Elementi di Statistica descrittiva Parte II

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1 Elemet d Statstca descrttva Parte II Nella prma parte d queste ote s soo llustrate le tecche utlzzate per rappresetare dat, maera stetca, medate tabelle e grafc Tal tecche soo applcabl sa a caratter quattatv che qualtatv Da quato vsto fora, ua popolazoe o u campoe è caratterzzata da ua dstrbuzoe d frequeze a og valore dstto corrspode ua frequeza relatva, la somma delle frequeze relatve è sempre, ma come soo dstrbut fra le vare frequeze var added che sommat dao? Uo de compt prcpal della statstca descrttva è lo studo delle dstrbuzo I questa secoda parte vedamo come stetzzare, tramte u umero, dat raccolt: alcue d queste tecche possoo essere usate solo co caratter umerc, altre ache co caratter qualtatv Elemet d Statstca descrttva Parte II Paaa

2 Rappresetazoe umerca Valor d stes Idc d poszoe Gl dc d poszoe dett ache mede servoo a dvduare u sgolo valore rappresetatvo della dstrbuzoe Se, come caso lmte, tutt valor fossero ugual fra d loro l dce d poszoe cocderebbe co questo uco valore Elemet d Statstca descrttva Parte II Paaa

3 Meda Sao u,u,,u osservazo umerche, s defsce meda artmetca o meda campoara o semplcemete meda: u + u + + u u k j j j Relatvamete all Esempo, esprmamo la meda sulle 0 osservazo /0,85 La fuzoe MEDIA d Ecel forsce la meda Oltre alla meda artmetca s defsce ache ua meda geometrca, che qu o cosderamo Elemet d Statstca descrttva Parte II Paaa

4 Propretà della meda u La meda è sempre compresa fra l mmo e l massmo de dat, o è detto che cocda co uo de dat La meda della somma d pù grupp d osservazo è uguale alla somma delle mede d cascu gruppo Il prodotto d per la meda è uguale alla somma degl dat Chamado scarto la dffereza d u dato dalla meda, la somma degl scart è ulla S dmostra che la meda è quel umero c che rede mma la somma u-c+u-c + +u-c somma degl scart elevat al quadrato La meda può essere calcolata solo per caratter quattatv Elemet d Statstca descrttva Parte II Paaa

5 Meda approssmata Se gl dat osservat soo attrbut ad ua varable cotua e se s dspoe della tabella relatva a dat raggruppat, s può dare ua valutazoe approssmata della meda, usado valor cetral delle k class e le frequeze assolute d og classe k f * 5 La meda approssmata vee utlzzata quado o s dspoe de dat grezz, ma de dat gà raggruppat class come capta spesso co varabl umerche cotue * è l valore cetrale della -esma classe Elemet d Statstca descrttva Parte II Paaa 5

6 classe fa Esempo: meda approssmata tot 0 0 Relatvamete all Esempo, esprmamo la meda approssmata La meda esatta è 9, Esempo della parte I I questo caso abbamo la varable cotua forta raggruppata class d ampezza 0,5 Il valore esatto 9,8 era stato calcolato utlzzado dat grezz che ora suppoamo d o avere pù a dsposzoe Elemet d Statstca descrttva Parte II Paaa 6

7 Moda Sao,,, k k valor osservat caratterzzat class d frequeza d osservazo ed f,f,,f k le relatve frequeze, s defsce moda l valore osservato caratterzzate la classe che corrspode alla massma frequeza La moda può o essere uca Se è uca, la dstrbuzoe s dce umodale Se o è uca, la dstrbuzoe s dce b-, tr-, -modale Relatvamete all Esempo, la moda è e la dstrbuzoe è umodale classe tot fa La scelta del valore pù frequete è alcu cas pù sgfcatva della scelta della meda I partcolare la moda è sempre u valore osservato, la meda può o esserlo La moda può essere determata per qualuque tpo d carattere Se la dstrbuzoe è suddvsa class s ha, vece della moda, ua classe modale classe corrspodeza della quala s ha la frequeza massma La fuzoe MODA d Ecel forsce la moda Elemet d Statstca descrttva Parte II Paaa 7

8 Medaa Sao u,u,,u valor osservat ordat modo crescete, medaa è l valore osservato che occupa la poszoe cetrale, se è dspar, oppure la meda artmetca de due valor cetral, se è par Relatvamete all Esempo, ordado 0 valor osservat modo crescete: 0 valore valore 5 Otteamo come medaa +/ La medaa può essere calcolata per caratter quattatv oppure per caratter qualtatv ordabl S dmostra che, el caso d caratter quattatv, la medaa è quel valore c che rede mma la somma u-c + u-c + + u-c somma de valor assolut degl scart La fuzoe MEDIANA d Ecel determa la medaa Elemet d Statstca descrttva Parte II Paaa 8

9 Quartl e percetl Se u,u,,u soo ordat modo crescete, s dcoo prmo, secodo, terzo quartle Q,Q,Q que tre valor che dvdoo l seme de dat part ugual I quartl soo de put d separazoe tal che l 5% de dat è <Q, l 50% è <Q, l 75% è <Q Il secodo quartle cocde co la medaa I dat soo dvs da quartl grupp coteet lo stesso umero d elemet S dce dffereza terquartle la dffereza Q - Q Se dvdamo l seme ordato u,u,,u 00 part ugual, valor d dvsoe soo dett percetl U cetesmo de dat soo mor del prmo percetle, due cetesm de dat soo mor del secodo percetle, ecc Il 5 percetle cocde col prmo quartle, l 50 percetle cocde col secodo quartle, l 75 percetle cocde col terzo quartle 9 La fuzoe QUARTILE d Ecel determa u quartle Il prmo parametro* rchesto dalla fuzoe detfca l seme de dat, l secodo parametro l quartle Esempo: QUARTILEC:C50; determa l quartle de dat coteut elle celle C:C50 La fuzoe PERCENTILE d Ecel determa u percetle Il prmo parametro detfca l seme de dat, l secodo parametro l percetle Esempo: PERCENTILEC:C50; determa l percetle de dat coteut elle celle C:C50 * NOTE su parametr delle fuzo Ecel U parametro stablsce u valore d ua varable dpedete e lo passa alla fuzoe, come rsultato la fuzoe vee calcolata per quel valore Il parametro deve essere scrtto mmedatamete dopo l ome della fuzoe racchuso fra paretes tode, o s devoo usare altr tp d paretes Esempo: RADQ9 calcola la fuzoe radce quadrata per l valore 9 della varable dpedete Alcue fuzo possoo rchedere pù d u parametro I tal caso parametr devoo essere separat dal carattere ; Esempo: MEDIA-;;,5 calcola la fuzoe meda per tre valor delle varabl U parametro può dcare, vece che u umero, ua fuzoe Esempo: MEDIA-;RADQ9;,5 calcola lo stesso valore dell esempo precedete U parametro può dcare le coordate d ua cella I tal caso l valore della varable è l valore coteuto ella cella Esempo: MEDIA-;B;,5 calcola lo stesso valore dell esempo precedete se la cella B cotee l valore U parametro può dcare pù valor coteut ua matrce d celle cotgue, che sul foglo d lavoro determao u rettagolo I tal caso l parametro deve dcare due vertc oppost del rettagolo Esempo: MEDIAC5:E6;8 calcola la meda d sette valor: se umer coteut ella matrce rghe tre coloe compresa fra la cella C5 e la cella E6 e l umero 8 Elemet d Statstca descrttva Parte II Paaa 9

10 Rappresetazoe umerca Valor d stes Idc d dspersoe 0 Gl dc d dspersoe servoo a descrvere la dspersoe della dstrbuzoe, ossa che msura dat soo raggruppat toro a u dce d poszoe Elemet d Statstca descrttva Parte II Paaa 0

11 Varaza U dce d dspersoe è u valore che qualche seso dca come dat umerc osservat s dstrbuscoo attoro ad u dce d poszoe Sao u, u,,u osservazo umerche, s defsce varaza la quattà: u + u + + u Valor pccol d varaza dcao che dat soo cocetrat vco alla meda u Nella varaza le dffereze vegoo elevate al quadrato per evtare che dffereze d sego opposto tedao ad aullars recprocamete I tal modo le dffereze d maggor valore vegoo esaltate La varaza può essere calcolata solo per caratter quattatv Elemet d Statstca descrttva Parte II Paaa

12 Propretà della varaza u La varaza è o egatva; La varaza è ulla se e solo se lo soo tutt gl scart, ossa se tutt gl valor osservat soo ugual fra loro; S può dmostrare che: u Elemet d Statstca descrttva Parte II Paaa

13 Devazoe stadard Sao u, u,,u osservazo umerche, s defsce devazoe stadard o scarto quadratco medo: u La devazoe stadard s esprme co la stessa utà d msura de dat osservat La varaza o ha le stesse dmeso fsche della caratterstca esame La devazoe stadard, elmado questo coveete, forsce ua gradezza drettamete cofrotable co la caratterstca Elemet d Statstca descrttva Parte II Paaa

14 Esempo: devazoe stadard I seguet sem: -00,00 e 50,50 hao la stessa meda 00 Gl scart quadratc soo dvers: Gl scart quadratc soo: 00 e 50 Cò sgfca che dat del prmo seme soo molto pù dspers attoro alla meda rspetto a quell del secodo Elemet d Statstca descrttva Parte II Paaa

15 Varaza campoara Se l carattere esame è otteuto da u campoe della popolazoe che s vuole studare, la varaza usata fora forsce ua valutazoe sottostmata della varaza della popolazoe La dffereza è tato pù sesble quato pù pccolo è l campoe Per elmare questa dstorsoe s moltplca la varaza per l rapporto: S ottee così la varaza campoara: u La varaza campoara è sempre maggore della varaza Quato pù umeroso è l campoe, tato pù varaza e varaza campoara s avvcao 5 La fuzoe VARPOP d Ecel determa la varaza La fuzoe DEVSTPOP d Ecel determa la devazoe stadard La fuzoe VAR d Ecel determa la varaza campoara La fuzoe DEVST d Ecel determa la devazoe stadard campoara Elemet d Statstca descrttva Parte II Paaa 5

16 Paaa 6 Elemet d Statstca descrttva Parte II 6 Varaza Varaza approssmata approssmata f f * * Relatvamete all Esempo, esprmamo la meda sulle 0 osservazo, utlzzado valor cetral delle class e le frequeze: la meda è 9 La varaza approssmata rsulta:

17 Il grafco a scatola bo plot, bo ad whskers ma oppure: Valor aomal,5q-q Q Medaa Q m Q-Q,5Q-Q 7 Il grafco a scatola, altrmet detto bo plot, è ua tpologa d rappresetazoe grafca proposta dallo statstco amercao J W Tukey; essa s ottee da ua sere d dat, da cu rcava dat sgfcatv trascurado quell o mportat Il grafco è costruto el modo seguete: La scatola è u rettagolo e rappreseta l 50% de valor I essa è evdezato u valore termedo d rfermeto d solto la medaa, talvolta la meda Il bordo superore rappreseta l terzo quartle Q, l bordo ferore rappreseta l prmo quartle Q; I due baff whsker che escoo basso e alto rappresetao rspettvamete valor mor del quartle e maggor del quartle m e ma soo valor rlevat mmo e massmo Sccome e dat grezz possoo essere preset valor aomal che fluscoo sulla lughezza de baff ma poco sugl altr valor, d solto s prefersce la varate d bo plot rappresetata ella parte destra della fgura e che vee costruta come segue: La lughezza de baff o può superare u certo lmte prestablto tpcamete,5 volte la dffereza terquartle; gl evetual valor che escoo da baff vegoo evdezat, uo per uo sgolarmete Nell esempo rportato fgura o c erao valor aomal feror a Q, qud l baffo ferore o subsce modfche Superormete a Q esstoo vece due valor aomal che vegoo evdezat, metre l baffo superore vee rdotto d lughezza, fo al pù grade de valor regolar Elemet d Statstca descrttva Parte II Paaa 7