STATISTICA DESCRITTIVA

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1 STATISTICA DESCRITTIVA Le msure d tedeza cetrale OBIETTIVO Idvduare u dce che rappreset sgfcatvamete u seme d dat statstc. Esempo Nella tabella seguete soo rportat valor del tasso glcemco rlevat su 0 pazet: Calcolo delle frequeze d og classe: assolute e relatve percetual Pazete Totale Glcema (mg/00cc) x =0 x =97 x =90 x =9 x 5 =07 x 6 =7 x 7 =9 x 8 =8 x 9 =9 x 0 = Class d valor d glcema Totale Frequeza assoluta 0 Frequeza relatva / 0 00% = 0 % / 0 00% = 0 % / 0 00% = 0 % / 0 00% = 0 % / 0 00% = 0 % 00 %

2 Costruzoe dell'stogramma e del polgoo d frequeza LE MISURE DI POSIZIONE Frequeza ass oluta GLICEMIA Frequeza ass oluta Glcema meda artmetca; medaa; moda; meda armoca; meda geometrca. 5 6 LA MEDIA ARITMETICA dato u seme d elemet {x, x,... x } DEFINIZIONE: La meda artmetca è quel valore che avrebbero tutte le osservazo se o c fosse la varabltà (casuale o sstematca). Pù precsamete, è quel valore che sosttuto a cascu degl dat e fa rmaere costate la somma. 7 S dce meda artmetca semplce d umer l umero che s ottee dvdedo la loro somma per. x = x + x +... x 8

3 Formalmete possamo esprmere la meda artmetca semplce attraverso la seguete formula: x = = x Nell Esempo esame s ha: x = x = = = 95mg /00 cc 9 0 Esempo Rportamo temp d sopravvveza (mes) d 9 pazet co cacro dell addome Mes d sopravvveza (x ) 8,5 9, 7, Frequeza (f ) 8 x f 7 6,8 58, S dce meda artmetca pesata d umer: x p + x p x p p + p p m m m 6,8,6 0, Totale 9 0, 56, Dove pes p j soo le frequeze assolute d og modaltà

4 Nell esempo precedete la meda artmetca (poderata) è data da: x = = 56, 9 = = = x f f 8, Propretà della meda artmetca: compresa tra l mmo de dat e l massmo de dat; (x x ) = la somma degl scart dalla meda è 0 zero; (x assume valore mmo per z = meda z) artmetca; la meda de valor: x è par a la meda artmetca (dove è u umero reale qualsas) la meda de valor: x ± h è par a: meda artmetca±h (dove h è u umero reale qualsas). Lughezza(cm) u campoe d 66 eoat la meda artmetca de 66 valor d lughezza è: =( )/ )/66 = /66 = MEDIA per dat raggruppat class x Somma f % X f Nell'esempo del campoe d 66 msure d lughezza de eoat: x = = =

5 La meda artmetca è la msura d poszoe pù usata ma. A volte, altre msure come la medaa e la moda s dmostrao utl. S cosder u campoe d valor d VES (veloctà d ertrosedmetazoe, mm/ora) msurat 7 pazet {8, 5, 7, 6, 5, 5, } I questo caso, la meda che è = 0 mm/ora o è u valore tpco della dstrbuzoe: soltato u valore su 7 è superore alla meda! Esempo Età alla morte d 5 soggett x = a; x = 70 a; x = 7 a; x = 6 a; x 5 = 68 a. La meda artmetca è par a: x = ( ) / 5 = 6a Lmte della meda artmetca: è otevolmete fluezata da valor estrem della dstrbuzoe. dstrbuzoe. 7 8 LA MEDIANA DEFINIZIONE: La medaa (Me) è quell osservazoe che bpartsce la dstrbuzoe modo tale da lascare al d sotto lo stesso umero d term che lasca al d sopra. Rtorado all Esempo della Glcema, per l calcolo della medaa è ecessaro dsporre dat orde crescete: 7, 8, 90, 9, 9, 96, 97, 0, 07, 9 L'dea che e alla base della medaa e d cercare u umero che sa pù grade d u 50% delle osservazo e pù pccolo del restate 50%. Me = (9+96)/ = 95 mg/00 cc 9 0 5

6 Il fatto che medaa e meda artmetca questo caso cocdao o è casuale quato la dstrbuzoe è smmetrca. Ma, geerale, cò o avvee. Vataggo ell uso della medaa: o è fluezata dalle osservazo aberrat o estreme. Le fas operatve per l calcolo della medaa soo le seguet: I preseza d ua dstrbuzoe d frequeze è ecessaro cosderare le frequeze cumulate ) ordameto crescete de dat; ) se l umero d dat è dspar,, la medaa corrspode al dato che occupa la (+)/ esma poszoe ) se l umero d dat è par,, la medaa è data dalla meda artmetca de due dat che occupao la poszoe / e quella /+. Vot ordat (x ) Frequeze (f ) (0.5) (.0) 8 (.) (0.5) (0.5) (5.) Freq. Cum. (F ) + = = + = 6 6+ = 8 8+ = 9 Freq.Cum. (F %) Totale 9 9 6

7 Vot ordat 8 0 Frequeze (0.5) (.0) Freq.Cum. F 6 Freq.Cum. F % I QUANTILI Geeralzzao la medaa. 7 La Medaa 0 Totale 8 (.) (0.5) (0.5) (5.) (0.5) L'dea alla base d u quatle-p dove p [0; ] e d cercare u umero che sa pù grade p% de dat osservat e pù pccolo del restate (-p%) de dat 5 6 I quatl co p uguale a 0,5; 0,50 e 0,75 vegoo chamat rspettvamete l prmo, l secodo e l terzo quartle. Dvdoo la popolazoe quattro part ugual. S osserv che l quartle cocde co la medaa. I quatl co p = 0,0; ; 0,99 s chamao percetl. LA MODA DEFINIZIONE: La Moda (Mo) è l osservazoe che s verfca co maggore frequeza ua data dstrbuzoe. S possoo avere ache pù valor modal

8 quale msura d poszoe usare? A quale msura d tedeza cetrale c rferamo? Il propretaro d ua dtta afferma "Lo stpedo mesle ella ostra dtta è.700 euro" Il sdacato de lavorator dce che lo stpedo medo è d.700 euro. L'agete delle tasse dce che lo stpedo medo è stato d.00 euro. Queste rsposte dverse soo state otteute tutte da dat della seguete tabella. Stpedo mesle N d lavorator.00 Meda artmetca= lre Medaa = lre Moda = lre terpretazoe delle msure d poszoe La meda artmetca dca che, se l dearo fosse dstrbuto modo che cascuo rcevesse la stessa somma, cascu dpedete avrebbe avuto.700 euro La moda c dce che la paga mesle pù comue è d.700.euro La moda s cosdera spesso come l valore tpco dell'seme d dat poché è quello che s preseta pù spesso. No tee però coto degl altr valor e spesso u seme d dat v è pù d u valore che corrspode alla defzoe d moda. La medaa dca che crca metà degl addett percepscoo meo d.00.euro, e metà d pù. La medaa o è fluezata da valor estrem evetualmete preset ma solo dal fatto che ess sao sotto o sopra l cetro dell'seme de dat. 0 Relazoe tra meda, medaa e moda I ua dstrbuzoe perfettamete smmetrca, la meda, la medaa e la moda hao lo stesso valore. I ua dstrbuzoe asmmetrca, la meda s poszoa ella drezoe dell asmmetra. Nelle dstrbuzo d dat bologc, l asmmetra l è quas sempre verso destra (asmmetra postva, verso valor pù elevat), e qud la meda è > della medaa o della moda STATISTICA DESCRITTIVA Le msure d varabltà 8

9 I asseza d varabltà ua popolazoe la statstca o sarebbe ecessara: u sgolo elemeto o utà campoara sarebbe suffcete a determare tutto cò che occorre sapere su ua popolazoe. Ne cosegue, percò, che el presetare formazo su u campoe o è suffcete forre semplcemete ua msura della meda ma servoo formazo sulla varabltà. Esempo S cosdero zalmete, le seguet due dstrbuzo d valor rfert all et età d 0 dvdu: Soggett 5 Tot Meda Artmetca I gruppo 0aa 0aa 0aa 50aa 60aa 00aa 00aa/5=0aa II gruppo 0aa 5aa 0aa 55aa 70aa 00aa 00aa/5=0aa LE MISURE DI VARIABILITÀ Campo d varazoe (Rage); Devaza; Varaza (S o σ ); Devazoe Stadard (S o σ); Coeffcete d varazoe (dce d varabltà relatva). IL CAMPO DI VARIAZIONE O RANGE DEFINIZIONE: Il Campo d varazoe o Rage corrspode alla dffereza fra la modaltà pù pccola e la modaltà pù grade della dstrbuzoe Rage = Xmax - Xm 5 6 9

10 Lmt del campo d varazoe: Occorre allora u dce d dspersoe che cosder tutt dat (e o solo quell estrem), cofrotado quest co l loro valor medo. è troppo fluezato da valor estrem; tee coto de due sol valor estrem, trascurado tutt gl altr. a dea a dea = = ( x - x ) f x - x f a dea = ( x - x ) f 7 8 LA DEVIANZA DEFINIZIONE: La somma de quadrat degl scart dalla meda artmetca = ( x - x ) f 9 Esempo Valor del tasso glcemco 0 soggett x (glcema mg/00cc ) La 9 quattà esprme la 8-96 Devaza della dstrbuzoe (Dev) x _ = 95 x -x (x -x)

11 LA VARIANZA DEFINIZIONE: La somma de quadrat degl scart dalla meda artmetca dvs per la umerostà del campoe LA DEVIAZIONE STANDARD DEFINIZIONE: La radce quadrata della varaza = ( x - x ) f / = ( x x ) f Calcolare la devazoe stadard (DS) delle seguet 0 osservazo (mm): S calcol la meda x = x x 8 = = S calcolo gl scart dalla meda sottraedo da cascu valore la meda; s elev al quadrato tale quattà (l quadrato elde l sego -): (8-8.) = 0.6 (78-8.) =.56 (79-8.) = 5.76 (80-8.) =.96 (8-8.) = 0.6 (87-8.) =.6 (8-8.) =.56 (8-8.) = 0.6 (80-8.) =.96 (8-8.) = 0.6. S sommo tal quattà: : la somma è par a 56.. La somma ( x x ) è detta somma de quadrat degl scart o, pù semplcemete, somma de quadrat.

12 . S dvda tale quattà per l umero d osservazo meo : SCARTO INTERQUARTILE somma de quadrat ( ) ( x x) 56. = = 6. 7 = 5. La devazoe stadard è la radce quadrata d tale valore: DS = 6.7 =.50mm Qud la devazoe stadard del campoe d 0 utà estratto dalla popolazoe è par a.50 mm. 9 5 Scarto terquartle = ( quartle)-( ( quartle) E' molto pù resstete della varaza preseza d poche osservazo estreme. Per questo motvo e usato soprattutto elle stuazo cu s sospetta la possble preseza d osservazo aomale. 6 IL COEFFICIENTE DI VARIAZIONE C.V. = (devazoe stadard) (meda artmetca) La varabltà guarda alle dffereze tra le utà spermetal. E' pero evdete che l sgfcato pratco delle dffereze può dpedere dal lvello del feomeo cosderato. Può qud essere teressate dsporre d ua qualche msura d varabltà aggustata qualche maera per teere coto del lvello del feomeo. 7 Esempo Data la meda e la devazoe stadard d campo d (a) eoat, (b) bamb d tre a e (c) bamb d 0 a, dobbamo chederc se la varabltà relatva s modfca co l età. (a) Neoat x =, Kg; DS = 0, Kg CV = 0,/, 00 = 7,% (b) Bamb d a x = 6,0 Kg; DS =,5 Kg CV =,5/6,0 00 = 8, % (b) Bamb d 0 a x = 5,0 Kg; DS =,8 Kg CV =,8/5,0 00 = 9, % Osservado tre valor del CV, s può otare che la varabltà relatva aumeta co l età. 8

13 BOX-PLOT Il ome derva dall'glese (box ad whsers plot spesso, ache talao, abbrevato boxplot). INDICI DI SIMMETRIA Dstrbuzoe smmetrca: le osservazo equdstat dalla medaa (cocdete questo caso col massmo cetrale) presetao la stessa frequeza relatva U esempo mportate è forto dalla curva d dstrbuzoe ormale 9 50 Dstrbuzoe asmmetrca postva: la curva d frequeza ha ua coda pù luga a destra del massmo cetrale. Dstrbuzoe asmmetrca egatva: la curva d frequeza ha ua coda pù luga a sstra del massmo cetrale 5 5

14 U dce statstco che permette d formare del grado d smmetra/asmmetra d ua dstrbuzoe d dat quattatv è l dce d asmmetra: γ = μ σ dove μ = N ( x x) I merto a valor che tale dce può assumere s può dre che: se la dstrbuzoe è smmetrca, se la dstrbuzoe è asmmetrca postva (a destra), = σ = N ( x x) = γ = 0 γ > 0 Come msura della asmmetra vegoo utlzzate ache le seguet formule emprche (che rchedoo la coosceza d moda, medaa, meda e devazoe stadard): x Mo DS oppure (x Me) DS el caso d smmetra s ha u valore ullo,, per l asmmetra postva u valore postvo e per quella egatva u valore more d zero. se la dstrbuzoe è asmmetrca egatva (a sstra), γ < INDICI DI CURTOSI Vegoo costrut dc statstc che msurao, qualche modo, lo scostameto della dstrbuzoe emprca del carattere quattatvo X da quella relatva alla stuazoe espressa dalla curva ormale. μ = = (x x) μ β = σ σ = = ( x x) 55 Se la varable è perfettamete ormale β = la dstrbuzoe è detta perormale (rspetto alla dstrbuzoe ormale s ha ua maggore frequeza per valor cetral ed estrem, more per valor termed); β > la dstrbuzoe è detta poormale (rspetto alla dstrbuzoe ormale s ha ua more frequeza per valor cetral ed estrem, maggore per valor termed). β < 56

15 ESEMPIO Per verfcare se ua certa molecola aveva u qualche effetto come sofero e stato codotto l seguete espermeto: I DATI A A 0 volotar, seza ua stora pregressa d soa, e stato sommstrato ua otte u placebo e u altra otte ua pllola coteete l sofero. L'dvduo gorava quale pllola aveva assuto. Per og dvduo e per tutte e due le ott soo state croometrate le ore d soo. E' stata po calcolata la varable, deomata soo extra, defta come: ore d soo ella otte co sofero - ore d soo ella otte co placebo L'espermeto e stato po rpetuto per ua varate della molecola studo molecola studo. L'effetto del farmaco orgale o e del tutto charo vsto che l 0% de soggett ha dormto d meo. Nello stesso tempo pero u 0% de soggett ha spermetato u aumeto d soo superore alle tre ore. Gl dc d poszoe per l farmaco orgale dcao ua moderata attvtà sofera. L'effetto della molecola modfcata sembra essere pù varable tra soggett d quello della molecola orgara. 59 5