Successioni numeriche

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1 08//05 uccssioi umrich uccssioi umrich Dfiizio U succssio è u fuzio ch d ogi umro turl ssoci u umro rl 0 : 0 : Es.

2 08//05 uccssioi umrich Dfiizio Il it dll succssio ch ch covrg d ) si idic è il umro rl (si dic ( ) s, quluqu si ε > 0 :. uccssioi umrich Es. trmit l dfiizio dimostrimo ch 0 i h 0 Quidi bst porr si h ch 0

3 08//05 uccssioi umrich il it dll succssio è u umro fiito llor l succssio si dirà covrgt (o rgolr); s il it di (rgolr); è ifiito, llor si dirà divrgt s ivc tl it o sist, llor idtrmit (o irrgolr); si dirà L dfiizio di it ifiito pr l succssio i tormi sui iti soo loghi qulli visti pr l fuzioi. uccssioi umrich Dfiizio K 0 N N( K) : N : K H 0 M M ( H ) : M : H Torm dll uicità dl it. è uico. 3

4 08//05 uccssioi umrich Torm dll prmz dl sgo 0 ( o 0) Allor >0 dfiitivmt (o <0). Pr l succssioi, «dfiitivmt» sigific pr bbstz grd. Es. 0 è dfiitivmt positiv pr >00 uccssioi umrich Torm Ogi succssio si dic itt s M : M. Es. () è itt: (M=), M o h it, iftti ( ) o sist si è itt m o mmtt it 4

5 08//05 uccssioi umrich Torm dl cofroto (o di du crbiiri) io, b, c tr succssioi tli ch b c N. c, llor ch l succssio b è covrgt si h b. uccssioi umrich Torm b dfiitivmt, s, llor ch b, Alogmt s b c llor ch c b 5

6 08//05 uccssioi umrich Torm è u succssio itt b 0, llor l succssio prodotto b 0. Es. si (si ) 0 i quto si è itt: si 0 uccssioi umrich uccssioi ifiitsim (cioè covrgti zro) o ifiit (cioè divrgti) possoo ssr cofrotbili com si è ftto pr l fuzioi. L dfiizioi soo logh. i h, ch pr l succssioi l b!, b 0,. Ach pr l succssioi vlgoo l oprzioi co i iti l covzioi co l, visti pr l fuzioi. 6

7 08//05 uccssioi umrich Ach i iti otvoli visti pr l fuzioi, si dtto ll succssioi si Es. si cos cos l( ) l uccssioi umrich Dfiizio L succssio mooto crsct s si dfiisc mooto strttmt crsct s mooto dcrsct s mooto strttmt dcrsct s, N Ogi succssio mooto mmtt it. I prticolr ogi succssio mooto itt è covrgt (cioè mmtt it fiito: pr s l=sup s è itt crsct),,, N N N 7

8 08//05 8 Esrcizio. Clcolr il it: ) ) 0 l ) l( ) ( 0 ri umrich

9 08//05 ri umrich i u succssio vlori rli, si dic sri di trmi grl : dll somm przili (o ridott) 0, l succssio k k0 ri umrich Dfiizio Dicimo ch l sri 0, è covrgt co somm, s fiito divrgt s, idtrmit (oscillt) o sist 9

10 08//05 ri gomtric q 0 ri gomtric di rgio q - covrg s q h pr somm, q - divrg s q, - oscill s q. q q llor q 0 0 q primo trmi dll sri 0 q ri gomtric Iftti s q, si h q k 0 q q... q (s q= llor = + + l sri divrg) moltiplicdo mmbro mmbro pr q ( 0) si otti ( q) q q... q ( q) q d cui q q, 0

11 08//05 ri gomtric pssdo l it q q q irrgolr s q s q s q ri tlscopic 0 b b ri tlscopic i h b b 0 - covrg co somm s b - divrg s è fiito, b b0 b - oscill s b o sist

12 08//05 ri di Mgoli ( ) ri di Mgoli (prticolr sri tlscopic) i h ( ) L sri di Mgoli covrg co somm = ri rmoic, 0 ri rmoic grlizzt ( sri rmoic ) - covrg s - divrg s

13 08//05 ri umrich Esrcizio Dir s covrgoo, s possibil, dtrmir l somm dll sguti sri 3 è u sri gomtric di rgio Prciò covrg co somm: q 3 q 0 3 q 3 6 ri umrich 0 è u sri tlscopic. i h k k 0 k Prciò l sri covrg co somm = 3

14 08//05 ri umrich Torm Codizio cssri ffiché trmi grl td zro: 0 covrg è ch il 0 (l sri può covrgr o divrgr) ri umrich ri trmii o gtivi L succssio dll somm przili di u sri trmii o gtivi è u succssio crsct Dl torm sul it di u succssio mooto si h ch sup, N 4

15 08//05 ri trmii o gtivi Prciò l sri trmii o gtivi o è covrgt 0 oppur è divrgt (o può ssr idtrmit). Covrg solo s è itt. ri trmii o gtivi Codizioi sufficiti Critrio dl cofroto. io ch llor b 0 b du sri trmii o gtivi tli dfiitivmt - s b covrg, covrg ch l sri, - s divrg, divrg ch b 5

16 08//05 Codizioi sufficiti, critrtio dl cofroto L sri b è dtt mggiort, l miort. Dimostrzio. io k0 k, * k0 b k Pr ipotsi otti 0 b, pssdo ll somm przili si * 0. Essdo sri trmii o gtivi, o possoo ssr idtrmit. i otti l tsi. Esrcizio Dir s covrgoo l sguti sri ) ) si i h: l sri 0 si è u sri rmoic grlizzt covrgt l 3 i h: l 0 quidi, com prim, l sri 3 3 dt covrg pr il critrio dl cofroto. 6

17 08//05 Codizioi sufficiti, critrio dll rdic Critrio dll rdic i u sri trmii o gtivi suppoimo ch sist il it llor covrg divrg il critrio è ifficc Codizioi sufficiti, critrio dll rdic Dimostrzio. uppoimo ch, pr dfiizio di it di succssio si h 0, : d ssdo quidi l 7

18 08//05 Codizioi sufficiti, critrio dll rdic L succssio è il trmi grl di u sri gomtric covrgt. Pr il critrio dl cofroto covrg ch l sri miort ivc suppoimo, logmt trovimo Pr il cofroto co l sri gomtric divrgt ottimo ch divrg ch l sri mggiort Esrcizio Dir s covrgoo l sguti sri ) 0 3 (è u sri gomtric co rgio q> quidi divrgt) Voldo pplicr il critrio dll rdic si rriv llo stsso risultto: 3 3 quidi l sri dt divrg. ) i h: Prciò l sri covrg pr il critrio dll rdic 8

19 08//05 Codizioi sufficiti, critrio dl rpporto Critrio dl rpporto i u sri trmii positivi suppoimo ch sist il it Allor covrg divrg il critrio è ifficc Codizioi sufficiti, critrio dl rpporto Dimostrzio. uppoimo ch, pr dfiizio di it di succssio si h 0, : d ssdo l quidi 9

20 08//05 Codizioi sufficiti, critrio dl rpporto Pr itrzio si h... Pr il cofroto co l sri gomtric covrgt, covrg ch l sri ivc suppoimo logmt trovimo Codizioi sufficiti, critrio dl rpporto pr il cofroto co l sri gomtric divrgt ottimo ch divrg ch l sri di prtz 0

21 08//05 Codizioi sufficiti, critrio dl cofroto sitotico Critrio dl cofroto sitotico io b b llor l corrispodti sri du succssioi sitotich cioè ho lo stsso comportmto, cioè soo trmb covrgti o divrgti. b b Codizioi sufficiti, critrio dl cofroto sitotico Dimostrzio. llor prciò b b 0, : b Pr smpio scglido si h b 3 cioè b b. Applicdo il torm dl cofroto si h l tsi. 3

22 08//05 Esrcizio. Dir s covrgoo l sguti sri: ) l( Essdo ) l( ) comportmto dll sri rmoic si ) 3 si 0 3 i h llor l sri dt h lo stsso quidi divrg. llor l sri dt h lo stsso comportmto dll sri rmoic grlizzt 3 quidi covrg. ri trmii di sgo vribil

23 08//05 ri trmii di sgo vribil Dfiizio i u succssio di sgo vribil, l sri si dic ssolutmt covrgt s covrg l sri ( trmii o gtivi). Torm l sri covrg ssolutmt, llor covrg. ri trmii di sgo vribil L covrgz ssolut implic l covrgz ordiri (o covrgz smplic). No è vro il vicvrs Es. L sri ssolutmt. Iftti ( ) ( ) covrg smplicmt m o Quidi o covrg ssolutmt, mtr l covrgz smplic si h grzi l critrio di Libiz: (ri rmoic: divrgt) 3

24 08//05 ri trmii di sgo ltro Critrio di Libiz Dt l sri di sgo ltro : i) l succssio è dcrsct; ii) 0 0 ( ), co 0,, llor l sri è covrgt. Critrio di Libiz Ioltr, l somm przili di idic pri pprossimo l somm pr ccsso, qull di idic dispri pr diftto. Il rsto dll sri è mggiorto, i vlor ssoluto, dl primo trmi trscurto: k0 ( ) k k ; = somm dll sri k0 ( ) k k ; R k ( ) k k, 4

25 08//05 Esrcizio Utilizzdo il critrio di Libiz, dir s covrgoo l sri ( ) )! Covrg i quto ( )! ( )!! prciò ( )!! ) ( ) si! Covrg i quto si si (l composizio tr u succssio crsct u dcrsct d com risultto u succssio dcrsct si 0 0 ) ( ) si Covrg i quto i) si 0 ii) Ioltr si si (l composizio tr u succssio crsct u dcrsct d com risultto u succssio dcrsct.) Il ftto ch l succssio si dcrsct si può provr cosidrdo l fuzio ssocit: f ( x) si clcoldo l drivt prim si trov ch è smpr gtiv, quidi l fuzio dcrsc prciò dcrsc ch l succssio ssocit x 5

26 08//05 ( ) ( ) l 6