Esercizi proposti. f(x), f(x), f(x), f(x + 1), f(x) + 1. x 2 x 1 se x 1, 4 x se x > 1 2, 2).
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- Filomena Rocchi
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1 Esercizi proposti 1. Risolvere la disequazioe Disegare i grafici di a) y = ; b) y = 1 ; c) y = log ). 3. Si cosideri la fuzioe f) = ; disegare i grafici di f), f), f), f + 1), f) Sia f) = log ) + 1 ; determiare il domiio, discutere evetuali simmetrie e l iiettività di f. 5. Determiare il domiio di f) = log ) log + 1) e g) = arcsi + 1). 6. Sia f) = log ); determiare f 1, 0]). 7. Data la fuzioe f) = { 1 se 1, 4 se > 1 determiare la cotroimmagie dell itervallo 1, ). 8. Verificare che la fuzioe f : R R defiita da f) = 1 o è ivertibile. Idividuare opportue restrizioi di f che siao ivertibili e scrivere l espressioe delle loro iverse. 9. Determiare il più grade itervallo I su cui f) = è ivertibile, disegadoe il grafico. Scrivere l espressioe della fuzioe iversa di f ristretta ad I, specificadoe domiio e immagie. c 006 Politecico di Torio 1
2 10. Verificare che f) = + 1) 1 ), co domiio [0, ), è iiettiva. Determiare l immagie di f e la fuzioe iversa. 11. Provare che le fuzioi f) = 3 + 3, 3 e g) = , 3 4 soo ua l iversa dell altra. Utilizzare la rappresetazioe grafica di f e f 1 per risolvere l equazioe f) = g). 1. Siao f) = +, g) = log 10 1 ). Disegare i grafici di f e g. Determiare domiio ed immagie di g f e di f g. 13. Calcolare i segueti iti: a) b) ± c) 4 + d) + + ± e) f) g) sisi ) si 1 h) π/ π ) si ta cos cos i) l) 3 1 cos cos π 4 m) 4 o) + q) cos 1 ) 3 + si cos ) π/4 si4) si cos p) + r) cos ) 14. Dire se esistoo ed evetualmete calcolare) i segueti iti: a) si ) b) si ) c) + 3 si ) d) + 3 si ) + + c 006 Politecico di Torio
3 15. Calcolare i segueti iti: a) 1 e b) ) ) 3 c) log ) si e) g) ± d) 3 1 f) log si log h) 1 log Calcolare i segueti iti: a) 1 3 / b) ) e 3 c) d) log π + 1 e) log ) log ) ) f) + 1 si!) 17. Dire se esiste il ite per della successioe a = 1) Determiare Msi ) Mt) deota la matissa di t) kπ/ al variare di k i Z. Ove tale ite o esista, discutere l esisteza dei iti laterali. Idetificare i puti di discotiuità della fuzioe f) = Msi ) ed il loro tipo. 19. Determiare i valori di α, β R tali che la fuzioe log + β ) se > 0, f) = 1 cosα) se < 0, arcta ) 1 se = 0 sia cotiua el suo domiio. c 006 Politecico di Torio 3
4 Soluzioi 1. R. I grafici richiesti soo mostrati i Figura 1. Figura 1: Grafici relativi alle fuzioi dell Esercizio 3. I grafici richiesti soo mostrati i Figura. Figura : Grafici relativi alle fuzioi dell Esercizio 3 4. Il domiio di f è domf = [ 1, 1]; la fuzioe è pari e o iiettiva. 5. Risulta domf = 1, 1 ) e dom g = [ 0, 5 4]. 6. Si ha f 1, 0]) =, 1] [1, ). 7. Si ha f 1 1, )) 1 = ) 13, 1 7 ), 7 c 006 Politecico di Torio 4
5 8. Soo ivertibili e f 1 = f, ] :, 1 ] [ 54 ) 1, + [ ) 1 f = f [ 1,+ ) :, + [ 54 ), + Ioltre f 1 1 ) = e f 1 ) = Il grafico della fuzioe è mostrato i Figura 3. Figura 3: Grafico della fuzioe f) = La fuzioe è ivertibile su [0, 1]. Si ha f 1 : [0, ] [0, 1] co f 1 ) = Si ha imf = [ 1, + ) e f 1 ) = se [ 1, 3], se 3, + ) 11. Risulta f) = g) = I grafici delle fuzioi f e g soo mostrati i Figura 4. Risulta g f : 1 11, 1 + ) ] 11 11, log 10 e f g :, ) 1 [ 94 ), +. c 006 Politecico di Torio 5
6 Figura 4: Grafici delle fuzioi f e g relative all Eserciio Si ha a) 1 b) 3 8 c) { per, 1 4 per + d) 1 e) 3 f) 1 g) 1 h) 1 i) 1 l) 3 m) 0 ) 4 o) 1 p) 0 q) r) Si ha a) Il ite o esiste; ad esempio, siao = π e y = 3 π + π, allora e y tedoo etrambe a ifiito, metre f ) + e fy ) 0. b) Il ite vale + come si vede utilizzado uo dei teoremi del cofroto i quato 3 + si ) 3, R. c) Il ite vale + come si vede utilizzado uo dei teoremi del cofroto i quato + 3 si, > 0. d) Il ite o esiste; ad esempio, siao = π e y = 3 π + π, allora e y tedoo etrambe a ifiito, metre f ) + e fy ). 15. Si ha 16. Si ha a) e e b) e 3/ c) d) log 3 log 3 { 1 per 0 e) + f) 1 g) 1/3 per 0 h) 1 e a) e 3/ b) + c) 0 d) 1 e) f) Il ite proposto o esiste. Ifatti la successioe a tede a 1, metre a +1 tede a 1. c 006 Politecico di Torio 6
7 18. Per la periodicità, è sufficiete cosiderare i casi: k = 0, 1,, 3. Disegado il grafico di f) = Msi ) si vede che: π f) = 0 = f0) f) = 1; + f) = 1 f π π ) = 0; π f) = 0 = fπ) f) = 1; + f) = 0 = f 3 3 π π). I puti = π, Z soo puti di discotiuità di tipo salto. I puti = π + π, Z soo puti di discotiuità eiabile. 19. La fuzioe è cotiua i tutti i puti escluso al più lo zero. Si ha f) = log + β ) = logβ ). + + Questo è uguale a 1 = f0), cioè la fuzioe è cotiua i 0 da destra, se e solo se β = e, cioè β = ± e. Si ha poi α f) = + o ) + o ) = α, quidi f è cotiua i 0 da siistra se e solo se α = 1, cioè α = ±. I defiitiva f è cotiua i zero se e solo se α, β) = ± e, ± ) 4 coppie di valori). c 006 Politecico di Torio 7
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