Diottro sferico. Capitolo 2
|
|
- Albino Perini
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Capitolo 2 Diottro sferico Si idica co il termie diottro sferico ua calotta sferica che separa due mezzi co idice di rifrazioe diverso. La cogiugete il cetro di curvatura C della calotta co il vertice V viee chiamata asse pricipale del diottro. Sia P il puto-oggetto sull asse del diottro, ed gli idici di rifrazioe dei due mezzi separati dal diottro, Q il puto-immagie, P P u raggio icidete sulla superficie del diottro, P Q il corrispodete raggio rifratto, CP il raggio di curvatura del diottro, i ed r gli agoli di icideza e di rifrazioe, ϕ, ϕ e ω gli agoli compresi rispettivamete fra raggio icidete, raggio rifratto e raggio di curvatura del diottro co l asse ottico. P e Q vegoo chiamati puti coiugati e i piai passati per essi e perpedicolari all asse ottico (π e π ) vegoo chiamati piai coiugati (Fig. 2.1). Figura 2.1: Schema ottico del diottro sferico. 13
2 14 CAPITOLO 2. DIOTTO SFEICO Impostiamo la legge della rifrazioe di Sell: si i = si r Dalla figura, possiamo scrivere i = ϕ + ω e r = ω ϕ, e sostituedo si ha: si(ϕ + ω) = si(ω ϕ ) [siωcosϕ + siϕcosω] = [siωcosϕ siϕ cosω] Esprimiamo ora le fuzioi trigoometriche i termii di segmeti. Chiamiamo il raggio di curvatura del diottro. [ P H P H P P + P ] [ H HC P = H HQ P P P Q P H P Q ] HC Per agoli ϕ e ω piccoli, H V, HC HQ 1, P Q 1 e P H P P 1 Se ora chiamiamo p la distaza fra l oggetto e il vertice del diottro e q la distaza fra il vertice del diottro e l immagie, otteiamo: e ifie: [ P H + P ] H p [ ] p = [ P H = [ 1 1 q P ] H q ] p + q = (2.1) che è ota co il ome di formula di Gauss per il diottro sferico. È possibile otteere lo stesso risultato partedo da: si(ϕ + ω) = si(ω ϕ ) e applicado l espasioe i serie di McLauri di si e cos arrestate al primo ordie: siθ θ θ3 3! + θ5 5!... Da cui: cosθ 1 θ2 2! + θ4 4!...
3 2.1. DEFINIZIONE DEI FUOCHI 15 (ϕ + ω) = (ω ϕ ) ϕ + ω = ω ϕ E ifie: ϕ + ϕ = ( )ω P H P H + P H HQ = ( ) P H HC p + q = come otteuto prima. L approssimazioe applicata a questa trattazioe, chiamata ache parassiale, è ota come approssimazioe di Gauss. Essa cosiste o soltato el cosiderare raggi che formao u agolo piccolo co l asse ottico, ma che oltre a ciò icidoo i u area ristretta itoro al vertice della calotta sferica. Perciò dato u puto-oggetto che si trovi fuori dall asse ottico, ma o troppo distate da esso, la formula di Gauss per il diottro sferico può servire a calcolare la distaza del puto-immagie. I defiitiva possiamo ragioevolamete assumere che solamete i approssimazioe di Gauss il diottro sferico si comporti come u sistema stigmatico ed ortoscopico, cioè u sistema i cui tutti i raggi usceti da P vao ad icotrarsi i Q e i cui u oggetto che si trovi i u piao π abbia u immagie simile i u piao π. 2.1 Defiizioe dei fuochi ipartedo dalla (2.1) e assumedo che l immagie si formi all ifiito (q ), si ottiee: f = dove f = p = F V. Se ivece è l oggetto a trovarsi all ifiito (p ) avremo: f = dove f = q = V F. Le quatitá f e f vegoo chiamate fuochi del diottro (Fig. 2.2).
4 16 CAPITOLO 2. DIOTTO SFEICO Figura 2.2: I alto uo diottro sferico covergete. I raggi usceti dal fuoco F o dal fuoco F divetao u fascio parallelo all asse ottico. I basso u diottro sferico divergete. I raggi, i cui prolugameti soo diretti verso il fuoco F, divetao paralleli all asse ottico. Si deduce facilmete la relazioe fra i fuochi: da cui: f = = f f f = (2.2) cioè la distaza del fuoco dal vertice del diottro è tato maggiore quato maggiore è il valore dell idice di rifrazioe del mezzo. Le posizioi dei fuochi soo simmetriche solo el caso i cui i due mezzi abbiao lo stesso idice di rifrazioe, cosa che si verifica el
5 2.2. FOMAZIONE DELL IMMAGINE 17 caso i cui la superficie sferica del diottro abbia uo spessore molto sottile rispetto alla distaze i gioco. 2.2 Formazioe dell immagie Per costruire l immagie di u oggetto esteso possiamo sfruttare le proprietà appea viste del diottro. Assumiamo per semplicità che l oggetto si trovi i u piao ortogoale all asse ottico del diottro. Ioltre l oggetto abbia u estremità sull asse ottico (A) e l altra si trovi ella parte superiore, che per covezioe idichiamo positiva (B). La dimesioe dell oggetto sarà AB. Da B tracciamo u raggio parallelo all asse ottico, e lo prolughiamo el mezzo i modo che itersechi il fuoco F. Sempre da B tracciamo u secodo raggio, diretto verso il cetro di curvatura del diottro (C): questo raggio o subirà rifrazioe i quato la sua direzioe è ortogoale alla superficie del diottro el puto di attraversameto. L itersezioe fra i due raggi darà la posizioe del puto-immagie B. Metre per avere il puto-immagie A basterà tracciare da B la ormale all asse ottico (Fig. 2.3). Figura 2.3: Costruzioe dell immagie di ua sorgete estesa di dimesioe AB. Il puto-oggetto A si troverà a distaza p dal vertice V del diottro, metre il putoimmagie A sarà a distaza q. Cosideriamo ora i triagoli ABC e A B C. Come si vede soo simili, per cui se è il raggio di curvatura del diottro, possiamo scrivere: A B q = AB p + da cui, defiiamo la quatità igradimeto m come:
6 18 CAPITOLO 2. DIOTTO SFEICO m = A B AB = q p + (2.3) Dalla formula si può otare che ma mao che aumeta la distaza dell oggetto dal diottro, l immagie diveta più piccola e al limite tede a zero quado l oggetto è all ifiito. Ioltre l igradimeto vale 1 (Fig. 2.4) quado l oggetto è a distaza: p = q 2 Figura 2.4: Codizioe per avere igradimeto pari a 1, cioè AB = A B. ed è maggiore di 1 (Fig. 2.5) quado: p < q 2 metre è miore di 1 el caso opposto. Si oti ioltre che l immagie appare rovesciata. Proviamo adesso a cosiderare il caso del diottro sferico cocavo (Fig. 2.6). Come prima tracciamo da B verso il diottro u raggio parallelo all asse ottico del sistema. A causa della rifrazioe questo divergerà e dovremo quidi cosiderare il prolugameto all idietro del raggio rifratto verso il puto focale F. Poi tracciamo da B u raggio che itersechi il cetro ottico del diottro. I due raggi defiirao il puto immagie B. Come si ota, l immagie otteuta è virtuale, dalla stessa parte dell oggetto e dritta.
7 2.2. FOMAZIONE DELL IMMAGINE 19 Figura 2.5: L igradimeto aumeta quado la sorgete si avvicia al vertice V. Figura 2.6: Costruzioe dell immagie el caso di u diottro sferico divergete.
8 20 CAPITOLO 2. DIOTTO SFEICO
c n OTTICA GEOMETRICA RIFLESSIONE E RIFRAZIONE INDICE DI RIFRAZIONE
OTTICA GEOMETRICA U oda e.m. si propaga rettilieamete i u mezzo omogeeo ed isotropo co velocità c v = > si chiama idice di rifrazioe e dipede sia dal mezzo sia dalla lughezza d oda della radiazioe RIFLESSIONE
DettagliSERIE DI POTENZE Esercizi risolti. Esercizio 1 Determinare il raggio di convergenza e l insieme di convergenza della serie di potenze. x n.
SERIE DI POTENZE Esercizi risolti Esercizio x 2 + 2)2. Esercizio 2 + x 3 + 2 3. Esercizio 3 dove a è u umero reale positivo. Esercizio 4 x a, 2x ) 3 +. Esercizio 5 x! = x + x 2 + x 6 + x 24 + x 20 +....
Dettagli3.1 Rappresentazione dello stato tensionale nel piano di Mohr: circoli di Mohr.
DIDATTICA DI PROGETTAZIONE DELLE COSTRUZIONI PROF. CARMELO MAJORANA MODULO TRE I CONCETTI FONDAMENTALI NELL ANALISI DELLA TENSIONE PARTE B) MODULO PER LO SPECIALIZZANDO Modulo. Rappresetazioe dello stato
DettagliESERCIZI SULLE SERIE
ESERCIZI SULLE SERIE. Dimostrare che la serie seguete è covergete: =0 + + A questa serie applichiamo il criterio del cofroto. Dovedo quidi dimostrare che la serie è covergete si tratterà di maggiorare
DettagliCerchi di Mohr - approfondimenti
Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Stato di tesioe e di deformazioe Cerchi di Mohr - approfodimeti L algebra dei cerchi di Mohr Proprietà di estremo dei cerchi di Mohr Costruzioe
DettagliModelli per l ottica
Modelli per l ottica Ottica quatitica e i tracurao gli effetti quatitici Elettrodiamica di Maxwell e i tracurao le emiioi di radiazioe Ottica odulatoria per piccole lughezze d oda può eere otituita da
DettagliPrecorso di Matematica, aa , (IV)
Precorso di Matematica, aa 01-01, (IV) Poteze, Espoeziali e Logaritmi 1. Nel campo R dei umeri reali, il umero 1 e caratterizzato dalla proprieta che 1a = a, per ogi a R; per ogi umero a 0, l equazioe
DettagliGeometria analitica: rette e piani
Geometria aalitica: rette e piai Coordiate polari Cambiameti di riferimeto el piao Cambiameti di riferimeto i geerale Isometrie Simmetrie Isometrie el piao Isometrie ello spazio 2 2006 Politecico di Torio
Dettagli(1 2 3) (1 2) Lezione 10. I gruppi diedrali.
Lezioe 0 Prerequisiti: Simmetrie di poligoi regolari. Gruppi di permutazioi. Cetro di u gruppo. Cetralizzate di u elemeto di u gruppo. Riferimeto al testo: [PC] Sezioe 5.4 I gruppi diedrali. Ogi simmetria
DettagliIstituzioni di Matematiche (CH-CI-MT) V o foglio di esercizi
Istituzioi di Matematiche (CH-CI-MT) V o foglio di esercizi ESERCIZIO. Si determiio le soluzioi dell equazioe x x + 5 = 0. Idicata co z 0 la soluzioe co parte immagiaria positiva, si disegi el piao di
DettagliRISOLUZIONE MODERNA DI PROBLEMI ANTICHI
RISOLUZIONE MODERNA DI PROBLEMI ANTICHI L itelletto, duque, che o è la verità, o comprede mai la verità i modo così preciso da o poterla compredere (poi acora) più precisamete, all ifiito, perché sta alla
DettagliProposizione 1. Due sfere di R m hanno intersezione non vuota se e solo se la somma dei loro raggi e maggiore della distanza fra i loro centri.
Laboratorio di Matematica, A.A. 009-010; I modulo; Lezioi II e III - schema. Limiti e isiemi aperti; SB, Cap. 1 Successioi di vettori; SB, Par. 1.1, pp. 3-6 Itori sferici aperti. Nell aalisi i ua variabile
DettagliOttica geometrica. R. Zei Fisica Applicata alla Biomedicina Slide 1
Ottica geometrica R. Zei Fisica Applicata alla Biomedicia Slide Itroduzioe L ottica geometrica tratta i feomei che possoo essere descritti tramite la propagazioe i liea retta, la riflessioe e la rifrazioe
DettagliAlgoritmi e Strutture Dati (Elementi)
Algoritmi e Strutture Dati (Elemeti Esercizi sulle ricorreze Proff. Paola Boizzoi / Giacarlo Mauri / Claudio Zadro Ao Accademico 00/003 Apputi scritti da Alberto Leporati e Rosalba Zizza Esercizio 1 Posti
Dettagli1. a n = n 1 a 1 = 0, a 2 = 1, a 3 = 2, a 4 = 3,... Questa successione cresce sempre piú al crescere di n e vedremo che {a n } diverge.
Le successioi A parole ua successioe é u isieme ifiito di umeri disposti i u particolare ordie. Piú rigorosamete, ua successioe é ua legge che associa ad ogi umero aturale u altro umero (ache o aturale):
DettagliORDINAMENTO 2010 SESSIONE STRAORDINARIA - QUESITI QUESITO 1
www.matefilia.it ORDINAMENTO 1 SESSIONE STRAORDINARIA - QUESITI QUESITO 1 Due osservatori si trovao ai lati opposti di u grattacielo, a livello del suolo. La cima dell edificio dista 16 metri dal primo
Dettagli2T(n/2) + n se n > 1 T(n) = 1 se n = 1
3 Ricorreze Nel caso di algoritmi ricorsivi (ad esempio, merge sort, ricerca biaria, ricerca del massimo e/o del miimo), il tempo di esecuzioe può essere descritto da ua fuzioe ricorsiva, ovvero da u equazioe
DettagliCosa vogliamo imparare?
Cosa vogliamo imparare? risolvere i modo approssimato equazioi del tipo f()=0 che o solo risolubili i maiera esatta ed elemetare tramite formule risolutive. Esempio: log( ) 1= 0 Iterpretazioe grafica Come
DettagliVelocità della Luce e sua variazione. Nel passaggio dal vuoto ( cm/sec) ad un altro mezzo la velocità della luce diminuisce.
RIFRATTOMETRIA Defiizioe La rifrattometria è ua tecica strumetale che si basa sulla determiazioe di u parametro, l idice di rifrazioe, associato al feomeo della rifrazioe, cioè alla variazioe subita dalla
DettagliFUNZIONI RADICE. = x dom f Im f grafici. Corso Propedeutico di Matematica. Politecnico di Torino CeTeM. 7 Funzioni Radice RICHIAMI DI TEORIA
Politecico di Torio 7 Fuzioi Radice FUNZIONI RADICE RICHIAMI DI TEORIA f ( x) = x dom f Im f grafici. = = =7 =9. dispari R R -. - -. - - -. Grafici di fuzioi radici co pari pari [,+ ) [,+ ).. = = =6 =8
DettagliSolidi e volumi Percorso: Il problema della misura
Solidi e volumi Percorso: Il problema della misura Abilità Coosceze Nuclei Collegameti esteri Calcolare perimetri e aree Equivaleza el piao ed Spazio e figure Fisica di poligoi. equiscompoibilità tra Disego
Dettagli14. TENSIONI. Le tensioni sono lo strumento della meccanica dei continui per rappresentare lo stato di sforzo in un punto. n,n, n ).
14. Le tesioi soo lo strumeto della meccaica dei cotiui per rappresetare lo stato di sforo i u puto. Defiiioe della tesioe secodo Cauch. f A V f Cosideriamo u geerico puto. uppoiamo di seioare idealmete
DettagliRadici, potenze, logaritmi in campo complesso.
SOMMARIO NUMERI COMPLESSI... Formula di Eulero... Coiugato di u umero complesso... 3 Poteza -esima di u umero complesso z (formula di De Moivre... 3 Radice -esima di z... 3 Osservazioi... Logaritmo di
Dettagli1. LEGGE DI SNELL. β<α FIBRE OTTICHE. se n 2 >n 1. sin. quindi 1 se n 1 >n 2 β>α. Pag. - 1 -
ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE STATALE G. Marcoi PONTEDERA Prof. Pierluigi D Amico - Apputi su FIBRE OTTICHE - Classi QUARTE LICEO TECNICO A.S. 005/006 - Pagia. 1 di 5 1. LEGGE DI SNELL FIBRE OTTICHE si
DettagliPrecorso di Matematica. Parte IV : Funzioni e luoghi geometrici
Facoltà di Igegeria Precorso di Matematica 1. Equazioi e disequazioi Parte IV : Fuzioi e luoghi geometrici Richiamiamo brevemete la ozioe di fuzioe, che sarà utilizzato i quest ultima parte del precorso.
DettagliIntroduzione all Analisi di Fourier. Prof. Luigi Landini Ing. Nicola Vanello. (presentazione a cura di N. Vanello)
Itroduzioe all Aalisi di Prof. Luigi Ladii Ig. Nicola Vaello (presetazioe a cura di N. Vaello) ANALII DI FOURIER egali tempo cotiui: egali periodici egali aperiodici viluppo i serie di Itroduzioe alla
Dettagli1.6 Serie di potenze - Esercizi risolti
6 Serie di poteze - Esercizi risolti Esercizio 6 Determiare il raggio di covergeza e l isieme di covergeza della serie Soluzioe calcolado x ( + ) () Per la determiazioe del raggio di covergeza utilizziamo
DettagliMatematica I, Limiti di successioni (II).
Matematica I, 05102012 Limiti di successioi II) 1 Le successioi elemetari, cioe α, = 0, 1, 2, α R), b, = 0, 1, 2, b R), log b, = 1, 2, b > 0, b 1), si, = 0, 1, 2,, cos, = 0, 1, 2,, per + hao il seguete
Dettagli( 4) ( ) ( ) ( ) ( ) LE DERIVATE ( ) ( ) (3) D ( x ) = 1 derivata di un monomio con a 0 1. GENERALITÀ
LE DERIVATE. GENERALITÀ Defiizioe A) Ituitiva. La derivata, a livello ituitivo, è u operatore tale che: a) ad ua fuzioe f associa u altra fuzioe; b) obbedisce alle segueti regole di derivazioe: () D a
DettagliInsiemi numerici. Sono noti l insieme dei numeri naturali: N = {1, 2, 3, }, l insieme dei numeri interi relativi:
Isiemi umerici Soo oti l isieme dei umeri aturali: N {1,, 3,, l isieme dei umeri iteri relativi: Z {0, ±1, ±, ±3, N {0 ( N e, l isieme dei umeri razioali: Q {p/q : p Z, q N. Si ottiee questo ultimo isieme,
DettagliProblema di Natale 1 Corso di Geometria per la Laurea in Fisica Andrea Sambusetti 19 Dicembre 2008
Problema di Natale 1 Corso di Geometria per la Laurea i Fisica Adrea Sambusetti 19 Dicembre 28 La particella Mxyzptlk. 2 La particella Mxyzptlk vive i u uiverso euclideo -dimesioale. È costituita da u
DettagliSoluzioni. 2 2n+1 3 2n. n=1. 3 2n 9. n=1. Il numero 2 può essere raccolto fuori dal segno di sommatoria: = 2. n=1 = = 8 5.
60 Roberto Tauraso - Aalisi Calcolare la somma della serie Soluzioi + 3 R La serie può essere riscritta el modo seguete: + 4 3 9 Il umero può essere raccolto fuori dal sego di sommatoria: + 4 3 9 Si tratta
DettagliLaboratorio classi quarte Esperienza 1 LSS J.F. Kennedy. Vogliamo studiare come si comporta la luce entrando e uscendo da una mezzaluna di plexiglas.
RIFRAZIONE E DISPERSIONE 1 Esercizio 1 Vogliamo studiare come si comporta la luce etrado e uscedo da ua mezzalua di plexiglas. u La mezzalua deve essere posta sul foglio di carta millimetrata: il lato
DettagliAnalisi Matematica I
Uiversità di Pisa - orso di Laurea i Igegeria Edile-rchitettura alisi Matematica I Pisa, febbraio Domada La derivata della fuzioe f) log ) si è ) log )si B) log )cos ) log ) si cos loglog ) + si ) log
DettagliSERIE NUMERICHE Esercizi risolti. (log α) n, α > 0 c)
SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. Calcolare la somma delle segueti serie telescopiche: a) b). Verificare utilizzado la codizioe ecessaria per la covergeza) che le segueti serie o covergoo: a) c) ) log
Dettagli( ) ( ) ( )( ) PROBLEMA Fissiamo un sistema di riferimento in cui A ( 0;0) C x y : siano α l angolo , ( ; ) l angolo ˆ
Soluzioe a cura di: lessadra iglio, Liceo lassico Vittorio lfieri, Torio Giuliaa ru, Liceo Scietifico Isaac Newto, hivasso (TO) laudia hau, IRRE Val d osta toella uppari, Liceo Scietifico Galileo Ferraris,
Dettagli1 + 1 ) n ] n. < e nα 1 n
Esercizi preparati e i parte svolti martedì 0.. Calcolare al variare di α > 0 Soluzioe: + ) α Per α il ite è e; se α osserviamo che da + /) < e segue che α + ) α [ + ) ] α < e α Per α > le successioi e
DettagliCaratteristiche I-V Qualitativamente, la caratteristica di uscita di un MOSFET è la seguente:
l sistema MOFE l MOFE è u FE che utilizza come caale la regioe di iversioe che si crea i ua struttura MO opportuamete polarizzata. l cotatto di gate del trasistor coicide co il Metallo della struttura
DettagliRIFRAZIONE: FORMAZIONE DELLE IMMAGINI ATTRAVERSO DIOTTRI SFERICI
RIFRAZIONE: FORMAZIONE DELLE IMMAGINI ATTRAVERSO DIOTTRI SFERICI U diottro è u sistema ottico costituito da due mezzi omogeei, trasareti (alla λ cosiderata) e co diverso idice di rirazioe; se la suericie
DettagliC2. Congruenza. C2.1 Figure congruenti. C2.2 Relazione di equivalenza. C2.3 Esempi di relazioni di equivalenza
2. ogrueza 2.1 igure cogrueti ue figure geometriche soo cogrueti se soo sovrappoibili perfettamete. Il simbolo di cogrueza è. cco alcui esempi di figure cogrueti: ue quadrati co i lati della stessa lughezza
DettagliAlcuni concetti di statistica: medie, varianze, covarianze e regressioni
A Alcui cocetti di statistica: medie, variaze, covariaze e regressioi Esistoo svariati modi per presetare gradi quatità di dati. Ua possibilità è presetare la cosiddetta distribuzioe, raggruppare cioè
DettagliLezioni di Matematica 1 - I modulo
Lezioi di Matematica 1 - I modulo Luciao Battaia 4 dicembre 2008 L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 1 / 28 -2 Sottosuccessioi Grafici Ricorreza Proprietà defiitive Limiti
DettagliConsideriamo un insieme di n oggetti di natura qualsiasi. Indicheremo questi oggetti con
Calcolo Combiatorio Adolfo Scimoe pag 1 Calcolo combiatorio Cosideriamo u isieme di oggetti di atura qualsiasi. Idicheremo questi oggetti co a1 a2... a. Co questi oggetti si voglioo formare dei gruppi
DettagliCampionamento casuale da popolazione finita (caso senza reinserimento )
Campioameto casuale da popolazioe fiita (caso seza reiserimeto ) Suppoiamo di avere ua popolazioe di idividui e di estrarre u campioe di uità (co < ) Suppoiamo di studiare il carattere X che assume i valori
Dettagli1. Serie numeriche. Esercizio 1. Studiare il carattere delle seguenti serie: n2 n 3 n ; n n. n n. n n (n!) 2 ; (2n)! ;
. Serie umeriche Esercizio. Studiare il carattere delle segueti serie: ;! ;! ;!. Soluzioe.. Serie a termii positivi; cofrotiamola co la serie +, che è covergete: + + + 0. Pertato, per il criterio del cofroto
Dettagli- 1 - L ottica geometrica studia il comportamento dei raggi luminosi. Le leggi che governano il comportamento dei raggi sono 5:
- 1-1 CAPITOLO I I questo capitolo cerchiamo di riassumere molto brevemete i pricipali cocetti di ottica geometrica che sarao ecessari el prosieguo di questa dispesa. 1.1 Leggi dell ottica geometrica L
DettagliSUCCESSIONI DI FUNZIONI
SUCCESSIONI DI FUNZIONI LUCIA GASTALDI 1. Defiizioi ed esempi Sia I u itervallo coteuto i R, per ogi N si cosideri ua fuzioe f : I R. Il simbolo f } =1 idica ua successioe di fuzioi, cioè l applicazioe
DettagliIPSAA U. Patrizi Città di Castello (PG) Classe 5A Tecnico Agrario. Lezione di martedì 10 novembre 2015 (4 e 5 ora) Disciplina: MATEMATICA
IPSAA U. Patrizi Città di Castello (PG) Classe A Tecico Agrario Lezioe di martedì 0 ovembre 0 (4 e ora) Disciplia: MATEMATICA La derivata della fuzioe composta Fuzioe composta Df(g())f (g())g () Questa
Dettagli= Pertanto. Per la formula di Navier ( σ = ), gli sforzi normali σ più elevati nella sezione varranno: di compressione);
La sezioe di trave di figura è soggetta ad u mometo flettete pari a 000 knmm e ed u azioe di taglio pari a 5 kn, etrambe ageti su u piao verticale passate per l asse s-s. Calcolare gli sforzi σ e τ massimi
DettagliSviluppi di Taylor. Andrea Corli 1 settembre Notazione o 1. 3 Formula di Taylor 3. 4 Esempi ed applicazioni 5
Sviluppi di Taylor Adrea Corli settembre 009 Idice Notazioe o Liearizzazioe di ua fuzioe 3 Formula di Taylor 3 4 Esempi ed applicazioi 5 I questo capitolo aalizziamo l approssimazioe di ua fuzioe regolare
DettagliRichiami sulle potenze
Richiami sulle poteze Dopo le rette, le fuzioi più semplici soo le poteze: Distiguiamo tra: - poteze co espoete itero - poteze co espoete frazioario (razioale) - poteze co espoete reale = Domiio delle
Dettaglix n (1.1) n=0 1 x La serie geometrica è un esempio di serie di potenze. Definizione 1 Chiamiamo serie di potenze ogni serie della forma
1 Serie di poteze È stato dimostrato che la serie geometrica x (1.1) coverge se e solo se la ragioe x soddisfa la disuguagliaza 1 < x < 1. I realtà c è covergeza assoluta i ] 1, 1[. Per x 1 la serie diverge
DettagliRAPPRESENTAZIONE ANALITICA DEI PUNTALI OGIVALI PER PROIETTILI
M. G. BUSATO RAPPRESENTAZIONE ANALITIA DEI PUNTALI OGIVALI PER PROIETTILI mgbstudio.et SOMMARIO I umerose applicazioi balistiche, ed i particolare per calcolare la resisteza aerodiamica di u proiettile,
Dettagli1. DISUGUAGLIANZE GEOMETRICHE
. DISUGUAGLIANZE GEOMETRICHE (SOLUZIONI) POTENZE E RADICI Siao m, N, a b 0, allora valgoo: a m b m, b m a m, e si ha l uguagliaza se e solo se a = b oppure m = 0. Esercizio. Dimostra che per ogi coppia
DettagliTracce di soluzioni di alcuni esercizi di matematica 1 - gruppo 42-57
Tracce di soluzioi di alcui esercizi di matematica - gruppo 42-57 4. Limiti di successioi Soluzioe dell Esercizio 42.. Osserviamo che a = a +6 e duque la successioe prede valori i {a,..., a 6 } e ciascu
DettagliOttica fisica e Ottica geometrica
Ottica fisica e Ottica geometrica capitolo 8 8. INTRODUZIONE Come el Capitolo 6, ache i questo Capitolo vegoo descritte alcue applicazioi delle ozioi geerali sui feomei odulatori trattate el Capitolo 5,
Dettagli1. Suddivisione di triangoli
1. Suddivisioe di triagoli 1.1 Il problema proposto da Silvao Rossetto La costruzioe descritta dalla figura seguete divide il triagolo C, rettagolo i, i due parti equiestese: r t s C g P g 1 K M 1 1) Precisare
DettagliLe onde elettromagnetiche. Origine e natura, spettro delle onde e.m., la polarizzazione
Le ode elettromagetiche Origie e atura, spettro delle ode e.m., la polarizzazioe Origie e atura delle ode elettromagetiche: Ua carica elettrica che oscilla geera u campo elettrico E che oscilla e a questo
Dettagli17. Funzioni implicite
17. Fuzioi implicite 17.a Fuzioi defiite implicitamete Sia data l equazioe lieare implicita i R 2 ax + by = 0. Se b 0, si puo ricavare la variabile y i fuzioe della x come y = ( a/b)x. Equivaletemete possiamo
DettagliEsercizi sui limiti di successioni
AM0 - AA 03/4 ALFONSO SORRENTINO Esercizi sui iti di successioi Esercizio svolto a) Usado la defiizioe di ite, dimostare che: + 3 si π cos e ) e b) 0 Soluzioe Comiciamo da a) Vogliamo dimostrare che: ε
DettagliDef. R si dice raggio di convergenza; nel caso i) R = 0, nel caso ii)
Apputi sul corso di Aalisi Matematica complemeti (a) - prof. B.Bacchelli Apputi : Riferimeti: R.Adams, Calcolo Differeziale. -Si cosiglia vivamate di fare gli esercizi del testo. Cap. 9.5 - Serie di poteze,
DettagliLezione 10 - Tensioni principali e direzioni principali
Lezioe 10 - Tesioi pricipali e direzioi pricipali ü [A.a. 2011-2012 : ultima revisioe 23 agosto 2011] I questa lezioe si studiera' cio' che avviee alla compoete ormale di tesioe s, al variare del piao
Dettagli169. Segmenti paralleli
169. Segmeti paralleli Matematicamete.it UMERO 17 APRILE 01 Bruo Sachii bruosachii@yahoo.it Suto y ta x k b a ta ak x R cos ak Si utilizza il sistema: di ua grade famiglia di superfici. Lo scopo di questo
DettagliProgramma (orientativo) secondo semestre 32 ore - 16 lezioni
Programma (orietativo) secodo semestre 32 ore - 6 lezioi 3 lezioi: successioi e serie 4 lezioi: itegrali 2-3 lezioi: equazioi differeziali 4 lezioi: sistemi di equazioi e calcolo vettoriale e matriciale
DettagliCorso di Istituzioni di Matematiche I, Facoltà di Architettura (Roma Tre) Roma, 3 Novembre Le successioni. Versione preliminare
Corso di Istituzioi di Matematiche I, Facoltà di Architettura (Roma Tre) Roma, 3 Novembre 2005 Le successioi Versioe prelimiare Uo dei cocetti fodametali dell aalisi modera é il cocetto di limite. Per
DettagliA.S ABSTRACT
ILLUSIONI GEOMETRICHE E NUMERI DI IBONACCI A.S. 00-0 GUGLIELMO SACCO (C) ENRICO IZZO (C) ABSTRACT I questo articolo vegoo messe i luce alcue "illusioi" geometriche elle quali giocao u ruolo chiave le proprietà
DettagliEsercizi svolti su successioni e serie di funzioni
Esercizi svolti su successioi e serie di fuzioi Esercizio. Calcolare il limite putuale di f ) = 2 +, [0, + ). Dimostrare che o si ha covergeza uiforme su 0, + ), metre si ha covergeza uiforme su [a, +
DettagliUNIVERSITA DEGLI STUDI DI TRENTO SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE ALL INSEGNAMENTO SECONDARIO
UNIVERSITA DEGLI STUDI DI TRENTO SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE ALL INSEGNAMENTO SECONDARIO INDIRIZZO SCIENTIFICO MATEMATICO FISICO INFORMATICO classe A049 matematica e fisica Relazioe di laboratorio RIFRAZIONE
DettagliCenni di topologia di R
Cei di topologia di R. Sottoisiemi dei umeri reali Studieremo le proprietà dei sottoisiemi dei umeri reali, R, che hao ad esempio la forma: = (, ) (,) 6 8 = [,] { ;6;8} { } = (, ) (,) [, + ) Defiizioe:
DettagliDiagramma polare e logaritmico
Diagramma polare e aritmico ariatori discotiui del moto di taglio Dalla relazioe π D c si ota che la velocità di taglio dipede, oltre che dal umero di giri del madrio, ache dal diametro dell elemeto rotate
DettagliRiflessione, trasmissione o assorbimento
Riflessioe, trasmissioe o assorbimeto L idice di rifrazioe complesso i fuzioe della frequeza è u parametro estremamete utile perché rappreseta tutte le caratteristiche ottiche del materiale. Quado la radiazioe
DettagliLezione 4. Gruppi di permutazioni
Lezioe 4 Prerequisiti: Applicazioi tra isiemi Lezioi e Gruppi di permutazioi I questa lezioe itroduciamo ua classe ifiita di gruppi o abeliai Defiizioe 41 ia X u isieme o vuoto i dice permutazioe su X
DettagliSommando le (8-13), (8-14), (8-19), (8-20), (8-21), (8-22) e uguagliando a zero si ottiene: V g
Correti a superficie libera 5 F p (8-) La proiezioe su s della forza di ierzia è ivece pari a: d ρ A ds ρ A ds + (8-) dt Sommado le (8-3), (8-4), (8-9), (8-0), (8-), (8-) e uguagliado a zero si ottiee:
DettagliMATEMATICA DEL DISCRETO elementi di calcolo combinatorio. anno acc. 2009/2010
elemeti di calcolo combiatorio ao acc. 2009/2010 Cosideriamo u isieme fiito X. Chiamiamo permutazioe su X u applicazioe biuivoca di X i sè. Ad esempio, se X = {a, b, c}, le permutazioi distite soo 6 e
Dettagli1 Esponenziale e logaritmo.
Espoeziale e logaritmo.. Risultati prelimiari. Lemma a b = a b Lemma Disuguagliaza di Beroulli per ogi α e per ogi ln a k b k. k=0 + α + α Teorema Disuguagliaza delle medie Per ogi ln, per ogi upla {a
DettagliLe successioni: intro
Le successioi: itro Si cosideri la seguete sequeza di umeri:,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89, 44, 233, detti di Fiboacci. Essa rappreseta il umero di coppie di coigli preseti ei primi 2 mesi i u allevameto!
DettagliSvolgimento degli esercizi del Capitolo 4
4. Michiel Bertsch, Roberta Dal Passo, Lorezo Giacomelli Aalisi Matematica 2 a edizioe Svolgimeto degli esercizi del Capitolo 4 Il limite segue dal teorema del cofroto: e / 0 per. 4.2 0
Dettagli2. PROBLEMI ISOPERIMETRICI
. ROBLEMI IOERIMETRICI (OLUZIONI roblema isoperimetrico classico : Tra le figure piae di perimetro fissato trovare quella di area massima. ROBLEMA IOERIMETRICO ER I RETTANGOLI: (itra tutti i rettagoli
DettagliTutorato di Probabilità 1, foglio I a.a. 2007/2008
Tutorato di Probabilità, foglio I a.a. 2007/2008 Esercizio. Siao A, B, C, D eveti.. Dimostrare che P(A B c ) = P(A) P(A B). 2. Calcolare P ( A (B c C) ), sapedo che P(A) = /2, P(A B) = /4 e P(A B C) =
DettagliPROPRIETA DELLE FUNZIONI ARMONICHE
CAPITOLO PROPRIETA DELLE FUNZIONI ARMONICHE - Defiizioi ed esempi Le fuzioi armoiche vegoo defiite ello spazio euclideo; i questa tesi sarà cosiderato u umero itero positivo maggiore di metre Ω sarà u
DettagliEsercizi di Analisi II
Esercizi di Aalisi II Ao Accademico 008-009 Successioi e serie di fuzioi. Serie di poteze. Studiare la covergeza della successioe di fuzioi (f ) N, dove f : [, ] R è defiita poedo f (x) := x +.. Studiare
DettagliEsercizi svolti. 1. Calcolare i seguenti limiti: log(1 + 3x) x 2 + 2x. x 2 + 3 sin 2x. l) lim. b) lim. x 0 sin x. 1 e x2 d) lim. c) lim.
Esercizi svolti. Calcolare i segueti iti: a log + + c ± ta 5 + 5 si π e b + si si e d + f + 4 5 g + 6 4 6 h 4 + i + + + l ± + log + log 7 log 5 + 4 log m + + + o cos + si p + e q si s e ta cos e u siπ
DettagliCalcolo delle Probabilità 2012/13 Foglio di esercizi 3
Calcolo delle Probabilità 01/13 Foglio di esercizi 3 Probabilità codizioale e idipedeza. Esercizio 1. Sia B u eveto fissato di uo spazio di probabilità (Ω, A, P), co P(B) > 0. Si mostri che P( B) è l uica
DettagliIl candidato risolva uno dei due problemi e 4 quesiti del questionario. la sua primitiva tale che ( 1) f ( 1)
Sessioe ordiaria all estero caledario australe 005 MINISTERO DELL'ISTRUZIONE, DELL'UNIVERSITÀ E DELLA RICERCA SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sessioe Ordiaria 005 Caledario
DettagliLa dinamica dei sistemi - intro
La diamica dei sistemi - itro Il puto materiale rappreseta ua schematizzazioe utile o solo per descrivere situazioi di iteresse diretto ma è ache il ecessario presupposto alla meccaica dei sistemi materiali
Dettaglimin z wz sub F(z) = y (3.1)
37 LA FUNZIONE DI COSTO 3.1 Miimizzazioe dei costi Riprediamo il problema della massimizzazioe dei profitti del capitolo precedete e suppoiamo ora che l'impresa coosca il livello di output che deve produrre;
DettagliSerie numeriche e di funzioni - Esercizi svolti
Serie umeriche e di fuzioi - Esercizi svolti Serie umeriche Esercizio. Discutere la covergeza delle serie segueti a) 3, b) 5, c) 4! (4), d) ( ) e. Esercizio. Calcolare la somma delle serie segueti a) (
DettagliESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2010
ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 00 Il cadidato risolva uo dei due problemi e 5 dei 0 quesiti i cui si articola il questioario. PROBLEMA Sia ABCD u quadrato di lato, P u puto di
DettagliInflessione nelle travi
Ifessioe ee travi Caso dea trave icastrata ad u estremità Data a trave a mesoa AB di ughezza, sottoposta a azioe de carico cocetrato F appicato a estremo ibero B, questa risuta soecitata, i ogi sezioe,
DettagliPROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 2013
PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 3 Prova scritta del 6//3 Esercizio Suppoiamo che ua variabile aleatoria Y abbia la seguete desita : { hx e 3/x, x > f Y (y) =, x, co h opportua costate positiva.
Dettagli1 Congruenze. Definizione 1.1. Siano a, b, n Z con n 2, definiamo a b (mod n) se n a b.
1 Cogrueze Defiizioe 1.1. Siao a, b, Z co 2, defiiamo a b (mod ) se a b. Proposizioe 1.2. 2 la cogrueza mod è ua relazioe di equivaleza su Z. a a () perché a a a b () b a () a b () b c () a b b c a c =
DettagliSTUDIO DEL LANCIO DI 3 DADI
Leoardo Latella STUDIO DEL LANCIO DI 3 DADI Il calcolo delle probabilità studia gli eveti casuali probabili, cioè quegli eveti che possoo o o possoo verificarsi e che dipedoo uicamete dal caso. Tale studio
DettagliMateriale didattico relativo al corso di Matematica generale Prof. G. Rotundo a.a.2009/10
Materiale didattico relativo al corso di Matematica geerale Prof. G. Rotudo a.a.2009/10 ATTENZIONE: questo materiale cotiee i lucidi utilizzati per le lezioi. NON sostituisce il libro, che deve essere
DettagliEsercizi proposti. f(x), f(x), f(x), f(x + 1), f(x) + 1. x 2 x 1 se x 1, 4 x se x > 1 2, 2).
Esercizi proposti 1. Risolvere la disequazioe + 1.. Disegare i grafici di a) y = 1 + + 3 ; b) y = 1 ; c) y = log 10 + 1). 3. Si cosideri la fuzioe f) = ; disegare i grafici di f), f), f), f + 1), f) +
DettagliSOLLECITAZIONI SEMPLICI
Sussidi didattici per il corso di COSTRUZIONI EDILI Prof. Ig. Fracesco Zaghì SOLLECITAZIONI SEPLICI AGGIORNAENTO 04/10/2011 Corso di COSTRUZIONI EDILI Prof. Ig. Fracesco Zaghì SFORZO NORALE CENTRATO Lo
DettagliStatistica 1 A.A. 2015/2016
Corso di Laurea i Ecoomia e Fiaza Statistica 1 A.A. 2015/2016 (8 CFU, corrispodeti a 48 ore di lezioe frotale e 24 ore di esercitazioe) Prof. Luigi Augugliaro 1 / 21 Misura della dipedeza di u carattere
DettagliA8 - Campi vettoriali conservativi e solenoidali
A8 - Campi vettoriali coservativi e soleoidali A8.1 Campi coservativi e campi irrotazioali Sia V(x,y,z) u campo vettoriale defiito i ua regioe di spazio Ω, e sia u cammio, di estremi A e B, defiito i Ω.
Dettagliq V C dipende solo dalla geometria dei piatti e ci dice quanta carica serve ad un dato condensatore per portarlo ad una DV fissata.
I codesatori codesatore è u dispositivo i grado di immagazziare eergia, sottoforma di eergia poteziale, i u campo elettrico Ogi volta che abbiamo a che fare co due coduttori di forma arbitraria detti piatti
DettagliLegge Gamma e Legge Chi quadro
Legge Gamma e Legge Chi quadro Sia G ua variabile aleatoria di legge Gamma di parametri a e λ reali positivi, G Γ(a, λ, la cui fuzioe di desità è: f G (x = λa Γ(a e λx x a per x 0 dove Γ( è la fuzioe Gamma
DettagliPompa di calore a celle di Peltier. ( 3 ) Analisi dei dati
Pompa di calore a celle di Peltier ( 3 ) Aalisi dei dati Scuola estiva di Geova 2 6 settembre 2008 1 Primo esperimeto : riscaldameto per effetto Joule Come descritto ella guida, misuriamo tesioe di alimetazioe
Dettagli