Corso di Calcolo Numerico

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1 Fcoltà di Igegeri - Lure Triele i Igegeri Meccic Corso di Clcolo Numerico Dott.ss M.C. De Bois Uiversità degli Studi dell Bsilict, Potez Fcoltà di Igegeri Corso di Lure i Igegeri Meccic Ao Accdemico 004/05 Corso di Clcolo Numerico - Dott.ss M.C. De Bois

2 Fcoltà di Igegeri - Lure Triele i Igegeri Meccic Cei sull Itegrzioe Numeric Si f(x) u fuzioe defiit ell itervllo chiuso e limitto [, b], ivi itegrbile, l Itegrzioe Numeric cosiste el clcolre, i luogo dell itegrle l itegrle I(f) = I(φ) = f(x)dx φ(x)dx, dove φ è u fuzioe che pprossim f i [, b]. Si ricorre ll itegrzioe umeric perché spesso o è possibile clcolre l itegrle I(f) per vi litic e, che qudo questo è possibile, può ccdere che el clcolo soo coivolte fuzioi o elemetri, che devoo poi essere vlutte (e quidi pprossimte). Corso di Clcolo Numerico - Dott.ss M.C. De Bois

3 Fcoltà di Igegeri - Lure Triele i Igegeri Meccic Pertto, suppoedo di cooscere o di poter vlutre l fuzioe itegrd f i puti {x k } k=1,..., prefissti, l itegrle I(f) verrà clcolto el seguete modo I(f) = k f(x k ) + e (f) := G (f) + e (f), k=1 dove G (f) prede il ome di formul di qudrtur ed e (f) deot l errore teorico di pprossimzioe. Corso di Clcolo Numerico - Dott.ss M.C. De Bois

4 Fcoltà di Igegeri - Lure Triele i Igegeri Meccic L formul di qudrtur G (f) si dice covergete se lim G (f) = I(f) o, equivletemete, lim e (f) = 0. Defiizioe U formul di qudrtur G (f) h grdo di esttezz o precisioe p se G (x k ) = x k dx, per k = 0,..., p, G (x p+1 ) x p+1 dx, o, equivletemete, e (x k ) = 0, per k = 0,..., p, e (x p+1 ) 0. Corso di Clcolo Numerico - Dott.ss M.C. De Bois

5 Fcoltà di Igegeri - Lure Triele i Igegeri Meccic Formul di Qudrtur del Rettgolo È l più semplice formul di qudrtur. Si ottiee pprossimdo l fuzioe f co il poliomio di Lgrge L 1 (f) di grdo 0 che l iterpol i uo degli estremi dell itervllo di itegrzioe [, b]. I ltre prole l re sottes ll curv di estremi e b è pprossimt co l re del rettgolo di bse (b ) e ltezz f() oppure f(b). Pertto f(x)dx = f()(b ) + e(f) f(b)(b ) + e(f), dove e(f) rppreset l errore dell formul di qudrtur. L formul di qudrtur del rettgolo h grdo di esttezz 0, cioè è estt solo per fuzioi costti: e(c) = 0 e e(x) 0. Corso di Clcolo Numerico - Dott.ss M.C. De Bois

6 Fcoltà di Igegeri - Lure Triele i Igegeri Meccic Suppoedo che f (t) dt < + si h e(f) = = (f(x) f()) (1) x f (t)dtdx e, pssdo l vlore ssoluto, otteimo e(f) f (t) dtdx (b ) f (t) dt. Duque l errore dipede esclusivmete dll mpiezz dell itervllo e, pertto, tli formule di qudrtur si utilizzo solo qudo (b ) è piccolo. Corso di Clcolo Numerico - Dott.ss M.C. De Bois

7 Fcoltà di Igegeri - Lure Triele i Igegeri Meccic Qudo (b ) > 1, si riprtisce l itervllo di itegrzioe i itervllii di mpiezz h = b < 1, cioè = x 0 < x 1 <... < x = b, co x k = x 0 + kh, k = 0,...,, e, pplicdo l formul di qudrtur del Rettgolo su ogi itervllio, si ottiee 1 (b ) f(x k+1 ) + e (f) f(x)dx = (b ) k=0 1 f(x k ) + e (f). k=0 I prtic, i ciscu itervllo [x k, x k+1 ], viee pprossimto l itegrle dell fuzioe co l re del rettgolo di bse (x k+1 x k ) e ltezz f(x k ) o f(x k+1 ). Corso di Clcolo Numerico - Dott.ss M.C. De Bois

8 Fcoltà di Igegeri - Lure Triele i Igegeri Meccic Per quto rigurd l errore, se f (t) dt < +, si h e (f) = 1 k=0 (b ) e k (f) 1 (x k+1 x k ) k=0 f (t) dt, xk+1 Duque se f h derivt prim itegrbile l errore h ordie di covergez 1. Si può dimostrre che se l fuzioe f è più regolre, l errore o miglior. x k f (t) dt Pertto, è opportuo utilizzre questo tipo di formule di qudrtur soltto per fuzioi o molto regolri. Corso di Clcolo Numerico - Dott.ss M.C. De Bois

9 Fcoltà di Igegeri - Lure Triele i Igegeri Meccic Formul di Qudrtur di Bèzout o dei Trpezi Si ottiee pprossimdo l fuzioe f co il poliomio di Lgrge L (f) di primo grdo che l iterpol egli estremi dell itervllo, pertto h grdo di esttezz 1, cioè è estt per fuzioi lieri. D u puto di vist geometrico, l re sottes ll curv di estremi e b viee pprossimt co l re del trpezio vete bsi di lughezz f() e f(b) e ltezz di lughezz (b ), cioè I(f) = f(x)dx = f() + f(b) (b ) + e(f). Corso di Clcolo Numerico - Dott.ss M.C. De Bois

10 Fcoltà di Igegeri - Lure Triele i Igegeri Meccic Per quto rigurd l errore, se f (t) dt < +, si h e(f) = = = 1 = 1 f() + f(b) f(x)dx (b ) [ ] f() + f(b) f(x) dx [f(x) f()]dx 1 x f (t)dtdx 1 Pssdo l vlore ssoluto e(f) 1 x f (t)dt 1 [ b x f (t) dt + (b ) f (t) dt, x [f(b) f(x)]dx x f (t)dtdx f (t)dt dx x f (t) dt Duque, i questo cso, l errore è esttmete l metà di quello che si ottiee co l formul del rettgolo. ] dx Corso di Clcolo Numerico - Dott.ss M.C. De Bois

11 Fcoltà di Igegeri - Lure Triele i Igegeri Meccic Se f (t) dt < +, si può dimostrre che Pertto e(f) = 1 e(f) (b x)(x )f (x)dx (b ) f (x) dx. Corso di Clcolo Numerico - Dott.ss M.C. De Bois

12 Fcoltà di Igegeri - Lure Triele i Igegeri Meccic Se (b ) > 1, come el cso dell formul del rettgolo, sceglimo u opportu prtizioe di [, b] i itervllii di mpiezz h = (b ) e utilizzimo l seguete formul geerlizzt I(f) = f(x)dx = (b ) 1 k=0 f(x k ) + f(x k+1 ) dove x 0 =, x k = + kh, k = 1,..., 1, e x = b. Vlgoo le segueti stime dell errore: + e (f), se f (t) dt < + e (f) (b ) f (x) dx; se f (t) dt < + e (f) (b ) f (x) dx. Corso di Clcolo Numerico - Dott.ss M.C. De Bois

13 Fcoltà di Igegeri - Lure Triele i Igegeri Meccic Si può cocludere dicedo che, se l fuzioe f mmette l più derivt prim itegrbile, le formule di qudrtur del rettgolo e di Bèzout soo equivleti, vedo etrmbe ordie di covergez 1. Se, ivece, l fuzioe mmette derivt secod itegrbile, l formul di Bèzout risult migliore perchè f covergere l errore co ordie. Si può dimostrre che se l fuzioe f è più regolre, l errore o miglior. Corso di Clcolo Numerico - Dott.ss M.C. De Bois

14 Fcoltà di Igegeri - Lure Triele i Igegeri Meccic Esempio Dto l itegrle I := 1 (e x log(x + 3)) x 3 (e x + 4) dx, clcolre il suo vlore pprossimto co 8 cifre decimli estte. L fuzioe itegrd f(x) = (e x log(x + 3)) x 3 (e x + 4) h derivt secod sommbile i [1, ]. Se pplichimo l formul di qudrtur dei trpezi, l errore teorico di pprossimzioe è e (f) C, duque, per otteere lmeo 8 cifre decimli estte, si deve verificre che C > C > C Corso di Clcolo Numerico - Dott.ss M.C. De Bois

15 Fcoltà di Igegeri - Lure Triele i Igegeri Meccic Se pplichimo l formul di qudrtur dei rettgoli, l errore teorico di pprossimzioe è e (f) C, duque, per otteere lmeo 8 cifre decimli estte, si deve verificre che C > C 109 > C I risultti umerici soo i segueti: trpezi rettgoli Come d previsioi teoriche, l formul di qudrtur dei trpezi è migliore di quell dei rettgoli. Corso di Clcolo Numerico - Dott.ss M.C. De Bois