ALCUNI ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA

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1 ALCUNI ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA The last step of reaso s to ackowledge that there s a fty of thgs that go beyod t. B. Pascal La Statstca ha come scopo la coosceza quattatva de feome collettv. L aals statstca mra ad dvduare modell d terpretazoe della realtà, attraverso cao e tecche che soo astrazo, semplfcazo d ua molttude d aspett e d mafestazo del reale. Nell aals statstca s può dvduare ua: FUNZIONE DESCRITTIVA, quato offre l metodo per rassumere le formazo modo da rederle utlzzabl pù faclmete. Rduce dat forma maeggevole, sosttuedo a molt umer poche msure. FUNZIONE INFERENZIALE (o duttva), quato permette d geeralzzare le formazo, rcavado propretà e legg geeral sulla base d dat rlevat solamete su ua parte (campoe) della popolazoe OGGETTO DELL ANALISI STATISTICA S tratta d aalzzare u feomeo collettvo, feomeo che s coosce tramte la stes d osservazo d feome semplc (es. ataltà, mortaltà, reddto azoale, statura d u seme d dvdu, ecc.). Og elemeto su cu s osserva l feomeo esame è detta utà statstca (u.s.) e l'seme delle u.s. oggetto dell'osservazoe costtusce l collettvo statstco. L utà d rlevazoe a volte può o cocdere co l utà statstca che forma l collettvo, ad esempo e cesmet demografc le utà statstche soo gl dvdu metre le utà d rlevazoe soo le famgle. La defzoe corretta dell utà statstca e d quella d rlevazoe è codzoe dspesable per l esattezza d ua rcerca: l clusoe o esclusoe errata d umerose utà può portare a cocluso fuorvat. La popolazoe è u collettvo statstco. U campoe è u sottoseme della popolazoe d rfermeto, opportuamete defto fuzoe degl obettv dell dage. Il feomeo collettvo vee studato medate l osservazoe o la msurazoe d ua o pù caratterstche delle u.s. Og caratterstca è detta carattere o varable statstca ed l modo cu l carattere s mafesta s chama modaltà. Esempo: Feomeo collettvo: ataltà; Collettvo statstco: collettvo de at (ad es. solo legttm, solo gl llegttm, o l totale); Utà statstca: l sgolo ato; Possbl caratter da aalzzare: orde d ascta; età della madre al parto; vtaltà (at vv o at mort); regoe d ascta; peso; statura; sesso; ecc. 1

2 Modaltà: sesso: Mascho o Femma; statura: 50 cm, 49 cm, 5 cm, ecc.; regoe: Abruzzo, Calabra, Lazo, Pemote, Umbra, ecc. orde d ascta: prmogeto, secodogeto, terzogeto, ecc. I caratter (varabl statstche) hao dversa atura. Alcu s esprmoo co sostatv, aggettv,..., soo caratter qualtatv (sesso, orde d ascta, regoe); altr co umer e soo caratter quattatv (statura, peso, umero compoet la famgla) CLASSIFICAZIONE DEI CARATTERI Carattere Tpologa Esemp QUALITATIVO NOMINALE Date due qualsas modaltà, è possble solo affermare se esse soo ugual o dverse. sesso; professoe; dagos medca; QUANTITATIVO ORDINALE O PER RANGHI Esste u crtero predetermato per ordare le modaltà. DISCRETO L seme delle modaltà assumbl può essere messo corrspodeza buvoca co u sottoseme de umer atural. CONTINUO L seme delle modaltà assumbl può essere messo corrspodeza buvoca co u sottoseme de umer real (la varable può assumere qualsas valore all tero d tervall d umer real). orde d ascta; gor della settmaa; dce d severtà d ua malatta; Num. compoet famgla; um. d fgl; um. d det; um. coloe batterche ua pastra; statura; peso; glcema; PAS; Stablto l feomeo collettvo da studare occorre dvduare l collettvo su cu studarlo ed caratter da rlevare e, el caso d dage campoara, u campoe sgfcatvo d utà statstche. Esempo 1. Su u campoe d pazet s rlevo le caratterstche: sesso, età, altezza, peso, PAS, tasso glcemco. D seguto soo rportate 4 schede d rlevazoe:

3 ome: Ross Amergo sesso: mascho Nome: Bach Paolo Sesso: mascho età: 3 Età: 47 altezza: 17 cm. peso: 64 Kg. PAS: 140 mm Hg. Glcema: 190 mg/100cc Altezza: 170 cm. Peso: 80 Kg. PAS: 148 mm Hg. Glcema: 180 mg/100cc ome: Valeza Alberca Sesso: femma ome: Alor Alfoso sesso: mascho età: 45 età: 7 Altezza: 168 cm. Peso: 51 Kg. PAS: 15 mm Hg. Glcema: 150 mg/100cc Altezza: 183 cm. peso: 85 Kg. PAS: 138 mm Hg. glcema: 170 mg/100cc Le formazo raccolte per essere "trattate" da u computer devoo essere orgazzate strutture chamate comuemete Base d Dat (Data Base o Fle Dat). Le formazo vegoo, comuemete, orgazzate per rga, coè su og rga, cosecutvamete, vegoo elecat dat relatv ad u soggetto. N. NOME SESSO ETA' ALTEZZA PESO PAS GLICEMIA 1 Ross Amergo M Bach Paolo M Valeza Alberca F Alor Alfoso M Le utà archvate (rghe) s chamao records e le formazo che costtuscoo record s chamao tems e lo spazo occupato da cascuo d ess s dce campo. Og coloa cotee la sequeza d tutt dat relatv ad ua caratterstca esamata el campoe. L'seme de record costtusce l fle (fle dat). Le operazo che, geere, u Base d Dat permette d fare soo: sermeto d uov records; rcerca d dat gà trodott co u sstema d terrogazo; correzoe o aggorameto de records; rordameto per chav de records; stampa de dat orgazzat cartelle o tabulat; semplc o pù complesse statstche (descrttve) su dat. 3

4 Esstoo de pacchett software per la gestoe de dat: DBMS (Data Base Maagemet System). Quest possoo «esportare» dat verso altr software che permettoo ua elaborazoe pù evoluta delle formazo. S possoo utlzzare allora de fogl elettroc (Excel, ecc.) o de packages statstc (SPSS, SAS, BMDP, ecc.). Fatta le rlevazoe co lo spoglo de dat (operazoe che determa le modaltà del carattere cascua utà statstca) s pervee alla Dstrbuzoe del collettvo secodo le modaltà del carattere o de caratter studat. Se la dstrbuzoe è relatva ad u solo carattere s dce dstrbuzoe semplce, se a due caratter è ua dstrbuzoe doppa, se, vece, rguarda pù caratter s dce multpla. DISTRIBUZIONI SEMPLICI DI FREQUENZE I dat (coè le formazo raccolte) spesso soo d o mmedata lettura. La prma esgeza è duque quella d redere dat pù faclmete terpretabl. Percò s procede ad ua sstematzzazoe e stes delle formazo raccolte, coè alla loro tabulazoe. Per og varable s calcolao le frequeze assolute (f.a.) che rappresetao l umero d u.s. che presetao ua stessa modaltà del carattere. Esepo. Alcue dstrbuzo semplc d frequeze. Sesso f.a. Età f.a. Altezza f.a. M F Tot Tot >190 1 Tot 35 Spesso c s trova ella ecesstà d dover fare cofrot ad es. se s vuole stablre quale, fra seguet grupp d persoe, c sao pù doe: Esempo 3. Dstrbuzoe doppa d frequeze assolute Gruppo A Gruppo B Sesso frequ. assolute frequ. assolute M 1 7 F Tot 8 17 C accorgamo che l cofroto o può essere effettuato solo co le f.a. quato esse s rferscoo a collettv d umerostà dversa. Se voglamo cofrotare le frequeze le dobbamo depurare dalla umerostà del collettvo; cò lo s fa dvdedo le f.a. per la umerostà (N) della popolazoe 4

5 e moltplcado per 100 (coè facedo rfermeto ad ua potetca popolazoe d 100 utà). Le frequeze così calcolate soo le frequeze percetual (f.%) Esempo 3. Dstrbuzoe doppa d frequeze percetual Gruppo A Gruppo B Sesso f.a. f.% f.a. f.% M F Tot I molt cas oltre alle f.a. e f.% è utle calcolare le frequeze cumulate assolute e %. Esempo 4. Dstrbuzoe d frequeze assolute, relatve e cumulate Età f.a. f.% f.a.cum f%cum Tot 100 Le frequeze cumulate dcao quate u.s. s presetao fo a quella modaltà. Ha seso calcolare le f.cum solamete per le varabl quattatve o qualtatve ordabl. I GRAFICI STATISTICI Scopo de grafc è quello d redere l formazoe coteuta ua sere d dat: - d pù facle compresoe; - d pù dretta lettura; pertato u grafco deve forre al lettore ua formazoe stetca e facle da terpretars. Ua rappresetazoe grafca dveta dspesable el caso d dag d elevate dmeso poché lughe sere d dat o soo sempre doee alla compresoe d feome. Dagramm cartesa: grafc che hao come rfermeto u sstema d ass cartesa co asse orzzotale x (ascssa) ed asse vertcale y (ordata). Og puto vee detfcato da ua coppa ordata d valor (x, y ). Dagramm a bastoco: dcat per varabl qualtatve, evdezao co la lughezza del segmeto le frequeze delle modaltà della varable. 5

6 Ortogramm: usat pù frequetemete de precedet e s ottegoo sosttuedo a bastoc delle barre. Rcorso al proto soccorso pedatrco per tpo d cdete Fr. ass Caduta Ustoe Ferta Avvel. Altro Tpo d cdete Istogramm: dcat per rappresetare dstrbuzo class (varabl quattatve cotue). Costtut da ua sere d barre rettagolar cotgue ogua rappresetaza d ua classe e co area proporzoale alla rspettva frequeza Valor pressor (PAS) rlevat su u campoe d 50 pz. 4 8 Fr.% PAS (mmhg) Polgo e curve d frequeza: s ottegoo da precedet uedo valor cetral superor delle class. Fr.% Valor pressor (PAS) rlevat su u campoe d 50 pz (PAS mmhg) 6

7 Grafc per put (dagramm a dspersoe): costtuto da put corrspodet alle dverse coppe d valor rlevat. Idcat per evdezare le assocazo tra varabl quattatve. 80 Dstrbuzoe della statura e del peso u campoe spermetale d masch 75 Peso (Kg) Statura (cm) Grafc per spezzate: s ottegoo da grafc per put cogugedo var put. Idcat per evdezare ua cotutà tra valor come ad es. ella rappresetazoe delle sere temporal. Es. : temperatura corporea, pressoe saguga, traccato elettrocardografco. 39 Temperatura corporea d u rcoverato due gorate cosecutve temperatura Ora Dagramm logartmc: uo o etramb gl ass soo scala logartmca dcat per rappresetare msure quattatve espresse su ord d gradezza così dfferezat che o possoo essere rappresetat su scala decmale. Dagramm a settor crcolar (torte): dcat per varabl qualtatve allo scopo d evdezare le frequeze % delle sgole modaltà. L area d u cercho vee suddvsa settor proporzoal alle frequeze % Mort per grad grupp d cause Itala (ao 1994) (Fote: Compedo Statstco Italao ISTAT) App.Dger. 5% App. Resp. 6% Altre 14% Tumor 8% Dst. psch. 3% Sst. Crc. 7 44%

8 Esempo Grafc. I ua Azeda Ospedalera è stata rlevata le frequeze aua d rcover per repart dcat tabella seguete: REPARTO N RICOVERI Medca 300 Chrurga 00 Geratra 100 Per vsualzzare tal formazoe s può far rcorso ad u dagramma a torta o ad u ortogramma: Dagramma a torta Ortogramma Fg. 1 - Dstrbuzoe de rcover per reparto Fg. - Dstrbuzoe de rcover per reparto Geratra 17% Chrurga 33% Medca 50% Medca Chrurga Geratra N Rcover Medca Chrurga Geratra Avedo a dsposzoe ache la dstrbuzoe del umero d rcover per mese presso l Reparto d Medca, s può utlzzare u grafco a spezzata per vsualzzare l adameto temporale del umero d rcover: Mese N Rcov. Geao 10 Febbrao 1 Marzo 13 Aprle 0 Maggo 16 Gugo 17 Luglo 3 Agosto 31 Settembre 33 Ottobre 39 Novembre 40 Dcembre 46 Totale 300 N rcover Numero d rcover per mese el Reparto d Medca Geao Febbrao Marzo Aprle Maggo Gugo Luglo Mes Agosto Settembre Ottobre Novembre Dcembre 46 8

9 MISURE DI SINTESI DEI DATI La stes umerca d ua dstrbuzoe d dat s basa sulla troduzoe d dc umerc che permettoo d evdezare alcu aspett essezal della dstrbuzoe aalzzata. Tal msure s possoo classfcare tre famgle prcpal: dc d tedeza cetrale; dc d varabltà o d dspersoe; ƒ dc d forma. INDICI DI TENDENZA CENTRALE Gl dc d tedeza cetrale esprmoo de valor toro a qual s può rteere cocetrato l carattere statstco d teresse, foredo u dea stetca del feomeo oggetto d dage. Esempo 5. Nella tabella seguete soo rportat valor del tasso glcemco rlevat su 10 pazet: X Glcema (mg/100cc) x x 97 x 3 90 x x x 6 71 x 7 94 x 8 81 x 9 9 x Ua prma aals descrttva de dat può essere d tpo grafco, attraverso la costruzoe d u stogramma o u polgoo d frequeza. Essedo la varable X quattatva (cotua), la s può suddvdere class d valor d data ampezza. S può sceglere, ad esempo, ua suddvsoe 5 class d ampezza = (valore massmo valore mmo)/5 = (119 71)/5 10 mg/100 cc, come tabella seguete ( og classe l prmo estremo è escluso, l secodo è cluso) S fa osservare, comuque, che la scelta del umero d class o è sempre agevole, può essere arbtrara e dpede dalla umerostà campoara. Class d valor d glcema Frequeza assoluta Frequeza relatva / % = 10 % / % = 0 % / % = 40 % / % = 0 % / % = 10 % Totale % 9

10 Frequeza assoluta 3 Frequeza assoluta GLICEMIA Istogramma Glcema S tratta ora d sceglere ua msura d tedeza cetrale pù approprata per stetzzare la dstrbuzoe esame. Gl dc d tedeza cetrale soo: ƒ valor med o mede algebrche (es. meda artmetca, meda armoca, meda geometrca); ƒ dc d poszoe o mede lasche (es. medaa, moda, quartl,). Per dat quattatv (varabl statstche quattatve) s possoo utlzzare sa le mede algebrche che gl dc d poszoe, metre per caratter qualtatv è ecessaro far rcorso a dc d poszoe. Valor med Cosderat valor x 1, x, x 3,,x osservat del carattere X e ua opportua fuzoe f(x 1,x,x 3,,x ), u valore m s dce valor medo d X rspetto alla valutazoe d f se rsulta: f(m,m,m,,m) = f(x 1,x,x 3,,x ). E questa la defzoe d meda secodo Chs. La meda artmetca è quel valore che avrebbero tutte le osservazo se o c fosse la varabltà (casuale o sstematca). Pù precsamete, è quel valore x che sosttuto a cascu degl dat e fa rmaere costate la somma: Nell Esempo 5 s ha: f(x 1,x,x 3,,x ) = x 1 + x + x x = = 1 x = 950 = 10 x 10 = 1 x = x x = 950/10 = 95 mg/100 cc. x = 1 x =. Esempo 6. Nella tabella seguete c soo vot rportat da uo studete uverstaro 19 esame sosteut

11 Voto (x ) Frequeza (f ) x f Totale I questo la meda artmetca (poderata) è data da: x f x = f 44 = =,3. 19 Propretà della meda artmetca: a) mmo de dat < x < massmo de dat; b) (x x) = : la somma degl scart dalla meda è zero); 0 c) (x z) assume valore mmo per z = x ; d) la meda de valor: k x è par a: k x (dove k è u umero reale qualsas); e) la meda de valor: x ± h è par a: x ± h (dove h è u umero reale qualsas). Lmte della meda artmetca: è otevolmete fluezata da valor estrem della dstrbuzoe. S cosder fatt l seguete esempo. Esempo 7: Età alla morte d 5 soggett: x 1 = 34 a; x = 70 a; x 3 = 74 a; x 4 = 64 a; x 5 = 68 a. La meda artmetca è par a: x = ( )/5 = 6 a e tale valore è seramete fluezato dall osservazoe d ua morte avveuta all età d 34 a; realtà 4 delle 5 osservazo soo superor alla meda. Altre msure d tedeza cetrale soo la meda armoca e quella geometrca. Esempo 8. A 5 persoe vee effettuato l trapato d uo stesso orgao. Dopo 5 a s rleva la seguete stuazoe: 1 persoa morta dopo a dal trapato; 1 persoa morta dopo 3 a; 1 persoa morta dopo 4 a; persoe rsultao sopravvvet. S vuole valutare la sopravvveza meda de pazet. 1^ possbltà: alle persoe acora vta s attrbusce ua sopravvveza d 5 a: 11

12 x = = 3.8 a 5 ^ possbltà: le persoe acora vta vegoo escluse dal calcolo della meda: x = = 3 a 3 3^ possbltà: s attrbusce grade sopravvveza alle persoe acora vta e la meda vee determata attraverso la: 5 x = = 4.6 a Esempo 9. Per llustrare le meda armoca s cosder l seguete esempo relatvo all aals d post-letto d strutture ospedalere alcue rego talae ell ao 1996 (fote ISTAT). Regoe Abtat (Cooscere l Itala 1997) Lett (Compedo Stat. Italao 1998) Abtat/Letto Pemote ,80 Lombarda ,95 Emla Romaga ,1 Totale Toscaa ,1 Umbra ,09 Lazo ,30 Totale Abruzzo ,87 Campaa ,71 Calabra ,85 Totale S osserv che l ultma coloa della tabella precedete rporta l dce abtat/letto, ovvero l umero d abtat che fao capo ad u posto letto. Suppoedo d voler cofrotare gl dc med abtat/letto relatv alle rego geografche del Nord (Lombarda, Pemote, Emla Romaga), del Cetro (Toscaa, Umbra, Lazo) e del Mezzogoro (Abruzzo, Campaa, Calabra), come vao calcolat valor med? Provado co la meda artmetca, s ottee: Meda Nord = (17,80+15,95+156,1)/3 = 160,6, Meda Cetro = (166,1+187,09+1,30)/3 = 158,50, Meda Mezzog. = (144,87+06,71+184,85)/3 = 178,81. Ma tale modo d calcolo è errato quato, se da tal valor med s rsale alla frequeza assoluta d post letto, s osserva che l umero d lett o è esatto, fatt: post letto Nord = /160,6 = , post letto Cetro = /158,50 = , post letto Mezzog. = /178,81 = , 1

13 per l Nord c è ua dffereza d crca 161 post letto meo, per l Cetro d crca 793 post letto meo e per l Mezzogoro la dffereza è d crca 3075 post letto pù. I realtà, questo caso, va effettuata la meda utlzzado la meda armoca: Meda Nord = Meda Cetro = Meda Mezzog. = ,80 15,95 156, ,1 187,09 1, ,87 06,71 184,85 = 158, corrspodete a post letto, = 140,1 corrspodete a post letto =190,7 corrspodete a post letto e questo modo, come evdetemete rsulta, s ottegoo valor med corrett (le dffereze rscotrate el umero d post letto soo dovute ad approssmazo umerche). I geerale, la Meda armoca (Ma) è quel valore tale che l suo recproco, sosttuto a dat (che devoo essere tutt postv), fa rmaere varata la somma de recproc de dat stess: Ma = = = = f(x1, x 1,...x 1 ) x x x 1 = 1 1 x. La Meda geometrca (Mg), fe, è quel umero che sosttuto a dat (che devoo essere tutt postv) fa rmaere costate l loro prodotto: Mg = f(x 1, x,...x ) x 1 x... x =. Esempo 10. S suppoga che u laboratoro d rcerca s sa rlevato che l umero d batter ua data cultura è crescuto da 1500 a gor. C s chede qual è l cremeto percetuale medo goralero r d batter. Osservamo aztutto che l cremeto da 1500 a 4500 è par a: = 00 %, 1500 allora s potrebbe dre che l cremeto medo goralero è par a 00/4 % = 50%? I realtà è subto vsto che u cremeto goralero del 50% porta ad avere 1500 (1+0.5)=50 batter al prmo goro, 3375 al secodo, 506 al terzo e 7594 al quarto: rsultato evdete cotrasto co quato rlevato! L approcco corretto cosste ell osservare che, se r 1, r, r 3 ed r 4 soo gl cremet percetual oguo de quattro gor, deve essere: 1500 (1+r 1 ) (1+r ) (1+r 3 ) (1+r 4 ) =

14 e che l cremeto medo goralero r è dato da: (1+r 1 ) (1+r ) (1+r 3 ) (1+r 4 ) = (1+r) 4. Pertato (1+r) rsulta la meda geometrca delle 4 quattà (1+r ): (1+ r) = (1+ r) = 4 = 1.316, 1500 da qu la determazoe dell cremeto medo goralero: r = = 31.6 %. S può provare che la meda geometrca d u seme d dat postv è more o uguale alla loro meda artmetca, ma è maggore o uguale alla loro meda armoca: Ma Mg x. Idc d poszoe Le mede lasche soo que valor che s basao solo su alcu valor caratterstc dell tera dstrbuzoe de dat. La medaa (Me) è quell osservazoe che bpartsce la dstrbuzoe d dat, supposta ordata orde o decrescete, modo tale da lascare al d sotto lo stesso umero d term che lasca al d sopra. Rtorado all Esempo 5, per l calcolo della medaa è ecessaro dsporre dat orde crescete: 71, 81, 90, 9, 94, 96, 97, 103, 107, 119 la medaa è quel dato che cade a metà della dstrbuzoe ordata. Se l umero d osservazo è par (come el caso dell esempo della glcema) la medaa è la meda artmetca delle due osservazo cetral: Me = (94+96)/ = 95 mg/100 cc. Il fatto che medaa e meda artmetca questo caso cocdao o è casuale quato la dstrbuzoe è smmetrca. Ma, geerale, cò o avvee. Vataggo ell uso della medaa: o è fluezata dalle osservazo aberrat o estreme. Così ell Esempo 7, dspost dat orde crescete: 34 a; 64 a; 68 a; 70 a; 74 a; s ottee l valore: Me = 68 a, msura pù attedble d stes de (poch) dat a dsposzoe. I realtà, preseza d ua dstrbuzoe o smmetrca d dat è pù approprato far rcorso alla medaa che o alla meda artmetca. 14

15 Le fas operatve per l calcolo della medaa soo le seguet: a) ordameto crescete de dat; b) se l umero d dat è dspar, la medaa corrspode al dato che occupa la (+1)/ esma poszoe se l umero d dat è par, la medaa è data dalla meda artmetca de due dat che occupao la poszoe / e quella /+1. I preseza d ua dstrbuzoe d frequeze è ecessaro cosderare le frequeze cumulate, come llustrato ell Esempo 6 d seguto rpreso esame. Vot ordat (x ) Frequeze (f ) Freq. Cumulate (F ) = = = = = 19 Totale / = 19/ = 9,5 la pù pccola frequeza cumulata maggore o uguale a / è par a 14, duque la medaa è data da Me = (voto corrspodete alla frequeza cumulata 14). Se, fe, dat soo raggruppat class, per l calcolo della medaa s può far rfermeto al valore cetrale d cascua classe (dato dalla semsomma de valor estrem d classe) o, pù geere, alla classe medaa. La Moda (Mo) è l osservazoe che s verfca co maggore frequeza ua data dstrbuzoe. S possoo avere ache pù valor modal. Ad esempo, la moda della dstrbuzoe d vot (esempo 6) è par a Mo = ; el caso della glcema s può cosderare la classe modale par all tervallo: Accato alla medaa vegoo cosderat ache altr due dc: prmo e terzo quartle quato presetao caratterstche molto sml a quelle della medaa. Il prmo quartle (Q 1 ) è u valore della varable presa esame tale da lascare alla sua sstra ¼ = 5% della frequeza de dat, metre l terzo quartle (Q 3 ) lasca alla sua destra ¼ = 5% della frequeza. Esempo 11. Suppoamo d rlevare l peso d 30 studet otteedo la dstrbuzoe d frequeza d Tab. 1 Tab. 1 Dstrbuzoe d frequeza de pes d 30 studet Peso (kg) Frequeza Assoluta

16 Ordado pes modo crescete s ottee la Tab. Tab. Dstrbuzoe d frequeza de pes d 30 studet Peso (kg) Frequ. assoluta Frequ. % Frequ. cumulata % % % % % % % 30 Totale Per l calcolo della medaa e del prmo e terzo quartle basta osservare: 30/ = 15 medaa = 5 kg; 30/4 = 7.5 Q 1 = 50 kg; 3/4 30 =.5 Q 3 = 65 kg. Estededo l cocetto d quartle, s possoo cosderare ache valor che dvdoo dat dec part ugual, ovvero decl, oppure valor che dvdoo dat ceto part ugual, percetl. Il quto decle ed l cquatesmo percetle corrspodoo alla meda; l vetcquesmo ed l settatacquesmo percetle corrspodoo rspettvamete al prmo e terzo quarte. Quartl, decl e percetl soo dett comuemete quatl. I merto alla scelta dell dce medo pù adeguato alla rappresetazoe della dstrbuzoe d dat s può evdezare quato segue: La meda artmetca è dcata quado dat quattatv X presetao abbastaza smmetra (s pes alla dstrbuzoe ormale d fgura) e ache quado tal dat soo progressoe artmetca (la dffereza tra u dato e l precedete è costate). È opportuo rcorrere alla meda geometrca quado l logartmo del varable statstca quattatva (postva) presa esame l(x) preseta ua dstrbuzoe molto smmetrca, pù rgorosamete l logartmo è dstrbuto ormalmete (ad esempo el caso d rsposte alla sommstrazoe d farmac), o ache quado dat soo progressoe geometrca (l rapporto tra u dato e l precedete è costate); esemp d dat soo pes degl dvdu durate la crescta, l umero d mcrob ua cultura, tass d varazoe d ua gradezza. È adeguato far rfermeto alla meda armoca quado soo preset dat quattatv (postv) che s dscostao d molto da lmt d tempo o d luogo stablt per l osservazoe; s usa, ad esempo, quado la varable esame è rappresetata da temp d reazoe ( prove d tossctà, ell aals d sopravvveza). La medaa può essere calcolata per caratter qualtatv ordal e caratter quattatv; s presta meglo d altr valor med per esprmere l valore cetrale d dstrbuzo d caratter che o possoo essere msurat esattamete (ad es. caratter pscologc graduabl) oppure quado la dstrbuzoe d ua carattere preseta valor aomal o asmmetra ( sostaza, o s può far rfermeto alla dstrbuzoe ormale), quato essa o rsulta fluezata da valor estrem della dstrbuzoe. La moda può essere calcolata per u carattere statstco qualuque (sa qualtatvo che quattatvo) e o rsete de valor estrem (ad esempo è dcata per caratter per qual o s cooscoo valor estrem); tuttava rsulta l dce co mor coteuto formatvo. 16

17 INDICI DI VARIABILITÀ Esempo 1. S cosdero zalmete le seguet due dstrbuzo d valor rfert all età d 10 dvdu: I sere II sere La meda artmetca è par a 40 a per etrambe le dstrbuzo; ma ella secoda dat soo pù dspers attoro alla meda. Pertato accato alle mede vao trodott ache dc d msura della varabltà de dat. Le msure d dspersoe pù usate soo: 1. campo d varazoe (rage);. devazoe stadard. 3. dffereza terquartle Campo d Varazoe o Rage: Per l Esempo 5 s ha: el caso dell Esempo 7: R = X max - X m R = = 48 mg/110 cc; R = = 40 a. Lmt del campo d varazoe - è troppo fluezato da valor estrem; - tee coto de due sol valor estrem, trascurado tutt gl altr. - tede ad aumetare co l aumeto del umero d osservazo. Occorre allora u dce d dspersoe che cosder tutt valor (e o solo quell estrem). Tuttava va rcordato che: =1 (x - x) = 0. S potrebbe calcolare la somma de valor assolut: =1 x - x, ma tale quattà è dffcle da trattare matematcamete. U dce alteratvo, pù agevole da usare, è quello d _ cosderare la somma de quadrat degl scart dalla meda artmetca x. 17

18 Esempo 5. Valor del tasso glcemco 10 soggett x (glcema mg/100cc ) La quattà x - x (x - x) x - x = = 1 = 1 (x - x) s chama Devaza (Dev). =1 x _ = 95 ( x - x ) = 1596 Il lmte della Devaza come msura d dspersoe è quello d aumetare co l umero d osservazo. Per otteere ua msura che o dpeda dalla umerostà s può dvdere la devaza per l umero d dat, otteedo la varaza: ( x - x ) s =1 = I pratca l deomatore è quas sempre sosttuto da (-1) modo da otteere ua stma corretta della dspersoe della varable ella popolazoe da cu l campoe esame è stato estratto. ( s = =1 x - x ) - 1 Nell'Esempo 5 s ha: s = 1596 / 9 = (mg/100cc). Il lmte della Varaza come msura d dspersoe è quella d avere ua utà d msura espressa al quadrato rspetto all'utà d msura orgale, per cu s utlzza la Devazoe Stadard (D.S. o S.D.): ( s = =1 x - x ). - 1 La Devazoe Stadard è l'dce d varabltà pù usato e ad esso s farà rfermeto el seguto Essa dca quato, meda, cascu elemeto s dscosta dalla meda. Nell'esempo 5 : s = = 13.3 mg/100cc. La Devazoe Stadard per dstrbuzo d frequeza: assume la seguete forma: 18

19 s = k (x x ) f =1 k = 1 f 1, dove k è l umero d modaltà della varable statstca X o l umero d class cu valor d X soo stat raggruppat. Idc d varabltà relatv: Coeffcete d Varazoe CV s Devazoe Stadard = _ =. meda artmetca x Per l Esempo 5 s ottee : CV = = 14 %. E teressate ache l cofroto tra coeffcet d varazoe delle due sere d dat dell Esempo 11: per la sere I s ha CV I = = 39.5%, metre per la II: CV II = = 59.3%, rsultat che cofermao la maggore varabltà de dat della secoda sere rspetto alla prma. Il Coeffcete d Varazoe è u umero puro, quato rapporto d due gradezze omogeee, e percò cosete l cofroto ache tra varabl eterogeee. L uso del C.V. s rede ecessaro og qualvolta s vogloo cofrotare le msure d varabltà relatve a dstrbuzo le cu modaltà soo espresse utà d msure dverse (cofroto tra varabltà dell altezza e del peso) oppure soo espresse ella stessa utà d msura ma l loro valore medo rsulta molto dverso (cofroto delle varabltà de pes fra u campoe d eoat ed uo d adult). Come dce d varabltà può essere cosderato ache la dffereza terquartle: H = Q 3 Q 1. Nel caso dell esempo 10 d pag.15, rsulta H = = 15 kg. S osserv che tra l prmo ed l terzo quartle vegoo a trovars l 50 % delle osservazo. Se l'tervallo terquartlco è pccolo, tale metà delle osservazo s trova fortemete cocetrata toro alla medaa; all'aumetare della dstaza terquartlca aumeta la dspersoe del 50% delle osservazo cetral toro alla medaa. BOX-PLOT Alcu metod statstc esploratv permettoo d esprmere dat facedo rfermeto alla medaa ed a quartl. Ua rappresetazoe grafca d otevole utltà per capre come è composto l seme delle osservazo cosste el rappresetare su d ua retta la medaa, quartl ed altr quattro put dvduat sul grafco modo da defre 5 tervall: Q 1 3H Q 1 1.5H Q 1 Me Q 3 Q H Q 3 +3H Tra Q 1 1.5H e Q 1 e tra Q 3 e Q H cadoo valor dett adacet quato rsultao prossm al ucleo cetrale (tra Q 1 e Q 3 c è l 50% de dat) delle osservazo; tra Q 1 3H e Q 1 1.5H e tra Q H e Q 3 +3H cadoo valor dett lota e prma d Q 1 3H e dopo Q 3 +3H cadoo valor molto lota. Per valor molto lota occorre fare u aals atteta e muzosa per capre se s tratta d valor errat oppure d valor che s staccao effettvamete dal resto de dat. La 19

20 suddvsoe posta sopra porta a coglere tervall che autao a percepre l segale d qualcosa d aomalo presete fra le osservazo. I valor lota o molto lota (valor fuor lmte) vegoo segalat dvdualmete el box-plot per evdezare la preseza e la poszoe. Quest valor forscoo formazo ulteror sulla dspersoe e sulla forma della dstrbuzoe. Quado valor adacet, superore e ferore, cocdoo co gl estrem della dstrbuzoe o comparrà alcu valore fuor lmte. I valor adacet ferore e superore forscoo formazo sulla dspersoe e sulla forma della dstrbuzoe ed ache sulle code della dstrbuzoe. Attraverso la costruzoe de dagramm a scatola (Box-plot) è possble effettuare l esplorazoe appea detta. La fgura seguete rappreseta tale dagramma per l esempo 10 d pag. 15. All tero della scatola s poszoa l 50% de dat (pertato l lato ferore dca l prmo quartle e quello superore l terzo); la medaa è dcata dalla lea tera alla scatola; al d sopra e al d sotto della scatola soo ache dvduat put della zoa de valor adacet (ell esempo esame, poché Q 1 1.5H = 3.5 kg < 40 kg e Q H = 84.5 kg > 73 kg, soo rportat semplcemete l mmo ed l massmo de valor del peso). Peso N = 30 PESO I Box-plot permettoo ache d comparare dstrbuzo d caratter dvers. 0

21 Esemp su dc d tedeza cetrale e d varabltà Esempo 13. Valor pressor massm rlevat su 5 pazet pertes PAS (mmhg) f x f x - x ( x - x) f Somma _ Meda Artmetca: x = 965 / 5 mmhg = 193 mmhg; Rage: R = = 35 mmhg; Devaza: Dev = 930 (mmhg) ; Varaza: s = 930 / 4 (mmhg) = 3,5 (mmhg) ; Dev. St.: s = 3, 5 mmhg =15,5 mmhg; Coeff. Varaz.: CV% = 15,5 / = 7,9 %. Per l calcolo della medaa (Me) e della Moda (Mo) della dstrbuzoe della pressoe s procede come ella tabella: PAS (mmhg) f frequ. Cumulate / =,5 Me = Mo = I due esemp che seguoo llustrao l calcolo d dc med e d varabltà el caso d dat raggruppat class d frequeze. Esempo 13. Azoto ureco (mg %) u gruppo d 50 adolescet Azoto val. cetr. (x ) Frequeze (f ) Frequ. cum. x * f (x x ) * f Totale x = /50 = 3.9 ; D.S. = / 49 =. 49; calcolo medaa: N/ = 50 / = 5 la classe medaa (classe che comprede la medaa) è data da: 3.1-5, ovvero 3.1 < Me < 5; calcolo moda: la frequeza pù elevata s ha per la classe 3.1-5, duque: 3.1 < Mo < 5. 1

22 Calcolo della medaa Se è potzzable che all tero delle class d frequeze valor dell azoto s dstrbuscao modo uforme, la medaa può essere determata mpostado ua relazoe d tpo leare tra dat e le relatve frequeze cumulate. Idvduata, allora, la classe medaa s può calcolare: Me = x m + N f prec c, f med dove: x m, f med e c soo rspettvamete l estremo ferore, la frequeza e l ampezza della classe medaa, I prec è la somma delle frequeze delle class feror a quella medaa. Nell esempo aalzzato s ha: 5 0 Me = = Il grafco seguete mostra l stogramma della dstrbuzoe dell azoto e, sovrapposta a questo, la curva della dstrbuzoe ormale (per lo studo d tale curva s veda apput successv). 5 0 Frequeze ,05 0,05,05 4,05 6,05 8,05 30,05 AZOTO Esempo 14. Dosaggo della Fosfatas Alcala (UA) 0 studet Fosfatas Valore cetrale Frequeze Frequ. cumul. Alcala (x ) (f ) x * f (x x ) * f totale x = 581 / 0 = 19; D.S. = / = 41.98; calcolo medaa: N/ = 0 / = 10 la classe medaa è , ovvero 10.1< Me <150; calcolo moda: la frequeza pù elevata s ha per la classe , duque: 10.1< Mo <150.

23 10 7 Co la formula trodotta ell es. 1 s ottee ache: Me = = CURVE DI DISTRIBUZIONI E INDICI DI FORMA Le osservazo quattatve cotue,se rlevate gra umero, possoo essere suddvse class d pccola ampezza ma ache d umerostà o trascurable; tale cotesto polgoo d frequeze assolute o d frequeze relatve rsultao be essere approssmat (lscat) da curve d frequeze che assumoo forme caratterstche. S possoo avere dstrbuzo co ua sola moda (umodal) o co pù d ua. Sulle prme c s soffermerà tra breve, metre per quato attee le secode e, partcolare, le dstrbuzo bmodal, caratterzzate dalla preseza d due mode, s può dre che s è preseza d dat o omogee. Cò può verfcars, ad esempo, quado valor s rferscoo ad u campoe composto sa da dvdu sa che malat; tal caso s avrao due mode, ua meda ed ua medaa (Fgura IV): Idc d asmmetra Per le dstrbuzo umodal d frequeze è possble dstguere le seguet stuazo. Dstrbuzoe smmetrca: le osservazo equdstat dalla medaa (cocdete questo caso col massmo cetrale) presetao la stessa frequeza relatva (fgura I) U esempo mportate è forto dalla curva d dstrbuzoe ormale 3

24 Dstrbuzoe asmmetrca postva: la curva d frequeza ha ua coda pù luga a destra del massmo cetrale (fgura II). Dstrbuzoe asmmetrca egatva: la curva d frequeza ha ua coda pù luga a sstra del massmo cetrale (fgura III). U dce statstco che permette d formare del grado d smmetra/asmmetra d ua dstrbuzoe d dat quattatv è l dce d asmmetra: µ 3 γ =, 3 σ ( ) x x = 1 essedo: µ 3 = e N 3 N = ( x x) 1 σ =. I merto a valor che tale dce può assumere s può dre che: se la dstrbuzoe è smmetrca, γ = 0; se la dstrbuzoe è asmmetrca postva (a destra), γ >0; se la dstrbuzoe è asmmetrca egatva (a sstra), γ <0. Come msura della asmmetra vegoo utlzzate ache le seguet formule emprche (che rchedoo la coosceza d moda, medaa, meda e devazoe stadard): x Mo DS oppure 3 (x Me), DS el caso d smmetra s ha u valore ullo, per l asmmetra postva u valore postvo e per quella egatva u valore more d zero. Esempo 15. Le seguet msure caratterzzao le dstrbuzo de vot, ua scala da 1 a 100, rportat ua data Dscpla dagl studet d due dvers cors a seguto d ua verfca termeda (formatva): 4

25 Corso 1 Corso Meda 78 7 Medaa D.S C s chede: a) I quale d quest due cors l docete dovrebbe mpegare pù tempo el lavoro dvduale co gl studet? b) I quale d quest due cors è pù probable trovare alcu studet partcolarmete brav, ovvero molto al d sopra della meda? a) Metre el corso crca la metà della classe ha u voto o ferore a 73, el corso 1 l 50% degl studet ha u voto o superore a 65 ed oltre c è maggore varabltà de dat (l coeff. d varazoe del corso 1 è par a crca l 1% e quello del corso è d crca l 8%). Pertato l docete dovrebbe mpegare pù tempo el lavoro dvduale co gl studet del corso 1. b) La D.S. del corso 1 è decsamete pù elevata rspetto a quella del corso, pertato el prmo corso è pù probable trovare studet molto al d sopra (D.S.=16) della meda. D altra parte, osservato ache valor delle mede, s può dre ache che el corso 1 è pù probable trovare studet pù brav d quell del secodo. Per llustrare grafcamete la stuazoe, maera qualtatva tuttava, s potrebbe rcorrere a grafc d dstrbuzo d frequeze. La dstrbuzoe relatva al corso 1 potrebbe presetare 3 (78 65) ua asmmetrca postva = +.44, 16 metre quella del corso ua asmmetra egatva 3 (7 73) = S osserv ache che formazo sulla forma d ua dstrbuzoe possoo essere forte dalle dstaze tra cascu quartle e la medaa. L dce: (Q Me) (Me Q ) 3 Q3 Q1 dca asmmetra postva se rsulta postvo, asmmetra egatva el caso sa egatvo. Per ua dstrbuzoe smmetrca, come quella ormale, le dstaze tra cascu quartle e la medaa soo ugual, come ache le lughezze delle lee che s allugao da bord della scatola utlzzata e box-plot. I partcolare, per ua dstrbuzoe ormale, l valore adacete ferore e quello superore rsultao par, rspettvamete, a Me.6975Â'6 e Me+.6975Â'6HO LQWHUYDOOR dvduato da tal valor racchude l 99.30% de dat. 1 5

26 Idc d curtos Sempre el caso d dstrbuzo umodal, per terpolare u stogramma co ua fuzoe d destà d tpo cotuo spesso ell aals statstca s fa rfermeto alla dstrbuzoe ormale come modello teorco d rfermeto. L stogramma d fgura a lato, ad esempo, è stato approssmato co ua ormale. Pertato vegoo costrut dc statstc che msurao, qualche modo, lo scostameto della dstrbuzoe emprca del carattere quattatvo X da quella relatva alla stuazoe espressa dalla curva ormale. Uo d quest è l dce d curtos (calcolato per dat quattatv): 4 N ( x x) µ β = σ (x x) = 1 = 1 dove: µ 4 = e σ =. I merto a valor assut s può dre che: ƒ Se la varable è perfettamete ormale s ha β = 3; ƒ Se β > 3 la dstrbuzoe è detta perormale (rspetto alla dstrbuzoe ormale s ha ua maggore frequeza per valor cetral ed estrem, more per valor termed); ƒ Se β < 3 la dstrbuzoe è detta poormale (rspetto alla dstrbuzoe ormale s ha ua more frequeza per valor cetral ed estrem, maggore per valor termed). Va osservato che software statstc spesso calcolao l dce d curtos come β 3, che pertato s aulla el caso d ormaltà. Va agguto che ha seso calcolare tale dce solamete quado la dstrbuzoe emprca è stata determata da umerose determazo del carattere X, quato tal caso s può effettuare u approprato cofroto co la dstrbuzoe ormale. Esempo 16 Su u campoe d 853 studet d età compresa tra 13 e 19 a soo stat rlevat altezza e peso ed è stato determato l dce d massa corporea MBI (body mass dex) espresso dalla seguete relazoe: peso kg BMI =. altezza m 4 4 ( ) La dstrbuzoe de dat del BMI è vsualzzata el grafco seguete ed alcu dc statstc soo rportat ella tabella laterale: 6

27 Num. studet Mmo Massmo Meda Medaa Dev. Stad. Percetl Asmmetra Curtos ,10 38,10 1,9 0,7 3,5 19,03 0,7 3,05 1,0,65 S evdeza che la dstrbuzoe è asmmetrca postva e perormale. Grafc qq-plot U altro modo per vedere se dat a dsposzoe possoo essere approssmat dalla dstrbuzoe ormale è quello d rcorre a grafc quatle-quatle (qq-plot). I tal grafc quatl otteut da dat umerc osservat vegoo cofrotat co quell che s avrebbero el caso che dat segussero esattamete ua dstrbuzoe ormale (dat teorc ). S ottegoo de put su d u pao cartesao: pù tal put soo alleat e maggormete la dstrbuzoe d dat osservat è vca a quella ormale. Le fgure che seguoo schematzzao le stuazo d dstrbuzo poormal ed perormal I qq-plot possoo essere utlzzat ache per aalzzare la smmetra/asmmetra d ua dstrbuzoe, come dcato elle fgure: 7

28 I rfermeto all esempo. 16, l qq-plot è quello sotto rportato: e s evdeza l perormaltà e l asmmetra postva della dstrbuzoe del BMI. 8