Diottro sferico. Capitolo 2

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1 Capitolo 2 Diottro sferico Si idica co il termie diottro sferico ua calotta sferica che separa due mezzi co idice di rifrazioe diverso. La cogiugete il cetro di curvatura C della calotta co il vertice V viee chiamata asse pricipale del diottro. Sia P il puto-oggetto sull asse del diottro, ed gli idici di rifrazioe dei due mezzi separati dal diottro, Q il puto-immagie, P P u raggio icidete sulla superficie del diottro, P Q il corrispodete raggio rifratto, CP il raggio di curvatura del diottro, i ed r gli agoli di icideza e di rifrazioe, ϕ, ϕ e ω gli agoli compresi rispettivamete fra raggio icidete, raggio rifratto e raggio di curvatura del diottro co l asse ottico. P e Q vegoo chiamati puti coiugati e i piai passati per essi e perpedicolari all asse ottico (π e π ) vegoo chiamati piai coiugati (Fig. 2.1). Figura 2.1: Schema ottico del diottro sferico. 13

2 14 CAPITOLO 2. DIOTTO SFEICO Impostiamo la legge della rifrazioe di Sell: si i = si r Dalla figura, possiamo scrivere i = ϕ + ω e r = ω ϕ, e sostituedo si ha: si(ϕ + ω) = si(ω ϕ ) [siωcosϕ + siϕcosω] = [siωcosϕ siϕ cosω] Esprimiamo ora le fuzioi trigoometriche i termii di segmeti. Chiamiamo il raggio di curvatura del diottro. [ P H P H P P + P ] [ H HC P = H HQ P P P Q P H P Q ] HC Per agoli ϕ e ω piccoli, H V, HC HQ 1, P Q 1 e P H P P 1 Se ora chiamiamo p la distaza fra l oggetto e il vertice del diottro e q la distaza fra il vertice del diottro e l immagie, otteiamo: e ifie: [ P H + P ] H p [ ] p = [ P H = [ 1 1 q P ] H q ] p + q = (2.1) che è ota co il ome di formula di Gauss per il diottro sferico. È possibile otteere lo stesso risultato partedo da: si(ϕ + ω) = si(ω ϕ ) e applicado l espasioe i serie di McLauri di si e cos arrestate al primo ordie: siθ θ θ3 3! + θ5 5!... Da cui: cosθ 1 θ2 2! + θ4 4!...

3 2.1. DEFINIZIONE DEI FUOCHI 15 (ϕ + ω) = (ω ϕ ) ϕ + ω = ω ϕ E ifie: ϕ + ϕ = ( )ω P H P H + P H HQ = ( ) P H HC p + q = come otteuto prima. L approssimazioe applicata a questa trattazioe, chiamata ache parassiale, è ota come approssimazioe di Gauss. Essa cosiste o soltato el cosiderare raggi che formao u agolo piccolo co l asse ottico, ma che oltre a ciò icidoo i u area ristretta itoro al vertice della calotta sferica. Perciò dato u puto-oggetto che si trovi fuori dall asse ottico, ma o troppo distate da esso, la formula di Gauss per il diottro sferico può servire a calcolare la distaza del puto-immagie. I defiitiva possiamo ragioevolamete assumere che solamete i approssimazioe di Gauss il diottro sferico si comporti come u sistema stigmatico ed ortoscopico, cioè u sistema i cui tutti i raggi usceti da P vao ad icotrarsi i Q e i cui u oggetto che si trovi i u piao π abbia u immagie simile i u piao π. 2.1 Defiizioe dei fuochi ipartedo dalla (2.1) e assumedo che l immagie si formi all ifiito (q ), si ottiee: f = dove f = p = F V. Se ivece è l oggetto a trovarsi all ifiito (p ) avremo: f = dove f = q = V F. Le quatitá f e f vegoo chiamate fuochi del diottro (Fig. 2.2).

4 16 CAPITOLO 2. DIOTTO SFEICO Figura 2.2: I alto uo diottro sferico covergete. I raggi usceti dal fuoco F o dal fuoco F divetao u fascio parallelo all asse ottico. I basso u diottro sferico divergete. I raggi, i cui prolugameti soo diretti verso il fuoco F, divetao paralleli all asse ottico. Si deduce facilmete la relazioe fra i fuochi: da cui: f = = f f f = (2.2) cioè la distaza del fuoco dal vertice del diottro è tato maggiore quato maggiore è il valore dell idice di rifrazioe del mezzo. Le posizioi dei fuochi soo simmetriche solo el caso i cui i due mezzi abbiao lo stesso idice di rifrazioe, cosa che si verifica el

5 2.2. FOMAZIONE DELL IMMAGINE 17 caso i cui la superficie sferica del diottro abbia uo spessore molto sottile rispetto alla distaze i gioco. 2.2 Formazioe dell immagie Per costruire l immagie di u oggetto esteso possiamo sfruttare le proprietà appea viste del diottro. Assumiamo per semplicità che l oggetto si trovi i u piao ortogoale all asse ottico del diottro. Ioltre l oggetto abbia u estremità sull asse ottico (A) e l altra si trovi ella parte superiore, che per covezioe idichiamo positiva (B). La dimesioe dell oggetto sarà AB. Da B tracciamo u raggio parallelo all asse ottico, e lo prolughiamo el mezzo i modo che itersechi il fuoco F. Sempre da B tracciamo u secodo raggio, diretto verso il cetro di curvatura del diottro (C): questo raggio o subirà rifrazioe i quato la sua direzioe è ortogoale alla superficie del diottro el puto di attraversameto. L itersezioe fra i due raggi darà la posizioe del puto-immagie B. Metre per avere il puto-immagie A basterà tracciare da B la ormale all asse ottico (Fig. 2.3). Figura 2.3: Costruzioe dell immagie di ua sorgete estesa di dimesioe AB. Il puto-oggetto A si troverà a distaza p dal vertice V del diottro, metre il putoimmagie A sarà a distaza q. Cosideriamo ora i triagoli ABC e A B C. Come si vede soo simili, per cui se è il raggio di curvatura del diottro, possiamo scrivere: A B q = AB p + da cui, defiiamo la quatità igradimeto m come:

6 18 CAPITOLO 2. DIOTTO SFEICO m = A B AB = q p + (2.3) Dalla formula si può otare che ma mao che aumeta la distaza dell oggetto dal diottro, l immagie diveta più piccola e al limite tede a zero quado l oggetto è all ifiito. Ioltre l igradimeto vale 1 (Fig. 2.4) quado l oggetto è a distaza: p = q 2 Figura 2.4: Codizioe per avere igradimeto pari a 1, cioè AB = A B. ed è maggiore di 1 (Fig. 2.5) quado: p < q 2 metre è miore di 1 el caso opposto. Si oti ioltre che l immagie appare rovesciata. Proviamo adesso a cosiderare il caso del diottro sferico cocavo (Fig. 2.6). Come prima tracciamo da B verso il diottro u raggio parallelo all asse ottico del sistema. A causa della rifrazioe questo divergerà e dovremo quidi cosiderare il prolugameto all idietro del raggio rifratto verso il puto focale F. Poi tracciamo da B u raggio che itersechi il cetro ottico del diottro. I due raggi defiirao il puto immagie B. Come si ota, l immagie otteuta è virtuale, dalla stessa parte dell oggetto e dritta.

7 2.2. FOMAZIONE DELL IMMAGINE 19 Figura 2.5: L igradimeto aumeta quado la sorgete si avvicia al vertice V. Figura 2.6: Costruzioe dell immagie el caso di u diottro sferico divergete.

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