SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI { } n( ) f x converge puntualmente su S D ad una =, cioè se. ( n ) ( )

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1 Successioi di fuzioi { } Si SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI f u successioe di fuzioi defiite tutte i u sottoisieme D { } Defiizioe : Si dice che l successioe fuzioe f ( ) se, S, risult f f lim f coverge putulmete su S D d u =, cioè se S e ε > ε / > ε f f < ε { } Si us l otzioe f f su S per idicre u successioe f ( ) che coverge putulmete su S D ll fuzioe f ( ) E' importte otre come l sogli Questo sigific che l disugugliz rispetto ll'idice, che i fuzioe dell scelt del puto i S I sostz u volt fissto i S l successioe successioe umeric che coverge l umero f ( ) Esempio Si f = ε diped si d ε che dl puto fissto i S f f < ε è verifict, oltre che defiitivmete { } f è d iterpretre come u Quest successioe, le cui fuzioi soo tutte defiite e cotiue i R, coverge putulmete solo se (,) sull'itervllo (,] ll fuzioe f = se = { } f isieme di covergez putule dell successioe I tl cso, l'itervllo (,] si dice E' possibile verificre, ttrverso dei cotro-esempi, che dll covergez putule, su S, di u f o seguoo le segueti proprietà: { } successioe f ( ) ll fuzioe limite ( ) i) lim lim f = lim lim f = lim f (pssggio del limite sotto il sego di limite); ii) lim lim ( ) d d d f = f = f d d d iii) lim lim ( ) b b b f d = f d = f d (pssggio del limite sotto il sego di derivt); (pssggio del limite sotto il sego di itegrle); dove i puti,, b S Ovvimete, ei puti precedeti, si suppoe l'esistez dei limiti per, l derivbilità e l'itegrbilità i [ b ] di tutte le fuzioi f ( ) e f, o meo dell i) implic l vlidità o meo dell seguete proprietà i)' se le fuzioi f( ) soo tutte cotiue i llor lo è che f ( ) Ioltre l vlidità Esempio U successioe di fuzioi cotiue i [, b ] che coverge putulmete d u fuzioe discotiu su [, b ] Si f =, co [,] Tutte queste fuzioi soo cotiue

2 i [, ], m l fuzioe limite f [ ) se, = se = geerle, l proprietà i) (e quidi l i)') o vle preset u discotiuità i Quidi, i Esempio 3 U successioe di fuzioi per cui o vle l ii) Si f ( ) [,] Si vede fcilmete che f f su [ ], Ioltre si h ( ) =, co d se, lim f ( ) = lim ( ) ( ) = lim = d + se = metre d d d ( lim f ) = f = =, [,] d d d Esempio 4 L successioe f ( ) o vle l iii) Iftti =, co [,] lim d + f d= lim ( ) d= lim ( ) d= + d metre lim f d= d= forisce che u esempio per cui + ( ) = lim = lim = + + Allo scopo di recuperre l vlidità delle proprietà i) ii) e iii) si itroduce il cocetto di covergez uiforme { } Defiizioe : Si dice che l successioe fuzioe f ( ) se, idipedete d, risult f f { } Se f coverge uiformemete su S D d u lim =, cioè se ε > / > f f < ε, S f coverge uiformemete su S D comptt f f su S ε ε ll fuzioe f scriveremo i form più E' importte otre come, i questo cso, l sogli ε diped solo d ε e o dl puto di S, quidi l disugugliz f f < ε vle solo defiitivmete rispetto ll'idice, m idipedetemete dll scelt di i S Dl puto di vist geometrico ciò si può iterpretre dicedo che, ll'umetre di, i grfici delle fuzioi f tedoo d pprossimre sempre meglio il grfico dell fuzioe limite f fio sovrpporsi ess l limite o, ltertivmete, che f è coteuto i u tubo di ltezz ε delimitto di grfici ε > l'itero grfico su S di ogi f + ε delle fuzioi f ε e, ( ]

3 Si può dimostrre che, ε seguete relzioe sup S f f < ε S >, l relzioe f f < ε, iftti si h: sup S essedo il sup il più piccolo dei mggiorti, e ε >, f f < ε S f f < ε S è equivlete ll f f < ε (o scrivimo per l'rbitrrietà di ε ) sup essedo il sup u mggiorte Quidi vle il seguete il risultto Teorem CNES ffiché f S f f < ε f su S è che lim sup f f = S { } Nell'esempio l successioe f( ) o coverge uiformemete su [ ] limite f ( ) i quto, per = si h f f [ ),, [ ), ll fuzioe =, m sup f f = sup =, N (l covergez è ivece verifict su qulsisi itervllo [,b ] co b< ) Ache egli esempi 3 e 4 l successioe { } f o coverge uiformemete ll fuzioe limite f i quto si può dimostrre che sup f =, N [,] + + lim sup f = lim =+ [,] + + e, quidi, che Esempio 5 Studire l covergez putule e uiforme dell successioe f sull'itervllo [,+ ) d f d Si h f su [,+ ) Ioltre ( ) fuzioi f( ) i [,+ ) Quidi sup [, ) + = ( + ) = + d cui segue l strett crescez delle f f = lim f = I coclusioe vremo + lim sup lim f f = [, +) = d cui segue l uiforme covergez Si può dimostrre il seguete risultto { } f u successioe di fuzioi tle che f f soo cotiue i S, che l fuzioe limite f ( ) è cotiu i Teorem Si fuzioi f su S Allor, se tutte le Ovvimete questo teorem può essere sfruttto per stbilire se u covergez putule si che uiforme Più i geerle possimo eucire l seguete proprietà:

4 { } Teorem 3 Si f u successioe di fuzioi tle che f f su S, e si u puto di ccumulzioe di S Allor, se ciscu fuzioe f( ) coverge l vlore che l fuzioe limite f coverge l umero α per e risult limα = α α per, I segueti due teoremi foriscoo codizioi sufficieti per grtire il pssggio del limite sotto il sego di derivt o di itegrle Del primo esistoo vrie versioi co ipotesi più o meo restrittive { } f u successioe di fuzioi tle che f derivbile i S e risulti f F su S Allor l covergez di Teorem 4 Si f su S Si ciscu { } fuzioe f f f che uiforme su S; ioltre l fuzioe limite f ( ) è derivbile i S e risult F = f { } Teorem 5 Si f ( ) u successioe di fuzioi cotiue i [, ] [, b ] Allor risult lim lim ( ) b b b f d = f d = f d b tle che f è f su Serie di fuzioi Defiizioe 3: Si dice che l serie di fuzioi f coverge uiformemete su S d u fuzioe somm s( ) se l successioe delle somme przili s f uiformemete s( ) su S, cioè s s su S = coverge Alogmete lle successioi umeriche vle l seguete codizioe ecessri di covergez uiforme Teorem 6 Codizioe ecessri ffiché l serie f covergete su S è che f risulti uiformemete lim sup =, cioè che l successioe dei suoi termii geerli S coverg uiformemete su S Iftti se f è uiformemete covergete s( ) su S, si h s s su S Allor risult s s = f su S, cioè f s s lim sup = S e U criterio che si può utilizzre per dimostrre che u serie di fuzioi o coverge uiformemete è il seguete: Teorem 7 Si f covergete putulmete su (, ) f o covergete; ioltre le fuzioi f( ) sio cotiue i [, ) f o coverge uiformemete su (, ) b b e si l serie umeric b Allor l serie

5 Il seguete esempio, fcedo uso del teorem 7, mostr come l codizioe di covergez uiforme di u serie (eucit el teorem 6) si solo ecessri m o sufficiete Esempio 6 Studire l covergez putule e uiforme dell serie sull'itervllo [ ) Sfruttdo il criterio del rpporto si dimostr l covergez putule dell serie i [, ) Ioltre, per = l serie umeric diverge Essedo le fuzioi serie o coverge uiformemete sull'itervllo [ ), tutte cotiue i [ ] Alogmete l cso delle successioi, per le serie di fuzioi vlgoo i segueti teoremi: Teorem 8 Si f,, N, l u serie di fuzioi cotiue i S Se l serie coverge uiformemete su S, llor l fuzioe somm è che cotiu i S Teorem 9 Si f u serie di fuzioi covergete putulmete ciscu fuzioe f( ) derivbile i S e risulti f coverge F( ) su S Allor l covergez di f fuzioe limite s( ) è derivbile i S e risult F s s su S Si (dett serie derivt) uiformemete = Teorem Si f uiformemete coverge s( ) su [, ] f ( ) cotiu i [, b ] Allor b b f d= f d Defiizioe 4: Si dice che l serie di fuzioi f umeric M covergete tle che s è che uiforme su S; ioltre l b Si, ciscu fuzioe coverge totlmete se esiste u serie f M S e Teorem (Criterio di Weierstrss) Se f coverge uiformemete su S coverge totlmete su S llor ess Esempio 6 Studire l covergez putule e uiforme dell serie ( ) / E' u serie geometric di rgioe, pertto l'isieme di covergez putule è (, ] Poiché il termie geerico è cotiuo i [, ] e l serie umeric otteut per = diverge, o c'è covergez uiforme su (, ] L covergez uiforme si verific, per il criterio di

6 Weierstrss, su ogi itervllo [,] [,] e l serie umeric ( ) / co coverge < < ; iftti si h f = ( ) ( ) / / Il seguete esempio mostr u serie che è uiformemete covergete sez essere totlmete covergete Esempio 7 Studire l covergez putule e uiforme dell serie ( ) + + L serie, R, verific le codizioi del criterio di Leibiz e quidi l'isieme di covergez putule è R Ioltre, sempre dl criterio di Leibiz si h quidi, s s R s s f = +, R, limsup = d cui segue l'uiforme covergez dell serie su R Tuttvi l serie o coverge totlmete perché sup f R =, m l serie umeric Esempio 8 Studire l covergez putule e uiforme dell serie L serie, R, è sitoticmete equivlete ll serie ( ) π ( ) diverge ( ) rct 3 3 e quidi ll serie che coverge Ioltre sup rct = per e quidi o è verifict l R 3 4 codizioe ecessri di covergez uiforme di u serie Tuttvi, l serie dt coverge totlmete su ogi itervllo chiuso e limitto, per esempio del ( ) ( ) α [ α, α], α > ; iftti sup rct rct = e l serie umeric [ α, α] 3 3 ( ) α rct 3 coverge, essedo sitoticmete equivlete ll serie Serie di poteze Defiizioe 5: Si dice serie di poteze di cetro coefficieti reli o complessi u serie di fuzioi del tipo ( ) Sfruttdo il criterio del cofroto si dimostr che se l serie di poteze coverge i u puto llor, posto h=, coverge i ogi puto tle che ( h, + h) Per determire l'isieme di covergez putule S dell serie, mmesso che l successioe + usiliri si regolre, sfruttimo il criterio del rpporto:

7 lim ( ) ( ) + = lim + + ; per cui R tle che lim + < si h l covergez, metre R tle che lim + > si h l divergez Ioltre si h u cso dubbio i quei puti R tli = lim + + Defiizioe 6: Se l successioe usiliri è regolre, llor si dice rggio di covergez dell serie di poteze il umero ρ = lim + Il rggio di covergez si può che clcolre utilizzdo, qulor risulti regolre, l successioe usiliri, iftti si h ρ = lim D quto detto, si h che l serie di poteze coverge putulmete ell'itervllo ( ρ, ρ) +, metre diverge ll'estero Agli estremi di tle itervllo occorre fre u verific dirett Ovvimete, ei csi estremi i cui ρ = + oppure ρ =, si h che l'isieme di covergez è rispettivmete tutto l'sse rele o l'isieme costituito dl solo cetro Esempio 9 Studire l covergez putule delle serie di potez, e Per tutte e tre le serie il rggio di covergez è ρ = lim= lim = lim =, quidi tutte + ( + ) covergoo i (,) Per = coverge solo l terz, metre per = coverge si l secod che l terz I coclusioe i tre isiemi di covergez putule per le tre serie soo rispettivmete S = (,), S = [,) e S 3= [,] Si può dimostrre il seguete teorem Teorem Si ( ) u serie di poteze Allor - se ρ = l serie coverge putulmete solo i ; - se ρ (, + ) l serie coverge ssolutmete i ( ρ, ρ) totlmete e quidi uiformemete i ogi itervllo [ h, h] + ; ioltre l serie coverge + co < h< ρ ; - se ρ=+ l serie coverge ssolutmete i R ; ioltre l serie coverge totlmete e α, α co α R quidi uiformemete i ogi itervllo [ ]

8 Si ( ) u serie di poteze; cosiderimo l rispettiv serie derivt e l serie itegrt ( ) + Teorem 3 U serie di poteze ( ) + stesso rggio di covergez Ioltre, se Allor vle il seguete teorem e le rispettive serie derivt e itegrt ho lo ρ> oppure ρ =+, llor l somm ( ) è cotiu e derivbile i ( ρ, + ρ) e ( ρ, ρ) e s d= ( ) s = + si h + = + Possimo che scrivere le ultime due formule el modo seguete d d ( ) = ( ) e ( ) = ( ) d d Iterdo il primo risultto del teorem 3, otteimo Corollrio Si ( ) s dell serie d d u serie di poteze co rggio di covergez ρ> oppure ρ =+ Allor dett s( ) l su somm, si h che s( ) è di clsse C i ( ρ, ρ) risult s ( ) ( ) = N! Se, ivece, ρ = llor = N Corollrio Sio ( ) e b ( ) covergez + e due serie di poteze co rggio di ρ> oppure ρ =+ Allor, se le serie ho l stess somm i ( σ, + σ) co < σ < ρ, risult = b N Sviluppo i serie di Tylor Si f ( ) u fuzioe di clsse C ell'itoro I δ Defiizioe 7: Si dice serie di Tylor dell fuzioe f di cetro l serie di poteze f ( ) ( )! Abbimo visto, el corollrio, che se l serie di poteze ( ) rppreset (cioè h come somm) u fuzioe f ( ) i u itoro Iδ ( ), llor ecessrimete f C Iδ( ) ( f ) ( ) = N! e ioltre, cioè l serie di poteze coicide co l serie di Tylor dell fuzioe f di

9 cetro I ltre prole l serie di Tylor dell fuzioe f di cetro è l'uic cdidt rppresetre l fuzioe f ell'itoro Iδ ( ) Tuttvi, o sempre l serie di Tylor f ( ) ( ) rppreset effettivmete l fuzioe! f; potrebbe succedere che quest o coverg per qulche del domiio dell f (come, vedremo, ccde per gli sviluppi delle fuzioi elemetri), oppure che quest coverg m o d f (come mostr il seguete esempio) Esempio Si f, m si h che ( ) = e se L fuzioe è di clsse C i R e, quidi, i u itoro di se = f = N, d cui segue che l rispettiv serie di McLuri è f = che, i qulsisi itoro di o coicide (e quidi o rppreset) l fuzioe! Defiizioe 8: U fuzioe f di clsse C ell'itoro Iδ ( ) si dice sviluppbile i serie di Tylor i Iδ ( ) se, Iδ( ), si h ( ) f f =! L'esempio mostr che l codizioe che f si di clsse C i Iδ ( ) è solo ecessri m o sufficiete grtire l su sviluppbilità i serie di Tylor i quell'itoro Per stbilire u codizioe che si che sufficiete cosiderimo l formul di Tylor Iftti se f è di clsse C ell'itoro I ( ) I e N, si h dove δ llor, δ ( ) f f = + R,! R è il resto dell formul di Tylor di ordie che sppimo essere R = o ( ) per Allor si h il seguete risultto Teorem 4 CNES ffiché u fuzioe f C Iδ( ) si sviluppbile i I ( ) è che si bbi Tylor di cetro I δ lim R = δ i serie di Purtroppo verificre quest'ultim codizioe è spesso difficile; è utile perciò il seguete criterio di più fcile ppliczioe: ( δ ) Teorem 5 Si Allor CS ffiché, f C I esisto due costti M e L tli che ( ), f ML Sviluppi i serie di Tylor delle fuzioi elemetri I, risulti lim R = è che I e N Determiimo lo sviluppo i serie di McLuri delle fuzioi elemetri δ δ

10 Esempio (sviluppo di McLuri è Poiché! e ) L fuzioe ( ) f e f = e è di clsse C i R L rispettiv serie di = è illimitt su R ess o soddisf l codizioe sufficiete del teorem 5 Tuttvi, l stess codizioe è verifict i qulsisi itervllo chiuso α, α, co α> fissto I tle itervllo l fuzioe verific l codizioe suddett co [ ] M = e α e L=, iftti ( ) = Si ottiee, quidi che, [ α, α] f e e α per l'rbitrrietà di α si h l sviluppbilità di f = e su tutto R, cioè, si h e = e! e =, R! Esempio (sviluppo di sih e di cosh ) Dllo sviluppo posto di, si h e = ( ), R Per cui segue subito che! + e e sih = =, R ;! ( + ) e + e cosh = =, R! e =, R!, poedo l Esempio 3 (sviluppo di si e di cos ) Le fuzioi soo etrmbe di clsse C i R Poiché d d d si e cos su R, esse soddisfo su tutto R l codizioe sufficiete del teorem d 5, co M = L= Si ottiee pertto Esempio 4 (sviluppo di + si =, R ;! ( + ) cos =, R! ( ) + α, α R ) Si può dimostrre che α α ( + ) =, (,) Prim di pssre d ltri sviluppi, formuleremo sez dimostrzioe il teorem di Abel, che srà utile i seguito Questo teorem ci forisce le codizioi per stbilire l regolrità dell fuzioe somm che gli estremi dell'itervllo di covergez u serie di poteze co rggio di covergez Si ( ) fuzioe somm f ( ) è cotiu i ( ρ, ρ) ρ> ; llor sppimo che l + E gli estremi cos si può dire?

11 Teorem 6 (Teorem di Abel) Si f ( ) l somm dell serie ( ) covergez ρ> Se l serie coverge che i umeric ρ coverge, llor l fuzioe (oppure, destr, i ( ρ) ρ ) e si h lim f = f ( ρ) = ( ) ρ + + ρ (oppure i, co rggio di ρ ), cioè se l serie f è cotiu, siistr, che i lim ( ρ) + ( ρ) + ρ = + = ρ oppure f f Sfruttimo questo risultto per studire l sviluppbilità di ltre fuzioi elemetri Esempio 5 (sviluppo di rct ) E' oto che l fuzioe f geometric ell'itervllo (,) Itegrdo per serie si ottiee Poedo l posto di si ottiee (,) = + = è l somm dell serie d cui, per il teorem 3 t dt= t dt + (,) e quidi, clcoldo l'itegrle, rct = t dt, + rct =, + Ioltre, l serie di poteze secodo membro coverge, per il criterio di Leibiz, che i e i -, quidi, dl teorem di Abel si h i prticolre, per e, per + rct =, + [ ] ; =, bbimo π = rct= + 4 π = = =, bbimo rct I questo modo bbimo che clcolto l somm di u serie termii di sego ltero Esempio 6 (sviluppo di l( ) per serie si ottiee ) Dllo sviluppo = ell'itervllo (,), itegrdo

12 d cui, per il teorem 3 t dt= t dt (,) e quidi, clcoldo l'itegrle, l =, t dt + l( ) = (,) + Ioltre, l serie di poteze secodo membro coverge, per il criterio di Leibiz, che -, quidi, dl teorem di Abel si h i prticolre, per =, bbimo + l( ) = [,) ; + + = l + Esempio 7 (sviluppo di l( ) + ) Dllo sviluppo l posto di e itegrdo per serie si ottiee = ell'itervllo (,), poedo d cui, per il teorem 3 dt= t dt t + (,) e quidi, clcoldo l'itegrle, l, ( + ) = ( ) t dt ( ) + l( + ) = ( ) (,) + Ioltre, l serie di poteze secodo membro coverge, per il criterio di Leibiz, che i, quidi, dl teorem di Abel si h + l( + ) = ( ) (,] +