La volatilità storica, le misure di rischio asimmetrico e la tracking error volatility

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1 Ecooma degl termedar fazar Lors Nadott, Claudo Porzo, Daele Prevat Copyrght 00 The McGraw-Hll Compaes srl Approfodmeto 4.3w La msurazoe del rscho (a cura d Atoo Meles Uverstà Partheope) La volatltà storca, le msure d rscho asmmetrco e la trackg error volatlty Per gl vesttor che operao su mercat fazar ua rlevate fote d rscho è rappresetata dalla varabltà del prezzo/redmeto delle attvtà fazare, la quale può essere msurata facedo rcorso al cocetto d volatltà. L dcatore pù dffuso per prevedere la varabltà d ua qualsas attvtà fazara, è rcoducble alla volatltà storca, basata sull mpego delle sere storche de prezz (quotazo) o de redmet perodc. Per ua corretta msurazoe della volatltà storca, occorre effettuare tre scelte d orde metodologco:. stablre qual prezz (e, coseguetemete, qual redmet perodal) mpegare per l calcolo: prezz d chusura (closg prce); prezz mm e massm (hgh prce, low prce); ua combazoe de prezz appea dcat;. decdere co quale frequeza rlevare prezz assut come base del calcolo: metod possoo essere a bassa frequeza (rlevazo settmaal o mesl) o ad alta frequeza (rlevazo daly, tra-daly, o tck by tck); 3. dvduare l tpo d fuzoe attraverso la quale processare dat rlevat (scarto quadratco medo, altre fuzo dervate da stud sul calcolo probablstco). Co rfermeto all ultmo aspetto, l metodo pù dffuso per l calcolo della volatltà storca è la devazoe stadard, o volatltà statstca, la quale può essere defta come la meda poderata degl scart artmetca elevat al quadrato. Essa detfca l errore che s commette quado s assume l valore medo come rappresetatvo d tutt valor dell uverso statstco cosderato. La volatltà statstca dca, pertato, l grado d dspersoe de redmet toro alla meda e rappreseta l certezza assocata alla possbltà d otteere u rtoro dall vestmeto par alla meda stessa. La formula per l calcolo della devazoe stadard è la seguete: σ t t r r () Co, par al umero d redmet perodal rlevat; r che rappreseta l redmeto ell -esmo perodo; r che rappreseta l redmeto medo el perodo campoaro a sua volta così calcolato: r r ()

2 Ecooma degl termedar fazar Lors Nadott, Claudo Porzo, Daele Prevat Copyrght 00 The McGraw-Hll Compaes srl More è l valore della devazoe stadard, maggore è la probabltà d otteere u redmeto vco a quello medo; all opposto, qualora essa assuma u valore elevato, la dspersoe de sgol redmet geerat dall vestmeto durate l tervallo d rlevazoe è cosstete e qud l rtoro atteso preseta u elevato grado d certezza. Ua devazoe stadard par a zero è la cosegueza d ua volatltà ulla e duque rappreseta la certezza d otteere u redmeto detco al valore medo. La devazoe stadard può essere cosderata ua stma attedble della volatltà futura quado vee msurata su ua sere storca d redmet partcolarmete profoda (almeo 5 a).tuttava, pur preseza d u umero suffcetemete elevato d osservazo, essa o è grado d coglere alcue mportat caratterstche delle sere storche fazare, tra le qual l asmmetra della dstrbuzoe de dat (vale a dre l macato rspetto dell potes d dstrbuzoe ormale de redmet). La causa d tale lmte è da rcercars ella cofgurazoe matematca dell dcatore stesso: essedo determato utlzzado gl scostamet tra l redmeto perodale e quello medo, elevat al quadrato, esso o è grado d dscrmare tra valor postv e egatv. Ioltre, la devazoe stadard o può rflettere l dverso atteggameto che gl vesttor assumoo e rguard de redmet postv e d quell egatv: ess o soo avvers alla volatltà totale (come mplctamete assuto dall mpego della devazoe stadard), ma solo alla parte d volatltà che geera perdte, vale a dre redmet feror rspetto al valore medo. Per ovvare a lmt sopra ctat dervat dall mpego della devazoe stadard, s può far rcorso alle msure d rscho asmmetrco, dcate come dowsde rsk measures. Esse, fatt, o soo teressate a coglere l tera oscllazoe del redmeto d u ttolo o d u portafoglo, ma solo le mafestazo feror alla meda (sem-devazoe stadard) o ad u valore arbtraramete fssato (dow-sde devato). I altre parole esse cocetrao l attezoe sul lato sstro della dstrbuzoe de redmet, valutado la frequeza e l testà de redmet feror alla meda o ad u redmeto obettvo. Tal msure da u lato affrotao la questoe legata alla o ormaltà della dstrbuzoe de redmet, dall altro cosetoo d cosderare esclusvamete redmet desderat dall vesttore. A frote d quest dscuss vatagg, l calcolo del dowsde rsk mplca l utlzzo d u umero d parametr superore a quello rchesto ella msurazoe del rscho smmetrco: fatt, oltre alla meda e alla varaza, è dspesable la coosceza della curtos e dell asmmetra della dstrbuzoe. È perà evdete che al crescere degl put del modello, aumeta la dffcoltà dell aals e coseguetemete la probabltà d commettere error sgfcatv d stma. Ioltre, la quatfcazoe del dowsde rsk comporta ua perdta d oggettvtà del calcolo, dal mometo che la msurazoe mpoe la defzoe d u redmeto target (che può varare da soggetto a soggetto), al d sotto del quale scatta la percezoe del rscho da parte dell vesttore. Pertato, sebbee o sa adatto come msura uversale d rscho, l dowsde rsk corpora u formazoe aggutva rspetto alla volatltà, che può autare a mglorare la rappresetazoe umerca della dstrbuzoe de redmet. U prmo esempo d msura d rscho asmmetrca è rappresetato dalla sem-devazoe stadard (SDS) che prede cosderazoe esclusvamete la parte egatva della varabltà de redmet; essa è così calcolata:

3 Ecooma degl termedar fazar Lors Nadott, Claudo Porzo, Daele Prevat Copyrght 00 The McGraw-Hll Compaes srl SDS r < r r r m dove m, è l umero delle osservazo elle qual l redmeto perodale (r ) è ferore rspetto al redmeto medo ( r ). (3). Pù la dstrbuzoe de redmet d u attvtà fazara è asmmetrca, pù devazoe stadard e semdevazoe stadard possoo dfferre maera sgfcatva. A ttolo esemplfcatvo ella Tabella s cofrotao le msure d rscho del ttolo A - cu redmet postv, rspetto a quell egatv, soo pù frequet ma d mporto coteuto e del ttolo B, cu redmet postv e egatv soo dstrbut maera maggormete smmetrca.

4 Ecooma degl termedar fazar Lors Nadott, Claudo Porzo, Daele Prevat Copyrght 00 The McGraw-Hll Compaes srl Tabella Il calcolo della devazoe stadard e della semdevazoe stadard Redmeto mesle ttolo A Redmeto mesle ttolo B Scostamet ttolo A Scostamet ttolo B Scostamet egatv ttolo A Scostamet egatv ttolo B Geao 0,65% 3,50% -0,8%,78% -0,8% - Febbrao,40% -,40% 0,58% -3,3% - -3,3% Marzo,50%,60% 0,68% 0,88% - - Aprle,30%,70% 0,48%,98% - - Maggo,0% -,60% 0,8% -3,33% - -3,33% Gugo 0,60%,60% -0,3%,88% -0,3% - Luglo,30%,50% 0,48% 0,78% - - Agosto,55% -,80% 0,73% -,53% - -,53% Settembre,50%,30% 0,68% 0,58% - - Ottobre,40% 4,50%,58% 3,78% - - Novembre,80% -,90% 0,98% -,63% - -,63% Dcembre -5,0% -0,30% -6,03% -,03% -6,03% -,03% r r A 0,83 % r r B 0,73% σ A r r,96% σ B r r,45 % SDS SDS A B r< r r< r r r 3 r r 5,6% 0,53% Come s può otare, etramb cas la devazoe stadard ha u valore maggore rspetto alla semdevazoe stadard; tuttava, l dfferezale tra le due msure d rscho è pù alto per l ttolo A, la cu asmmetra della dstrbuzoe de redmet à pù accetuata. Sulla base della stessa logca della semdevazoe stadard, è possble calcolare la dowsde devato (DD), tra le msure d rscho asmmetrche pù utlzzate ella pratca, così calcolata:: DD r < r t arge t ( r r ) target m (4) dove r target è l redmeto obettvo defto dall vesttore.

5 Ecooma degl termedar fazar Lors Nadott, Claudo Porzo, Daele Prevat Copyrght 00 The McGraw-Hll Compaes srl L approcco della DD è qud smle a quello della sem-devazoe stadard, ma vee serto el modello d calcolo u elemeto d tpo gestoale legato alla crcostaza che alcue decso d vestmeto esste ua sogla mma d redmeto da raggugere al fe d o pregudcare l cosegumeto dell obettvo zalmete prefssato dall vesttore. Tale msura d varabltà prevede che solo gl scostamet egatvo rspetto al redmeto mmo cotrbuscao alla determazoe della msura d rscho: gl vesttor cosderao redmet al d sopra della sogla floor come dcatv d opportutà, metre la varabltà de redmet al d sotto d tale lvello è effettvamete percepta come rscho. Dal puto d vsta operatvo, sovete la dowsde devato vee msurata utlzzado come redmeto obettvo l tasso rsk free. La logca sottostate l mpego d tale dcatore è che la parte d volatltà o gradta all vesttore è quella de redmet feror a cò che egl s può ragoevolmete attedere da u vestmeto prvo d rscho. Nel caso specfco d u vestmeto fod comu d vestmeto, accato alle msure d rscho appea descrtte, assume ua certa rlevaza la trackg error volatlty (TEV), la quale costtusce ua proxy della fedeltà del fodo rspetto all dce d rfermeto (bechmark). La TEV s ottee sottraedo redmet del bechmark a redmet del fodo (trackg error) e calcolado po la devazoe stadard delle dffereze così otteute. Nella (5) è rportata la formula algebrche per l calcolo della TEV. TEV TE TE (5) La TEV rappreseta l rscho aggutvo assuto del gestore attvo rspetto ad ua stratega basata esclusvamete sulla replca del bechmark d rfermeto (stratega passva). Se l valore d questo dce è prossmo allo zero, allora esste smltude d adameto tra la lea d gestoe del fodo e l bechmark. Vceversa, pù l valore assuto dall dce è alto, maggore rsulta l rscho attvo assuto dal gestore del fodo. Per meglo charre l procedmeto d calcolo della TEV, s aalzz l esempo rportato ella Tabella, ella quale s rporta l adameto mesle del valore d u geerco fodo comue d vestmeto (fodo alfa) e del relatvo bechmark (coloa e 3), da cò è possble estrapolare redmet d perodo (coloa 4 e 5) metre l ultma coloa rporta l trackg error, vale a dre la dffereza tra l redmeto mesle del fodo e quello del suo bechmark. Le cocluso che emergoo dall aals soo tre. ) l trackg error medo è par a 0,4%, a dmostrazoe della crcostaza che l fodo alfa ha complessvamete sovraperformato l bechmark; ) la rschostà assoluta del fodo alfa, msurata dalla devazoe stadard de redmet, rsulta maggore rspetto alla volatltà del bechmark: 3) l valore assuto dalla TEV (,55%) dmostra come l gestore del fodo alfa abba scelto d o replcare pedssequamete l bechmark, ma d assumere uo stle d gestoe attva.

6 Ecooma degl termedar fazar Lors Nadott, Claudo Porzo, Daele Prevat Copyrght 00 The McGraw-Hll Compaes srl Tabella L aals della treckg error volatlty Valore quota Bechmark Redmeto Redmeto Trackg error fodo Alfa fodo Alfa bechmark Geao 00,00 00,00 Febbrao 96,55 99,50-3,57% -0,50% -3,07% Marzo 98,55 0,0,03%,58% 0,45% Aprle 00,0 0,30,55% 0,0%,35% Maggo 00,35 0,60 0,5% 0,30% -0,05% Gugo 00,90 0,05 0,55% 0,44% 0,0% Luglo 99,55 0,65 -,36% -0,39% -0,96% Agosto 0,00 0,00,44% 0,34%,09% Settembre 0,05 0,50,03% 0,49% 0,54% Ottobre 05,05 03,0,86% 0,68%,8% Novembre 08,5 04,05,96% 0,8%,4% Dcembre 06,5 03,0 -,98% -0,8% -,5% Trackg error medo 0,4% Dev. Stadard redmet,06% 0,67% Trackg error volatlty,55%