, dove s n è la somma parziale n-esima definita da. lim s n = lim s n = + (= ). a n = a 1 + a

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1 . serie umeriche Def. (serie). Dt u successioe ( ) (co R per ogi ), si chim serie di termie geerle l successioe (s ), dove s è l somm przile -esim defiit d () s = = k. L serie coverge (semplicemete) se esiste fiito s = s R ed il vlore s è detto somm dell serie. L serie diverge + ( ) se esiste s = + (= ). L serie è idetermit se o esiste s. Il ftto che coverg, diverg o si idetermit è detto il crttere dell serie. k= Per idicre u serie si us che l otzioe = e, se l serie coverge co somm s o diverge ±, si scrive = = s R {± }. Esempio. L serie log( + ) diverge +. Iftti, dto, l somm przile -esim s = log( + ) + log( + 2 ) log( + ) + log( + ) Poichè l serie log( + ) diverge. = log( 2 ) + log(3 2 ) log( ) + log( + ) ( ) 2 3 = log = log( + ). s = log( + ) = +, Esempio 2 (serie geometric). Dto q R, l serie geometric di rgioe q q = q + q 2 + q se q, diverge + ; se < q <, coverge co somm s = q q ; se q, è idetermit. Iftti, s = q + q q. Se q =, llor s = e s = = +,

2 2 per cui l serie diverge +. Se q, s = q ( q + q q ) = q q+ q q per cui q = s = + q > q q q < q, Il crttere dell serie geometric può essere studito che sez clcolre esplicitmete le somme przili. () Se q, q è u serie termii positivi il cui termie geerle q o tede zero. L codizioe ecessri di Cuchy e il crttere delle serie termii positivi implico che q diverge +. (2) Se q, q = ( 2 q ) 2, l serie coverge e 2 2 q = 0, llor il criterio del cofroto sitotico ssicur che l serie q coverge e, quidi, coverge q. (3) Se q, q = ( ) q, l successioe ( q ) N è mooto crescete ( q ) e o tede 0, quidi il criterio di Leibitz grtisce che l serie è idetermit. Esempio 3 (serie rmoic geerlizzt). Si α > 0, l serie rmoic geerlizzt di espoete α α = + 2 α... + α +... se α >, coverge, se α, diverge. Iftti, poichè l fuzioe x α il criterio del test itegrle implic che { α è positiv e decrescete su [, + [ e + { x α dx = α α >, + α coverge α > diverge + α. Si può provre l divergez dell serie rmoic i modo ltertivo. Iftti, l successioe ( ( + )) è crescete e coverge l umero di Nepero e, llor e l crescez del logritmo ssicur ( + ) e. 0 log( + ). L divergez dell serie log( + ) ed il criterio del cofroto implico che +. =

3 Dte due serie e b, i teoremi sui iti ssicuro che (α + βb ) = α + β per ogi α, β R, tre qudo si h u form idetermit. L defiizioe di somm przile s implic che l successioe (s ) è defiit per ricorrez { s = (2) s = s + 2 Dte due serie e b per cui esiste tle che = b, llor le due serie ho lo stesso crttere, m, i geerle, ho somm divers. Ioltre, se b = 0 per ogi <, l serie b si deot semplicemete co + = = Alogmete l idice iizile può essere 0 o u itero egtivo. Esempio 4. L serie + q coverge se e solo se q < co somm + q = + q = + q q = q. Prop. (Codizioe ecessri di Cuchy per le serie). Si u serie covergete, llor = 0. Dimostrzioe. L defiizioe di somm przile implic che s s = ( ) ( ) = per cui = (s s ) = s s = 0 co s = s R poichè l serie è covergete. L codizioe = 0 o è sufficiete, i geerle, grtire l covergez di. Esempio 5. L serie diverge +, m = 0... Serie termii positivi. U serie è dett termii positivi se 0 per ogi. I segueti criteri crtterizzo il crttere di queste serie. Prop. 2. Si u serie termii positivi, llor l serie coverge o diverge +. Dimostrzioe. L defiizioe di somm przile implic che b s = ( ) + = s + per ogi. Poichè 0, s s. Quidi, l successioe delle somme przili (s ) è mooto crescete e il teorem sulle successioi mootoe implic che esiste s = sup{s } = s R {+ }. 3

4 4 Se s R, l serie è covergete, se s = + l serie diverge +. Il teorem precedete ssicur che, dt u serie termii di sego costte d u certo idice, llor l serie o può essere idetermit. Prop. 3 (Criterio del cofroto). Dt u serie termii positivi, si b u serie termii positivi. () Se 0 b per ogi e b è covergete, llor è covergete. (2) Se 0 b per ogi e b è divergete, llor è divergete. Prop. 4 (Criterio del cofroto sitotico). Dt u serie termii positivi, si = b c co b 0 e c > 0 per ogi. () Se esiste c ]0, + [, llor e b ho lo stesso crttere. (2) Se esiste c = 0 e b è covergete, llor è covergete. (3) Se esiste c = + e b è divergete, llor è divergete. Dimostrzioe. L dimostrzioe dei tre euciti seguoo di segueti due ftti. Psso. Se esiste c [0, + [ e b coverge, llor coverge. Iftti, l covergez dell successioe (c ) implic che l successioe è itt, per cui esiste M > 0 tle che 0 c M (per ipotesi c > 0). Moltiplicdo l disugugliz per b 0 0 = b c Mb. L covergez dell serie b ed il criterio del cofroto ssicuro che l serie coverge. Psso 2. Se esiste c ]0, + [ {+ } e b diverge, llor diverge. Iftti, per ipotesi c > 0 e l successioe h ite fiito, per cui è itt ed esiste M > 0 tle che ( c ) 0 c M. Moltiplicdo l disugugliz per = b c 0 0 b M. L divergez dell serie b ed il criterio del cofroto ssicuro che l serie diverge. Il teorem del cofroto e del cofroto sitotico o vlgoo per serie segi quluque. Esempio 6. L serie ( ) diverge, l serie 2 coverge e 0 2. coverge (per il criterio di Leibitz), l serie ( ) + ( ) diverge L serie ( ) + (poichè somm di u serie divergete ed u covergete) e + ( ) ( ) co + ( ) =. ( ) = ( ) + ( )

5 5 Prop. 5 (criterio dell rdice). Si serie termii positivi tle che esist () Se l <, llor l serie coverge. (2) Se l >, llor l serie diverge. = l [0, + [ {+ }. Dimostrzioe. Se l <, si fissi q R tle che l < q <. Allor ( ) = q. q L serie q coverge poichè q < e ( ) = 0 poichè l < q. Il criterio del cofroto sitotico implic che l serie coverge. Se l >, l dimostrzioe è log scegliedo < q < l. Prop. 6 (criterio del rpporto). Si serie termii strettmete positivi tle che esist + = l [0, + [ {+ }. () Se l <, llor l serie coverge. (2) Se l >, llor l serie diverge. q Dimostrzioe. Se l <, l defiizioe di ite co ɛ = l 2 > 0 implic che esiste tle che + l + l = + l. 2 2 Posto 0 < q = +l 2 < e moltiplicdo per q. Poichè il crttere dell serie o cmbi, se i primi termii soo cmbiti, si può supporre che l disugugliz si verifict per ogi. Allor 0 2 q 0 3 q 2 q q q Essedo 0 < q <, l serie q coverge e il criterio del cofroto implic l covergez dell serie. Se l >, l dimostrzioe è log. Il criterio del cofroto e dell rdice o permettoo di stbilire il crttere dell serie el cso i cui l =. Esempio 7. L serie α per ogi α > 0. coverge se α > e diverge se α, m α = α ( + ) α =

6 6.2. Covergez ssolut. Il seguete risultto permette di ricodurre lo studio di u serie segi o costti quello di u serie termii positivi. Prop. 7 (covergez ssolut). Dt u serie, se l serie termii positivi coverge, llor l serie coverge. Dimostrzioe. Per ogi si L defiizioe implic che { se b = 0 0 se < 0 { se c = 0 0 se > 0 per ogi. I prticolre b 0, c 0, = b + c, = b c 0 b 0 c, l covergez di ed il criterio del cofroto implico l covergez si di b che di c. Poiché = b c, l serie coverge. U serie coverge ssolutmete se coverge. Il risultto precedete prov che l covergez ssolut implic l covergez (semplice). L impliczioe oppost è i geerle fls. Esempio 8. L serie ( ) coverge (semplicemete) per il criterio di Leibitz, m o coverge ssolutmete poichè = Serie sego ltero. Prop. 8 (criterio di Leibitz). Si ( ) u serie tle che ) 0 per ogi 0, b) = 0, c) + per ogi 0 llor ( ) coverge e l somm s dell serie soddisf (3) s s + 0. Dimostrzioe. L dimostrzioe è divis i tre pssi. Preirmete, si oti che l somm przile -esim dell serie ( ) è (4) s = ( ) 0. Psso : l ipotesi c) implic che esistoo Iftti, l (4) ssicur che, per ogi 0, 2 = s p R { } 2+ = s d R {+ }. s 2(+) = s 2+2 = s s 2 poichè (ipotesi c) ). L decrescez dell successioe (s 2 ) 0 implic che esiste s p = s 2 = if{s 2 0} R { }.

7 7 Alogmete, per ogi 0, s 2(+)+ = s 2+3 = s s 2+ poichè 2 2+ (ipotesi c) ). L crescez dell successioe (s 2+ ) 0 implic che esiste s d = s 2+ = sup{s 2+ 0} R {+ }. Psso 2: l ipotesi b) implic che s p = s d = s R. Iftti, l (4) ssicur s d = s 2+ = (s 2 2+ ) = s p poichè 2+ = 0 (ipotesi b) ). Il ftto che s R segue osservdo che s = s p < + e s = s d >. Psso 3: l ipotesi ) implic l (3). Iftti, poichè l somm s è si l estremo iferiore di {s 2 } si l estremo superiore di {s 2+ }, llor, sottredo s 2 e teuto coto di ), s 2 s s 2+ 0, 2+ 0 s s 2 s 2+ s 2 = 2+, d cui s s Alogmete, s 2+2 s s 2+ 0, llor, sottredo s 2+ e teuto coto di ), d cui s s = s 2+2 s 2+ s s , Si verific fcilmete che l ipotesi ), 0, è coseguez del ftto che l successioe ( ) 0 è ifiitesim e decrescete (ipotesi b) e c) ). Dt u serie ( ), dove ( ) 0 è u successioe mooto, il primo psso dell dimostrzioe prov che esistoo sempre s 2 e s 2+, il secodo psso prov che tli iti soo uguli (quidi, ecessrimete fiiti) se e solo se = 0. Per cui l serie ( ), co ( ) 0 mooto, o coverge (se = 0) o è idetermit (se 0).

8 8 2. Successioi di fuzioi Def. 2 (covergez putule ed uiforme). Dto I R, sio f : I R per ogi. L successioe di fuzioi (f ) coverge putulmete i x 0 I se esiste fiito f (x 0 ) R. Dto J I, l successioe coverge putulmete i J, se (f ) coverge putulmete i x 0 per ogi x 0 J. L isieme di covergez putule A è il più grde sottoisieme di I i cui l successioe (f ) coverge putulmete e si defiisce l fuzioe ite f : A R come f (x) = f (x) x A. Dto u isieme J A, l successioe (f ) coverge uiformemete i J se esiste ( ) sup f (x) f (x) = 0. x J Le defiizioi dte implico che () l successioe (f ) coverge putulmete i I se e solo se ɛ > 0 e x I ɛ,x tle che f (x) f (x) ɛ ɛ,x ; (2) l successioe (f ) coverge uiformemete i I se e solo se ɛ > 0 ɛ tle che f (x) f (x) ɛ x I e ɛ. Esempio 9. Sio f : R\{ } R, f (x) = x + +x x = per ogi. Poichè + x > x = 0 x < x < l successioe (f ) coverge putulmete i ], ] ll fuzioe ite f : ], ] R { x = f (x) =. +x x < Per quto rigurd l covergez uiforme dell successioe (f ) () o coverge uiformemete i ], ] poichè le f soo fuzioi cotiue sul loro domiio ed f o è cotiu i (se l covergez fosse uiforme, il teorem sull cotiuità dell fuzioe ite implicherebbe che f srebbe cotiu); (2) o coverge uiformemete i ], [ poichè x sup f (x) f (x) = sup = +, x ],[ x ],[ + x poichè x + x +x = + ; (3) o coverge uiformemete i [0, [ poichè x sup f (x) f (x) = sup x [0,[ x [0,[ + x 2,, poichè x x +x = 2. I modo ltertivo, poichè le fuzioi f soo cotiue i x =, se ci fosse covergez uiforme i [0, [, l successioe covergerebbe uiformemete i [0, ] per l Prop. 9 e l fuzioe ite srebbe cotiu i ;

9 (4) coverge uiformemete i ] 3, 2 ] poichè 3 e 2 2 = 0 sup f (x) f (x) = sup x x ] 3, 2 ] x ] 3, 2 ] + x Prop. 9. Si (f ) u successioe di fuzioi, f : I R, I R, e x 0 I u puto di ccumulzioe per I. Se () le fuzioi f soo cotiue i x 0 per ogi ; (2) l successioe (f ) coverge uiformemete i I \ {x 0 }, llor (f ) coverge putulmete i x 0 e, quidi, uiformemete i I. Dimostrzioe. L covergez uiforme i I \ {x 0 } implic che, dto ɛ > 0, esiste tle che per ogi, m f m (x) f (x) ɛ x I, x x 0. Poichè le fuzioe f soo cotiue i x 0 f m (x 0 ) f (x 0 ) = x x 0 f m (x) f (x) ɛ, m. L successioe (f(x 0 )) è di Cuchy, per cui esiste fiito L covergez uiforme i I è immedit. f (x 0 ) = f(x 0 ). I segueti teoremi crtterizzo le proprietà dell fuzioe ite. Teo (Cotiuità del ite). Dto I R, sio f : I R per ogi. Se ) le fuzioi f soo cotiue i I per ogi, b) l successioe (f ) coverge uiformemete i I d f, llor f è cotiu i I. Dimostrzioe. Fissto x 0 I, dimostrimo che f è cotiu i x 0. Dto ɛ > 0, l ipotesi b) implic che esiste (dipedete d ɛ, m o d x) tle che (5) f (x) f (x) ɛ x I,. L cotiuità di f i x 0 (ipotesi ) ) ssicur che esiste δ > 0 tle che (6) f (x) f (x 0 ) ɛ x I ]x 0 δ, x 0 + δ[. Allor per ogi x I ]x 0 δ, x 0 + δ[, f (x) f (x 0 ) = f (x) f (x) + f (x) f (x 0 ) + f (x 0 ) f (x 0 ) ( disug. trigolre ) f (x) f (x) + f (x) f (x 0 ) + f (x 0 ) f (x 0 ) ɛ + ɛ + ɛ = 3ɛ, dove per mggiorre il primo ed il terzo ddedo si us l (5) i x ed x 0, rispettivmete, metre per mggiorre il secodo si us l (6). L rbitrrietà di ɛ implic che f (x) = f (x 0 ). x x 0 Teo 2 (Limite sotto sego di itegrle). Sio f : [, b] R per ogi. Se ) le fuzioi f soo cotiue i [, b] per ogi, 9

10 0 b) l successioe (f ) coverge uiformemete i [, b] d f, llor f è itegrbile i [, b] e (7) f (x) dx = f (x) dx. Dimostrzioe. L ipotesi ) ssicur che le fuzioi f soo itegrbili i [, b] ed il teorem dell cotiuità dell fuzioe ite che f è itegrbile i [, b]. Le proprietà dell itegrle defiito implico che 0 f (x) dx f (x) dx (f (x) f (x)) dx Per l ipotesi b) sup x [,b] f (x) f (x) = 0 e, quidi, f (x) dx = f (x) f (x) dx (b ) sup f (x) f (x) x [,b] f (x) dx. L defiizioe di f e l relzioe (7) implico che, se le ipotesi del precedete teorem soo soddisftte, ( ) ( ) f (x) dx = f (x) dx. Esempio 0. Sio f : [0, ] R, f (x) = 2 x ( x) per ogi. L successioe (f ) coverge putulmete i [0, ] f (x) = 0 e 0 f (x) dx = 0, m 0 f (x) dx = 2 ( ) =. L relzioe (7) vle sotto codizioi più deboli rispetto quelle del teorem. Ad esempio vle il seguete risultto. Teo 3 (teorem dell covergez domit). Sio f : [, b] R per ogi. Se ) le fuzioi f soo itegrbili i [, b] per ogi, b) l successioe (f ) coverge putulmete i [, b] d f, c) l fuzioe ite f è itegrbile i [, b], d) esiste M > 0 tle che (8) sup f (x) M, x [,b] llor f (x) dx = f (x) dx. L codizioe di itegrbilità implic che le f soo itte d u costte che, i geerle, può dipedere d. L codizioe (8) richiede che tle costte si i effetti idipedete d (le f soo equiitte). Teo 4 (ite sotto sego di derivt). Sio f : [, b] R per ogi. Se

11 ) f C ([, b]) per ogi, b) l successioe (f ) coverge putulmete i [, b] d f, c) l successioe (f ) coverge uiformemete i [, b], llor f C ([, b]) e f (x) = f (x) x [, b]. Dimostrzioe. Si g : [, b] R l fuzioe ite dell successioe (f ) g(x) = f (x) x [, b]. Fissto x [, b], essedo f cotiue i [, x] (ipotesi ) ) e l covergez uiforme di (f ) (ipotesi c) ), il teorem di cotiuità dell fuzioe ite implic che g è cotiu i [, b] e x g(t) dt = x f (t) dt = f (x) f () = f (x) f (), dove il pssggio itermedio è coseguez del teorem fodmetle del clcolo itegrle per f (cotiue per ipotesi) e l ultim ugugliz segue dll ipotesi b). Pertto f (x) = x g(t) dt + f () x [, b]. Essedo g cotiu, il teorem fodmetle del clcolo itegrle implic che f C ([, b]) e f (x) = g(x) = Dll dimostrzioe del teorem segue che () per ogi x [, b] ( f (x) = f (x) f (x) x [, b]. (2) l successioe (f ) coverge uiformemete i [, b]; (3) l posto dell ipotesi b), è sufficiete richiedere che esist x 0 [, b] tle che l successioe (f ) coverg putulmete i x 0. (4) l posto dell itervllo comptto [, b], è sufficiete cosiderre u itervllo rbitrrio I ed è sufficiete richiedere che per ogi x 0 I l successioe coverg uiformemete i u itoro di x 0. Esempio. Sio f : [0, 2π] R, f (x) = si(x) per ogi. L successioe (f ) coverge putulmete i [0, 2π] f (x) = 0 per ogi x [0, 2π], le fuzioi f e f soo derivbili i [0, 2π] co f (x) = 0, m { f x = 0, 2π (x) = cos(x) = 0 < x < 2π ) ;

12 2 3. Serie di fuzioi Def. 3 (covergez putule, ssolut, uiforme e totle). Si (f ) u successioe di fuzioi dove f : I R e I R. L serie di fuzioi f coverge putulmete (ssolutmete) i x 0 I, se l serie umeric f (x 0 ) coverge semplicemete (ssolutmete). Dto J I, l serie coverge putulmete (ssolutmete) i J, se f coverge putulmete (ssolutmete) i x 0 per ogi x 0 J. L isieme di covergez putule A è il più grde sottoisieme di I i cui l serie f coverge putulmete e l fuzioe somm f : A R è defiit come f(x) = f (x) x A. Dto u isieme J A, l serie f coverge uiformemete i J se esiste ( ) sup s (x) f(x) = 0, x J dove s : I R è l -esim somm przile s (x) = f (x) f (x) x I. Dto u isieme J A, l serie f coverge totlmete i J se coverge l serie umeric sup f (x). x J Dll defiizioe segue che () f coverge putulmete (rispett. uiformemete) i I se e solo se l successioe delle somme przili (s ) coverge putulmete (rispett. uiformemete) i I, e vle f(x) = s (x) x I; (2) per quto visto per le serie umeriche, l covergez ssolut implic quell putule; (3) l serie f coverge totlmete i I se e solo se esiste u serie termii positivi tle che () è covergete, (b) f (x) per ogi x I ed ; (4) se x 0 I è u puto di ccumulzioe per I e le fuzioe f soo cotiue i x 0, f coverge uiformete (risp. totlmete) i I \ x 0 se e solo se f coverge uiformemete (risp. totlmete) i I (per l covergez uiforme segue dll Prop. 9, per quell totle dl ftto che sup x I\{x0 } f (x) = sup x I f (x) ). Il seguete risultto mostr che l covergez totle implic le ltre. Teo 5 (criterio di Weierstrss). Si f u serie di fuzioi che coverge totlmete i I, llor l serie f coverge uiformemete, ssolutmete e putulmete i I. Dimostrzioe. Per ipotesi, esiste u serie covergete tle che (9) f (x) x I,. Fissto x I, l codizioe (9) e il criterio del cofroto (per serie umeriche) ssicuro che l serie umeric f (x) coverge ssolutmete e, quidi, putulmete i x.

13 3 Si f : I R l somm dell serie e s : I R l -esim somm przile f f(x) = Dti, m N, m >, per ogi x I f (x) x I s (x) = f (x) f (x) x I. s m (x) s (x) = f + (x) + f 2 (x) f m (x) ( disug. trigolre) f + (x) + f 2 (x) f m (x) ( (9) ) m = ( m ) ( ) L serie coverge l ]0, + [ e s (x) coverge f(x) per cui, fcedo tedere m + ell precedete disugugliz, si h f(x) s (x) l ( ) x I, d cui sup f(x) s (x) l ( ). x I Fcedo tedere +, il teorem del cofroto implic che sup f(x) s (x) = 0. x I L covergez uiforme implic quell putule, m, i geerle, o implic l covergez totle e quell ssolut. Esempio 2. Si cosideri l serie di fuzioi ( ) x. () L serie coverge ssolutmete solo i ], [. Iftti, dto x <, x co- = 0, quidi il criterio del cofroto sitotico ssicur l covergez e = +, il criterio del cofroto verge e di ( ) x. Se x, poichè x x diverge. implic che ( ) (2) L serie coverge putulmete solo i ], ]. Se x <, l serie coverge ssolutmete e, quidi, putulmete. Se x =, l covergez putule segue dl criterio di Leibitz. Se x =, l serie diverge (serie rmoic). Se x >, l serie o coverge poichè o è soddisftt l codizioe di Cuchy ( ( ) x = + ). I prticolre, l isieme di covergez putule è l itervllo ], ]. (3) L serie coverge uiformemete i [0, ], m o coverge totlmete. Iftti, dto x [0, ], l successioe ( ) x è positiv, decrescete ed ifiitesim. Il criterio di Leibitz implic che per cui f(x) s (x) x+ + +, sup f(x) s (x) 0 se + x [0,] + e l serie coverge uiformemete i [0, ]. Tuttvi sup x [0,] ( ) x = = +.

14 4 per cui l serie o coverge totlmete i [0, ]. (4) L serie coverge totlmete i [0, 2 ]. Iftti sup ( ) x [0, 2 ] x = 2 < +. L relzioe tr l covergez uiforme dell serie f e l covergez uiforme dell successioe delle somme przili (s ) implic i segueti risultti. Cor. (Cotiuità dell somm). Dto I R, sio f : I R per ogi. Se ) le fuzioi f soo cotiue i I per ogi, b) l serie f coverge uiformemete i I d f, llor f è cotiu i I. Cor. 2 (Itegrzioe termie termie). Sio f : [, b] R per ogi. Se ) le fuzioi f soo cotiue i [, b] per ogi, b) l serie f coverge uiformemete i [, b] d f, llor f è itegrbile i [, b] e f(x) dx = f (x) dx. Cor. 3 (derivzioe termie termie). Sio f : [, b] R per ogi. Se ) f C ([, b]) per ogi, b) l serie f coverge putulmete i [, b] d f, c) l serie f coverge uiformemete i [, b], llor f C ([, b]) e f (x) = f (x) x [, b]. 4. Serie di poteze Def. 4. Dt u successioe ( ) N co R, l serie di fuzioi x si chim serie di poteze (di cetro 0). Posto ρ = sup{x R x coverge }, ρ si chim rggio di covergez dell serie di poteze. Poichè x coverge sempre i 0, ρ [0, + [ {+ }. Il seguete teorem crtterizz l isieme di covergez di u serie di poteze. Teo 6 (rggio di covergez). Si x u serie di poteze e ρ il suo rggio di covergez. ) se ρ = 0, llor l serie di poteze coverge solo i 0; b) se 0 < ρ < +, l serie di poteze coverge ssolutmete i ] ρ, ρ[, o coverge putulmete i ], ρ[ ]ρ, + [, coverge totlmete i [ R, R] per ogi 0 < R < ρ; c) se ρ = +, l serie di poteze coverge ssolutmete i R e coverge totlmete i [ R, R] per ogi 0 < R < ρ.

15 5 L dimostrzioe del teorem è bst sul seguete risultto. Lemm. Si x u serie di poteze che coverge putulmete i y R co y 0, llor l serie di poteze coverge totlmete i [ R, R] per ogi 0 < R < y. Dimostrzioe. Per ipotesi l serie umeric y è covergete e l codizioe ecessri di Cuchy y = 0. Allor l successioe ( y ) 0 è itt per cui esiste M > 0 tle che (0) y M N. Si 0 < R < y, per ogi N e x [ R, R] x = x R ( R = y y ( ) R ( Eq. (0) ) M y ) e, quidi, ( ) R sup x M N. x [ R,R] y L serie umeric ( + M R y ) è covergete poichè è proporziole lle serie geometric di rgioe q = R y co 0 < q <. Ne segue che l serie x coverge totlmete i [ R, R]. Dimostrzioe del teorem 6. Suppoimo, d esempio, che 0 < ρ < +. Dto 0 < R < ρ, dimostrimo che l serie coverge totlmete i [ R, R]. L defiizioe di ρ come estremo superiore implic che esiste y R tle che R < y ρ e l serie + y coverge. Per il lemm, l serie coverge totlmete i [ R, R] e, quidi, ssolutmete i [ R, R]. Dimostrimo or l covergez ssolut i ] ρ, ρ[. Si x 0 ]ρ, ρ[, llor esiste 0 < R < ρ tle che x 0 [ R, R] e, per quto dimostrto sopr, l serie coverge ssolutmete i x 0. Ifie, suppoimo per ssurdo che esist y > ρ tle che y si covergete. Si R R tle che ρ < R < y, il lemm implic che l serie di poteze covergerebbe totlmete i [ R, R]. ssurdo. I prticolre l serie R N covergerebbe, per cui ρ R, m questo è Il precedete teorem implic che l isieme di covergez putule di u serie di poteze x co rggio di covergez 0 < ρ < + è u itervllo I tle che ] ρ, ρ[ I [ ρ, ρ], m, i geerle, o si può dire ull sugli estremi ±ρ.

16 6 Esempio 3. Si ρ il rggio di covergez ed I l isieme di covergez putule delle segueti serie di poteze x ρ = I =], [ ( ) x ρ = I =], ] 2 x ρ = I = [, ]. Iftti, l prim è l serie geometric, l secod è stt discuss ell esempio 2, l terz coverge i [, ] poichè sup x [,] 2 x 2, e è covergete, metre 2 x o coverge se x, poichè 2 x = 2 +. I segueti corollri crtterizzo il rggio di covergez. Cor. 4. Si x u serie di poteze tle che 0 per ogi. Se esiste + = l [0, + [ {+ }, llor + l = 0 ρ = l l ]0, + [ 0 l = +. Cor. 5. Si x u serie di poteze tle che esiste = l [0, + [ {+ }, llor + l = 0 ρ = l l ]0, + [ 0 l = +. Dimostrzioe. L dimostrzioe dei due corollri è simile. l ]0, + [. Dto x R, per ipotesi Riportimo l secod el cso x = l x. Il criterio dell rdice implic che l serie umeric x coverge se l x < e diverge se l x >. L prim disugugliz e l defiizioe di ρ implico che ρ l. Se per ssurdo ρ > l, si x R tle che l < x < ρ, il teorem sul rggio di covergez implicherebbe che x coverg, i cotrddizioe co l secod disugugliz. Esempio 4. L serie 4 x 2 h rggio di covergez ρ = 2 poichè è l serie geometric di rgioe q = (2x) 2. Tuttvi o si possoo pplicre i precedeti corollri. Iftti, l successioe

17 7 ( ) che defiisce l serie di poteze è per cui o esiste. 0 = = 0 2 = 4 3 = 0... =... 2 = 4 2+ = 0... =... Il seguete risultto studi l covergez gli estremi. Teo 7 (di Abel). Si x u serie di poteze co rggio di covergez ρ ]0, + [. () Se x coverge putulmete i ρ, rispettivmete i ρ, llor coverge uiformemete i [0, ρ], rispettivmete i [ ρ, 0]. (2) Se x coverge uiformemete i [0, ρ[, rispettivmete i ] ρ, 0], llor coverge putulmete i ρ, rispettivmete i ρ. Dimostrzioe. Assumimo che x coverg i ρ e dimostrimo l covergez uiforme i [0, ρ]. Poichè x = ρ ( x ρ ), sez perdit di geerlità, possimo supporre ρ =. Per ipotesi l serie umeric coverge. Allor, fissto ɛ > 0, esiste N tle che () m ɛ m >. Sio m > ed x [0, ], llor x + + x m x m = (x x + ) + ( + + )(x + x +2 ) +..., + ( m )(x m x m ) + ( m + m )x m. Essedo 0 x, (x k x k+ ) 0 per ogi k = m,..., m, e l () implic che x + + x m x m ɛ(x x + ) + ɛ(x + x +2 ) ɛ(x m x m ) + ɛx m = ɛx ɛ. Fcedo il ite per m che tede + segue che, per ogi e per ogi x [0, ] m x m k x k ɛ. m=0 L rbitrrietà di ɛ > 0 implic che l serie coverge uiformemete i [0, ]. L secod prte segue dll Prop. 9. Esempio 5 (cofrot co Esempio 2). L serie di poteze covergez ρ = poichè ( ) l = =. k=0 ( ) x h rggio di

18 8 ( ) Il teorem sul rggio di covergez e il ftto che coverge, metre diverge, implico che l isieme di covergez putule è ], ] e che il più grde isieme di covergez ssolut è ], [. Il teorem di Abel ssicur che ci si covergez uiformemete i [0, ], m o i ], 0]. Il seguete risultto crtterizz il rggio di covergez delle serie derivt e di quell itegrt. Prop. 0. Si x serie di poteze co rggio di covergez ρ > 0, llor l serie derivt x e l serie itegrt ho rggio di covergez ρ. + x+ Dimostrzioe. Si R il rggio di covergez dell serie derivt. Dimostrimo che R ρ. Si x R tle che x < R, llor l serie x coverge ssolutmete. Ioltre, poichè x = x x x e = 0 il criterio del cofroto sitotico implic che l serie x coverge ssolutmete, per cui ρ x e, per l rbitrrietà di x ] R, R[, ρ R. Dimostrimo che ρ R. Si x R, x < ρ, e y R tle che x < y < ρ, llor l serie y coverge ssolutmete. Ioltre, poichè x e y serie = 0 (essedo 0 x y x = x y y < ) il criterio del cofroto sitotico implic che l x coverge ssolutmete, per cui R x e, per l rbitrrietà di x ] ρ, ρ[, R ρ. Per quto visto prim, ρ = R. Si r il rggio di covergez dell serie itegrt. L derivzioe termie termie dell serie itegrt, è l serie di prtez x che h rggio di covergez ρ. Per quto dimostrto sopr, r = ρ. L serie derivt e quell itegrt ho lo stesso rggio di covergez dell serie x, m, i geerle, l isieme di covergez putule può essere diverso. Esempio 6. L esempio 2 mostr che l isieme di covergez dell serie ], ], metre l isieme di covergez dell serie derivt geometric). ( ) x è ( ) x è ], [ (serie Il teorem di itegrzioe e derivzioe per le serie di poteze implic che l isieme di covergez dell serie itegrt cotiee quello dell serie x che, su volt, cotiee quello dell serie derivt. I risultti sopr otteuti si posso fcilmete estedere lle serie di poteze (x x 0 ) di cetro x 0 rbitrrio. I prticolre, l isieme di covergez putule è u itervllo I tle che ]x 0 ρ, x 0 + ρ[ I [x 0 ρ, x 0 + ρ], dove ρ è il rggio di covergez dell serie x. Il seguete teorem crtterizz le proprietà dell fuzioe somm.

19 Teo 8 (itegrzioe e derivzioe serie di potez). Si (x x 0 ) serie di poteze di cetro x 0 e rggio di covergez ρ > 0, I l isieme di covergez putule ed f : I R l fuzioe somm f(x) = (x x 0 ) x I. Allor () f è cotiu i I e x x 0 f(t) dt = + (x x 0) + x I; (2) f è derivbile ifiite volte i ]x 0 ρ, x 0 + ρ[ e f () k! (x) = (k )! (x x 0) k x ]x 0 ρ, x 0 + ρ[ k= f () (x 0 ) =! N. Dimostrzioe. No si perde di geerlità d ssumere x 0 = 0. Dimostrimo prim che f è derivbile i ] ρ, ρ[. L -esimo termie geerle dell serie x è l fuzioe f : R R che è derivbile i R e f (x) = x x R, (2) f (x) = x x R. L serie f è l serie derivt x co rggio di covergez ρ per l proposizioe 0. Fissto x ] ρ, ρ[, si R R tle che x < R < ρ. Il teorem sul rggio di covergez ssicur che l serie f coverge putulmete i [ R, R] e l serie f coverge uiformemete i [ R, R], llor il teorem di derivzioe termie termie implic che l somm f è derivbile i [ R, R] e, quidi, i x ] R, R[. Ioltre f (x) = x. I prticolre f (0) =. L prov per >, segue per iduzioe. Provimo or che f è cotiu i x I. Se x ] ρ, ρ[, l tesi segue dl ftto che f è derivbile i x. Se x coicide co uo dei due estremi, d esempio x = ρ, il teorem di Abel implic che l serie f coverge uiformemete i [0, ρ]. Il teorem sull cotiuità dell somm ssicur che f è cotiu i [0, ρ] e, quidi, i ρ. Ifie, fissto x I, si J l itervllo chiuso di estremi 0 e x (ovvimete J I poichè I è u itervllo), per quto visto sopr, l serie f coverge uiformemete i J e il teorem di itegrzioe termie termie implic che x 0 f(t) dt = x 0 f (t) dt = x 0 t dt = Esempio 7. L serie di poteze ( ) + x = log( + x) x ], ]. + x+. 9

20 20 Iftti, l esempio 2 mostr che l isieme di covergez è ], ], metre l serie derivt (3) ( ) + x = ( x) = x ], [, + x poichè è l serie geometric. Per il teorem sull itegrzioe e derivzioe delle serie di poteze ( ) + x x = dt = log( + x) x ], [. + t ( ) + 0 Poichè x e log( + x) soo fuzioi cotiue i, l ugugliz (3) vle che per x = e, quidi, ( ) + = log 2. Esempio 8 (serie espoezile). Si chim serie espoezile l serie di poteze! x = + x + 2 x2 + 3! x3 +..., che coverge ssolutmete i R ll fuzioe espoezile e x. Iftti, poichè! ( + )! = = 0, per il criterio del rpporto il rggio di covergez è + e l serie coverge ssolutmete i R per il teorem sulle serie di poteze. Si f(x) =! x, llor il teorem sull itegrzioe e derivzioe delle serie di poteze implic f (x) =! x =! x, e, quidi, f (x) = f(x) per ogi x R e, i prticolre, f(0) = =. Posto h(x) = e x f(x) per ogi x R, si h che h(0) =, h è derivbile e h (x) = e x f(x) + e x f (x) = 0 x R. Allor, h è costte ugule, per cui f(x) = e x per ogi x R. Il ftto che l somm delle serie espoezile si e x si può provre i modo ltertivo. L fuzioe espoezile e x è ifiitmete derivbile i R e le derivte di ogi ordie i x 0 = 0 soo uguli d, per cui l serie espoezile è l serie di Mcluri dell fuzioe e x. Ioltre, fissto x R, vle 0 D () ( e t) = e t e x t x, llor l fuzioe e x è sviluppbile i serie di Tylor i R essedo soddisftt l codizioe sufficiete (teorem 9). Esempio 9 (serie biomile). Dto α R, α N, si chim serie biomile l serie di poteze ( ) α x α(α ) = + αx + x 2 α(α )(α 2) + x ! dove ( α 0) = e ( ) α = α(α )... (α ( ))! N,.

21 L serie coverge ssolutmete i ], [ ll fuzioe ( + x) α. Iftti, poichè ( α ) + ( α = ) α =, per il criterio del rpporto il rggio di covergez è e l serie coverge ssolutmete i ], [ per il teorem sulle serie di poteze. Si f(x) = ( α ) x, llor il teorem sull itegrzioe e derivzioe delle serie di poteze implic che per ogi x ], [ ( ) α ( ) α f (x) = (α ( )) x = (α ) x ( ) ( α ( ) ) α = α x xd x D cui = αf(x) xf (x). ( + x)f (x) = αf(x) x ], [ e f(0) = =. Posto h(x) = ( + x) α f(x) per ogi x ], [, si h che h(0) =, h è derivbile e h (x) = ( + x) α αf(x) + ( + x) α f (x) = 0 x ], [. Allor, h è costte ugule, per cui f(x) = ( + x) α per ogi ], [. Il seguete risultto estede lle serie di poteze, il pricipio di idetità dei poliomi. Cor. 6. Sio (x x 0 ) e b (x x 0 ) due serie di poteze di cetro x 0 e rggi di covergez ρ > 0 e ρ 2 > 0, rispettivmete. Se esiste 0 < δ < mi{ρ, ρ 2 } tle che (x x 0 ) = b (x x 0 ) x x 0 δ, llor = b per ogi N. Dimostrzioe. L serie di poteze ( b ) (x x 0 ) coverge f(x) = 0 per ogi x x 0 δ e, ovvimete, f () (x 0 ) = 0 per ogi N. Il teorem precedete implic che 2 d cui = b. ( b ) = f () (x 0 )! = 0 N, Def. 5. Si f : I R co I R itervllo tle che f si derivbile ifiite volte i I. Fissto x 0 I, l serie di poteze f () (x 0 ) (x x 0 )! si chim serie di Tylor di f co cetro x 0 (se x 0 = 0 si chim serie di Mcluri). L fuzioe f è sviluppbile i serie di Tylor co cetro x 0 ell itervllo I se f () (x 0 ) f(x) = (x x 0 ) x I.!

22 22 Dt u serie di poteze (x x 0 ) co rggio di covergez ρ > 0, il teorem sull itegrzioe e derivzioe implic che l fuzioe somm f(x) = (x x 0 ) è sviluppbile i serie di Tylor di cetro x 0 i ]x 0 ρ, x 0 + ρ[. Ad esempio, per quto visto sopr, le fuzioi e x, log( + x) e ( + x) α soo sviluppbili i serie di Mcluri rispettivmete i R, ], ] e ], [. Teo 9. [Codizioe sufficiete per l sviluppbilità i serie di Tylor] Si f : I R co I R itervllo tle che f si derivbile ifiite volte i I. Se esistoo M > 0, L > 0 tle che per ogi N (4) f () (x) M L x I, llor, dto x 0 I, f è sviluppbile i serie di Tylor co cetro x 0 i I. Dimostrzioe. Dto N, l somm przile -esim dell serie di Tylor di f è il poliomio di Tylor T di f di cetro x 0 T (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) f () (x 0 ) (x x 0 ).! Fissto x I, l formul di Tylor co il resto di Lgrge implic che esiste t x I tle che L codizioe (4) implic f(x) = T (x) + f (+) (t x ) (x x 0 ) +. ( + )! (5) f(x) T (x) M L+ ( + )! x x 0 +. L codizioe ecessri di Cuchy per l serie umeric L! x x 0 (che coverge essedo l serie espoezile) ssicur L! x x 0 = 0. Fcedo il ite per che tede + dell (5), il criterio del cofroto implic per cui T (x) = f(x). (f(x) T (x)) = 0, L codizioe (4) può essere idebolit. Iftti è sufficiete richiedere che, per ogi x I, esisto M > 0, L > 0 (evetulmete dipedeti d x) tli che f () (t) M L t I, t x 0 x x 0.

23 23 Serie di Mcluri di lcue fuzioi elemetri x = x = + x + x 2 + x x ], [ e x =! x = + x + 2 x2 + 3! x x R log ( + x) = ( ) + x = x 2 x2 + 3 x x ], ] si x = ( ) (2+)! x2+ = x 3! x3 + 5! x x R cos x = ( ) (2)! x2 = 2 x2 + 4! x x R rct x = ( ) 2+ x2+ = x 3 x3 + 5 x x [, ] ( + x) α = ( α ) x = + αx + α(α ) 2 x 2 + α(α )(α 2) 3! x x ], [ co α R, α N.