Integrazione numerica
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- Sara Pizzi
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1 Itegrzoe uerc (/5 Prole: Clcolre l seguete tegrle Itegrzoe uerc ( d co e costt rel e ( uzoe cotu. (cotu Itegrzoe uerc (/5 Itegrzoe uerc (/5 No sepre è possle trovre or esplct l prtv. Ache el cso cu l s coosc è spesso coplcto vlutrl e couque è ecessro spesso tervere co u su coputzoe uerc. Il prole è duque trdurre l odello tetco costtuto dll tegrle u odello uerco opportuo. Il etodo s rtcol coe segue:. s scelgoo od e s costrusce u tell d vlutzo dell uzoe tegrd: (,(,,,. s costrusce l poloo terpolte le + coppe (,(. s tegr l poloo terpolte, qule pprosste l uzoe tegrd. s ttrusce l vlore trovto coe vlore pprossto dell tegrle e se e vlut l errore coesso. (cotu (cotu Itegrzoe uerc
2 Itegrzoe uerc (/5 Dto l tegrle ( ( ( d, (,,..., ( d ( ( ( d d (cotu Itegrzoe uerc (5/5 ( d ( d : od d tegrzoe w : pes d tegrzoe L orul otteut s dce orul d qudrtur ( d ( ( w d ( d 5 6 Metodo de trpez (/ Cso prtcolre: due od: gl estre d tegrzoe e. Poloo d Lgrge terpolte le due coppe (,(; (,(: ( L( ( + L ( ( ( ( L( L ( ( ( ( ( + ( ( d ( L ( d ( w (cotu w w Metodo de trpez (/ d d d cu: ( d ( L ( d ( d ( ( d ( ( ( d ( ( w ( w ( ( + ( che vee dett orul d qudrtur de trpez. 7 8 Itegrzoe uerc
3 Eserczo d pplczoe dell regol de trpez (/ Fuzoe tegrd: ( Se clcolss le prtve d (, che questo cso soo ote, otterre: F( ( d d l + + C e duque per l clcolo dell tegrle deto dovre coputre uercete l uzoe l( ( d l + + C. otteuto co l ss precsoe possle (cotu Eserczo d pplczoe dell regol de trpez (/ Clcolo duque drettete l tegrle deto co l qudrtur de trpez ( d ( ( + ( Iterpretzoe geoetrc dell regol de trpez (,( (,( Suppoedo, coe gur, che l uzoe tegrd o c sego ell tervllo [,], l tegrle questoe rppreset l re del trpezode evdezto gur. L orul de trpez rppreset l re del trpezo d ltezz (- e s ( e (. L re del trpezo rppreset u pprosszoe dell re del trpezode. D qu l oe dto ll orul. ( d T ( ( + ( Errore el etodo de trpez S può dostrre, tegrdo l errore d terpolzoe d Lgrge, che l errore el etodo de trpez è dto dll espressoe: E T ( ' ' ( η η [,] dove η è u vlore precsto tero ll tervllo [,]. Itegrzoe uerc
4 Metodo d Spso (/ Per glorre l rsultto ottele co l etodo de trpez è possle usre u poloo d secodo grdo che terpol l uzoe tegrd ell tervllo [,]. Uso qud tre od seguet: L estreo d tegrzoe ; L estreo d tegrzoe ; Il puto edo dell tervllo [,]. Il poloo d Lgrge terpolte le tre coppe (,(; (,(; ((+/,((+/ è: + ( L( ( + L ( ( + L ( ( Metodo d Spso (/ + + ( ( ( ( ( ( ( ( + + ( + ( ( ( ( ( ( ( Itegrto, questo poloo orsce l seguete orul d qudrtur d Spso: + ( d ( ( + ( + ( 6 (cotu Errore el etodo d Spso Metodo del puto edo (/ S può dostrre, tegrdo l errore d terpolzoe d Lgrge, che l errore el etodo d Spso è: E S 5 IV ( η η [,] 9 Osservzoe: uetdo l uero de od (sepre equspzt e l reltvo grdo del poloo terpolte, s ottee l gl d orule dette d Newto Côtes, che tuttv o rsult covergete. U teresste e seplce orul d Newto Côtes è l orul u solo odo: L orul d Newto Côtes u solo odo è dett orul del puto edo o del rettgolo. Il odo è l vlore(+/ e duque rsult: + ( ( + ( d ( ( ( '' EM ( co errore: η η [,] (cotu 5 6 Itegrzoe uerc
5 Metodo del puto edo (/ Iterpretzoe geoetrc dell regol del puto edo L orul del puto edo h l crtterstc d o covolgere put estre dell tervllo e pertto s dce orul d qudrtur pert. È pertto requeteete utlzzt per pprossre tegrl geerlzzt che ho sgolrtà egl estre dell tervllo d tegrzoe. S dce che orul d qudrtur del rettgolo, per l su ovv terpretzoe geoetrc. (,( ((+/,((+/ ½(+ Se suppoo ( postv ell tervllo d tegrzoe. L re del trpezode gur è pprosst co l re del rettgolo d se (- e ltezz ((+/. 7 8 Eserczo d pplczoe regol del puto edo Clcolre l tegrle. 8 s d + ( d ( ( Osservo che l uzoe tegrd, pur essedo tegrle ell tervllo [,.8], o è det. Utlzzo pertto l orul d qudrtur del puto edo. co errore: E M E M ( '' ( η η [, ] 6. 7 s Metodo de trpez coposto (/ L de è: essedo l qudrtur de trpez dpedete dll pezz dell tervllo d tegrzoe (dto o odcle s procede suddvdere tle tervllo sottotervll cu pplcre l etodo de trpez. S otteedo tl odo u orul d qudrtur dpedete dl uero de sottotervll (dto odcle. Precsete: s, h(-/, +h,,,, segue + ( d ( d h ( ( h ( ( + ( + ( + h ( + 9 (cotu Itegrzoe uerc 5
6 Metodo de trpez coposto (/ S può dostrre che l errore h l seguete espressoe: E Tc ( '' ( η η [,] D cu rsult evdete che: l crescere d l errore dusce è possle stlre l uero d sottotervll d [,], l e d otteere u precsoe presst e rsultt teedo coto dell espressoe d u orul d qudrtur, s può ture che l errore su dt o s eslt orteete e rsultt. Iterpretzoe geoetrc de trpez coposto ( ( A A A A d d d d + ( L re del trpezode è pprosst co l so delle ree de trpez d ltezz ( + - e d s ( + e (. Dto l tegrle Eserczo su trpez coposto ( d Per l uzoe tegrd è postv S pplc trpez su due sottotervll ( + ( ( + ( ( + ( ( + ( + ( + ( Metodo de trpez dttvo Tlvolt s rvel ecessro ttre troppo le suddvso dell tervllo d tegrzoe, corredo u prole d ecez lgortc. E opportuo tl cso, teedo presete l deto dell uzoe tegrd, uetre l uero d sottotervll solo dove rsult ecessro. Tle odo d operre s dce pplcre u orul d qudrtur copost-dttv. L orul de trpez copost-dttv è scurete l orul che grtsce l cotrollo dell errore e l ecez lgortc, teedo u otevole seplctà e stltà coputzole. Itegrzoe uerc 6
7 Itegrzoe uerc due deso (/ Itegrzoe uerc due deso (/ Dto l tegrle ( d c (, dd,, (,,,...,,,..., d c (cotu 5,, (,,,...,,,..., ( (, L ( L ( (, d c d (, dd L ( L ( (, dd c (, d L ( c dd (cotu 6 Itegrzoe uerc due deso (/ d d c (, dd ( (d c (, w w (, dd c ( ( d (, L ( c (, w w dd el cso prtcolre cu l orul d qudrtur è quell de trpez:, + (, + (, + (, 7 Itegrzoe uerc 7
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