Lezione 24. Campi finiti.

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1 Lezoe 4 Prerequst: Lezo 0,,, 3 Rfermet a test: [FdG] Sezoe 86; [H] Sezoe 79; [PC] Sezoe 63; Cam ft Nelle lezo recedet abbamo vsto dvers esem d cam ft: ess erao tutt del to oure [ x ]/( f ( x )), dove f ( x ) [ ] x è u olomo rrducble, essedo u umero rmo S ha che =, ed oltre [ x ]/( f ( x )) =, se deg f ( x ) = No è u caso se otteamo semre la oteza d u umero rmo Rcordamo, a questo roosto, che, base all Osservazoe 05, u camo fto ha semre caratterstca rma, ossa l suo sottocamo fodametale è somorfo a er qualche umero rmo Per semlctà otazoale, detfcheremo questo sottocamo fodametale co Prooszoe 4 Sa F u camo fto Allora essedo la caratterstca d F F =, er u oortuo tero ostvo, Dmostrazoe: Naturalmete, F è uo sazo vettorale sul suo sottocamo fodametale, ed essedo fto, ha su dmesoe fta, dcamo Ma allora F, come sazo vettorale, è somorfo a, e duque F = =, come volevas Eserczo 4 Costrure u camo fto co 4 elemet Svolgmeto: L aello quozete x x x + + [ ] è rrducble, ed ha è u camo, oché l olomo [ x ]/( x + x + ) = 4 elemet I geerale, er og oteza d u umero rmo, è ossble costrure u camo avete elemet Lo dmostreremo tra oco, utlzzado l seguete eucato: Lemma 43 Se F è u camo d caratterstca, allora er og α, β F, ( α + β ) = α + β Dmostrazoe: Per = basta alcare alla formula del bomo d Newto ua roretà ota dal corso d Algebra : dvde k er og k Eseerczo Dmostrare che, elle otes del Lemma 43, er og tero ostvo s ha ( ) α + β = α + β

2 Teorema 44 Per og umero rmo, ed og umero tero ostvo, og camo d sezzameto del olomo f ( x) = x x [ x] su è u camo d orde Dmostrazoe: I base alla Prooszoe 36 esste u estesoe L d decomoe L[ x ] el rodotto d fattor lear Sa tale che f(x) s f ( x) = ( x α ) ( x α ) ua tale decomoszoe ( α L ) Provamo che le radc α soo a due a due dstte A tal fe, suoamo er assurdo che ua delle radc α sa d moltelctà maggore o uguale a Allora ( x α ) f ( x), coè esste g( x) L[ x] tale che f x = x g x, ( ) ( α ) ( ) da cu, dervado etramb membr, f x = x g x + x g x '( ) ( α ) ( ) ( α ) '( ) Il secodo membro è u olomo avete a come radce, erò cò o vale er l rmo membro Ifatt, [ x ], f '( x) = x = Samo così erveut ad u assurdo Pertato l seme K = { α,, α } delle radc d f(x) L è u seme avete elemet Notamo che K : fatt og α = [ a] è radce d f(x), oché, er l Pccolo Teorema d Fermat, er og tero a, e qud ( ) ( ) a = a a = a a a (mod ), f ( α) = α α = 0 Per dervazoe s tede, qu, l oerazoe uramete formale che trasforma l olomo el olomo f ( x) = = 0 a x = = 0 f '( x) a x

3 Resta da rovare che K è u camo Dobbamo dmostrare che, er og α, α K, α α K, αα K, e, se α 0, α K I effett da α = α e α = α segue, vrtù dell Eserczo che segue l Lemma 43, che ed oltre, s ha che ( ) α α = α α = α α ( ) α α = α α = α α ( ) ( ) α = α = α Pertato K è u camo d sezzameto d f(x) su F Vceversa s rova: Prooszoe 45 U camo d orde è u camo d sezzameto d f ( x) = x x sul suo sottocamo fodametale Dmostrazoe: fodametale d F è dell Eserczo 49, er og Sa F u camo d orde I base alla Prooszoe 4, l sottocamo Il gruo moltlcatvo α F, s ha che F ha orde Allora, vrtù α =, da cu α = α D altra arte, l ultma uguaglaza è verfcata ache da α = 0 Qud og elemeto d F è radce d f(x) I altr term: l camo F è l seme delle radc d f(x), qud è ecessaramete u estesoe mmale d su cu f(x) s decomoe el rodotto d fattor lear; è, coè, u camo d sezzameto d f(x) su Corollaro 46 Per og umero rmo ed og tero ostvo, esste u camo d orde, ed esso è uco a meo d somorfsmo Dmostrazoe: Per l Teorema 44 e la Prooszoe 45 l seme de cam d orde è formato da tutt e sol cam d sezzameto d f ( x) = x x su Per l Teorema 37, quest cam soo tutt somorf Nota I cam ft vegoo sesso ache dett cam d Galos ( glese: Galos Feld ) La scrttura GF( ) dca u camo d Galos d orde (che è uvocamete determato a meo d somorfsmo)

4 Osservazoe 47 Dal Corollaro 46 segue che l camo F = [ x ]/( x + x + ), d orde 4, trovato ell Eserczo 43, è u camo d sezzameto d effett tutt gl elemet d I x x = ( + + ), s ha: Calcolamo: 4 f ( I) I I I = + = [ ]/( ) 4 4 f ( x) x x x x = = + su [ x] I F = x x + x + soo radc d f(x) Lo verfchamo: osto { } F = [ x]/( x + x + ) = [ x]/ I = I, + I, x + I, x + + I 4 ( ) ( ) ( ) ( ) f ( + I) = + I + + I = + I + + I = I ( ) ( ) 4 4 f ( x + I) = x + I + x + I = x + x + I = x( x + )( x + x + ) + I = I ( ) ( ) ( ) f ( x + + I) = x + + I + x + + I = x + + x + + I = x + + x + + I = x + x + I = I I og caso otteamo I, lo zero d F Prooszoe 48 Il gruo moltlcatvo d u camo fto è cclco Dmostrazoe: Sa F u camo fto d orde Allora =, =, allora F è l gruo baale Altrmet F è u gruo d orde Sa allora Se s sr q q r = ( q q se ) la decomoszoe d fattor rm Sa F Poché u u < F, segue che esste α er cu α s F u u = L equazoe x ha al ù u radc q Sa q dell Eserczo 49 β α s = =, qud o( β ) q D altra arte, β s o dvde o( β ) er cu, ecessaramete, o( β ) = q Sa β = β βr s q β = α Allora, vrtù s q u = α, qud s q Allora, come s verfca faclmete (ved l Eserczo fale della Lezoe 4), s ha che s s r r r = o( β ) = o( β ) o( β ) = q q Qud β è u geeratore d F Eserczo 49 Trovare geerator del gruo moltlcatvo del camo F = x x + x + [ ]/( ) Svolgmeto: Secodo l Osservazoe 47, F = 4, qud F 3 Verfchamo erod degl elemet d F dvers dall utà Abbamo ( x + I ) = x + I = x + + I, =

5 qud o ( x + I ) = 3, ossa x+i è u geeratore d o ( x + + I ) = o(( x + I ) ) = o( x + I ) = 3, qud ache x++i è u geeratore d F F Ioltre Osservazoe 40 Dal Lemma 43 segue che, dato u camo K d caratterstca, l alcazoe ϕ : K K a a è u omomorfsmo d aell Ioltre ϕ è ettvo: se ϕ ( a) = a = 0, allora a = 0, vrtù dell tegrtà d K I artcolare, se K è u camo fto, ϕ è u automorfsmo d camo d K, detto automorfsmo d Frobeus Eserczo 4 Sa, come ell Eserczo 49, Frobeus d F è defto da a F = x x + x + [ ]/( ) a, ossa, ù recsamete, da: Allora l automorfsmo d I + I x + I x + + I I + I x + + I x + I Poché og automorfsmo d camo coserva l elemeto zero e l elemeto utà, segue che F ha due sol automorfsm d camo: l dettà e l automorfsmo d Frobeus