Statistica degli estremi

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1 Statstca degl estrem Rcham d probabltà e statstca Il calcolo della probabltà d u eveto è drettamete coesso co: - la COOSCEZA ICOMPLETA dell eveto stesso; - l assuzoe d u RISCHIO, calcolato come la probabltà che u eveto accada. Esstoo due mod fodametal d utlzzare la teora della probabltà applcata alla predzoe d evet: - la va PROBABILISTICA, ossa l dervare le propretà probablstche d u processo per va assomatca; - la va STATISTICA, ossa l dervare le propretà probablstche d u processo dall aals del campoe. Dcamo CDF (FUZIOE CUMULATIVA DI PROBABILITÀ) la fuzoe admesoale, che prede valor compres tra 0 e, defta come: F = P X X dove P( X ) sta per probabltà che X sa more o uguale a X è detta varable aleatora per =,..., è l campoe d msure Dcamo po PDF (DESITÀ DI PROBABILITÀ) la fuzoe: df F ( + ) F X ( ) f lm X X X = = d 0 Suppoedo d cooscere la probabltà del verfcars d u eveto A, la struttura d probabltà può cambare se cosderamo u eveto B che codzo l eveto A : parleremo tal caso d PROBABILITÀ CODIZIOATA ed abbamo: P( A B) P( A B) = P B el solo caso cu due evet sao dpedet abbamo: P( A B) = P( A) Dato uo spazo d probabltà S = B dove B,..., B è ua partzoe d S tale che = B Bj = per B B j, abbamo l TEOREMA DELLA PROBABILITÀ TOTALE: = = = ( ) = ( ) P A P A B P A B P B Paolo Marts - madchld.t Statstca degl estrem -

2 Sempre elle stesse potes, abbamo ache l TEOREMA DI BAYES: P( A B) P( B) P( B A) = P A B P B j= ( j) ( j) mportate per quato rguarda l calcolo della probabltà A POSTERIORI: s è gà otteuto u certo rsultato per A e s calcola la probabltà che esso derv da ua certa cofgurazoe tra quelle possbl. U altro mportate teorema è quello del LIMITE CETRALE: suppoamo d avere ua collezoe d varabl aleatore dre che, se f ( ), allora la f X X e cerchamo ua varable Y Y = X ; possamo allora = y segue ua dstrbuzoe gaussaa. Allo stesso modo, potzzado u modello moltplcatvo Y = X, possamo dre che se f ( ), allora la f X ly = l X = Y = y segue ua dstrbuzoe log-ormale, poché Dstrbuzo comuemete utlzzate Le fuzo d probabltà dscrete pù utlzzate ello studo delle pee soo: la dstrbuzoe d BEROULLI, che calcola la probabltà delle alteratve d successo (0) o successo () ed è defta come: P = p e qud come: P 0 = p la dstrbuzoe BIOMIALE, che calcola la probabltà d avere m success u espermeto dato da ua successoe d tetatv: m m P( m) = p ( p) m E m p σ m = p p ; co meda = e varaza la dstrbuzoe GEOMETRICA, utle per calcolare l tempo d attesa per l prmo successo e defta come: = ( ) W PW p p dove W è l tempo d attesa per l prmo successo p co meda EW = e varaza σ ( W ) = ; p p la dstrbuzoe d POISSO, defta a partre dalla dstrbuzoe geometrca come: m ep( λ ) P( m) = λ m! dove m è l umero de success λ = p è l testà del successo è l umero de tetatv Paolo Marts - madchld.t Statstca degl estrem -

3 co meda EW = λ e varaza σ ( W ) = λ ; tale dstrbuzoe parte dalla cosderazoe che, quado l umero de tetatv dveta molto grade ( ) la probabltà che s verfch l sgolo eveto tede a 0; Le fuzo d probabltà cotue pù utlzzate soo vece: la dstrbuzoe ORMALE o d GAUSS, defta come: fx ( ) = ep π σ la dstrbuzoe LOG-ORMALE, che cosste ua dstrbuzoe ormale dove la varable è y= l ; la dstrbuzoe ESPOEZIALE, utle per l calcolo del tempo d attesa del prmo successo, defta come: t FT () t = P( T t) = ep w co valore medo E t = w; () la dstrbuzoe GAMMA ICOMPLETA o TERZA DI PEARSO, utle per l calcolo del tempo d attesa del k esmo successo, defta come: f Tk () t ( k ) k t t = ep α! α α t () ( τ ) FT t = k ft dτ k co meda E() t 0 = αk e varaza σ ( t) = α k. Va fatta ua mportate osservazoe per quato rguarda quest ultma dstrbuzoe: essa ha la stessa forma dell drogramma utaro d ash. L IUH, fatt, che ha spegazoe fsca come efflusso, può essere terpretato come la probabltà che ua partcella, precptata all state zale u puto qualsas del baco, attravers la sezoe d chusura al tempo t. Va oltre rcordato che l calcolo de fattoral può essere effettuato medate la fuzoe gamma completa: ( k! ) per k Γ ( k ) = k u ep( u) dt per k 0 Dstrbuzo EV Ua tpologa d dstrbuzo statstche d grade teresse per l aals d feome rar come le pee soo le dstrbuzo del VALORE ESTREMO o EV (etreme value), studate prevaletemete da Gumbel. Cosderamo u orzzote temporale, ovvero u umero d tetatv, suffcetemete grade da permettere la rcerca d u valore massmo de rsultat su tetatv. Ad esempo cerchamo la massma tra le pogge u ora all tero d u orzzote temporale d u ao. Tale massmo raro Z sarà ua varable aleatora che può segure 3 dstrbuzo astotche: la dstrbuzoe d Gumbel o EV; ma Paolo Marts - madchld.t Statstca degl estrem - 3

4 la dstrbuzoe d Fréchet o EV; la dstrbuzoe d Webull o EV3. La dstrbuzoe d Gumbel è defta come: F z = ep ep z Zma co meda π E( z ) = par al umero d Eulero e varaza σ ( z) =. 6 Presetazoe de dat statstc Dat rsultat per =,..., d ua sequeza d espermet casual tra loro dpedet, costruamo la CDF medate le operazo:. ordameto degl orde crescete ( X = m ( ), X = ma ( ), ecc);. assegazoe della frequeza assoluta d superameto ( Fass 3. assegazoe della frequeza relatva d superameto = ); - secodo la formula F = ; - secodo la formula d Haze F = ; - secodo la formula d Webull F = ; + 4. adattameto (fttg) d ua dstrbuzoe teorca alla frequeza emprca. Stma de parametr Il problema dell applcazoe d dstrbuzo d probabltà a campo statstc ft è superato dallo stablre ua relazoe tra le varabl stadardzzate z e le varabl osservate, geeralmete ella forma: = az + b el caso della dstrbuzoe d Gumbel, ad esempo, otteamo la dstrbuzoe: b FX ( ) = ep ep a b b fx ( ) = ep ep ep b a a I parametr a e b o soo ot a pror, e bsoga qud procedere medate alcu metod d stma delle dstrbuzo. I tre metod propost el seguto dao luogo a tre rsultat dfferet, ma o s può affermare che uo sa pù o meo precso dell altro. Metodo de momet Tale metodo d stma parte dalla cosderazoe che le dstrbuzo d probabltà hao de momet statstc be deft, ossa la meda + X = f d, che rappreseta l barcetro della fuzoe, e la varaza σ + fx ( ) d, = Paolo Marts - madchld.t Statstca degl estrem - 4

5 che e rappreseta vece l mometo d erza cetrale. Il metodo d stma cosste:. el calcolare momet del campoe per =,..., : = = σ = ( ) =. ell uguaglarl a momet della dstrbuzoe: = az ˆ + bˆ = az ˆ + bˆ ˆ az ˆ = b σ = aˆ σ I tal modo avremo le espresso: 6 aˆ = σ π bˆ = 0.557aˆ Metodo grafco z I tale caso s potzza che la relazoe tra le varabl stadardzzate ed osservate sa leare. Iaztutto s defsce, per le frequeze osservate ordate orde crescete, la poszoe grafca; ad esempo defamo quella d WEIBULL come: F = P( X ) + I tal modo abbamo u espressoe per le frequeze osservate par a: + z = l l. Graze alla veloctà d elaborazoe de fogl elettroc commercal, possamo po effettuare sulle frequeze ua regressoe leare, utlzzado l METODO DEI MIIMI QUADRATI. Co questa procedura la retta terpolatrce rsete molto de valor estrem, che po soo quell d teresse per l aals delle pee, ma s ha ua grossa varabltà fuzoe della varabltà del campoe. Metodo della massma verosmglaza Co tale metodo s defsce la FUZIOE DI VEROSIMIGLIAZA (lkelyhood) fuzoe della dstrbuzoe stadardzzata scelta L = f (, a, b) = f (, a, b)... f (, a, b) = X X X f X (,, ) ab come: (,, ) L a b I parametr a e b soo po scelt modo da massmzzare la fuzoe d verosmglaza. el caso della dstrbuzoe d Gumbel, potedo affermare che = l L = l fx cercheremo valor massm co le espresso: l L( a, b) b = a ( b) + ( b) ep = 0 a = = a Paolo Marts - madchld.t Statstca degl estrem - 5

6 l L a, b b = ep = 0 a b = a a Semplfcado l sstema, possamo terare fo alla covergeza l espressoe ep = a a = ep = a ed serrla ella b= a l ep = a Outlers Al fe d operare ua scelta coscete del metodo d stma, sul campoe va effettuata ache ua verfca dell essteza d valor molto rar, dett outlers, che s dscostao maera sgfcatva dall adameto medo del campoe e che stao elle code della dstrbuzoe. Il metodo pù utlzzato per verfcare la preseza d outlers ella dstrbuzoe cosste ella verfca della dsequazoe: ma ( ) η = > 3 medaa U metodo per teer coto della preseza, e qud della dspersoe, d quest valor ella dstrbuzoe d Gumbel è quello d aumetare l umero de parametr, e qud l umero de grad d lbertà. Co questo passaggo ascoo de problem per la stma: per quato rguarda l metodo de momet, basta calcolare ache MOMETI DI ORDIE MAGGIORE AL II della dstrbuzoe ed eguaglarl a quell del campoe: - l coeffcete d asmmetra (mometo del III orde); - l mometo cetrale del IV orde m = ( ) 4 f ( ) + 4 X m coeffcete d appattmeto d Kurtoss 4 par a 4 σ. d, che dà orge al Statstche regoal Co l crescere de parametr cala però la loro affdabltà, quato parametr agguta a prm due momet hao ua grade varaza d stma. I altre parole l sgfcato del valore trovato è molto povero: cambado l campoe, otteamo fatt valor molto dvers per parametr. U metodo per superare questo problema è quello d cosderare le propretà cogute, ossa d passare dalle statstche sulle stazo dpedet alle STATISTICHE REGIOALI, combado le osservazo d dverse stazo d msura. I tal modo s ottegoo campo pù umeros e le stme de parametr relatv a momet maggor del II dvetao pù attedbl. Mettedo seme dat delle stazo regoal possamo così otteere ache ua statstca degl outlers: Per la dstrbuzoe d Gauss abbamo asmmetra ulla e coeffcete d appattmeto par a 3; per u coeffcete more d 3 le dstrbuzo soo meo dsperse (pù apputte) al cetro, per u coeffcete maggore d 3 le dstrbuzo soo pù dsperse (pù appattte) al cetro. Paolo Marts - madchld.t Statstca degl estrem - 6

7 local η reg = locale e costrure così delle curve d crescta regoale su d u grafco d Gumbel: effettuamo questo modo l Flood Study Report. TCEV L approcco talao del Flood Study Report cosste el metodo TCEV (two compoets etreme value). Ipotzzamo che la dstrbuzoe d probabltà derv dall accoppameto d dstrbuzo d Gumbel: b ua F = ep ep relatva agl evet ordar; a b ua F = ep ep relatva ad evet estrem ed eccezoal. a Ipotzzamo u rapporto d mscelazoe λ che dch quato feome legat ad soo pù rar rspetto a quell legat ad : ( ) F = λ F + λf co 0 λ I tal modo abbamo, per la dstrbuzoe, 5 parametr,,, b e λ. F a b a Questo tpo d dstrbuzoe è stata testata dal GDCI (gruppo azoale per la dfesa dalle catastrof drogeologche) relatvamete a sol dat d pogga. Ovvamete l peso del rapporto λ deve essere commsurato al rscho che s assoca all eveto raro, ed partcolare al tempo d rtoro dell eveto eccezoale relazoe all mportaza dell opera che s sta progettado. Test statstc Dopo aver stmato ua fuzoe d probabltà che adatt la dstrbuzoe d ua varable aleatora campoara, possamo esegure u test per verfcare se l adattameto è accettable o meo. Il test parte dalle cosderazo: - parametr a e b vegoo stmat, qud hao ua certa varabltà e possoo così essere terpretat come varabl aleatore; - sotto partcolar potes, possamo rteere ota la dstrbuzoe d probabltà d tal parametr; - fuzoe de parametr è possble valutare la STATISTICA DEL TEST, ossa ua msura, determata medate opportue regole d calcolo, del grado d verdctà d ua certa IPOTESI IIZIALE H0; el ostro caso la statstca è fodametalmete la dffereza tra la dstrbuzoe del campoe e la dstrbuzoe teorca adottata; - base alle dstrbuzo osservate e adottate, e alla msura della statstca calcolata, possamo fssare u CRITERIO DI COFROTO, ossa u lmte d rgetto per valor della statstca, superato l quale l potes zale o è verfcata; Al d fuor delle fasce d cofdeza, delmtate da lmt d rgetto, è comuque presete ua probabltà resdua che l potes zale sa verfcata: dcamo ERRORE DEL PRIMO TIPO la probabltà α d rgettare H0 quado è vera. Ovvamete tale errore sarà sempre presete, ma va mateuto l pù basso possble. Allo stesso modo avremo ua certa probabltà β d accettare H0 ache quado è falsa, che chameremo ERRORE DEL SECODO F Paolo Marts - madchld.t Statstca degl estrem - 7

8 TIPO. Come è facle osservare dalla fgura, al crescere d α s assste al calare d β, e vceversa. La sequeza logca ella produzoe d u test è qud la seguete:. s detfca u potes H0;. s defsce ua statstca, tpca del test; 3. s defsce u crtero d rgetto C α ; 4. s scegle u lvello α d errore del prmo tpo; 5. s determa l valore d C α fuzoe d α ; 6. s calcola la statstca P= P,...,. 7. s cotrolla che l potes zale sa verfcata. Test del χ L potes H0 del test è che le frequeze osservate cocdoo co quelle teorche. La prma operazoe è quella d dvdere l asse delle varabl aleatore M class medate M put d estremo C, C,..., CM, tal che per la prma classe avremo < C, per la secoda classe avremo C < < C, eccetera. I valor X,..., X del campoe s dsporrao lberamete all tero delle class appea defte, ed otteamo così ua FREQUEZA OSSERVATA O per =,..., M, ossa l umero d elemet del campoe che rcadoo ua certa classe. Suppoedo ota la PDF, possamo dre che l area sottostate tale curva e delmtata dalle lee d classe = C e = C rappreseta la probabltà che u geerco valore sa compreso tra e C. Moltplcado po questa probabltà per, otteamo la C FREQUEZA TEORICA E, ossa l umero atteso d uscte all tero della sgola classe. Va osservato che, affché l test fuzo, l umero atteso cascua classe deve essere maggore o uguale a 5, e dobbamo qud dsporre d u campoe d almeo 0 elemet. La statstca da calcolare è po: M ( O E ) C = = E Quado l potes d base H0 è verfcata, ossa quado le frequeze osservate soo abbastaza sml alle frequeze teorche, allora la statstca C segue la dstrbuzoe χ ν, fuzoe de grad d lbertà del sstema: ν = M P dove P è l umero d parametr della PDF Prma d calcolare la statstca va defto l lvello d errore del prmo tpo, che geeralmete vale 0.0, 0.05 o 0.0: cosderado ad esempo α = 0.05 possamo defre l valore crtco χ = χ P 0.95, ν crt Quado C χcrt ( ) < accettamo l potes d base, e qud la dstrbuzoe adottata è rappresetatva del campoe; se vece C > o possamo accettare l potes d base. χcrt Essedo valor tutt postv, l test sarà ad ua coda. el caso della dstrbuzoe d Gumbel, P=. Paolo Marts - madchld.t Statstca degl estrem - 8

9 Test d Kolmogorov-Smrov L potes d questo test è detca a quella del test χ, ossa che le frequeze osservate cocdoo co quelle teorche. La prma operazoe da compere è la defzoe d ua frequeza d campoameto FE () = dove è l orde (crescete) dell elemeto campoaro Defamo po la fuzoe D = F, aˆ, bˆ F X ossa la dffereza, og sgolo puto campoameto e la CDF adottata. La statstca del test sarà: D = ma D E, tra l valore della frequeza d Osservado che l massmo deve ecessaramete cadere corrspodeza de valor campoar, la statstca vee ad essere: ( ˆ ma, ˆ, ) ( ˆ ˆ D = FX a b FX, a, b) Ache questo test è ad ua coda, quato la statstca è l massmo d valor assolut, e qud l massmo d valor tutt postv. Il crtero d rgetto è dato dalla codzoe D > dove D α D = D α specalstc. I valor d α è ua dstrbuzoe molto complessa, rtraccable ucamete su test D α per pccol campo soo tabellat; per campo co possamo vece assumere valor approssmat: D0.0 =, D0.05 =, D0.0 = U metodo molto veloce d esegure l test è quello per va grafca: defamo l rage F D ; F + D attoro alla fuzoe d probabltà, gorado valor maggor d e [ ] X α X α mor d 0, e valutamo se tutt valor delle frequeze osservate cadoo all tero del rage; se così o fosse, l test o sarebbe soddsfatto. Paolo Marts - madchld.t Statstca degl estrem - 9

10 Applcazo statstche dell drologa L utlzzo d elaborazo statstche su dat drologc d pea è mportate: - fase d VALUTAZIOE DEL RISCHIO IDROLOGICO; - fase d PROGETTAZIOE DEI SERBATOI ARTIFICIALI; - fase d PROGETTAZIOE DELLE OPERE DI PROTEZIOE IDRAULICA. I rfermeto a quato detto sopra, valor drologc che c teressa maggormete rcavare soo: la PORTATA AL COLMO della pea, dalla quale possamo ad esempo rcavare Q colmo la quota d scurezza dell arge; l VOLUME DI PIEA base al quale possamo, ad esempo, dmesoare V pea serbato artfcal. Quado parlamo d campoe d evet drologc, c rferamo sostazalmete al cosderare le portate d pea o le msure d pogga come varabl aleatore. o cooscedo determstcamete l meccasmo d produzoe delle pee, valor V pea Q colmo soo ottebl a partre da u fereza statstca, ossa ua stma della dstrbuzoe d probabltà che meglo approssma l eveto osservato. L fereza, fatt, può essere - dretta sulle osservazo d portata d pea; - dretta, ossa co la dstrbuzoe delle portate d pea rcavate dall fereza su dat d pogga medate l applcazoe d u modello geomorfologco. A secoda de dat dspobl sulle portate d pea, ossa delle dmeso del campoe d portate, s adottao fatt approcc dvers: quado o soo preset dat, oppure dat soo relatv a poch a, è ecessaro costrure ua trasformazoe affluss-defluss; quado abbamo dat relatv ad u perodo d osservazoe d almeo 0 a, possamo vece effettuare u aals statstca delle portate d pea osservate. Crter d campoameto de dat d portata Esstoo fodametalmete tre metod per effettuare l campoameto de dat drologc: possamo effettuare u campoameto delle dverse portate d PICCO, ossa valor massm d portata tra qual sa vsble la curva d decadmeto delle sorget; possamo fssare u valore d SOGLIA e cosderare l massmo valore d portata per og tervallo che super tale sogla, così da cosderare gl evet come dpedet: otterremo tal modo la sere POT (Peaks Over Threshold); tale sere è soltamete cosglata quado avessmo a dsposzoe dat relatv ad u deceo, quato soltamete s ha ua meda d 8-0 evet d pea all ao; possamo cosderare l PICCO MASSIMO Q u perodo auale 3, otteedo questo modo la sere MAF (Mamum Aual Flood); tale sere è soltamete adoperata quado s hao dat relatv a pù d 0 a. ma e 3 Utlzzamo l perodo auale al fe d mateere la stazoaretà del processo: seso stretto la struttura d probabltà rsulta essere sempre la stessa, seso debole s ha ua stazoaretà d meda e varaza. Paolo Marts - madchld.t Statstca degl estrem - 0

11 A secoda che s effettu l campoameto secodo ua o l altra sere, s adottao soltamete strutture d probabltà dverse: per la sere POT useremo ua dstrbuzoe espoezale, metre per la sere MAF utlzzeremo ua dstrbuzoe d Gumbel. Fssamo l attezoe su quest ultmo caso: la probabltà d O SUPERAMETO, ossa la probabltà che la portata al colmo massma auale super u certo valore q, sarà data dalla fuzoe Qma b FX ( ) = P( Qma q) = ep ep, a metre la probabltà d superameto, ovvero la probabltà che la portata al colmo massma auale super tale valore, sarà ovvamete data dalla fuzoe F = P Q q = F ma X Defamo l TEMPO DI RITORO come l valore medo 4 d attesa tra due superamet successv: T = R F = FX Va otato che l cocetto d tempo d rtoro è puramete statstco, quato valor medo; ella realtà o è detto che ua pea eccezoale rtor esattamete dopo a. Così, sempre cosderado u perodo d rfermeto auale, la probabltà che la portata massma aua super l valore q è data da: P( Qma > q) = TR metre la probabltà del o superameto è P( Qma > q) = TR Cosderado vece u perodo d rfermeto d m a, vece, la probabltà d o superameto è data dalla m P( Qma > q) = TR Quado po avessmo m= T R la probabltà d o superameto vee ad essere T R P( Qma > q) = TR e Poché e =.7 3, su TR a avremo: - crca u terzo d probabltà che la portata massma o sa ma superata; - crca u terzo d probabltà che la portata massma sa superata ua sola volta; - crca u terzo d probabltà che la portata massma sa superata due o pù volte. Crter d campoameto de dat d pogga Per l campoameto delle msure d pogga c s rfersce ad altezze cumulate su tervall d tempo prefssat, quato la msura putuale è molto dffcle da effettuars, come abbamo gà vsto. Soltamete, l campoe delle msure d pogga sarà qud T R 4 Il tempo d rtoro vee valutato a; dmesoalmete la defzoe è corretta, quato l al umeratore è l utà d tempo d campoameto, ossa ao. Paolo Marts - madchld.t Statstca degl estrem -

12 costtuto dalle massme altezze cumulate,3,6, e 4 ore 5, co u perodo d rfermeto d u ao. j j F h, relatva ad uo degl tervall d tempo j = hr,..., 4hr, sarà Og sere d msure H po approssmata da ua dstrbuzoe EV d Gumbel: F z = z per < z <+ j Z ep( ep)) j j h b co l assuzoe z =. j a Al solto per la stma d a e b possamo usare metod de momet, della massma verosmglaza o de mm quadrat. L uso de dat d pogga così campoat ed approssmat poe però u mportate problema: o è detto che l parametro d tempo della trasformazoe affluss-defluss sa uguale ad uo degl tervall fssat dal Servzo Idrografco azoale. Ua rete d dreaggo urbaa, ad esempo, è dmesoata base alla portata el collettore, stmata medate l uso del modello della corrvazoe leare su dat d pogga. Il tempo d corrvazoe del baco, geerale, o sarà esattamete,3,6, o 4 ore. Sarà qud ecessaro rcavare ua fuzoe d h e t che c permetta d otteere de valor d ruscellameto per og durata d pogga. Assegato qud, ache per le pogge, u tempo d rtoro 6, possamo rcavare la : ˆ ˆ ˆ TR h l l ˆ j = bj aj hj = bj aj l l FH TR I base a queste cosderazo possamo utlzzare la cosddetta LSPP (Lea Segalatrce d Possbltà Pluvometrca) che terpol gl h j, ua lea d poteza per espressoe d poteza, ossa ua parabola ad asse orzzotale seso lato, defta come: ht = at dove a è par a per la Paura Padaa e per le Alp è compreso tra 0 e e collegato alla collocazoe geografca etramb parametr varao base al tempo d rtoro assegato A questo puto, sempre rfermeto al modello della corrvazoe, è facle calcolare la portata t φ j per t < TC Q= AB r co r = TC φ j per t TC Al crescere della durata t, abbamo così per la portata: - u espressoe crescete quado t < TC : φ Ab Q = at T C - u espressoe decrescete quado t T C : Q = φ A at b La massma portata d pcco sarà così Q = φ A at b C 5 Itervall fssat dal Servzo Idrografco azoale. 6 Valor ormalmete usat per l tempo d rtoro: 5 a per le fogature, 00 a per fum, 000 a per le dghe. Paolo Marts - madchld.t Statstca degl estrem -

13 Trasformazoe affluss-defluss el caso della trasformazoe affluss-defluss, abbamo dat d parteza: F h t codzoate ad ua certa durata t medate la fuzoe LSPP le pogge H (, ) ht t at R = ; e voglamo trovare la dstrbuzoe FQ ( q ). ua certa fuzoe g h, data dall IUH, che trasforma le pogge portate; I realtà la dstrbuzoe d probabltà delle pogge sarebbe ua fuzoe complessa del tpo, a domo bdmesoale ht, e codomo moodmesoale. F ( h t) HT,, Adottamo qud ua covezoe lavorado a t costate, ossa codzoado le pogge alle durate assegado ua frequeza TR : F = che determa la fuzoe LSPP. T Al varare d la fuzoe forsce ua portata d pea Q h, t della quale cerco l R t g( h ) t * che produce la PORTATA CRITICA Q = g( h t ) valore massmo. La partcolare durata ( h* a t*, t ) vee detta DURATA CRITICA, metre la coppa Secodo cosuetude assumamo lo stesso tempo d rtoro ma *, * = * vee detta EVETO CRITICO. sa per la portata crtca che per le pogge, oostate ella realtà l tempo d rtoro delle portate sa more d quello delle pogge, e qud l rscho aumet co tale assuzoe. Valutamo ora le espresso per la durata crtca a secoda che s utlzz uo o l altro modello d IUH. Per quato rguarda l modello della corrvazoe, abbamo gà vsto che la durata crtca cocde co l tempo d corrvazoe del baco. Ivaso Per quato rguarda vece l modello dell vaso, partamo da u IUH del tpo t IUH = ep k k La portata d pcco sarà così determata dall espressoe h t QP Q() t φ Ab ep Aat b () t t k φ = = = ε t dove ε () t = ep è detto fattore d rduzoe della pea k Vsto che φ Ab a è u prodotto tra costat, possamo cercare l massmo come: t ma ( QP ) = ma t ε ( t) ma t ep t t = t k Moltplcado po per la costate k e poedo tcrt c = l massmo dveta: k t t ma ep = ma{ c ep( c) } = ma t k k t F c t Poamo qud uguale a zero la dervata prma della fuzoe: df ( c) c c = ( ) c ( e ) + c e =0 dc Paolo Marts - madchld.t Statstca degl estrem - 3 T R

14 c c ( )( e ) ce c c ce = ( )( e ) + = 0 Vsta la dffcoltà d rsolvere quest ultma equazoe, e vsto che l espressoe c ce = c e dà luogo al grafco uvocamete determato d fgura, possamo rcavare c a partre da e calcolare po la durata crtca medate l espressoe: t = ck crt c ash Per quato rguarda l modello d ash possamo codurre lo stesso ragoameto svolto per l modello dell vaso. Partamo da u espressoe per l drogramma utaro stataeo α τ τ u ( τ ) = ep kγ( α ) k k e cerchamo ua durata d pogga t tale che dε ε = ( ) dt t dove l area ε è par a τ ' τ ' + t τ ' ε = ma u τ dτ Il problema s rduce qud sostazalmete al calcolo dell area ε ( τ ), dffcle poché dobbamo calcolare l massmo sugl estrem d tegrazoe. Data ua geerca fuzoe f ( ), dovedo calcolare + t ε = ξ dξ, possamo cercare la ε che l tegrale f aulla la dervata prma rspetto alla. Sappamo che per u cremeto + d abbamo u cremeto dε = f ( + t) d f ( ) d, e qud dε = f ( + t) f ( ) = 0. d el caso d α > 7, qud, cerchamo ua τ ' tale che u( τ ' + t) = u ( τ ) I tal modo possamo rcavare: α τ ' + t α τ ' ( τ ' + t) ep = τ ' ep k k α τ ' t α τ ' ( τ ' + t) ep ep = τ ' ep k k k 7 Per α = (IUH dell vaso) la relazoe o vale quato la fuzoe è vcolata ed l massmo s trova sul cofe del domo d defzoe della fuzoe. Paolo Marts - madchld.t Statstca degl estrem - 4

15 α t α ( τ ' + t) ep = τ ' k dove quest ultma espressoe va rsolta per tetatv, almeo quado α. I geerale, qud, l metodo per trovare la durata crtca è:. fssare ua durata t d prmo tetatvo;. calcolare umercamete o aaltcamete τ ' ; 3. calcolare ε() t =Γ '( τ ' + t; α, k) Γ' ( τ '; α, k ), dove '( ;, ) Γ = α k u τ dτ 4. calcolare la dervata dε dε modo aaltco, poché = u ( τ ' ) = u ( τ ' + t ) ; dt dt dε ε 5. verfcare se l equazoe = ( ) è soddsfatta; caso cotraro rpetere l dt t procedmeto scegledo ua durata t d secodo tetatvo. Ogggoro è ovvamete possble far esegure l terazoe ad u software, ad esempo ad u foglo d calcolo Ecel. Tuttava è utle cooscere l procedmeto d scelta delle uove t, quato metod d terazoe usat dal software s basao sullo stesso procedmeto. Iaztutto defamo lo scarto dε ε η = ( ) dt t Quado η > 0 la t va aumetata, metre quado η < 0 la t va dmuta. Ad u certo puto dell terazoe, avremo ua durata d poco more del valore cercato, ed ua durata t d t poco maggore del valore cercato. A questo puto possamo usare l metodo del valore medo o della bsezoe per trovare la durata cercata. U altro metodo puttosto usato è vece quello d ewto- Raphso, che cosste el calcolare, per u geerco valore, valor f ( ) e ' f. A partre da quest valor trovamo l puto 0 8 ; ( ) '( ) = f f, per l quale calcolamo acora l valore della fuzoe e della dervata prma: l terazoe s ferma quado f =. Il metodo va molto bee quato s ha ua covergeza molto 0 rapda, ma può avere gross problem co alcue fuzo. 8 La fuzoe gamma completa è dspoble, ella forma proposta e co parametr deft, el software d calcolo Ecel. Paolo Marts - madchld.t Statstca degl estrem - 5

16 ash secodo Matteo Maett Ua strada alteratva per calcolare la durata crtca è quella d rcavare, ache per ash, u grafco d fuzoe d c. el caso d u modello d ash co serbato abbamo l espressoe: c = c e c el caso vece d m serbato abbamo: m c = m c ( m! ) e ( m )! c ( m! ) = La durata crtca sarà sempre: t = ck crt Paolo Marts - madchld.t Statstca degl estrem - 6