VARIABILI CASUALI O ALEATORIE

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1 VARIABILI CASUALI O ALEATORIE Cosderamo seguet esem: S lac tre volte ua moeta: l umero d "teste" che s ossoo resetare è uo de seguet : 0 o o o. Gl evet soo comatbl e ecessar. ossamo schematzzare rsultat el seguete modo: 0 dove rareseta l'eveto e la rsettva robabltà. La somma delle robabltà degl evet cosderat è uguale a 0. Laco del dado: samo teressat a rsultat delle sgole facce o o o 4 o 5 o. Ache questo caso gl evet soo comatbl e ecessar. La schematzzazoe è la seguete: 4 5 Ache questo esemo l valore che assume la varable è casuale. A cascu valore corrsode ua be determata robabltà ed essedo gl evet comatbl e ecessar la somma delle robabltà è uguale a DEFINIZIONE DI VARIABILE CASUALE S defsce varable casuale ua varable che uò assumere dvers valor real,cascuo assocato agl evet e co sommatora delle robabltà E, comatbl e ecessar, co rsettva robabltà uguale a. FACOLTÀ DI ECONOIA ESCARA Corso d Laurea Treale ECONOIA E COERCIO Classe L- STATISTICA Ao Accademco 00-0 rof. Abale ROCCO VARIABILI CASUALI DISCRETE aga d

2 VARIABILE CASUALE DISCRETA Ua varable casuale s defsce dscreta dcata ache co l smbolo v.c.d. se le determazo che essa uò assumere soo umero lmtato, fto. I geerale se è ua v.c. dscreta, co s dca la robabltà che assuma l valore, smbol s uò scrvere. La robabltà vara al varare d, è fuzoe d e qud è fuzoe della varable. Questa fuzoe è chamata fuzoe o dstrbuzoe d robabltà e s uò così raresetare: La v.c. uò essere raresetata ache grafcamete ; u sstema d ass cartesa sull'asse delle ascsse s rortao valor e su quello delle ordate le robabltà Esemo: S laca volte ua moeta. Studare la varable casuale : "umero d volte che s reseta testa". Nel laco della moeta volte, la facca testa s uò resetare da u mmo d zero volte ad u massmo d volte. La v.c. s uò raresetare secodo la tabella che segue: FACOLTÀ DI ECONOIA ESCARA Corso d Laurea Treale ECONOIA E COERCIO Classe L- STATISTICA Ao Accademco 00-0 rof. Abale ROCCO VARIABILI CASUALI DISCRETE aga d

3 dove segmet delle ordate corrsodeza de valor 0,,,,raresetao le robabltà. FUNZIONE DI RIARTIZIONE o fuzoe cumulatva d robabltà. Sa ua v.c., dsost valor orde crescete, alla fuzoe d robabltà s uò assocare la fuzoe d rartzoe F che esrme la robabltà che la v.c. assuma u valore o suerore a. F esemo F + + edate la fuzoe d rartzoe s uò faclmete calcolare la robabltà che la v.c. assuma u valore comreso tra due valor assegat a < b robabltà che la varable casuale sa maggore d a e more o uguale a b a < b F b F a La fuzoe d rartzoe svolge lo stesso ruolo della frequeza relatva cumulata studata ella statstca descrttva. Esemlfcazoe co l laco d due dad, eveto "somma delle facce" : / / / 4/ 5/ / 5/ 4/ / / / F / / / 0/ 5/ / / 0/ / 5/ / esem: a F robabltà che la somma delle facce sa more o uguale a, coè la somma delle facce è oure ed è uguale a / ; b < F F / / / e rareseta la robabltà che la somma sa u umero comreso tra 4 e, estrem clus. FACOLTÀ DI ECONOIA ESCARA Corso d Laurea Treale ECONOIA E COERCIO Classe L- STATISTICA Ao Accademco 00-0 rof. Abale ROCCO VARIABILI CASUALI DISCRETE aga d

4 VALORE EDIO d ua varable casuale dscreta. Nelle alcazo teressa cooscere alcu valor caratterstc delle varabl casual. U rmo valore che stetzza valor della dstrbuzoe della v.c. è l VALORE EDIO o VALORE ATTESO E Il terme E derva dal terme glese EECTATION seraza, asettatva. Il valore medo d ua varable casuale rareseta l valore revsto, atteso o serato che s otrà otteere u gra umero d rove. Esso o corrsode ecessaramete ad uo de valor della dstrbuzoe ma corrsode solo al valore medo doo aver effettuato u gra umero d rove. I geerale, assegata ua varable casuale, l valore medo o valore atteso o seraza matematca è dato dalla somma de rodott d og valore della varable casuale er la rsettva robabltà. Esemo: ua oerazoe fazara s ossoo guadagare.000 euro co robabltà 0,, oure euro co robabltà 0,5, oure euro co robabltà 0,. Calcolare l valore medo della varable casuale. La varable casuale uò essere raresetata tabella: valor robabltà rodott total , , ,0.00 euro. Il valore medo atteso, u gra umero d rove, è ertato.00 euro. I ua sgola rova gl evet che s ossoo resetare soo o.000 o o 0.000; se le rove vegoo retute semre elle stesse codzo u gra umero d volte, teedo coto della robabltà statstca, ossamo rteere che el 0% de cas s vcerà la somma d.000 euro, el 50% de cas la somma d euro, el 0% de cas la somma d euro co u guadago medo auto d.00 euro. Il valor medo d ua varable casuale cocde co la meda artmetca oderata defta ella statstca descrttva. FACOLTÀ DI ECONOIA ESCARA Corso d Laurea Treale ECONOIA E COERCIO Classe L- STATISTICA Ao Accademco 00-0 rof. Abale ROCCO VARIABILI CASUALI DISCRETE aga 4 d

5 SCARTO d ua varable casuale dscreta. S defscoo SCARTI d ua v.c.d. le dffereze tra valor assut dalla varable casuale e la rora meda S. La varable casuale scarto avrà la seguete dstrbuzoe d robabltà: S Il valore medo della varable casuale scarto è semre uguale a zero. Dmostrazoe: E 0 E 0 essedo ua costate e. La tabella della varable scarto dell esemo recedete sarà: valor robabltà rodott scart semlc scart semlc oderat total QUADRATO DELLO SCARTO d ua varable casuale dscreta. La varable casuale quadrato dello scarto avrà la seguete dstrbuzoe d robabltà: S FACOLTÀ DI ECONOIA ESCARA Corso d Laurea Treale ECONOIA E COERCIO Classe L- STATISTICA Ao Accademco 00-0 rof. Abale ROCCO VARIABILI CASUALI DISCRETE aga 5 d

6 VARIANZA E SCARTO QUADRATICO EDIO d ua varable casuale dscreta. La meda è u valore stetco della dstrbuzoe. ù dstrbuzo, ache se hao la stessa meda, ossoo dfferre sesblmete. er aalzzare la dsersoe de valor d ua v.c. dal valore medo s cosdera ua uova varable casuale chamata VARIANZA e s dca co l smbolo σ oure VAR e s calcola co la formula: VAR e s defsce come l valore medo del quadrato degl scart tra valor e la meda E. La varaza è uguale a zero quato tutt valor soo ugual tra loro e qud o c'è varabltà ella dstrbuzoe. I og altro caso la varaza è u valore ostvo, essedo ua somma d quattà quadratche, e msura l grado d varabltà ella dstrbuzoe; quato maggore è σ, tato ù valor soo dfferet tra d loro e s dserdoo toro alla meda. Tato more è σ, tato ù valor meda e more è la varabltà de dat. soo addesat toro alla La radce quadrata della varaza σ rede l ome d DEVIAZIONE STANDARD o SCARTO QUADRATICO EDIO della varable casuale: σ σ è esresso ella stessa utà d msura della v.c. e rareseta la msura er valutare la dsersoe de valor della varable. Se, ad esemo, la v.c. è esressa metr, ache σ è esressa metr,metre la varaza σ è esressa metr quadrat. er calcolare la varaza dell'esemo recedete rguardate l'oerazoe fazara s rocede alla costruzoe della seguete tabella : valor robabltà rodott scart semlc scart quadratc scart quadratc oderat total σ σ.,7 ABBREVIAZIONE DEL CALCOLO DELLA VARIANZA FACOLTÀ DI ECONOIA ESCARA Corso d Laurea Treale ECONOIA E COERCIO Classe L- STATISTICA Ao Accademco 00-0 rof. Abale ROCCO VARIABILI CASUALI DISCRETE aga d

7 FACOLTÀ DI ECONOIA ESCARA Corso d Laurea Treale ECONOIA E COERCIO Classe L- STATISTICA Ao Accademco 00-0 rof. Abale ROCCO VARIABILI CASUALI DISCRETE aga 7 d La varaza d ua v.c.d. uò essere agevolmete calcolata co la formula rdotta: VAR Dmostrazoe: + + valor robabltà rodott rodott total VAR

8 ROVE RIETUTE e DISTRIBUZIONE BINOIALE S rcorre alla dstrbuzoe bomale quado u feomeo è dcotomco, coè esso s reseta attraverso solo due modaltà o uò essere rcodotto a due medate gl evet cotrar. esemo: laco della moeta, evet testa e croce; rodotto dfettoso o o dfettoso; ersoe che ossedoo ua certa modaltà. La dstrbuzoe bomale trae la sua orge ello schema d Beroull delle rove retute schematzzable co estrazo da u'ura rmettedo og volta la alla estratta ell'ura: le rove soo dedet e la robabltà del verfcars dell'eveto favorevole è costate og rova. Sa E u eveto, co E _ dchamo l'eveto cotraro, - co dchamo la robabltà del verfcars dell'eveto E, costate og rova, - co q dchamo la robabltà del verfcars dell'eveto E _, q, costate og rova, - co dchamo l umero delle rove da effettuare, - co k dchamo l umero delle volte che s reseta l'eveto E. La robabltà che rove s verfch k volte l'eveto E è data dalla formula : k k q k k Dmostrazoe: data l'dedeza delle rove la robabltà d otteere rove l'eveto E elle rme k rove e l'eveto E _ elle successve -k rove s ha semlcemete moltlcado tra loro le robabltà k k q q q q q q k rove k rove er avere la robabltà d avere k volte l'eveto E e -k l'eveto E _ qualuque sa l'orde basta calcolare quat mod dvers ossamo otteere k volte E e -k volte E _, coè le ermutazo d elemet dove k elemet s retoo k volte e -k elemet s retoo -k volte. Il umero ossble de mod cu ordare è dato da! k! k! k. FACOLTÀ DI ECONOIA ESCARA Corso d Laurea Treale ECONOIA E COERCIO Classe L- STATISTICA Ao Accademco 00-0 rof. Abale ROCCO VARIABILI CASUALI DISCRETE aga d

9 La dstrbuzoe bomale è ua varable casuale; fssato l umero delle rove, l'eveto E s uò resetare da zero volte a volte co le rsettve robabltà; essedo gl evet comatbl e ecessar sarà k k 0. La dstrbuzoe bomale s otrà raresetare ache co la cosueta tabella delle varabl casual: 0 0 Oltre alla fuzoe d dstrbuzoe s cosdera la FUNZIONE DI RIARTIZIONE defta dalla formula F o + + ed esrme la robabltà che l'eveto E s verfch 0 volte o volta o volte o volte, coè la robabltà che l'eveto E s verfch o ù d volte, fo a volte. Esemo: Da u mazzo d 40 carte s estrae er 4 volte ua carta, rmettedo og volta la carta estratto el mazzo. Studare la varable casuale umero delle fgure estratte. Lo schema è quello beroullao erché la robabltà d estrarre ua fgura è costate og rova che vegoo retute semre elle stese codzo; dcato co : robabltà d estrarre ua fgura da u mazzo d carte d 40 carte, 40 0,0 ; q robabltà d o estrarre ua fgura da u mazzo d carte d 40 carte, q 0,70; umero delle estrazo effettuate, 4; k umero delle volte che s reseta l'eveto favorevole E 'fgura estratta', k 0,,,,4. k k q k k la robabltà che l'eveto E s verfch esattamete k volte, gl evet avrao le seguet sgole robabltà : FACOLTÀ DI ECONOIA ESCARA Corso d Laurea Treale ECONOIA E COERCIO Classe L- STATISTICA Ao Accademco 00-0 rof. Abale ROCCO VARIABILI CASUALI DISCRETE aga 9 d

10 4 0, 0,7 0, ,,, ,,, ,,, ,,, ,ad esemo, esrme la robabltà che ell'estrazoe d 4 carte da u mazzo d 40, rmettedo le carte estratte el mazzo, escao esattamete fgure. F,ad esemo, esrme la robabltà che escao o ù d due fgure, coè o zero fgure, o fgura o fgure. La varable uò essere raresetata medate la tabella delle v.c.d. : 0 4 0,40 0,4 0,4 0,075 0,00 Se l umero delle estrazo salsse a otto s avrebbe la seguete varable casuale : ,057 0,977 0,95 0,54 0, 0,047 0,0 0,00 0,000 F 0,057 0,55 0,55 0,059 0,94 0,97 0,997 0,9999 grafco della varable casuale co estrazoe d otto carte co remmssoe el mazzo estrazoe d otto carte da u mazzo d 40 carte robabltà 0,4 0, 0, 0, eveto fgura FACOLTÀ DI ECONOIA ESCARA Corso d Laurea Treale ECONOIA E COERCIO Classe L- STATISTICA Ao Accademco 00-0 rof. Abale ROCCO VARIABILI CASUALI DISCRETE aga 0 d

11 EDIA E VARIANZA DELLA VARIABILE CASUALE BINOIALE La meda della varable casuale bomale s calcola,come er le altre v.c., medate somma de rodott delle k modaltà er le rsettve robabltà : k k k 0 S dmostra che la meda è uguale al rodotto della robabltà er l umero delle rove : La varaza della varable casuale bomale s calcola,come er le altre v.c., medate somma de quadrat degl scart de valor k dalla meda. S dmostra che la varaza è uguale al rodotto della robabltà er la robabltà q er l umero delle rove : VAR σ q. Lo scarto quadratco medo s ottee al solto calcolado la radce quadrata della varaza: s. q. m. σ q Esemo: u dado vee lacato 70 volte; determare meda e varaza dell'eveto facca '': E 'el laco d u dado s reseta la facca ' ; robabltà dell'eveto E / ; _ q robabltà dell eveto cotraro E 5 /, 70, umero delle rove dedet ; a 70 0 l valore atteso è ar a 0, coè lacado 70 volte u dado dovremmo asettarc che la facca '' esca 0 volte; questo valore è solo u rsultato "atteso", d robabltà. Lacado effettvamete l dado 70 volte l rsultato reale uò ovvamete dscostars da quello teorco ache se la dffereza, se l dado o è truccato, sarà mma. b VAR 5 σ q 70 00; s. q. m. σ 00 0 B I B L I O G R A F I A Le lezo hao trovato suto da seguet test:. Gambotto azoe Cosol, matematca co alcazo formatche, Tramotaa ;. Scaglat, l modello o determstco, CEDA;. Segel, collaa SCHAU, statstca, Etas lbr; 4. Trovato afred, calcolo delle robabltà e statstca ferezale, Ghsett e Corv edtor; 5. Groe Sallusto, esercz d statstca, Cacucc edtore;. ccato, calcolo delle robabltà, la golardca edtrce. FACOLTÀ DI ECONOIA ESCARA Corso d Laurea Treale ECONOIA E COERCIO Classe L- STATISTICA Ao Accademco 00-0 rof. Abale ROCCO VARIABILI CASUALI DISCRETE aga d