Solidi e volumi Percorso: Il problema della misura

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1 Solidi e volumi Percorso: Il problema della misura Abilità Coosceze Nuclei Collegameti esteri Calcolare perimetri e aree Equivaleza el piao ed Spazio e figure Fisica di poligoi. equiscompoibilità tra Disego Calcolare valori approssimati poligoi. Teoremi di Storia dell arte di π Euclide e di Pitagora. (cfr. Numeri e algoritmi, Lugezza della circofe- Laboratorio di matemati- reza e area del cercio. ca, Misurare). Lugezza della circofe- Calcolare aree e volumi di reza e area del cercio. solidi (cfr. Misurare) Lugezze e aree dei poligoi. Esempi di gradezze icommesurabili. Lugezza della circofereza e area del cercio. Il umero π. Equivaleza ello spazio. Relazioi e fuzioi Aree e volumi dei solidi. Approssimazioe dell area sottesa da u grafico. Cotesto Volumi Questa attività viee proposta all iizio del quito ao e cosolida alcue coosceze e abilità già itrodotte relativamete alla misura di superfici e volumi di solidi otevoli come la piramide e la sfera. Si cofrotao diversi metodi visti egli ai precedeti, applicado il metodo di esaustioe di Arcimede già utilizzato per il calcolo dell area del cercio e di quella sottesa da u segmeto parabolico. Descrizioe dell attività Gli strumeti di cui avvalersi come supporto all attività didattica soo modelli fisici dei solidi, u software di geometria e u software di maipolazioe simbolica. Lo studete, per affrotare questa attività, deve avere ua coosceza adeguata dei metodi per il calcolo di aree e volumi e della ozioe di successioe. Prima fase Cosideriamo ua sfera di raggio uitario e la sezioiamo i due parti co u piao α passate per il suo cetro e cosideriamo ua delle due semisfere. Sezioiamo ora la semisfera co dei piai paralleli al piao α (Figura 1), e iscriviamo i essa dei cilidri di altezza costate.

2 Figura 1 Per esempio possiamo dividere il raggio i dieci parti uguali (vedi Figura, ella quale si rappreseta la sezioe mediaa della semisfera di raggio uitario). Figura Per calcolare il volume dei cilidri iscritti dobbiamo prelimiarmete determiare i raggi di base dei cilidri iscritti ella semisfera. Per risolvere questo problema ci aiutiamo co la costruzioe della sezioe mediaa dei cilidri iscritti ella sfera. Ogi cilidro è geerato dalla rotazioe di u rettagolo attoro all asse ON (Figura ). Cosideriamo ora u igradimeto del rettagolo OA 1 B 1 O 1 (Figura ; Figura ) ce, co la sua rotazioe attoro all asse ON, geera il primo cilidro. Figura Il raggio 1 r è uguale al segmeto OA 1 e per determiarlo appliciamo il teorema di Pitagora al triagolo rettagolo OA 1 B 1 ; si a quidi:

3 1 r 1 + = Per determiare il raggio di base r del secodo cilidro (Figura 4) si applica lo stesso procedimeto al triagolo OA B ; si ottiee e così via. = r Figura 4 Ciamiamo V la somma dei volumi dei cilidri. Otteiamo, dopo aver espresso il raggio i fuzioe degli altri termii e calcolato la somma dei volumi dei cilidri, la seguete relazioe: V = π 1 + π π Geeralizzado, supposto di dividere il raggio uitario i parti uguali, otteiamo V = π 1 + π π 1 e raccogliedo π 1 V = Per valutare quest ultima somma, si riordiao opportuamete i termii; otteiamo la seguete relazioe V π π = Per valutare il valore dell espressioe (idicata tra paretesi quadre): all aumetare di, possiamo iterpretarla geometricamete: il primo termie è uguale al volume di u cubo di spigolo 1/; - 1 il secodo termie è uguale al volume u parallelepipedo rettagolo ce a per base u quadrato di lato / e altezza 1/; - - il termie ( 1)-esimo è uguale al volume di u parallelepipedo di base u quadrato di lato ( 1)/ e altezza 1/;

4 1 - l ultimo termie è uguale al volume di u parallelepipedo ce a per base il quadrato uitario e per altezza 1/. Possiamo ora rappresetare graficamete questi parallelepipedi e sistemarli uo sopra l altro come idicato i Figura 5: otteiamo uo scaloide. Figura 5 Ua sezioe è data dal seguete disego (Figura 6). Figura 6 Al crescere di la figura precedete si avvicia alla seguete (Figura 7), cioè alla metà di u quadrato ce, ovviamete, a area 1 essedo il quadrato di lato uitario.

5 Figura 7 I modo aalogo, la figura tridimesioale detta scaloide, di cui la Figura 6 rappreseta ua sezioe, si avvicia a ua piramide co base u quadrato di lato 1 e altezza pari a 1. Figura 8 Poicé u cubo si può scomporre i tre piramidi tra loro equivaleti (Figura 8), il volume dello 1 scaloide si avvicia, al crescere di, a e quidi V, ce rappreseta u valore approssimato del volume della semisfera, tede a π V semisfera = π = π. 4 Quidi il volume della sfera di raggio uitario è Vsfera = π. Il metodo proposto è sostazialmete ua riformulazioe, per via algebrica, di quello di esaustioe usato da Arcimede. E cosa possiamo dire se la sfera o a raggio uitario? Si può pesare alla sfera di raggio r come l igradimeto tramite u omotetia rispetto al cetro della sfera uitaria e di rapporto r. Poicé il rapporto tra i volumi di figure ello spazio ce si corrispodoo tramite u omotetia di rapporto r è uguale a r, si ottiee ce il volume della sfera di raggio r è: 4 V = π r. Possibili sviluppi 1. Dal volume della sfera alla superficie della sfera.

6 Per misurare la superficie S della sfera sfruttiamo l'idea di trasformare la superficie S i u solido (citato da Giovai Prodi), dotadola di u piccolo spessore. Precisamete, si cosidera il guscio sferico formato dai puti ce ao distaza o superiore a dalla superficie sferica di raggio r. I questo ragioameto, i qualce modo si cosidera più semplice e ituitiva l idea di volume rispetto a quella di area e si procede i seso iverso rispetto a quello ce ormalmete si fa per altre figure solide. Figura 9 Idicado co W() il volume del guscio sferico (Figura 9), si a ce 4 4 W ( ) = π ( r + ) πr. Quest ultima espressioe può essere iterpretata come l icremeto del volume della sfera di raggio r quado il raggio diveta r+. Quidi, idicato co V() r il volume della sfera di raggio r, possiamo ace scrivere: W ( ) = V ( r+ ) V ( r) = V. Sviluppado i calcoli otteiamo il volume del guscio sferico: 1 W ( ) = 4π r + r +. Possiamo quidi iterpretare l ultima formula trovata come l espressioe del volume di u solido equivalete a u cilidro di altezza e superficie di base pari a 1 4π r r W ( ) Sbase = = = 4π r + r+. Dimiuedo lo spessore del guscio diveta sempre più piccolo. Di cosegueza la misura della W superficie S base, data dall espressioe ( ), si avvicia al valore della superficie sferica. Ragioado sulla formula trovata precedetemete, si osserva ce, al diveire di sempre più W ( ) piccolo, si avvicia a 4π r. Quidi la superficie della sfera è S = 4π r.. Revisioe del procedimeto per determiare il volume della sfera usado il pricipio di Cavalieri e la cosiddetta scodella di Galileo.. Il procedimeto di Arcimede per determiare la superficie della sfera. Si usa i questo caso il cilidro circoscritto alla sfera, co altezza uguale al diametro della sfera stessa (detto, co espressioe imprecisa, cilidro equilatero ).