teedo coto dell ordie i cui soo scelti, da u isieme di elemeti, ho D, scelte possibili. Così facedo però ogi isieme formato da oggetti viee cotato! volte. Pertato devo dividere per! e quidi D, /P = C,. Esempio. Le disposizioi semplici di classe 2 di {a, b, c} soo {a, b}, {b, a}, {a, c}, {c, a}, {b, c}, {c, b} ma {a, b}, {b, a} soo u solo gruppo ai fii delle disposizioi. Pertato le combiazioi totali sarao ivece C 3,2 = 3 ovvero {a, b}, {a, c}, {b, c}. Esempio. Quati soo i sottoisiemi di {0, 1, 2, 3, 4} composti da tre elemeti? Soo C 5,3 = ( 5 3 = 10. Osserviamo che (le dimostrazioi soo lasciate al lettore: C,1 = D,1 C, = ( ( = C,0 = C, = C, C,1 = C, 1 ( ( + ( 1 = +1 (Idetità di Tartaglia Il teorema che segue rappreseta u risultato classico, utile ella descrizioe di alcui modelli probabilistici. 4

5 A. De Gregorio 4 COMBINAZIONI Teorema 1 (Biomio di Newto. Per a, b R, N, si ha (a + b = =0 ( a b. Dimostrazioe. Si procede per iduzioe. Per = 1 la relazioe è vera ifatti a + b = 1 =0 ( 1 a 1 b Allora l ipotesi diveta (a + b = =0 ( a b (4.1 e la tesi da dimostrare risulta essere +1 ( + 1 (a + b +1 = a +1 b. =0 Moltiplichiamo ambo i membri della (4.1 per (a + b ed otteiamo [ ( ] (a + b +1 = a b (a + b =0 ( ( ( ( = a +1 + a b a 2 b 1 + ab ( ( ( ( + a b + a 1 b ab + b ( [( ( ] [( ( ] ( = a a b ab + b = (sfruttado l idetità di Tartaglia ( ( ( = a +1 + a b ( ( = a +1 + a b ( + 1 = a +1 b =0 che coclude la dimostrazioe. ab + ab + b +1 ( b +1 Esempio. Quati soo tutti i possibili sottoisiemi di Ω = {1, 2,..., } (compreso l isieme vuoto e Ω? I altre parole qual è la cardialità dell isieme poteza P(Ω? 5

6 A. De Gregorio 4 COMBINAZIONI Ho ( 0 modi di scegliere sottoisiemi di Ω composti da 0 elemeti ossia l isieme vuoto, ( ( 1 modi di predere sottoisiemi di Ω composti da 1 elemeti, ecc, modi di predere sottoisiemi di Ω composti da 6 elemeti. Pertato i=0 ( = 2. i Esempio. Nel gioco del bridge (52 carte, 13 carte per 4 giocatori, qual è la probabilità che u giocatore abbia le stesse carte che aveva ella mao precedete? Tale probabilità è data da 1. ( Ifatti il umero di modi possibili di distribuire le carte al primo giocatore soo ( I casi favorevoli soo solo 1. Esempio. Ua commissioe è composta da 5 persoe ed è estratta casualmete da 6 uomii e 9 doe. Qual è la probabilità che la commissioe sia composta da 3 uomii e 2 doe? I questo caso abbiamo che ( 6 ( 9 3( 2 15, 5 dove ( 6 3( 9 2 rappreseta tutti i possibili modi di scegliere 3 uomii dal gruppo di 6 e 2 doe tra le 9 cosiderate. Se le combiazioi soo co ripetizioe, cioè gli oggetti si possoo ripetere, il umero di combiazioi co ripetizioe di oggetti di classe è pari a ( + 1 Ĉ, =. La dimostrazioe i questo caso o è baale e procediamo el modo seguete. Suppoiamo di avere ure e pallie idistiguibili, co. I quati modi si possoo distribuire le pallie elle ure? Rappresetiamo le ure co i bastocii che delimitao le ure e co gli asterischi le pallie. Ad esempio, = 3, = 5. Pertato i questo caso viee rappresetata ua sequeza co 2 copie del primo oggetto, 2 copie del secodo e 1 del terzo. Se si spostao i bastocii e gli asterischi attraverso i bastocii si cambia combiazioe. I bastocii soo + 1, ma il primo e l ultimo che soo fissi e o cambiao mai posizioe. Allora tutte le possibili combiazioi si ricavao prededo tutte le ( 1+! 6

7 A. De Gregorio 5 IL COEFFICIENTE MULTINOMIALE permutazioi dei bastocii e delle pallie e dividedole per il umero delle permutazioi dei bastocii ( 1! e delle pallie!. I defiitiva si ha ( ( 1 +! 1 + =.!( 1! Osservazioe. Le combiazioi co ripetizioe o vegoo utilizzate per determiare la probabilità di u eveto. Questo perchè i geere o soo equiprobabili. Ua delle poche eccezioi ote i letteratura è rappresetata dalla statistica di Bose- Eistei. Si cosiderao bosoi idetici che si trovao i equilibrio termico, i quali hao a disposizioe livelli eergetici. Tali bosoi si possoo distribuire tra i livelli i Ĉ, modi diversi e queste distribuzioi soo tutte equiprobabili. Quidi ogi distribuzioe ammette come probabilità Ĉ 1,. Esempio. Per l isieme {a, b, c} si ha e cioè Ĉ3,2 = 6. {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, a}, {b, b}, {c, c} Esempio. Ua fabbrica di cioccolatii produce scatole di 10 pezzi ciascua e produce 5 tipi diversi di cioccolatii. Quate scatole diverse può cofezioare? L ordie o cota e soo ( 14 Ĉ 5,10 =. 10 E utile riassumere i risultati precedetemete esposti ella seguete tabella. Ordie SI Ordie NO Ripetizioe NO D, C, Ripetizioe SI ˆD, Ĉ, 5 Il coefficiete multiomiale Suppoiamo di voler distribuire pallie distite i r scatole ciascua coteete rispettivamete 1, 2,..., r pallie (co r =. I quati modi è possibile farlo? Per rispodere a questa domada dobbiamo osservare che: abbiamo ( 1 modi di scegliere le 1 pallie per la prima scatola, per ogua di queste scelte ci soo ( 1 2 modi di scegliere le pallie per la secoda scatola, 7

8 A. De Gregorio 6 ESERCIZI DI RIEPILOGO per ciascua scelta effettuata per le prime due scatole abbiamo ( modi di scegliere le pallie per la terza scatola e così via. Per la regola fodametale del calcolo combiatorio abbiamo che il umero cercato è pari a ( ( ( ( r ! ( 1! ( 1 2! = 1!( 1! 2!( 1 2! 3!( 1 2 3! ( r 1! r!0!! = 1! 2! r! = ˆP ( 1, 2,..., r ˆP ( 1, 2,..., r viee detto coefficiete multiomiale poichè cosete di geeralizzare il biomio di Newto. Ifatti si può dimostrare che (x 1 + x x r = r 1, 2,..., r! 1! 2! r! x 1 1 x 2 r. 2 xr Esempio. Se abbiamo pallie distite e r ure qual è la probabilità che le ure cotegao rispettivamete 1, 2,..., r pallie ( r =? Il umero di casi favorevoli l abbiamo già calcolato ed è pari al coefficiete multiomiale. Per quato riguarda il umero di casi possibili abbiamo che per ogi pallia abbiamo r modi di scegliere l ura di apparteeza e quidi i casi possibili soo r. I defiitiva la probabilità cercata sarà detta distribuzioe multiomiale. 6 Esercizi di riepilogo! 1 1! 2! r! r, Esercizio. Nel gioco del bridge 52 carte vegoo distribuite tra quattro giocatori A, B, C, D. a Calcolare la probabilità che tutti i giocatori abbiao la stessa distribuzioe di carte della mao precedete. b Qual è la probabilità che A abbia 7 carte di picche? c Qual è la probabilità che u giocatore riceva 13 carte di picche? d Qual è la probabilità che ogi giocatore riceva u asso? Soluzioe. a I casi favorevoli soo 52! poichè le carte possoo succedersi secodo le permutazioi. Per i casi favorevoli bisoga affermare che le 13 carte che il sigolo giocatore ha i mao 8

9 A. De Gregorio 6 ESERCIZI DI RIEPILOGO devoo essere le stesse della precedete distribuzioi e o cota come gli arrivao. Pertato possoo essere prese i 13! modi diversi. Allora (13! 4. 52! Alterativamete potevamo utilizzare le combiazioi o teedo coto dell ordie. I casi possibili soo ( ( ( ( e l eveto favorevole si verifica ua sola volta. Pertato 1 ( 52 ( 39 ( 26 ( = (13!4. 52! b I casi possibili soo tutti i modi di scegliere le 13 carte di A ossia ( I casi favorevoli soo quelli che si ottegoo scegliedo 7 carte di picche tra 13 e le restati 6 tra tutte le altre. Quidi ( 13 c La probabilità i questo caso diveta ( 26 ( 13 ( ( ( ( ( ( 52 ( 39 ( 26 ( dato che ci soo ( modi di distribuire le carte i modo che u giocatore fissato riceva 13 carte di picche. d Abbiamo che 4! ( ( ( 24 ( ( ( 39 ( 26 ( Esercizio. Calcolare la probabilità che tra 7 persoe: a tutte siao ate i giori diversi della settimaa; b almeo due siao ate ello stesso gioro; c 2 siao ate di domeica e di martedi. Soluzioe. a Casi possibili: 7 7. Casi favorevoli: 7! e quidi b La probabilità cercata risulta essere: 7! ! 7 7, dove abbiamo sfruttato l uguagliaza P (A = 1 P (A c. 9

10 A. De Gregorio 6 ESERCIZI DI RIEPILOGO c Casi possibili: 7 7, Casi favorevoli: ( ( 2( e quidi ( 7 ( 5 ( Esercizio. Prediamo a caso 5 carte da u mazzo di 40. a Qual è la probabilità di avere tre assi e altre due carte diverse dall asso e tra di loro? b Qual è la probabilità di avere tre assi e altre due carte uguali tra di loro? Soluzioe. a Il umero di casi possibili è dato da ( I casi favorevoli soo ( 4 3, il umero di modi di predere 3 assi, ( 9 2 i possibili valori delle carte restati e 4 il umero di modi di scegliere il seme della carta. I defiitiva ( 4 ( ( b La risposta è ( 4 ( ( 40, 5 dove ( 4 2 rappreseta tutti i modi possibili di scegliere due semi. 10