Legge Gamma e Legge Chi quadro

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1 Legge Gamma e Legge Chi quadro Sia G ua variabile aleatoria di legge Gamma di parametri a e λ reali positivi, G Γ(a, λ, la cui fuzioe di desità è: f G (x = λa Γ(a e λx x a per x 0 dove Γ( è la fuzioe Gamma completa: Γ(a = + e x x a dx che ha le proprietà: 0 - Γ(a = (a Γ(a e i particolare per gli iteri Γ( = (! - Γ ( = (!! π per dispari e Γ ( ( / Sia Y la variabile aleatoria defiita come: = (!! ( / per pari. Y = ϕ(g = λg Si ha: Y Γ(a,. Ifatti, per la formula di cambiameto di variabile la desità di Y è: f Y (y = f X ( ϕ (y d ϕ (y dx y Γ(a e λ λ = λa ( y λ a λ = Γ(a e y y a Il parametro λ viee usualmete chiamato parametro di scala. (fare attezioe che ei software statistici spesso il parametro di scala è /λ. Sia C ua variabile aleatoria di legge Chi quadro a gradi di libertà C χ []. Si ha: ( C Γ, Quidi se M = C, allora M Γ (, Cocludedo si ha che la variabile aleatoria G può essere approssimata utilizzado ua variabile aleatoria di legge Chi quadro co u umero di gradi di libertà pari all itero più vicio a a (si ha l uguagliaza per a itero: C a = λg Si possoo perciò utilizzare le tavole della legge Chi quadro per trovare i quatili della legge Gamma el seguete modo: = IP (G > l = IP (λ G > λ l = IP (C a > λ l e quidi l = λ c

2 Stimatori: approfodimeti. Stimatori preferibili e ammissibili Siao U e V stimatori di u parametro θ.. U si dice preferibile a V se: MSE U (θ MSE V (θ θ Se per almeo u θ vale la disuguagliaza stretta si dice che U è strettamete preferibile a V.. Se o esistoo stimatori preferibili a U allora U è detto ammissibile. ESEMPI Uiforme Sia X Uiform(0, θ Cosideriamo i due stimatori di θ: T = max X i R = X A fiaco soo riportate le due distribuzioi di T e R, el caso i cui θ = 5. 0 Si ha (si veda la dimostrazioe sul libro a pag. 7-3: θ MSE T (θ = θ ( + ( + MSE R (θ = 3 θ Quidi T è preferibile a R; ifatti: MSE T (θ MSE R (θ θ Beroulli Sia X Beroulli(p Idichiamo co S la v.a. X i. Cosideriamo i due stimatori di p : ˆP = X = S e R = S + a + a + b R è uo stimatore che dipede da due parametri reali positivi a e b che permettoo di utilizzare iformazioi a priori sul parametro p (R è uo stimatore bayesiao. Si ha: MSE ˆP (p = p( p MSE R (p = p ( (a + b + p( a(a + b + a ( + a + b

3 I etrambi i casi i MSE soo delle parabole co la cocavità verso il basso. Si ha MSE R (0 = a ( + a + b e MSE R ( = b ( + a + b A fiaco soo riportati a liea cotiua il grafico di MSE ˆP (p e a liea tratteggiata quelli di MSE R (p per diverse scelte dei parametri a e b Etrambi gli stimatori soo ammissibili Liearità del valore atteso e sua applicazioe agli stimatori Sia X ua variabile aleatoria. Se a e b soo costati reali, si ha: cioè, se g è ua fuzioe lieare, si ha: E(aX + b = ae(x + b E(g(X = g(e(x. Applichiamo questo risultato agli stimatori. Se T è uo stimatore di ua parametro θ co E(T = a + bθ, allora R = T a b è stimatore o distorto di θ. ESEMPI Normale Sia X N (µ, σ i(x i X Lo stimatore T = è stimatore o distorto di σ. è stimatore di σ co E(T = σ ; quidi S = T Uiforme Sia X Uiform(0, θ Lo stimatore T = max{x i } è stimatore di θ co E(T = stimatore o distorto di θ. + θ; quidi R = + T è 3. Disuguagliaza di Jese e sua applicazioe agli stimatori Sia X ua variabile aleatoria.. Se g è ua fuzioe covessa si ha: E(g(X g(e(x Caso otevole: E(X E(X.. Se g è ua fuzioe cocava si ha: E(g(X g(e(x 3

4 Applichiamo questo risultato agli stimatori. ESEMPI Espoeziale. Stimatore di λ. Sia X Exp(λ Si ha: E(X = E(X =. T = è stimatore di λ e si ha: λ X ( E ( ovvero E λ X E(X X Possiamo dire che sovrastima i media λ. X Facedo i calcoli esatti si ottiee E ( X = Normale. Stimatore di σ. Sia X N (µ, σ λ, che è - apputo - maggiore di λ. S è stimatore o distorto di σ. Cosideriamo S, S = S, stimatore di σ; si ha: E(S σ ovvero E(S σ Possiamo dire che S sottostima i media σ. Facedo i calcoli esatti si ottiee E(S = (!! ( 3!! σ, che è - apputo - miore di σ. 3. Calcoli espliciti per i valori attesi di alcui stimatori ESEMPI Espoeziale. Stimatore di λ. Sia X Exp(λ. Si ha: E(X = λ. Idichiamo co Y la v.a. X i. Si ha: Y Γ(, λ. La v.a. T = ψ(y = Xi è stimatore di λ. Il valore atteso di T è: E(T = = ψ(yf Y (ydy = λ y λ (! e λ y y dy λ (! e λ y y dy = λ Quidi stimatore o distorto di λ è: T = Xi Normale. Stimatore di σ. Sia X N (µ, σ Stimatore o distorto di σ è S = Idichiamo co Y la v.a. (Xi X σ (Xi X.. Si ha: Y Γ (,. 4

5 La v.a. S, S = S è stimatore di σ. Il valore atteso di S è: ( Y E(S = E σ σ + ( ( / = y / e y/ y ( / dy = σ + Stimatore o distorto di σ è quidi: 0 0 Γ ( ( / / Γ ( Γ ( Γ ( e y/ y / dy = σ ( Xi X Γ ( ( Γ Γ ( Γ ( Possiamo ulteriormete sviluppare lo stimatore, utilizzado la seguete proprietà della fuzioe gamma completa: ( Γ = (!! ( π per dispari e Γ = ( / (!! ( / per pari Per cui, a secoda se è pari o dispari, uo stimatore o distorto di σ è: (Xi X (Xi X (!! ( 3!! π per dispari e (!! ( 3!! π per pari 5

6 Itervalli di cofideza: approfodimeti. Quatità pivotale Sia X ua variabile aleatoria co legge dipedete da u parametro θ (detto ache parametro aturale su cui si vuol fare ifereza. Ua quatità pivotale è ua variabile aleatoria che sia fuzioe delle v.a. campioarie e del parametro θ e la cui legge sia ota e o dipeda dal parametro. Nel caso di ua v.a. X di legge Normale, X N (µ, σ, quatità pivotali usate per gli itervalli di cofideza della media e della variaza soo: X µ σ/ X µ S/ S ( σ. Itervalli di cofideza quado V(X è fuzioe di E(X Sia X ua variabile aleatoria tale che: ESEMPI E(X = φ(θ e V(X = h(φ(θ co φ fuzioe mootoa A. Metodi approssimati. θ E(X(= φ(θ V(X(= h(φ(θ Beroulli p p p( p Poisso λ λ λ Geometrica p /p ( p/p Espoeziale λ λ /λ Si basao sull approssimazioe della distribuzioe di X co quella di ua v.a. ormale per gradi campioi: Da cui: X N ( φ(θ, h(φ(θ = P ovvero z < X φ(θ h(φ(θ X φ(θ h(φ(θ N (0, < z ( Si può procedere i due modi: stimare la variaza di X co h(x oppure risolvere i θ le disuguagliaze della formula (. A. Stimado la variaza di X co h(x, la formula ( diveta: = P z < X φ(θ < z h(x h(x = P X z < φ(θ < X + z h(x 6

7 Se φ è mootoa crescete, l itervallo di cofideza per θ a livello è: φ X z h(x, φ X + z h(x Se φ è mootoa decrescete, i limiti dell itervallo di cofideza soo ivertiti. NOTA: No si stima V(X co lo stimatore S i quato i tal modo si avrebbero due stime diverse per u solo parametro: φ (X e uo fuzioe di S (ad esempio, se h fosse ivertibile, φ (h (S. A. Si risolvoo i θ le disuguagliaze della formula (. Questo metodo può comportare calcoli più complicati ma produce itervalli più precisi. B. Metodi esatti. Si usao quado si coosce ua quatità pivotale che sia fuzioe di X i. ESEMPI Espoeziale. Sia X Exp(λ A. Per gradi campioi, X N (, X λ λ quidi la quatità pivotale è λ λ A. Si stima la stadard deviatio di X co X. Bisoga risolvere le disuguagliaze: da cui X z < X λ X/ < z ( z < ( λ < X + z e quidi u itervallo di cofideza a livello per λ è: ( ( (, X + z X z A. Bisoga risolvere i λ le disuguagliaze: da cui z < X λ λ < z z < λx < z e quidi u itervallo di cofideza a livello per λ è: ( ( z (, + z X X Osserviamo che tale itervallo è cetrato i X 7

8 Cofrotiamo le ampiezze degli itervalli di cofideza trovati co i due metodi precedeti. Idichiamo co k la quatità z. ( A: X k +k = k A: ( + k + k = k X k X X I etrambi i casi l ampiezza dell itervallo tede a 0 per che tede all ifiito, ma co il metodo A l ampiezza è miore di quella trovata co il metodo A. B. Si ha: X i Γ(, λ, quidi quatità pivotali soo: λ X i χ [] oppure λ X χ [] Tramite le tavole della distribuzioe Chi quadro si possoo trovare due valori c e c tali che: = P ( c < λ X < c Quidi u itervallo di cofideza per λ a livello è: ( c X, c. X Beroulli. Sia X Beroulli(p Deotiamo come di cosueto X co ˆP. A. Per gradi campioi la quatità pivotale è ˆP p p( p A. Si stima la stadard deviatio di ˆP co ˆP ( ˆP. Bisoga risolvere le disuguagliaze: z < ˆP p ˆP ( ˆP < z e quidi u itervallo di cofideza a livello per pa è: ( ˆP z ˆP ( ˆP z, ˆP + ˆP ( ˆP I questo caso particolare i cui X i e Xi stimatore di V( ˆP la v.a. S ˆP : S ˆP = S X = ( X i X = X coicidoo si potrebbe usare come X = ˆP ( ˆP L itervallo di cofideza risulterebbe diverso dal precedete solo per la preseza di al posto di. A. Bisoga risolvere i p le disuguagliaze: z < ˆP p p( p 8 < z

9 da cui Poisso. z p( p ovvero ( ˆP p < z Poedo k = z < ˆP p < z p( p p( p si ottiee la seguete disuguagliaza: p ( + k p (k + ˆP + ˆP < 0 Le soluzioi dell equazioe corrispodete soo: k + ˆP ± k + 4k ˆP ( ˆP ( + k e quidi u itervallo di cofideza a livello per p è: ( ˆP + z z z + ˆP ( ˆP, ˆP z ( + + z z + ˆP ( ˆP + z + z + z + z Sia X Poisso(λ. A. Per gradi campioi la quatità pivotale è X λ λ X A. Si stima la stadard deviatio di X co. U itervallo di cofideza a livello per λ è: X X z, X + z A. Bisoga risolvere i λ le disuguagliaze: da cui z < X λ λ < z X ( λ λ X + z + X < 0 Le soluzioi dell equazioe corrispodete soo: X + z ± ( z + X z e quidi u itervallo di cofideza a livello per p è: ( X + z z ( + X z, X + z z + + X z 9

10 . Il p-value Verifica di ipotesi: approfodimeti Il test si può effettuare: Determiado prevetivamete le regioi di accettazioe di H 0 e H per lo stimatore cosiderato (sulla base del livello e osservado a quale delle due appartiee la stima x otteuta el campioe Calcolado il p-value della stima x e cofrotadolo co. Che cos è il p-value? È la probabilità sotto H 0 di otteere u valore campioario più lotao dall ipotesi pricipale e più vicio all alterativa di quello otteuto effettivamete el campioe x Sia la forma della regioe di rifiuto di H 0 sia il p-value dipedoo dal tipo di ipotesi alterativa si cosidera: uilaterale destra, uilaterale siistra, bilaterale. I grafici si riferiscoo a diversi test sul valore atteso di X. H 0 : µ = µ 0 H : µ > µ 0 oppure H : µ < µ 0 oppure H : µ µ 0 Il p-value deve essere cofrotato co il livello di sigificatività del test. Se è miore di l ipotesi pricipale è rifiutata. Esempi H accettata H rifiutata 0 0 H rifiutata H accettata Cosideriamo due test sul valore atteso di ua variabile aleatoria X co distribuzioe ormale e variaza ota uguale a 4. Si utilizza come statistica test la variabile aleatoria X. Test uilaterale siistro p/ m 0 m 0 m 0 p p m 0 m 0 p x x p/ x a H 0 : µ = 0 H : µ < 0 La regioe di rifiuto dell ipotesi pricipale è del tipo (, c. Sulla base di 36 osservazioi campioarie si ottiee u valore campioario x = 9.4 Il p-value è: p = P ( 0 X < 9.4 ( X = P < = P (Z <.8 = /6 /6 A livello di sigificatività del 5% si rifiuta l ipotesi pricipale. Test bilaterale H 0 : µ = 0 H : µ 0 0

11 La regioe di rifiuto dell ipotesi pricipale è del tipo (, c (c,. Sulla base di 36 osservazioi campioarie si ottiee u valore campioario x = 0.4. La distaza, i valore assoluto, dall ipotesi pricipale è: δ = = 0.4. Il p-value è: p = P ( X 0 < P ( X 0 > 0.4 = P ( X 0 > 0.4 ( X 0 = P /6 < 0.4 /6 = P (Z <. = /0.507 = Alle soglie usuali di livello di sigificatività si accetta l ipotesi pricipale.. La poteza di u test La poteza di u test è ua fuzioe del parametro P (θ: è la probabilità di accettare l ipotesi alterativa H. Idichiamo co Θ 0 l isieme a cui appartiee il parametro quado H 0 è vera e co Θ l isieme a cui appartiee il parametro quado H è vera. - Se θ Θ, P (θ è la probabilità di effettuare la scelta corretta: P (θ = β(θ - Se θ Θ 0, P (θ è la probabilità di effettuare la scelta sbagliata: P (θ = (θ Il grafico a fiaco rappreseta la poteza del test: H 0 : µ H : µ > dove µ è il valore atteso di ua v.a. co legge ormale di variaza ota pari a. È evideziato il valore della poteza e dell errore di secoda specie i corrispodeza del valore di µ uguale a β -β(3.5 4 ipotesi alterativa H La probabilità di accettare l ipotesi alterativa, quado questa è vera, aumeta all aumetare della umerosità campioaria. Se ella popolazioe è vera l ipotesi alterativa e se i valori del parametro sotto H e sotto H 0 soo molto vicii, solo co gradi campioi si riesce ad avere ua probabilità alta di effettuare la scelta corretta..0 I grafici a fiaco rappresetao la poteza del test: 5 H 0 : µ H : µ > 0.5 per due diverse umerosità campioarie. Ad esempio, i corrispodeza di u valore atteso µ uguale a 3.5 si ha: β( P ( e P ( co < ipotesi alterativa H Cofrotiamo ora la poteza di due test sul valore atteso di ua v.a. co legge ormale di variaza ota pari a, uo uilaterale e uo bilaterale.

12 I grafici a fiaco rappresetao la poteza dei due test: H 0 : µ H : µ > a liea tratteggiata e H 0 : µ H : µ a liea cotiua. Osserviamo che il test uilaterale è più potete (ma o di molto ell isieme (, +, metre quello bilaterale è molto più potete ell isieme (,. 3. Determiazioe della umerosità campioaria fissati e β Cosideriamo u test sul valore atteso di ua variabile co legge ormale di variaza ota σ del tipo: H 0 : µ = µ 0 H : µ = µ Vogliamo determiare la umerosità campioaria che assicura determiate probabilità di errore di prima e secoda specie. Idicado co s la soglia della regioe di rifiuto di H 0, se µ > µ 0 si ha: = P ( ( X µ0 X > s µ = µ 0 = P σ/ > s µ 0 σ/ β = P ( ( X µ X < s µ = µ = P σ/ < s µ σ/ Dalle due equazioi: si ottiee: s µ 0 σ/ = z e = (z + z β σ (µ 0 µ 0.0 s µ σ/ = z β 0 ( X µ0 = P σ/ > z ( X µ = P σ/ < z β e questo vale ache el caso µ < µ 0. Osserviamo che la umerosità campioaria deve essere tato maggiore quato più: - è miore la distaza fra i valori attesi sotto le due ipotesi; - è maggiore la variaza; - soo miori i due errori (e quidi z e z β maggiori. 4. Test di uguagliaza delle medie di due v.a. Normali sulla stessa popolazioe Cosideriamo le variabili casuali X e X defiite su ua stessa popolazioe co distribuzioe ormale rispettivamete N (µ, σ e N (µ, σ. Si vuole verificare se i valori attesi delle due variabili soo uguali. 3 4

13 Essedo X e X defiite sulla stessa popolazioe, si può cosiderare la variabile aleatoria D, differeza fra X e X su ogi elemeto della popolazioe: D(ω i = X (ω i X (ω i Tale variabile aleatoria ha distribuzioe ormale N (µ D, σ D ; il valore atteso è µ µ e la variaza è σ + σ Cov(X, X, i geere scoosciuta. Il test sull uguagliaza dei valori attesi di X e X si ricoduce al test sulla ullità del valore atteso di D, che viee effettuato tramite la quatità pivotale: D µ D S D / Esempio L effetto di due soiferi A e B è stato provato ei riguardi di uo stesso gruppo di 0 persoe soffereti d isoia. Nella tabella soo riportate, idicadole co x A e x B le variazioi elle ore di soo provocate i ciascu paziete dalla sommiistrazioe del soifero A e del soifero B. Si assume che le variazioi di ore di soo siao modellabili co variabili aleatorie ormali. Si vuole verificare l ipotesi che i due soiferi abbiao uguale efficacia. Nell ultima coloa è riportata la differeza fra x A e x B. paz. x A x B d La media campioaria di D è.58 e la variaza campioaria è.53, quidi la realizzazioe campioaria della quatità pivotale sotto l ipotesi di uguagliaza dell effetto dei.58 soiferi vale: = 4.06 per cui viee rifiutata l ipotesi di uguagliaza dell effetto Test di uguagliaza delle variaze di due v.a. Normali Cosideriamo le variabili casuali X e X idipedeti co distribuzioe ormale rispettivamete N (µ, σ e N (µ, σ. Si vuole verificare, sulla base di iformazioi tratte da due campioi di X e X, se le variaze delle due variabili soo uguali. Più precisamete le ipotesi del test soo: H 0 : σ = σ e H : σ σ Idichiamo rispettivamete co e le umerosità dei due campioi di X e X. Cosideriamo le variabili casuali S e S, variaze campioarie di X e X. Si ha: S ( σ χ [ ] e S ( σ χ [ ] Ioltre tali variabili soo idipedeti, essedo X e X idipedeti e così S e S. Ricordiamo che il rapporto di due variabili aleatorie idipedeti, ciascua co legge chi-quadro divise per i loro gradi di libertà è ua variabile aleatoria co legge F di Fisher. Cosideriamo la quatità pivotale: S S σ σ 3

14 Se H 0 è vera, la statistica F : F = S S ha legge F [, ]. Il test è bilaterale e la regioe di rifiuto dell ipotesi pricipale è: [0, c ] [c, + co = P(F < c, = P(F > c e + = Per u test uilaterale del tipo: H 0 : σ = σ e H : σ > σ allora la regioe di rifiuto dell ipotesi pricipale è: [c, + co = P(F > c e simmetricamete per u test uilaterale siistro. Determiazioe dei quatili siistri di ua v.a. di Fisher Le tavole della legge di Fisher tipicamete foriscoo i valori dei quatili destri, cioè permettoo di determiare, per fissato (al 5% e all %, il valore di c tale che = P(F > c Se F F [, ] allora: ( = P(F > c = P F < c co F F [, ] quidi sulle tavole si legge il valore /c e si calcola c. 6. Cofroto fra itervalli di cofideza e test Si ha: Cosideriamo ua variabile aleatoria X di valore atteso µ. Idichiamo co: - k B = z σ semi ampiezza dell itervallo di cofideza bilaterale - k U = z σ Tipo Itervallo di cofideza Regioe di accettazioe di H 0 bilaterale (x k B, x + k B (µ 0 k B, µ 0 + k B uilaterale destro (, x + k U (, µ 0 + k U uilaterale siistro (x k U, + (µ 0 k U, + Osserviamo che l itervallo di cofideza per µ dipede da x, metre la regioe di accettazioe di H 0 dipede da µ 0. 4