I PARTE: CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

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1 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo I ARTE: CALCOLO DELLE ROBABILITÀ I. Evet ed Est Cosderamo l espermeto d gettare u dado. Gettamo l dado, aspettamo che s ferm e osservamo l umero d put preset sulla facca superore: come s sa, può avere uo de seguet valor:,, 3, 4, 5 o 6. Gà che c samo, osservamo che può uscre solo uo d quest umer: o s possoo avere cotemporaeamete, poamo, l 3 ed l 5, o qualuque altra combazoe d umer. Caso A - Nulla c mpedsce d scommettere su uo qualuque d quest se valor, per esempo scommettamo sul 3. Caso B - ossamo però fare ua scommessa dversa, ad esempo scommettere su par: vcamo se esce, 4 o 6; perdamo se esce, 3 o 5. Caso C - otremmo ache scommettere d superare l 4: vcamo se esce 5 o 6, perdamo se esce,, 3 o 4. Qual è la dffereza tra quest 3 cas? Nel caso A vedamo che dvers rsultat possbl soo tutt pres cosderazoe sgolarmete. I effett o esstoo rsultat pù elemetar de se valor,, 3, 4, 5 e 6. De rsultat elemetar come quest vegoo chamat ESITI. È da rcordare che solo uo d quest est s può verfcare u sgolo laco: quest est s escludoo a vceda, soo MUTUAMENTE ESCLUSIVI od altrmet detto INCOMATIBILI. Nel caso A abbamo decso d scommettere sul verfcars d uo degl est (l 3). Nel caso B vece, e per la vertà ache el caso C, abbamo scommesso su cert raggruppamet d est. Dcamo meglo: el caso A abbamo scommesso sull EVENTO esce l 3, che cocde co uo solo degl ESITI possbl; el caso B abbamo scommesso vece sull EVENTO esce u umero par, che cocde co tre degl ESITI possbl: gl ESITI, 4 e 6. Aalogamete el caso C abbamo scommesso sull EVENTO esce u umero maggore d 4, che cocde co due degl ESITI possbl: gl ESITI 5 e 6. D ora po chameremo gl evet co ua lettera mauscola. Mateedo ostr tre esemp, defamo qud tre evet: Eveto A: esce l umero 3 (l eveto comprede u solo esto: esce la facca co 3 put) Eveto B: esce u umero par (l eveto comprede 3 est: esce oppure 4 oppure 6) I-

2 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Eveto C: esce u umero maggore d 4 (l eveto comprede est: esce 5 oppure 6) Notamo subto che l verfcars cotemporaeo dell eveto A e dell eveto B è mpossble, così come dell eveto A e dell eveto C. Ifatt gl est che verfcao l eveto A soo soltato uo, l umero 3, metre gl est che verfcao l eveto B soo tre:, 4 e 6. oché se est soo compatbl, e poché gl est che verfcao l eveto B soo tutt dvers dagl est che verfcao l eveto A due evet o possoo ma verfcars smultaeamete: soo ach ess INCOMATIBILI. Stesso dscorso per la coppa d evet A e C. E la coppa B e C? Duque, gl est che verfcao l eveto B soo tre:, 4 e 6, metre gl est che verfcao l eveto C soo due: 5 e 6. S vede che l esto 6 verfca tutt e due gl evet qud gl evet B e C NON soo compatbl. Dopo questo dscorso troduttvo, u po troppo qualtatvo, veamo a delle belle defzo. I dvers rsultat possbl, mutuamete esclusv, d u espermeto aleatoro soo dett est; el seguto verrao dcat co lettere greche muscole. L seme d tutt gl est possbl d u dato espermeto è detto spazo degl evet, e lo deoteremo co la lettera greca Ω. Dremo che u eveto A è assocato agl est dello spazo Ω se possamo sempre dre per qualuque esto ω dello spazo Ω se esso verfca o o verfca l eveto A. Ovvero, co termologa semstca, se possamo dvduare quale sottoseme d Ω cotee tutt e sol gl est che verfcao A. Ache questo sottoseme lo chameremo A. D ora po, percò, A o B o ua lettera mauscola geere potrà deotare dfferetemete u eveto o l sottoseme d Ω che cotee tutt e sol gl est che verfcao tale eveto. Aalogamete per o dre s verfca l eveto A o s verfca u esto apparteete al sottoseme A sarà esattamete la stessa cosa. Avedo dato questa terpretazoe semstca, possamo servrcee per dare qualche defzoe. CA B (uoe degl evet A e B) è ovvamete l eveto che corrspode al sottoseme A B, coè che è verfcato da uo qualuque degl est d A o d B, coè deftva che s verfca quado è verfcato A oppure B (od ache tutt e due, se hao est comue). CA B (tersezoe degl evet A e B: lo scrveremo ache semplcemete AB quado o darà adto a dubb) è altrettato ovvamete l eveto che corrspode al sottoseme A B, coè che è verfcato da uo qualuque d quegl est che appartegoo I-

3 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo cotemporaeamete ad A ed a B, coè deftva che s verfca quado soo verfcat cotemporaeamete gl evet A e B. A-B (dffereza degl evet A e B) è l eveto che corrspode al sottoseme A-B, coè è verfcato da quegl est che verfcao A ma o verfcao B. è charo che A-B A- (A B) U caso partcolare è Ω-A, coè l seme d tutt gl est possbl che o verfcao A: esso è detto eveto complemetare d A e deotato A. Vedamo dagramm d Ve corrspodet a quest dvers sem. I-3

4 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo I. robabltà classca redamo u espermeto aleatoro tale che, per le codzo spermetal, s possa rteere che gl est sao tutt equprobabl: ad esempo l laco d ua moeta può dare due est, testa o croce, e verosmlmete due est hao la stessa probabltà; l laco d u dado può dare 6 est, ed è lecto pesare che, graze alla geometra del dado ed alla meccaca del laco, se est sao tutt equprobabl; l estrazoe d ua carta a caso da u mazzo be mescolato (dcamo mescolato molto a lugo): tutte le carte hao a pror la stessa probabltà d vere estratte; e così va. I tal caso la probabltà d u eveto A s calcola come rapporto tra l umero d est che verfcao l eveto stesso ed l umero totale d est possbl. er esemplfcare, rpredamo gl est A, B e C vst prma. I tutt e tre cas l umero d est possbl (ed equprobabl, per quato s è detto) è 6; l umero d est favorevol (coè che verfcao l eveto) è per l eveto A, 3 per l eveto B e per l eveto C: qud 6 ( A) ( B) ( A) A questo puto c servrao alcu I.3 Rcham d calcolo combatoro I. Dat elemet a ed m elemet b j v soo m possbl coppe (a.b j ) II. ù geerale: dat m elemet formare m m... mn a possbl -uple ( ), m elemet a m N elemet a N s possoo a,a,..., a N III. S abba u seme d oggett a, a,, a e s estraggao r elemet, rmettedo og volta l elemeto estratto detro l seme: l umero delle possbl r-uple ordate che s possoo otteere è r (soo le dsposzo co rpetzoe d oggett ad r ad r) IV. S abba u seme d oggett a, a,, a e s estraggao r elemet, seza ma rmettere l elemeto estratto detro l seme: l umero delle possbl r-uple ordate! che s possoo otteere è (-)(-).(-r+), vale a dre. Queste soo dette ( r)! dsposzo seza rpetzoe d oggett ad r ad r. Al puto precedete abbamo calcolato l umero d possbl r-uple ordate d elemet dell seme. Coè, due r-uple che cotegoo gl stess r elemet ma orde dverso soo cosderate r-uple dfferet e ambedue cotate el overo. E se l orde o teressa? I tal caso predamo l umero trovato e lo dvdamo per l umero d permutazo (coè d possbl mod d ordarl) d r oggett. I-4

5 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Quato vale? Facle, l umero d dsposzo d r oggett ad r ad r, coè: r! (r r)! r! r!! V. pertato l umero d combazo (seza rpetzoe) d oggett ad r ad r (coè le r-! uple possbl, seza teere coto dell orde degl elemet) vale ( r)!r! r Notamo che l umero questoe altro o è che l umero d possbl sottosem d poteza r dell seme d poteza dato, o co terme tecco, l umero d sottopopolazo d tagla r della popolazoe d tagla data. VI. Data ua popolazoe d tagla, e umer ter,,, tal che la loro somma sa! par ad, esstoo mod d rpartre la popolazoe sottopopolazo,!!...! rspettvamete d tagla,,,. Rcordamo la formula d Strlg per approssmare l fattorale per molto grade:! π e Esempo Lacado due volte u dado, qual è la probabltà d otteere due volte lo stesso umero? Le coppe (a,b) d valor possbl soo 36, e soo tutte equprobabl; d queste 6 soo formate da u umero rpetuto due volte, coè co ab. Qud la probabltà cercata è 6 (A) 36 Esempo Qual è la probabltà d otteere tre 6 lacado tre dad? Qu le possbl tere (a,b,c) soo 6 3 6, e d queste ua sola ha abc6. Duque Esempo 3 (A) 6 Mettamo r oggett caselle (co r), avedo cura d o mettere ma due oggett ella stessa casella. I quat mod possamo fare questa operazoe? er l prmo oggetto abbamo caselle lbere, per l secodo e restao -, per l terzo - e così va. I deftva Esempo 4 6! N ( )( )...( r + ) ( r)! U covoglo è composto da vago. Su d esso salgoo r passegger, dove r. Se og passeggero scegle l vagoe maera completamete aleatora, qual è la probabltà che gl r passegger salgao su r vago dvers? Oguo degl r passegger può sceglere l suo vagoe mod e qud r passegger hao r mod d dstrburs vago. Vceversa, se lmtamo la scelta modo tale che oguo scelga u vagoe dverso, mod d sceglere soo d meo. Ifatt l prmo può sceglere mod, al secodo e restao -, al terzo - e così va. Qud l umero totale è (-)(-) (-r+), coè I-5

6 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo da cu trovamo la probabltà cercata! N(A) ( r)! N(A)! (A) N ( r)! r Esempo 5 Ua cassa d pezz cotee pezz dfettos. U spettore cotrolla pezz estratt modo casuale dalla cassa. Qual è la probabltà che o e trov essuo dfettoso? I prmo luogo occorre calcolare quat mod possamo sceglere pezz da u lotto d : N!!9! d quest N mod, quat o cotegoo pezz dfettos? N (A) 9 ertato la probabltà cercata è data dal rapporto: 9!!8! 9! N(A) 9!9! (A)!8! N! 8!!!9! Esempo 6 S pescao due carte a caso da u mazzo da brdge. Qual è la probabltà d pescare ass? Il mazzo cotee 5 carte, d cu 4 ass. Quate coppe è possble formare da 5 carte? 5! N 5 36!5! Quate d queste soo formate da ass? Coè, quate coppe è possble formare co 4 ass? Qud la probabltà cercata è 4! N (A) 4 6!! 6 (A) 36 Esempo 7 Vee dstrbuta ua mao d brdge. Qual è la probabltà che oguo de quattro gocator rceva u asso? I quat mod possamo creare 4 sottopopolazo d tagla 3 dalla popolazoe d tagla 5? N 5! 3! 3! 3! 3! Separamo gl ass: dobbamo dstrbure u asso per cascuo, pù altre carte per cascuo. I quattro ass s possoo dstrbure, come sappamo, 4! 4 mod. Co le rmaet 48 carte formamo 4 sottopopolazo d tagla. ossamo farlo 48!!!!! mod. Qud la probabltà rchesta è data da 48! 3! 3! 3! 3! (A) 4!.5!!!! 5! I-6

7 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo I.4 Legge d addzoe delle probabltà Cosderamo due evet compatbl A e B d cu sao ote le probabltà (A) e (B), e sa CA B l eveto uoe. I tal caso s ha per l eveto uoe: (C)(A)+(B) ù geerale s può calcolare la probabltà d u eveto evet A, purché quest sao tra loro tutt compatbl: ( C) ( A ) C U A, uoe coè d molt Se abbamo a che fare co due evet NON compatbl occorre rscrvere la probabltà della loro uoe come: (CA B)(A)+(B)-(A B) er capre l perché, faccamo l esempo d u espermeto aleatoro co est tra loro equprobabl. I tal caso, come sappamo, (A) è uguale al umero (A) d est favorevol, coè apparteet al sottoseme A, dvso l umero totale d est possbl N; aalogamete (B) è data dal umero (B) d est apparteet al sottoseme B dvso l umero totale N d est possbl; fe (A B) è par al umero d est apparteet al sottoseme A B, che chameremo (A B), dvso l solto umero totale N d evet possbl. I smbol: (A) (A) N (B) (B) N (A B) (A B) N Se gl evet soo compatbl, coè o v soo est che appartegoo cotemporaeamete ad A ed a B, allora (A B)(A)+(B), da cu: (A B) (A) + (B) (A) (B) (A B) + (A) + (B) N N N N Se vece gl evet o soo compatbl, vale a dre che v soo dcamo M est che appartegoo sa ad A che a B, allora el fare la somma (A)+(B) l cotamo due volte, e qud dobbamo dre che (A B)(A)+(B)-M. Ma l suddetto M, essedo l umero d est che appartegoo cotemporaeamete ad A ed a B, è é pù é meo che l umero d est (A B) coteuto A B, qud I-7

8 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo e deftva: (A (A B) (A B) N (A B) (A) + (B) M B) N N M N (A) N + (B) N M (A) + (B) (A B) N Questo rsultato, che abbamo dmostrato solo per l caso d est equprobabl vale geerale. I.5 robabltà codzoata e legge d moltplcazoe delle probabltà Cosderamo l espermeto seguete: da u ura coteete 5 palle bache e 5 ere vegoo estratte palle. Qual è la probabltà che esse sao ambedue bache? ossamo procedere due mod: ) rapporto est favorevol su est possbl. I quat mod possamo predere due palle da u lotto d? N!!8! 9 quat d quest mod mostrao ambedue le palle bache? la probabltà è duque: 5 5 5! 5! 5 4!3!! 5! ( A) ( A) ) La probabltà d che la prma palla estratta sa baca è p 5 la probabltà che la secoda sa baca se è baca la prma: p 4 9 e qud la probabltà le due palle estratte sao bache è data dal prodotto 5 4 p 9 I-8

9 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo che cocorda col precedete rsultato. Ora, la probabltà che la secoda sa baca se è baca la prma s chama ROBABILITÀ CONDIZIONATA. Dcamo meglo, defamo gl evet seguet: Eveto A la prma palla estratta è baca Eveto B la secoda palla estratta è baca Allora la probabltà che s verfch l eveto B o è 4/9 (fra poco la calcoleremo). La probabltà che s verfch l eveto B se s è verfcato l eveto A è, questa sì, 4/9; e questa è detta probabltà d A codzoato a B, che s scrve (A/B). erché (B), detta probabltà a pror d B, o è uguale a 4/9? erché B s può verfcare ache se o s è verfcato A, ed tal caso la sua probabltà ( ( B / A), probabltà d B codzoato a o-a) è 5/9. E la probabltà TOTALE (s chama propro così) quato vale? È data dalla probabltà che s verfch A seguto da B sommata alla probabltà che s verfch o-a seguto da B, coè: ( A) ( B / A) + ( A) ( B / A) questo perché due percors alteratv (tramte A e tramte o-a) soo compatbl, e qud la probabltà della loro uoe è par alla somma delle loro probabltà. Nulla d strao che vega ¼: detro l ura v soo apputo palla baca su 4. Vedamo u dsego: 4 A ((A)5/) B (((B/A)4/9) B (((B/A)5/9) A ad B A ad B A ((A)5/) B (((B/A)5/9) A ad B B (((B/A)4/9) A ad B Capamo po ua cosa mportate da questo esempo: ( A B) ( A) ( B/ A) I-9

10 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo La probabltà dell tersezoe d due evet o è, geerale, uguale al prodotto delle probabltà: ( A B) ( A) ( B) Defzoe: l eveto B è INDIENDENTE dall eveto A se e solo se ( B/ A) ( B) coè se la probabltà A RIORI d B e la probabltà d B codzoato ad A soo ugual. È charo, da quato vsto, che tal caso s ha ( A B) ( A) ( B / A) ( A) ( B) Ecco duque la legge della moltplcazoe questo caso: la probabltà dell tersezoe d due evet dpedet è par al prodotto delle sgole probabltà de due evet. Da quato detto fora dscede ache u altra propretà. Ifatt vertedo l orde dell equazoe geerale per la probabltà dell tersezoe s ha ache ( B/ A) ( A B) ( A) che forsce la regola per calcolare la probabltà codzoata. Questa s può gustfcare faclmete el caso degl est equprobabl. Ifatt, sao (A) gl est che verfcao A, coteut coè ella sottopopolazoe A, (B) gl est che verfcao B, overo coteut ella sottopopolazoe B, e (A B) l umero d est che verfcao cotemporaeamete A e B, coè coteut ell tersezoe delle suddette sottopopolazo A e B; N è come al solto l umero degl est possbl, gl est d Ω. Ora la probabltà a pror d A è data dal rapporto tra (A) ed N, come sappamo. Tuttava, se s sa che s verfca B, o tutt gl N est soo pù possbl: soltato gl (B) est della sottopopolazoe B possoo verfcars. Il ostro spazo degl evet s è per così dre rstretto a B. D quest (B) est possbl quat verfcao A? aturalmete (A B), ecco duque che se s sa che s verfca B la probabltà che s verfch A è data dal rapporto ( A / B) ( A B) ( B) ( A B) N N ( B) ( A B) ( B) Se ella formula vsta s scambao om degl evet s trova ( B A) ( B) ( A / B) ma poché l tersezoe è commutatva: I-

11 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo da cu due mportat regole: ) La formula d Bayes: ( A) ( B / A) ( A B) ( B A) ( B) ( A / B) ( B/ A) ( B) ( A / B) ( A) ) se A è dpedete da B ache B è dpedete da A e vceversa, e s dce qud che A e B soo tra loro dpedet. Ifatt, se ( A / B) ( A) ( B/ A) Vedamo alcue altre propretà. ( B) ( A / B) ( A) allora ( B) ( A) ( A) S abba ua successoe d evet { } ( C / B) ( A / B) ( B) A tutt compatbl tra loro, U C, allora. Ifatt, come è oto, s ha per l tersezoe C B [ U A ] B U ( A B) A oché d altra parte gl sem A o hao tra loro put comue, eache gl sem ( A B) hao put comue tra loro, e corrspodoo pertato ad evet compatbl. I tal caso s ha per le probabltà ( C B) [ U ( A B) ] ( A B) Se ora dvdamo ambo membr per (B) otteamo apputo: ( C / B) ( C B) ( B) che è quato volevas dmostrare (QDE). ( A B) ( B) Ife geeralzzamo l dea espressa dal precedete grafco: Se ua successoe d evet { } ( A / B) A tutt compatbl tra loro e U Ω, o come s dce: che costtuscoo ua ARTIZIONE d Ω, allora ( B) ( A ) ( B / A ) er provare questo osservamo prma che ( A Ω) A ( B) ( Ω B) [ U ( A B) ] A. ; possamo qud scrvere che oché d altra parte gl sem A o hao tra loro put comue, eache gl sem ( A B) hao put comue tra loro, e corrspodoo pertato ad evet compatbl. I-

12 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Applcado qud la regola per l uoe d evet compatbl trovamo, CVD: [ ( A B) ] ( A B) ( A ) U ( A B) ( A ) ( A ) ( B / A ) Esempo Sa A l eveto per cu pescado a caso da u mazzo ua carta questa sa d pcche. Sa B l eveto che detta carta sa ua rega. A e B soo dpedet? 5 carte, 3 pcche, 4 rege, rega d pcche. 3 (A) 5 (B) 4 5 (A B) (A) ( B) oché la probabltà dell tersezoe cocde co l prodotto delle probabltà due evet soo dpedet. 5 Esempo S trao due dad. A è l eveto che l prmo dado esca dspar, B l eveto che l secodo dado esca dspar e C l eveto la somma de dad sa dspar. A e C soo dpedet? Esempo 3 Nove ure cotegoo ogua 3 palle bache e 3 ere. Ua decma ura cotee 5 palle bache ed ua era. S scegle u ura a caso e s estrae ua palla: prma d estrarla qual è la probabltà (probabltà a pror) che l ura prescelta sa la decma? Se la palla estratta è baca, qual è la probabltà (probabltà a posteror) che l ura prescelta sa la decma? Esempo 4 U ura cotee solo palle bache, u altra e cotee 3 bache e ere. S scegle u ura a caso e s estrae ua palla: qual è la probabltà che sa baca? È effetvamete è baca: la s rmette qud ella stessa ura, s mescola e s estrae u altra palla dalla stessa ura. Qual è la probabltà che questa sa baca? Esempo 5 U ura cotee palle umerate da ad. S estrae ua palla: se è la umero s tee fuor, altrmet s rmette detro l ura. S estrae d uovo ua palla: qual è la probabltà che sa la umero? Esempo 6 La probabltà che la correra per Bazzao parta oraro è.8, e la probabltà che parta oraro e arrv oraro è.7. a) Qual è la probabltà che u bus che parte oraro arrv oraro? b) Sapedo che la probabltà d arrvare oraro è.75, qual è la probabltà che u bus che arrva oraro sa partto oraro? c) Se vece la probabltà che u bus che parte rtardo arrv oraro è.75, qual è la probabltà che u qualuque bus arrv oraro Esempo 7 Ua fabbrca d auto ha tre lee d motaggo, A, B e C, che poroducoo rspettvamete l 45%, l 3% ed l 5% del totale. Se la probabltà che u pezzo sa prodotto dfettoso è.4 per A,.6 per B e. per C, qual è la probabltà che u auto d questa fabbrca sa prodotta dfettosa? E se dfettosa, qual è la probabltà che provega dalla lea B? I-

13 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo I.6 Varabl aleatore artamo da u caso pratco: s pesca ua carta da u mazzo da brscola. Gl est d questo espermeto aleatoro soo 4, e soo tutt equprobabl; voledo s potrebbero elecare (asso d basto, due d basto, tre d basto e così va). Ruedo opportuamete quest est (coè facedo de sottosem dello spazo campoaro) possamo defre degl evet: ad esempo pescare u fate ( questo caso l sottoseme corrspodete è formato da 4 fat, rspettvamete d basto, spade, coppe e dear). Ora, se pesamo d assocare alla carta pescata l puteggo ad essa relatvo el goco della brscola ( put per l fate, 3 per l cavallo, 4 per l re, per l tre e per l asso, per le scarte - vale a dre tutte le altre carte) avremo che ad oguo d 6 possbl evet assocamo u valore umerco. er fssare l cocetto scrvamo ua tabella: Esto robabltà Eveto ROBAB. VALORE Fate d basto.5 Fate. Fate d spade.5 Fate d coppe.5 Fate d dear.5 Cavallo d basto.5 Cavallo. 3 Cavallo d spade.5 Cavallo d coppe.5 Cavallo d dear.5 Re d basto.5 Re. 4 Re d spade.5 Re d coppe.5 Re d dear.5 Tre d basto.5 Tre. Tre d spade.5 Tre d coppe.5 Tre d dear.5 Asso d basto.5 Asso. Asso d spade.5 Asso d coppe.5 Asso d dear.5 Tutte le altre carte.5/ua Scarta.5 I-3

14 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Cosa abbamo fatto esattamete? Abbamo assocato a degl evet aleator, tramte ua qualche fuzoe, u valore umerco - abbamo creato ua VARIABILE ALEATORIA (questo ome è geere abbrevato co v.a.). I questo partcolare caso, la v.a. è dscreta, ed oltre assume solo u umero fto d possbl valor, precsamete 6 valor:,, 3, 4, ed. Aggugamo che questo caso valor soo tutt ter. S tratta, è charo, d u caso partcolarmete semplce, però c auta ad eucare la regola: quado determamo ua fuzoe che ad og eveto dello spazo campoaro fa corrspodere u valore umerco damo orge ad ua varable aleatora. Da quato detto è charo che ad og valore della v.a. corrspoderà ua probabltà che tale valore vega assuto, e questa charamete è la probabltà assocata all eveto cu tale valore umerco corrspode. Ad esempo, ell esempo proposto la probabltà che la v.a. assuma l valore (che corrspode al fate) è par a. (coè la probabltà che s pesch u fate). Le v.a. possoo assumere valor dscret (come l caso vsto sopra) o possoo assumere qualuque valore etro u tervallo dell asse reale: el prmo caso parleremo d v.a. dscrete, el secodo d v.a. cotue. Esamamo per prmo l caso della v.a. dscrete, seguto affroteremo le v.a. cotue. I.7 Varabl aleatore dscrete Le v.a. dscrete possoo assumere u umero fto d possbl valor (come ell esempo vsto sopra), oppure u umero fto: quest ultmo caso s tratterà ovvamete d ua ftà umerable. La relazoe che ad oguo de valor che la v.a. può assumere fa corrspodere ua probabltà (duque u umero reale compreso tra e ) è detta DISTRIBUZIONE DI ROBABILITÀ. Questa può essere data forma tabulare, o tramte ua fuzoe aaltca. er l esempo vsto sopra possamo raccoglere tal formazo ua tabella: 3 4 () Nel proseguo adotteremo queste otazo: la v.a. verrà dcata co ua lettera mauscola (ad esempo ); l valore da essa assuto co la corrspodete lettera muscola ( questo esempo ); la dstrbuzoe d probabltà co ua fuzoe del valore (coè ) avete per I-4

15 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo dce la lettera della v.a (qu ), come el seguete esempo che dca la probabltà che assuma l valore : ( ) [ ] f U altra quattà che sarà utle è la FUNZIONE DI RIARTIZIONE, detta ache cumulatva: questa è la probabltà che la v.a. assuma valor mor o ugual d u dato valore. La scrveremo geere co lettera mauscola come el seguete esempo F ( ) [ ] Spesso accade d dover caratterzzare ua v.a. modo stetco, per cu s rchede qualcosa d pù cocso che o l tera dstrbuzoe d probabltà: s cerca d dare u quadro formatvo co poch umer caratterstc. La prma cosa che s vuole trasmettere è la poszoe cetrale della dstrbuzoe: ad esempo se ho u gruppo d N scolar dall aslo al lceo od u gruppo d N pesoat è charo che, metre ambedue cas abbamo tate dverse età, el prmo caso soo dstrbute tra 3 ed a (rpetet compres), el secodo soo da 55-6 a su. Quello che cerchamo è u umero che c da ua qualche formazoe sulla poszoe de valor della v.a. lugo l asse reale. Dcamo subto che le quattà uso soo tre LA MODA: l valore pù probable della v.a. (coè, quello cu corrspode l valore d probabltà pù elevato); LA MEDIANA: l valore tale per cu la somma delle probabltà relatve a tutt valor della v.a. feror ad esso è esattamete uguale alla somma delle probabltà relatve a tutt valor della v.a. superor ad esso; term poco rgoros ma fgurat, è quel valore che ha tata probabltà complessva alla sua destra (sull asse reale) quata e ha alla sua sstra: u certo seso l vero cetro della dstrbuzoe; LA MEDIA: questa è sez altro la pù utle e la pù usata delle tre, dcata geere co la lettera greca µ; s trova co la formula seguete: µ E ( ) ( ) Ua volta localzzato l cetro della dstrbuzoe è mportate ache sapere quato quest ultma è dspersa. Faccamo u esempo u po avulso, gusto per capre cosa s tede co dsperso. Cosderamo seguet grupp d umer, ambedue cetrat toro a : I) 9.9, 9.85,.5, 9.95,.5,.,. II) 5,, 3, 7, 4, 9, I-5

16 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Ambedue grupp hao come meda, però l prmo ha tutt valor molto vc a, paragoato al secodo gruppo che è molto pù sparpaglato. I modo aalogo, torado alle dstrbuzo, potremmo avere ua v.a. che assume valor tutt vcssm come vece ua che assume valor molto sparpaglat. Come gudcare questa caratterstca co u solo umero? Le quattà pù utlzzate soo tre: IL RANGE: la dffereza tra l valore pù grade ed l pù pccolo della v.a.. Utle per campo, come s vedrà pù avat, ma applcable per le dstrbuzo; IL RANGE INTERQUARTILE: la dffereza tra l quartle superore (l umero che ha u quarto della probabltà complessva alla sua destra) ed l quartle ferore (l umero che ha u quarto della probabltà complessva alla sua sstra). Ne rparleremo a proposto d campo; LA VARIANZA: questa è la meda de quadrat degl scart dalla meda, vale a dre: ( ) ( ) ( ) ( ) E [ µ ] V µ Vee molto utlzzata la radce quadrata (postva) della varaza, che vee detta DEVIAZIONE STANDARD (d.s.) ed dcata co la lettera greca σ. Corrspodetemete la varaza vee spesso dcata co σ, otazoe d cu c servremo spesso ache o el seguto. I.8 Il valore atteso Abbamo utlzzato la otazoe E ( ), parlamoe meglo. Ifatt, armat della dstrbuzoe d probabltà possamo calcolare per og fuzoe della v.a. ua quattà detta valore atteso. er trodurla mmagamo l seguete espermeto, co rfermeto a ua fuzoe mootoa g ( ) : s geera a caso u valore d, dcamolo, e s calcola l valore corrspodete della fuzoe, g ( ). S rpete co u secodo valore, po u terzo, po u quarto e va dcedo. Troveremo tat valor dvers che a loro volta, proseguedo suffcetemete a lugo co l espermeto, darao luogo ad ua dstrbuzoe d probabltà per la uova v.a. data dalla fuzoe G g( ) : chamamola ( g) possamo sez altro calcolare la meda d G co la formula vsta sopra: G. Stado così le cose µ G E ( G) g ( g) g G I-6

17 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Ora, è charo che, ad esempo, l valore g ( ) d questa uova v.a. s preseterà co la stessa probabltà co cu s preseta l valore per la v.a., e così va: pù geerale, [ g( ) ] ( ) G : possamo così scrvere: µ G g ( ) ( ) Questa quattà la defamo VALORE ATTESO della fuzoe (aleatora) g ( ). Se partcolare cosderamo la fuzoe g ( ) trovamo l valore atteso d, che cocde co la meda d gà vsta sopra. Se vece cosderamo la fuzoe ( ) ( ) g µ trovamo la varaza d. È charo però che l cocetto d valore atteso è pù geerale, e meda e varaza soo solo due cas partcolar. Vedamo alcue partcolartà. a) Il valore atteso è leare, el seso che: E ( a b) ( a + b) ( ) a ( ) + b ( ) a + b ( ) a be( ) + + b) e la varaza? Come appea vsto la meda d Y a + b è uguale a a + bµ (detta come al solto E( ) µ la meda d ), qud la varaza d Y a + b sarà data da ( ) E b( µ ) ( [( µ )] ) b E( µ ) ) b V( ) ( + b) E [( a + b) ( a + bµ )] V a E b ([ ] ) Il fatto che sparsca la costate addtva a è tutvo: aggugedo a tutt valor d ua costate a s aumeta d questa stessa quattà ache la meda, e duque gl scart dalla meda rmagoo varat. Importate otare che la costate moltplcatva b uscedo dalla varaza deve vere elevata al quadrato. I.9 Dstrbuzo multvarate ossamo estedere le cosderazo fatte ache ad u umero d v.a. maggore d uo: per fssare le dee cosdereremo due varabl aleatore, e c auteremo co la tradzoale coppa d dad. C rferremo a due dvers cas: el prmo cosderamo le due v.a. date da valor de due dad, e chamamole ed Y. Qud è l umero d put che appaoo sulla facca superore del prmo dado, Y l aalogo per l secodo dado. Sa che Y possoo assumere valor,, 3, 4, 5 o 6. ossamo defre la probabltà coguta che le due v.a. assumao I-7

18 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo rspettvamete valor ed y, che scrveremo aalogamete alle otazo precedet,, Y (, y), qud:, Y (, y) [, Y y] I questo caso è charo che le due v.a. soo dpedet, qud come sappamo la probabltà dell tersezoe d evet dpedet è par al prodotto delle sgole probabltà: (, y) [, Y y] [ ] [ Y y] ( ) ( y),y Y Ch legge potrebbe però provare a dmostrare l dpedeza delle due v.a. elecado tutt cas possbl (che soo 36, e soo tutt equprobabl), calcolado le opportue probabltà a pror e codzoate e trado le cocluso. Nel secodo caso cosderamo le v.a. date rspettvamete dalla somma de due dad e dal modulo della loro dffereza: chamamole W e Z. Qud term delle varabl precedet avremmo W + Y ed Z Y. Lascamo al lettore la cura d aalzzare tutt gl est possbl (sempre gl stess 36, sempre equprobabl) e d formare gl evet calcoladoe la probabltà. S trovao seguet rsultat: per la dstrbuzoe d Z z (z) 6/36 /36 8/36 6/36 4/36 /36 er la dstrbuzoe coguta d W e Z: W, Z ( w,) W, Z ( w,z) z,,3,4, 5 La dstrbuzoe d W è be ota ma la rpetamo: w o 3 o 4 o 5 o 9 6 od 8 7 (w) /36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 I-8

19 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Soo dpedet W e Z? redamo ua coppa d valor qualsas, ad esempo (,3) probabltà a pror che W assuma l valore 7 è ( 7) codzoata: ( 7 / 3) [ W 7 / Z 3] [ W 7 Z 3] [ Z 3] 7 : la 6 W. Calcolamo la probabltà 36 ( 7,3) 36 ( 3) 6 3 W,Z W / Z Z e questa probabltà a posteror è dversa dalla probabltà a pror. er l esattezza è l doppo. Duque, le due varabl NON soo dpedet: sappamo fatt che per v.a. dpedet la probabltà codzoata è uguale alla probabltà a pror per qualuque coppa d valor s. cosder. Qud lea d prcpo ( w,z) ( w) ( z) W,Z W Se desdero cooscere la probabltà che assuma l valore qualuque sa l valore assuto da Y, posso procedere sommado su tutt valor y: ( ) [, y],y (, y) questa vee detta ROBABILITÀ MARGINALE d, questo cotesto. Qud, se abbamo la probabltà coguta possamo faclmete calcolare le sgole probabltà come probabltà margal. y Z 36 I. Combazo elemetar d v.a. Calcolamo la meda della somma d due v.a. ed Y qualuque (che possoo essere o o essere dpedet): per fare questo peschamo tutte le possbl coppe (, y) somma z + y e faccamo la meda d questa quattà per tutte le coppe. E ( Z) ( + y) (, y) (, y) + y (, y),y,y y y y,y e formamo la (, y) + y (, y) ( ) + y ( y) E( ) E( Y),Y,Y y Y + y y duque LA MEDIA DELLA SOMMA È LA SOMMA DELLE MEDIE. Vedamo l caso del prodotto Z Y d due v.a. dpedet, per cu qud vale la relazoe (, y) ( ) ( y),y E Y ( Z) y (, y) y ( ) ( y),y y y Y I-9

20 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo ( ) y ( y) E( ) E( Y) Y y qud la meda del prodotto è uguale al prodotto delle mede. Ma attezoe solo se le v.a. soo dpedet!, altrmet o è vera la relazoe (, y) ( ) ( y) pù l calcolo appea svolto.,y Y e o vale Calcolamo la varaza della somma d due v.a. ed Y dpedet procededo modo aalogo a quato fatto per la meda. er comodtà, chamamo ξ ed η le mede d ed Y, e qud (per quato appea vsto) la meda d Z sarà data da ξ + η : ( ) [( + y) ( ξ + η) ] (, y) [( ξ) + ( y η) ] (, y) V Z,Y y ( ξ) (, y) + ( ξ)( y η) (, y) + ( y η) (, y),y,y y y ( ξ) ( ) + ( ξ)( y η) ( ) ( y) + ( y η) ( y) Y y y y y,y ( ) + ( ξ) ( ) ( y η) ( y) + V( Y) V( ) V( Y) V Y + y Y,Y duque LA VARIANZA DELLA SOMMA È LA SOMMA DELLE VARIANZE. D uovo, attezoe!: questo è vero solo se le v.a. soo dpedet!, altrmet o vale la relazoe (, y) ( ) ( y),y Y (repetta juvat), e qud o è geeralmete ullo l terme Cov (,Y) ( ξ)( y η) (, y) y Y, detto COVARIANZA d ed Y, e s ha ( Z) V( ) + V( Y) Cov(, Y) V + ossamo ache dare ua msura d quato dpedet sao le varabl, tramte l parametro ρ, detto COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE, così defto: ρ (,Y) ( ) V( Y) Cov V S vede che l coeffcete vara tra e +, ed è ullo se le varabl soo dpedet. er ρ > le varabl s dcoo CORRELATE OSITIVAMENTE, e vceversa. Naturalmete quato detto per v.a. dpedet s estede alla somma (o al prodotto) d u umero qualuque d v.a. dpedet. I-

21 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo assamo ora ad esamare alcue mportat dstrbuzo d probabltà. Izeremo co la DISTRIBUZIONE BINOMIALE. I. Dstrbuzoe bomale Immagamo d lacare u dado: abbamo ua probabltà d /6 che vega l umero 3. Rpetamo l laco volte, e cotamo quate volte esce l umero 3. S tratta scuramete d u umero tero compreso tra ed : chamamolo. Rpetamo lo stesso espermeto - lac, s cotao le volte che esce testa: otterremo u umero forse uguale al precedete, forse dverso, sempre comuque compreso tra ed. Se rpetamo tatssme volte questo stesso espermeto, è charo che otterremo o prma o po tutt umer compres tra ed, oguo co ua certa frequeza. È sez altro lecto cheders: co quale probabltà lacado volte u dado uscrà esattamete volte l umero 3? rovamo a calcolare questa probabltà. Oguo de lac è dpedete dagl altr (vale a dre che l rsultato del 3 laco o dpede da quello del o del 5 o d qualuque altro): sappamo che la probabltà che s verfcho cotemporaeamete degl evet dpedet è par al prodotto delle sgole probabltà che s verfcho var evet. Cosderamo ua certa successoe d rsultat (ad esempo SNNSNSNNNSSS etc ove S sta per sì, è uscto l 3, e N sta per o, o è uscto l 3) cu S ha ua probabltà p (par a /6) ed N ua probabltà q p ( questo caso 5/6): la probabltà d otteere propro questa successoe d est è data da [ SNNSNSNNNSSS ] pqqpqpqqqppp..., vale a dre l prodotto delle probabltà de sgol rsultat. Qualuque strga d rsultat coteete volte S e - volte N ha probabltà q p. D altra parte, la probabltà complessva d otteere volte S (come s dce usualmete SUCCESSI), è par alla probabltà dell uoe d tutt gl est che verfcao l mo eveto, coè tutte le strghe che cotegoo volte S. È charo che tutt quest est soo dsgut (o s possoo avere due dverse strghe cotemporaeamete: la successoe degl lac è uvoca): qud la probabltà dell uoe è uguale alla somma delle sgole probabltà - questo caso q p moltplcato per l umero d strghe co success. Quest ultmo è l umero d mod cu posso mettere oggett ( success) caselle ( lac) seza cosderare l orde ( success soo tutt ugual) coè l umero d combazo a a d oggett. I deftva percò la probabltà cercata è I-

22 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo [ ] p q Questa è ua dstrbuzoe d probabltà espressa forma aaltca, ed è ota come DISTRIBUZIONE BINOMIALE. D ora po la oteremo come ( ;, p) Rassumamo le codzo cu essa vale: b. l espermeto ha possbl rsultat (che chameremo successo e fallmeto) l espermeto vee rpetuto volte, og volta co la medesma probabltà p d successo le rpetzo soo tutte dpedet tra d loro tal potes, la dstrbuzoe bomale c dca la probabltà d avere esattamete success rpetzo. ossamo domadarc qual è la probabltà complessva d avere u qualuque umero d success compreso tra e, coè la fuzoe d rpartzoe. Osservamo che cò che stamo chededo è la probabltà dell uoe d + evet ( success, successo. success), che charamete soo dsgut, o come s dce ache, compatbl: fatt o possoo verfcars crcostaze cu s abbao cotemporaeamete, ad esempo, esattamete 3 success ed esattamete 4 success: ma la probabltà dell uoe d evet dsgut è uguale alla somma delle probabltà de sgol evet, qud: F K ( j) [K j] j p L uoe d tutt possbl est (coè la probabltà d avere u umero qualsas d success compreso tra ed ) sarà F K ( ), e questa dovrà essere par ad (fatt l uoe d tutt possbl rsultat è u eveto certo: u qualche umero d success compreso tra ed dovrà pur verfcars). Verfchamolo: F K + q ( ) p q ( p q) per la formula d Newto (poteza del bomo). D altra parte p + q per defzoe, e qud la fuzoe d rpartzoe per K è propro uguale a. Questa è scuramete ua propretà geerale d tutte le dstrbuzo d probabltà: la probabltà complessva dell uoe d tutt gl est possbl è uguale ad I-

23 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Torado alla dstrbuzoe bomale, possamo vederla ache come somma d varabl aleatore, chamamole per,, K,, dove la sgola varable assume l valore oppure a secoda che ell -esma rpetzoe dell espermeto s sa avuto u successo od u successo. Co questa defzoe è charo che la varable del umero totale d success el complesso degl tetatv. Calcolamo la meda e la varaza delle sgole varabl Y assumerà l valore, rcordado che ad og rpetzoe (qud ache la la -esma) la probabltà del successo è sempre p, e quella dell successo sempre Calcolamo la meda: calcolamo la varaza: q p, o altr term, [ ] p ( ) E ( p) V ( ) p + q p E [ ] ( p) p + ( p) q pq, e [ ] q. Applchamo quato sappamo per la somma d varabl dpedet (fatt le rpetzo dell espermeto soo tutte dpedet), vale a dre che la meda della somma è la somma delle mede (come è sempre), e la varaza della somma è uguale alla somma delle varaze (perché le varabl soo dpedet). oché hao tutte la stessa meda p, la somma delle mede è data da p moltplcato per, e aalogamete per la varaza, qud: E ( Y) E( ) p V( Y) V( ) p q È charo che allo stesso rsultato s pervee a partre dall espressoe della probabltà bomale: E j j ( K) ( ) p q p K e aalogamete per la varaza (eserczo: dmostrare l espressoe appea scrtta ha l rsultato v dcato, e rpetere per la varaza). I-3

24 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Nota: le vste sopra soo INDIENDENTI E IDENTICAMENTE DISTRIBUITE, (frase geere abbrevata co..d.): fatt le rpetzo dell espermeto soo tutte dpedet, e tutte hao la stessa detca dstrbuzoe d probabltà: probabltà d successo p, probabltà d successo q. Esempo S è determato che u certo albero se soggetto ad u certo carco assale ha ua probabltà d cedere par a.5. Qual è la probabltà che su 6 alber così carcat: a) al massmo cedao; b) almeo 4 cedao? Esempo U fabbrcate d caffettere elettrche dchara che solo el % de cas suo apparecch rchedoo tervet mautetv durate l perodo d garaza, che è d u ao. Se su u certo campoe d caffettere 5 rchedoo rparazo durate l ao d garaza, sete portat a credere oppure o alla dcharazoe del fabbrcate? Esempo 3 U certo studo sostee che l 75% degl cdet sul lavoro potrebbero essere evtat semplcemete tramte l osservaza delle regole relatve alla scurezza. Nel caso cu tale affermazoe rspoda a vertà, trovate la probabltà che: a) meo d 6 cdet su sarebbero evtat b) cdet su 5 potrebbero essere evtat Esempo 4 I u certo quartere s è regstrata ua probabltà. che le terruzo elettrche, quado sverfcao, supero la durata d mut. Se u mese s hao 8 terruzo, trovare la probabltà che 3 d esse supero mut Esempo 5 U fabbrcate d verc rtee che % delle cofezo da lu prodotte cotegao meo verce d quato rportato sull etchetta. er verfcare tale crcostaza, vegoo selezoate modo casuale 6 latte d verce ed l coteuto vee msurato esattamete; se o pù d latte cotegoo meo verce d quato prescrtto, la crcostaza s rtee provata. Sarà vero? er farv u dea, calcolate la probabltà d superare tale test se realtà la percetuale d latte co coteuto suffcete è: a) 5% b) % c) 5% d) % I-4

25 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo I. La dstrbuzoe d osso Questa dstrbuzoe s preseta quado s ha a che fare co cert tp d process d coteggo, dett apputo process d osso. Tpcamete, s tratta d cotare u umero d evet u dato tempo (umero d decadmet radoattv u muto, umero d TIR che passao u ora, umero d persoe che arrvao all uffco postale ua mattata e sml). Dcamo N ( t) l umero d evet regstrat el tempo t. Vedamo sotto qual codzo l processo esame è defto d osso. ) Icremet a) dpedet e b) stazoar a) Idpedet - sgfca che la probabltà che el tempo t s verfch u dato umero d evet è dpedete dal umero d evet verfcats precedeza, o che s verfcherao futuro: og lasso d tempo fa stora a sé b) Stazoar sgfca che ugual lass d tempo hao ugual probabltà dpedetemete dal mometo cu zao: el seso che { N( t + s) N( t + s) } { N( t ) N( )} t ) N ( ) (che è ovvo realtà) 3) { N( h) } λh + o( h) 4) { N( h) } o( h) put 3 e 4 combat sgfcao semplcemete che gl evet soo separat el tempo, qud prededo u tempuscolo h abbastaza pccolo samo scur d trovare al massmo u eveto durate h e ma pù d uo. Osservamo che put 3 e 4 dscede ache la seguete relazoe: U { N( h) } N( h) N( h) { } { N( h) } { N( h) } [ λh + o( h) ] o( h) λh + o( h) er comodtà troducamo la seguete otazoe: ( t) { N( t) } ossamo così rscrvere l ultmo rsultato come: ( h) λh o( h) + I-5

26 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Dervamo ora u espressoe che c permetta d calcolare ( t). er fare cò partamo dal calcolo d ( t + h) ( t + h) { N( t + h) } { N( t) N( t + h) N( t) } poché gl cremet soo dpedet, la probabltà dell tersezoe etro paretes graffe è par al prodotto delle probabltà de sgol evet, oltre soo stazoar, qud: ( t + h) { N( t) } { N( t + h) N( t) } { N( t) } { N( h) } ( t) ( h) Itroducedo l espressoe rcavata sopra per la probabltà ( h) trovamo qud ( t + h) ( t) [ λh o( h) ] + Rordado e dvdedo per h otteamo qud ( t + h) ( t) h λ ( t) ( h) o + h da cu, facedo l lmte per h tedete a zero, otteamo l equazoe dfferezale d dt ( t) λ che rsolta co la codzoe ( ) (fatt dalla codzoe umero s ha che ( ) u eveto certo) dà fe l rsultato cercato: ( t) ( t) N è λt ( t) e rocedamo modo smle per calcolare ( t), sempre facedo dapprma rfermeto all tervallo avrà t + h. I questo caso però abbamo mod d otteere N ( t + h) : e qud s ( t h) N( t + h) + { } [ N( t) N( h) ] [ N( t) N( h) ] [ N( t) N( h) ] { N( t) } { N( h) } + { N( t) } { N( h) } + { N( t) } { N( h) } U I-6

27 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo ( t) ( h) + ( t) ( h) + ( t) ( h) ( t) [ λh + o( h) ] + ( t) [ λh + o( h) ] + ( t) o( h) ( t) [ λh] + ( t) λh o( h) + Acora ua volta rordamo e dvdamo per h, qud faccamo l lmte per h tedete a zero, otteedo: d dt ( t) λ ( t) + λ ( t) Questa può essere tegrata (rcordado che ( ) ) per trovare ( t) ( t) : Ad esempo, trovamo subto che λt ( t) e λ ( τ) t e λτ dτ ua volta oto t t te λt λτ λt λτ λτ λt ( t) e λ ( τ) e dτ e λe e dτ λ rocededo modo aalogo per valor successv d trovamo l espressoe geerale: ( t) ( λt) λt! e Se chamamo µ l prodotto λ t possamo rscrvere la dstrbuzoe appea vsta come µ! µ ( t) e che è la forma cu vee geeralmete scrtta la dstrbuzoe d probabltà d osso. S vede faclmete che la somma vale, correttamete; fatt: µ µ µ e e! µ! e µ e +µ È charo fatt che la sommatora a secodo membro è propro lo svluppo sere d McLaur della fuzoe espoezale. I-7

28 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo A cosa corrspode la quattà µ? rovamo a calcolare la meda, o valore atteso d che dr s vogla: µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ ( ) µ µ t e e e e e!!!! ( )! ( ) µ qud l parametro µ cocde co l valor medo d. rocededo modo aalogo, co u calcolo appea pù laboroso, s trova che la varaza d tale dstrbuzoe è ach essa par a µ. Questa è ua peculartà della dstrbuzoe d osso. Esempo Ua baca cassa meda 6 asseg scopert al goro. Qual è la probabltà che a) u goro e cass 4; b) due gor e cass. Esempo Il cotrollo su d ua produzoe d latta stagata rvela meda. dfett al muto. Calcolare la probabltà d trovare: a) u dfetto 3 mut; b) almeo due dfett 5 mut; c) al massmo u dfetto 5 mut. Esempo 3 Il umero d guast settmaal d u certo computer è ua dstrbuzoe d osso co λ. 3. S calcol la probabltà che oper seza guast per due settmae cosecutve. Esempo 4 Il umero d foto gamma al secodo emess da u dato sotopo è ua dstrbuzoe d osso co λ Se u cotatore satura se rceve pù d foto u secodo, s calcol la probabltà che satur u dato secodo. Esempo 5 Il cetralo d u uffco rceve meda.6 chamate al muto. S calcol la probabltà che a) u muto c sa almeo ua chamata; b) 4 mut arrvo almeo 3 chamate. Esempo 6 Ua compaga vede tempo maccha sul propro computer lott d t ore, e questo al prezzo d 6 /hr. Il umero d guast del computer è ua varable aleatora co dstrbuzoe d osso co computer ha guast u perodo d t ore, costa 5 d rparazoe. Che valore d t covee sceglere per massmzzare l'aspettatva d proftto? λ.8 t, e se l Esempo 7 I ua certa cttà medamete 4 gudator predoo almeo ua multa u mese. S us la dstrbuzoe d osso per trovare la probabltà che: a) gudator predao almeo ua multa u dato mese; b) almeo 4 gudator predao almeo ua multa u dato mese; c) da a 4 gudator predao almeo ua multa u dato mese; d) essu gudatore preda almeo multe u dato mese. I-8

29 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo I.. Ua propretà teressate S abbao due tervall cosecutv t e t, tal che l umero d success el prmo tervallo sa retto da ua dstrbuzoe d osso co meda µ, ed l umero d success el secodo tervallo sa retto da ua dstrbuzoe d osso co meda ν. Qual è la dstrbuzoe d probabltà per l umero complessvo d success ell tervallo T t + t? Iaztutto la probabltà che el prmo tervallo, l tervallo t, v sao success (co m) è data da ( ; t ) e µ µ! se el prmo tervallo s soo avut success, perché ella somma de due tervall ve e sao m occorre che ve e sao m- el secodo tervallo, l tervallo t. La probabltà d tale eveto è data da ( m ; t ) ν m e ν ( m )! oché due evet soo dpedet (come è sempre per evet rett dalla possoaa) la probabltà che ell tervallo t v sao success e oltre ell tervallo t v sao m- success, per quato gà sappamo, è l prodotto delle probabltà ( ;t ( m ) ;t ) ( ;t ) ( m ; t ) µ e µ! ν m e ν ( m )! D altra parte, m success ell tervallo t +t s possoo avere co qualuque rpartzoe tra t e t : ed m, ed m-, ed m- e va dcedo. E aturalmete tutte le combazo soo compatbl tra d loro. Qud m m U t la probabltà ( m; t + t ) [ ; t ( m ) ; t ] ( ; t ( m ) ; ) ertato la probabltà rchesta è data da m ( m; t + t ) ( ; t ) ( m ; t ) m ( m )! e µ µ e ν ν m! Vedamo co qualche passaggo: m µ e µ! e ν ν m e µ e m ν ( m )!! ( m ) µ ν m e! µ e m! ν m m µ ν m e ( µ+ν) ( ) m m! µ + ν I-9

30 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Coè, la dstrbuzoe d probabltà per l umero d success ella somma de due tervall è data da ua possoaa co parametro λ µ + ν. Il valore atteso aturalmete è < m > λ µ + ν, coè: l valore atteso del umero d success ella somma degl tervall T t + t è par alla somma de valor attes del umero d success el prmo e el secodo tervallo. Applchamo questo prcpo che abbamo scoperto al caso t t, coè T t. ertato λ µ, e la dstrbuzoe d probabltà dvee: Il valore atteso aturalmete è < m > µ. µ e p ( m;t ) b ( m;µ ) ( ) m µ m! I.. U altra propretà teressate Rpredamo la dstrbuzoe bomale, e mmagamo d aumetare l umero d prove N e dmure la probabltà d successo ua sgola prova p, ma maera coordata: voglamo che l prodotto p, coè la meda µ della dstrbuzoe, s matega costate. Qud se raddoppamo dmezzamo p, se dvdamo p per decuplchamo e va dcedo. er comodtà e per o dmetcare la coordazoe tra umero d prove e probabltà p d successo ua prova, rscrvamo quest ultma quattà come rapporto tra la meda µ (che mateamo ferma) e l umero (che lascamo crescere): [ ] ( )! µ!! ossamo rscrvere l rapporto tra fattoral, e otteere µ [ ] ( ) )... ( + )! µ µ e f qu abbamo fatto solo qualche passaggo. Ora lascamo crescere, come detto, e cosderamo valor d che sao molto pccol rspetto ad : tal caso possamo approssmare prodott a umeratore co l prodotto d volte, e ell espoete - trascurare. Otteamo [ ] µ! µ I-3

31 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Facedo ora l lmte per, e osservado che lm µ come certo rcorderemo dal corso d aals, possamo scrvere fe e µ µ [ ] e µ! coè: la dstrbuzoe bomale per co µ p dato e fsso, tede alla dstrbuzoe possoaa, almeo per valor d ft. U esempo partcolarmete teressate per o è l decadmeto radoattvo. Ifatt c trovamo geeralmete preseza d u grade umero d atom, solo ua parte de qual decade u tempo prefssato. Descrvamolo così: fssamo u tempo d osservazoe T; og atomo ha ua probabltà, che chameremo λ T, d decadere el corso d questo tervallo d tempo T; soo preset N atom tutt ugual, che dal puto d vsta del decadmeto soo dpedet l uo dall altro (le dstaze tra u ucleo e l altro soo mmese rspetto al raggo d azoe delle forze uclear resposabl del decadmeto); quat atom decadrao el tempo T? Questo è u classco espermeto bomale, fatt abbamo: N replche dpedet dello stesso espermeto er og replca la probabltà d successo (l decadmeto durate T) è ota e fssa: λt Qud possamo scrvere subto la dstrbuzoe d probabltà per l umero d decadmet el tempo T: rovamo a valutare N e soo preset N N [ ] b( ; N, λt) ( λt) ( λt) λ T, e per far questo cosderamo g d rado-6. I g d rado A 6. N N.665 A 6 Ra atom. Ioltre sappamo che g d rado-6 dà luogo (medamete) a decadmet al secodo, qud vedamo che la frazoe degl atom preset che decade (medamete) el lasso d tempo d u secodo è par a I-3

32 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo e questo è par alla probabltà che u sgolo atomo decada el predetto lasso d tempo, coè λ T (fatt, s deve avere µ p N λt ). C trovamo precsamete elle codzo deal per approssmare l orgale dstrbuzoe bomale co ua dstrbuzoe possoaa, ed partcolare: b N ( ; N, λt) ( λt) ( λt) N ( N λt) N T! e λ ove l prodotto N λt assume l valore vsto d 3.7 decadmet. Esempo Approssmare b(3;,.3) co la dstrbuzoe d osso. Esempo U'asscurazoe ha 384 asscurat cotro l furto. Se la probabltà che u clete cheda almeo u dezzo u ao è d /, esprmere la probabltà che u dato ao lo chedao,,, 3, 4... clet. Approssmare b(3;,.3) co la dstrbuzoe d osso. Esempo 3 I ua certa cttà l 6% de gudator prede almeo ua multa al mese. S us la dstrbuzoe d osso per calcolare la probabltà che: a) 4 gudator predao almeo ua multa u dato ao almeo; b) 3 gudator predao almeo ua multa u dato ao; c) da 3 a 6 gudator predao almeo ua multa u dato ao. Esempo 4 S è trovato che la probabltà che u'auto buch ua gomma metre trasta ua certa gallera è.4. S calcol la probabltà che almeo d auto bucho ua gomma metre trastao ella gallera. Esempo 5 Lo.8% delle spolette cosegate ad u arseale soo dfettose. S calcol la probabltà che ve e sao 4 dfettose su u campoe casuale d 4. Esempo 6 S è trovato che la probabltà che u'auto buch ua gomma metre trasta ua certa gallera è.4. S calcol la probabltà che almeo su auto bucho ua gomma metre trastao ella gallera. Esempo 7 Se l 5% de lbr che escoo da ua legatora hao rlegatura dfettosa, trovare la probabltà che d tal lbr abbao rlegatura dfettosa usado: a) la dstrbuzoe Bomale; b) la dstrbuzoe d osso. I-3

33 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo I.3 Le varabl aleatore cotue Veamo alle v.a. cotue, che presetao molte somglaze ma ache alcue peculartà rspetto alle v.a. dscrete che abbamo cosderato fora. Ua varable aleatora cotua, rpetamolo, assume valor lugo u segmeto dell asse reale (evetualmete ache tutto l asse). È subto evdete che o possamo assocare evet a valor della v.a. co la facltà avuta el caso delle v.a. dscrete. rovamo a fare u esempo pratco. Dcamo che mettamo fuor u seccho (d capactà Z ltr) sotto la pogga e dopo u ora lo rtramo e msuramo quata acqua ha raccolto. Qu faremo l potes assa astratta d poter msurare l acqua coteuta el seccho co esattezza, co u umero llmtato d cfre decmal (ache se ella realtà essuo strumeto ha ua precsoe fta). Se rpetamo questa prova og volta che pove, troveremo tat valor dvers, scuramete sempre compres u tervallo che va da zero (seccho vuoto, o pove) alla capactà Z del seccho (seccho peo). Se pure o è facle trovare ua relazoe chara, semplce ed esatta come el caso de dad, possamo co u po d sforzo d mmagazoe pesare a tutte le possbl testà d pogga come evet casual, e qud a ltr d acqua raccolta come a ua varable aleatora, che però questo caso è cotua: fatt può assumere qualuque valore ell tervallo reale [,Z]. Veamo alla dffereza sostazale colle v.a. dscrete: quel caso rpetedo u espermeto a suffceza, possamo trovare rpetuto u certo rsultato (ad esempo l rsultato per ua coppa d dad) u qualuque umero d volte; el caso delle v.a. cotue, vece, o s possoo lea d prcpo rtrovare due rsultat detc tutte le fte cfre decmal: due rsultat possoo essere vcssm, ma ma detc. Questo ha ua cosegueza mportate ma per caprla bee dobbamo fare ua dgressoe e parlare della Iterpretazoe della probabltà come lmte della frequeza Ch adotta questo puto d vsta ragoa questo modo: se o laco ua moeta blacata volte, potrò o otteere esattamete 5 teste e 5 croc, magar sarao, che so, 53 e 47, vale a dre l 53 ed l 47 %; se la laco volte o sarao propro 5 e 5 ma forse, dcamo, 57 e 493, coà l 5,7 ed l 49,3 % rspettvamete. Verosmlmete se la laco volte, avrò u rsultato come 53 e 4969, par al 5,3 e 49,69 % - somma, ma mao che cresce l umero d lac la proporzoe, che questo cotesto vee chamata FREQUENZA RELATIVA, s avvca sempre pù al 5%, sa per le teste che per le croc. Nel lmte d ft lac la FREQUENZA RELATIVA tede ad u valore astotco e questa è la ROBABILITÀ. Fe dell cso I-33

34 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Ora se guardamo da questo puto d vsta l problema posto poco sopra, qual è la probabltà d otteere u precso valore della ostra v.a.? bee, sappamo gà che u valore (u valore esatto, rcordamolo) che s preseta ua volta o s rpreseta pù, per quate rpetzo faccamo del ostro espermeto, qud la frequeza relatva è /, l cu lmte per è charamete zero. Qud prma GRANDE dffereza co la v.a. dscrete: la probabltà d otteere u precso valore è sempre ulla. Cosderamo vece u tervallo, dcamo [, ] : qu l dscorso è dverso, molte msure possoo cadere u tervallo, o s tratta pù d dovere far cocdere fte cfre decmal per avere due umer detc, ma basta fare cocdere alcue, le prme, per avere due umer suffcetemete vc. redamo ad esempo l tervallo tra, ltr e, ltr: tutte le msure che zao co, etrao questo tervallo dpedetemete dalle cfre decmal successve:,;,4;, ; e va dcedo. S capsce che al crescere del umero d rpetzo dell espermeto ache l umero d cas cu s rscotra u valore retrate questo tervallo cresce! Qud defedo la probabltà come lmte della frequeza relatva otteamo u umero che può bessmo essere dverso da zero. Stado così le cose, coè potedo assocare ua probabltà ad u tervallo d valor ma ma ad u precso valore specfco, o ha seso charamete defre ua dstrbuzoe d probabltà aaloga a quella vsta per le v.a. dscrete: s avrebbe fatt ( ) detcamete per qualuque valore d, e duque o servrebbe assolutamete a ulla. S potrebbe dare ua tabella che ad og tervallo assoca u valore d probabltà? Molto dagoso, dcamo pure mpossble vsto che possbl tervall soo ft. S prefersce procedere così: s defsce ua fuzoe f ( ) che dà la probabltà d trovare u rsultato u tervallo ftesmo, coè tale che: ma attezoe, è ( ) d [ (, d) ] f + f ( )d che ha le dmeso d ua probabltà (coè u umero puro) e o f ( ), che ha vece le dmeso d : f ( ) NON è ua dstrbuzoe d probabltà besì ua DENSITÀ DI ROBABILITÀ, ua probabltà per utà d. I-34

35 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Nota la destà d probabltà, è faclssmo trovare la probabltà su u dato tervallo fto o fto sommado su tutt gl tervall ftesm d che lo compogoo, vale a dre tegrado su d: [ (, )] f ( ) d È facle defre ache la fuzoe d rpartzoe (spesso detta ache probabltà cumulatva), fatt: F ( ) [ ] f ( ' ) coè, la fuzoe d rpartzoe o è che ua prmtva della destà d probabltà, ovvero (cosa che tora spesso comoda per l calcolo) la destà d probabltà altro o è che la dervata della fuzoe d rpartzoe. Aalogamete possamo defre l valore atteso d g ( ) : calcolamo l cotrbuto d og tervallo ftesmo (e cu qud g ( ) è costate) e sommamo su tutt gl tervall, coè acora ua volta tegramo: E + [ g( ) ] g( ) f ( ) d d' I pratca, alla dstrbuzoe d probabltà sosttuamo l prodotto sommatora sosttuamo l tegrale. f ( )d ed alla Ache questo cotesto possamo defre ua destà d probabltà coguta d due varabl: f (, y), Y, e ache qu possamo calcolare la destà d probabltà margale, semplcemete tegrado rspetto alla varable che o teressa. Co le opportue modfche (tegral vece d sommatore), valgoo tutte le relazo trovate precedeza. Vedamo ora la pù semplce destà d probabltà, la probabltà uforme su [ a,b]: f ( ) b a [ a, b] [ a, b] che vuol dre: la v.a. ha detca probabltà d fre u qualsas tervallo d compreso [ a,b]; vceversa o può assumere valor al d fuor d [,b] a. I-35

36 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Affrotamo la pù mportate d tutte le destà d probabltà: la Gaussaa. I.4 La destà d probabltà Gaussaa Questa destà s preseta umerevol stuazo, ed è mportatssmo cooscerla bee. Tra le altre cose, vedremo che u mportate teorema (l teorema del lmte cetrale) le attrbusce u valore partcolare ed uco tra tutte le destà. Essa è defta su tutto R, e la sua forma matematca è la seguete: f ( ) G( ; µ, σ) σ ep π ( µ ) σ Essa dpede da due parametr, µ e σ, l cu sgfcato vedremo tra breve. Vedamo l adameto d questa fuzoe per alcu valor d µ e d σ : I.4. Ua propretà molto utle Sappamo gà che per calcolare ua probabltà occorrerà tegrare ua destà su u tervallo. Domadamoc qual è la probabltà che ua v.a. gaussaa avete parametr µ e σ assuma valor ell tervallo [ a,b]: { [ a,b] } G( ; µ, σ) b a d I-36

37 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo rovamo a svolgere l tegrale, rcordado l metodo per sosttuzoe. Trovamo successvamete, defedo ua uova varable z µ : σ σ π b a ep ( ) b µ ( µ ) σ d π a ep σ µ d σ z b z a z e dz π µ co z a a e z b µ b. σ σ La fuzoe rmasta sotto l tegrale s vede cocdere co ua gaussaa avete parametr µ e σ : questa è detta gaussaa ormalzzata, o ormale, soltamete dcata co ( ) N (o occorre specfcare parametr perché soo apputo sempre µ e σ ): ( ) e N Il vataggo è che u tegrale d qualuque gaussaa G ( ;µ,σ) su u tervallo [,b] π a può essere calcolato come tegrale della gaussaa ormale sull tervallo [ z, ] corrspodete. I pratca questo corrspode a sostture ad u area sotto la gaussaa data, compresa tra le ascsse a e b, ua corrspodete area (d detco valore umerco) sotto la gaussaa ormalzzata compresa tra le ascsse z a e z b. a z b Questa propretà può essere messa a frutto el seguete modo. Rpredamo l tegrale: z z b a z z ( ) dz N( z) dz N( z) dz Φ( z ) Φ( z ) N z b a b a z La fuzoe Φ( ) N( ) z d s trova tabulata, e duque basta leggere l valore per zb e per z a e fare la dffereza. La stratega è qud la seguete:. a partre dagl estrem d tegrazoe a e b (ft o ft che sao) s calcolao gl estrem ormalzzat z a e zb. s leggoo valor della fuzoe Φ ( z) corrspodeza d z a e zb 3. s fa la dffereza U esempo d tabella è dato alla fe d quest apput. S oterà che questa forsce l valore d Φ ( z) solo per valor postv d z. Se servoo valor egatv come c s regola? I-37

38 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Mapolamo acora u po l tegrale, ammettedo per esemplfcare che za s egatvo e zb postvo: zb za N zb zb ( z) dz N( z) dz + N( z) dz N( z) dz + N( z) dz Φ( z b ).5 + Φ( za ). 5 za za I deftva s tratta d sostture l area compresa tra z a z a (coè, +, charamete detca vrtù della smmetra della ( z) I term.5 dervao dal fatto che l tegrale da za ) e, l area tra e N rspetto al cambo d sego. a vale, apputo,.5, e qud: z ( ) dz N( z) dz N( z) dz Φ( z). 5 N z z I deftva questo caso trovamo z b z a N ( z) dz Φ( z ) + Φ( z ). Svolgedo ragoamet aalogh, che lascamo a ch legge, s può esamare l caso cu ambedue gl estrem sao egatv, gugedo qud all espressoe b a z z b a z z ( ) dz N( z) dz N( z) dz Φ( za ) Φ( z b ) N z z b a z a b Esempo La dose d radazoe cosmca rcevuta da u vaggatore volo da New Yor a Los Ageles è ua varable aleatora co ua dstrbuzoe d destà ormale co meda µ 43.5 µ Sv e d.s. σ 5.9 µ Sv. S calcol la probabltà che la dose rcevuta da u vaggatore sa a) tra 4 e 5 µ Sv ; b) almeo 55 µ Sv. Esempo La quattà d prodotto che ua scatolatrce mette u barattolo da 4 ett può essere cosderata ua varable aleatora co σ 4. g. Voledo che o pù del % de barattol cotega meo de omal 4 ett d prodotto, a) per quale valore medo d rempmeto bsoga regolare la maccha? b) Rpetere per σ.5 g. Esempo 3 Ua varable aleatora ha ua dstrbuzoe ormale co µ Quale e è la devazoe stadard se ha ua probabltà d. d assumere u valore maggore d 79.? I-38

39 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Esempo 4 Certe sbarre d plastca estrusa vegoo taglate automatcamete lughezze d 6 cm. I realtà questa è solo la meda poché le lughezze rcavate soo dstrbute toro a questo valore co ua devazoe stadard d 6 mm. a) che frazoe delle sbarrette eccede la tolleraza specfcata cm? b) a che valore occorre rdurre la devazoe stadard perché l 99% retr ella tolleraza? Esempo 5 Le msure del peso specfco d u certo metallo possoo essere cosderate come ua campoatura da ua popolazoe ormale co d.s..4. Qual è la probabltà che la meda d u campoe casuale d 5 msure sa etro. dal valore vero µ? Esempo 6 La dstrbuzoe de pes de vaggator (compresv d abt e bagaglo a mao) sulla lea aerea Bologa- alermo sa ormale co meda µ 8 g e d.s. σ 9 g. Qual è la probabltà che l peso complessvo d 36 passegger sa maggore d 3 g? I.4. U altra utle propretà Cosderamo la dstrbuzoe bomale co probabltà p e umero d rpetzo : b ( ;, p)! p q µ p ; σ pq!! ( ) Rcordamo la formula d Strlg per l approssmazoe del fattorale d (valda per grade):! π e e applchamola alla precedete espressoe b ( ;, p) π e π e π p q ( ) ( e ) ( ) ( ) Semplfcado le espoezal e raccogledo le poteze omologhe otteamo b ( ;, p) π ( ) p q ( ) Itroducamo la varable rdotta z p pq ed esprmamo qud le quattà ella precedete formula fuzoe d z: p + z pq ; q z pq I-39

40 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo p assado a logartm trovamo così: q + z ; p q z p q l b ( ;, p) π ( ) ( ) ( ) q p p + z pq l + z q z pq l z p q F qu l uca approssmazoe fatta è stato utlzzare la formula d Strlg, qud mplctamete cosderare, ed ( ) grad. Lmtamoc ora alla stuazoe [ p, q] p << m per cu q p z, z << p q I tal caso possamo utlzzare ua ota approssmazoe per logartm per <<, a partre dallo svluppo sere d McLaur: 3 ( ± ) ± O[ ] l + Applchamola qud al ostro caso, e otteamo: l b ( ;, p) π ( ) q q ( ) 3 p p [ ] ( ) 3 p + z pq z z + O z q z pq z z + O[ z ] p p Svolgedo prodott e combado term omologh s ottee (lascamo al lettore l compto d dervarlo): q ( ) 3 z O[ z ] l b( ;, p) π + e qu trascureremo l secodo terme quato d orde superore. Valutamo ache la radce quadrata: q ( ) pq p q pq + z q p z p q e rcordado che term co z soo <<, vedamo che la secoda radce vale all crca. I deftva trovamo qud, espoezado l logartmo e rcordado l valore d z I-4

41 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo b ( ;, p) πpq ep ( p) pq che è aturalmete la gaussaa avete meda della dstrbuzoe bomale d parteza. µ p e d.s. σ pq, vale a dre le stesse Esempo La probabltà che u certo tpo d compoete elettroco s guast meo d ore d fuzoameto cotuatvo è del 5%. S calcol la probabltà che u campoe casuale d pezz, meo d 45 s guasto meo d ore d fuzoameto cotuatvo. Esempo Il % de dod fabbrcat da ua dtta preseta de dfett. S calcol la probabltà che u campoe casuale d dod a) al massmo 5 sao dfettos; b) 5 sao dfettos. I.5 La dsuguaglaza d Chebshev S abba ua qualuque varable aleatora, co la sola codzoe che essta fto l valore atteso del suo quadrato, coè la quattà se la v.a. è dscreta, ovvero ( ) ( ) E E ( ) f ( ) + se la v.a. è cotua. Dato u qualuque valore defta d + α R troducamo ua uova v.a. Y così α Y α > α Co questa defzoe s ha charamete sempre tra valor attes, coè certamete E ( Y) E( ) Y, e qud aaloga relazoe varrà I-4

42 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Calcolamo faclmete l valore atteso d Y, fatt questa v.a. assume solo valor, co probabltà legate alla dstrbuzoe/destà d : E ( Y) [ α] + α [ > α] α [ > α] Mettedo seme le ultme due relazo trovamo: ( ) α [ > α] E ovvero, grado u po l equazoe E [ ] ( ) > α α e questo rsultato è apputo la dsuguaglaza d Chebshev. Gochamo u po co questa dsuguaglaza. er ua v.a. per cu essta fto l valore atteso del quadrato, avrà valore fto ache l valore atteso d stessa, coè la sua meda µ E( ) La quattà Z µ è a sua volta ua v.a., e duque ache per essa vale la dsuguaglaza d Chebshev. Scrvamola: E [ ] ( Z ) Z > α [ µ > α] α E ([ µ ] ) V( ) α α coè, detto parole: la probabltà che l valore d s dscost dalla propra meda µ d pù d α è par alla varaza d dvsa per α. Da otare che questo vale per qualuque v.a., comuque dstrbuta, alla sola codzoe che essta fta la varaza (ad esempo, la dstrbuzoe d Cauchy o ha varaza, o meglo, questa è fta). ossamo vedere acora u aspetto dvertete, se utlzzamo l quadrato della d.s. σ (quadrato che è come sappamo la stessa cosa della varaza). Allora possamo defre la v.a. W el seguete modo: Applcado la dsuguaglaza: W µ σ E [ ] ( W ) W > α α µ σ > α E µ σ α α I-4

43 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo I-43 poché fatt: [ ] ( ) ( ) V E E σ µ σ σ µ Esprmamo ache questo parole: la probabltà che la varable rdotta σ µ assuma valor ester all tervallo [ ] α α, è ferore a α. Nota che la varable rdotta questoe è la dstaza dalla meda espressa utà d d.s. I.6 Legge de grad umer S abbao v.a. d. (,,,), avet ogua meda µ e varaza σ. Formamo ua uova v.a. Y così defta: Y Calcolamo meda e varaza d tale v.a.: rcordado le regole vste al I. trovamo subto ( ) ( ) µ µ E E Y E ( ) ( ) σ σ V V V V Y Applchamo la dsuguaglaza d Chebshev: [ ] ( ) V Y Y α σ α > α µ Questo qualuque sa la dstrbuzoe delle (purché ammetta varaza fta) e qualuque sa l umero α. Come al solto potremmo ache cosderare la v.a. µ σ W e col solto procedmeto trovare Y α > α σ µ

44 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo I ambo cas, trovamo che l secodo membro dmusce al crescere d (tede a zero per ). Ovvero: per qualuque umero α, per quato pccolo, la probabltà che la varable Y s dscost dal suo valor medo µ tede a zero all aumetare d. ossamo dare a questa affermazoe ua veste pù tecca. Legge (debole) de grad umer: Sao varaza σ. Sa Y la v.a.così defta Y,..., v.a d., avet ogua meda µ e Sao + α, δ R, pccol a pacere. N : > N s ha Dm.: basta porre [ Y µ > δ] ε σ N e utlzzare la relazoe trovata prma. εδ Nota che la stessa relazoe s può scrvere ache come [ Y µ δ] ε Applchamola ad u caso pratco. Le famose v.a. d. assume l valore ovvero co probabltà, rspettvamete, p ovvero,..., sao così defte: q p. ossamo pesarle come collegate ad u espermeto rpetuto volte, og volta co due est possbl: successo o successo, qud la -esma v.a. assume valor e rspettvamete a secoda che l -esmo espermeto abba dato luogo ad u successo oppure o. I tal caso la somma cocde co l umero d success tetatv, chamamolo S. ertato, la varable aleatora Y è l rapporto tra l umero d success ed l umero d tetatv, coè la frequeza relatva de success. Y S Calcolamo l valore atteso e la varaza della geerca : ( ) p + q p V( ) ( p) p + ( p) q pq( p + q) pq E Da qu, applcado le regole orma ote, trovamo: S p > α pq α I-44

45 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Come dre: S p, la frequeza relatva tede a cocdere co la probabltà al crescere d. er esempo, l umero d croc el laco d ua moeta s avvca sempre pù alla metà esatta de lac ma mao che l umero d quest ultm cresce. Ecco, a posteror, la gustfcazoe della defzoe d probabltà come lmte per della frequeza relatva, che abbamo vsto al I.3 I.7 Il teorema del lmte cetrale remettamo che estrarre u campoe d tagla vuol dre pescare a caso elemet, coè el caso che esameremo ora geerare maera casuale valor della varable aleatora esame. Cò detto: s abba ua dstrbuzoe ovvero destà qualuque (o è ecessaro che sa gaussaa), avete meda µ e varaza calcola la meda artmetca d tale campoe: σ. Da questa s estrae u campoe d tagla, dopodché s Rpetamo l espermeto: estraamo u uovo campoe d tagla e calcolamoe la meda artmetca: geerale questa sarà dfferete da quella del prmo campoe (solo occasoalmete potrao captare due valor ugual). Rpetamo l processo u gra umero d volte: l valore d assumerà tat possbl valor, stesso è fatt ua varable aleatora ( quato somma d varabl aleatore). Domadamoc: che dstrbuzoe avrà tale varable aleatora? Il teorema del lmte cetrale afferma che: la meda artmetca d u campoe d tagla proveete da ua popolazoe avete meda µ e varaza σ dà orge ad ua popolazoe che, al crescere d, σ tede ad ua gaussaa avete meda µ e varaza I parole povere: è gaussaa (almeo per abbastaza grade), la sua meda è uguale a quella della popolazoe da cu s è campoato, la sua varaza è volte pù pccola della varaza della popolazoe da cu s è campoato. No affroteremo la dmostrazoe d questo teorema, tuttava possamo faclmete provare quato afferma a proposto della varaza. Ifatt, sappamo che la varaza della somma d v.a. dpedet è par alla somma delle sgole varaze, e oltre og costate moltplcatva s può portare fuor dalla varaza elevadola al quadrato, qud, poché s I-45

46 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo I-46 tratta d ua somma d v.a...d. (dpedet ed detcamete dstrbute) che hao ovvamete tutte la stessa varaza: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V V V V V V V

47 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo I.5 La destà d probabltà del χ (Ch-quadro) Abbamo vsto la destà d probabltà gaussaa, cosderamo ora ua v.a. dstrbuta secodo ua gaussaa stadard, vale a dre co meda ulla e d.s. utara. Se defamo ua uova v.a. Y, come sarà dstrbuta? Bee, essa segurà ua destà d probabltà ota come ch quadrato a grado d lbertà, smbol χ []. Questa destà ha u espressoe aaltca, che o rporteremo perché esula da ostr scop. redamo ora v.a...d., tutte avet destà gaussaa stadard, chamamole,,...,, e formamo la uova v.a. Z. Come sarà dstrbuta? Essa avrà ua destà d probabltà detta ch quadrato a grad d lbertà, smbol χ []. Ache d questa o damo qu l espressoe aaltca. Vedamo però u grafco dell adameto d tale destà per dvers valor d. Come tutte le destà, l tegrale d χ su tutto l domo d defzoe è par a. Ache [] questo caso possamo cercare l valore della z per cu l tegrale da z a rsult par ad u valore specfcato α: ad esempo.5 o., coè quel valore d z tale che la probabltà d trovare u valore maggore d questo sa par ad α (ad esempo 5% o %). I-47

48 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Tal valor vegoo chamat VALORI CRITICI. Vedamo ua tabella co var valor crtc: Immagamo ora l seguete espermeto: s gettao dad e s regstra l rsultato, che sarà u umero tero compreso tra e, po s gettao uovamete e così va, fché s soo fatt u certo umero d lac, ad esempo 8. A questo puto cotamo quate volte è uscto l, quate l 3 e va dcedo. Naturalmete, sappamo qual è la probabltà per oguo de rsultat possbl, che possamo replogare ua tabella: () /36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 /36 I-48

49 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Grafcadola trovamo l be oto adameto tragolare: Da questa dstrbuzoe d probabltà possamo mmedatamete calcolare l valore atteso per l umero d volte cu, su 8 tetatv, escoo dvers valor possbl, semplcemete co la solta formula: ( ) N ( ) E che per N par a 8 e per var valor d () c forsce tutt valor attes per l ostro espermeto. ossamo raccoglerl ua comoda tabella: E() È charo però che og rpetzoe dell espermeto (coè della sere d 8 lac de dad) otterrò sequeze d umer che solo eccezoalmete cocderao co quella tabella. Ragoamo ad esempo sul valore : s tratta d prevedere quate volte s otterrà questo valore su ua sere d 8 tetatv (dcamo tale umero d volte), sapedo che ad og tetatvo la probabltà d successo (coè, questo caso, d fare ) è par ad /36. Sappamo calcolare la probabltà d avere oppure oppure etc. rsultat utl: questa è data dalla bomale ( ) b( ; 8, / 36). I deftva rpetedo tatssme volte l ostro espermeto (og volta composto d 8 lac, cu coto quate volte esce l valore ) otterremo var valor, tutt compres ovvamete tra e 8, che s preseterao co frequeze dverse. Il valor medo sarà l valore atteso, che come gà sappamo è 5, ma potremo otteere tutt valor, pù o meo spesso. Questo lo possamo rpetere per tutt I-49

50 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo rsultat, cotado l umero d success oguo de qual sarà dstrbuto secodo ua bomale co l opportuo valore d probabltà (/36, o 3/36 etc.). I realtà, per l uso che faremo tra poco d questo fatto, approssmeremo questa bomale co ua possoaa avete come parametro l valore atteso, qud: ( ) b ( ; E( ) ) e qud assumeremo come varaza l valor medo stesso p σ E( ) Attezoe: questa è la varaza della dstrbuzoe d (umero d volte cu s è otteuto l rsultato, che è dstrbuto secodo la bomale approssmata co la possoaa), e NON la varaza della dstrbuzoe d (l umero otteuto u sgolo laco de dad, che ha la dstrbuzoe d probabltà tragolare vsta prma). er charre meglo questa dstzoe osservamo la fgura seguete: Qu la lea a tratteggo rappreseta la dstrbuzoe tragolare delle probabltà, qud ache de valor attes, metre cerchett pe ut dalle lee cotue soo le dstrbuzo possoae de dvers chameremo. Formamo ora la seguete quattà, che provvsoramete S (S per somma, perché d quadrat) S ( ) ( E( ) ) ( ) E E( ) σ σ E ( ) I-5

51 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo coè, per og valore d faccamo la dffereza tra l umero d volte cu l valore è effettvamete uscto el ostro espermeto e l valore atteso d tale umero, E ( ) ; Formamo ora la seguete quattà, che provvsoramete chameremo perché d quadrat) S ( ) ( E( ) ) ( ) E E( ) σ σ E ( ) S (S per somma, coè, per og valore d faccamo la dffereza tra l umero d volte cu l valore è effettvamete uscto el ostro espermeto e l valore atteso d tale umero, E ( ) ; quadramo tale dffereza e dvdamola per l quadrato della devazoe stadard σ, quadrato che come be sappamo cocde (crca) co l valore atteso trattados (crca) d ua possoaa. Ache S è ua v.a., quato combazoe d v.a., qud a questo puto vee da domadars come è dstrbuta: bee, è dstrbuta come ua varable ch quadro a grad d lbertà: [l] χ co l. erché perché e o, vsto che abbamo valor possbl per, ed fatt faccamo ua sommatora su term? Faccamo ua cosderazoe: se cooscamo l valore d dal fatto che per valor d, l udcesmo è determato N, el ostro caso 8. Gl valor o soo dpedet: è u po come quado u sstema le equazo o soo learmete dpedet besì ua può essere rcavata come combazoe leare delle altre. Qud l umero d grad d lbertà è par al umero d dat dpedet, se dcamo M l umero de dat (el caso appea vsto ), J l umero d equazo che legao dat (el ostro caso ) e l l umero d grad d lbertà avremo l equazoe: Questa quattà l M J S c dà la dstaza complessva, per così dre, del rsultato trovato da quello deale ( valor attes). Cosa c dovremmo aspettare? I u espermeto reale be dffclmete dvers cocderao tutt col loro valore atteso, cosa che darebbe S : dcamo che tpcamete potremo aspettarc che dsto crca u d.s., qud che l rapporto che adamo a quadrare sa dell orde d, e qud che S M. I-5

52 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Vedamo però cosa succede se dad soo truccat allora le probabltà per dvers rsultat, le ( ) per tederc, o soo pù quelle che credevamo! Qud valor attes cambao. Qud cambao le dstrbuzo de dvers, sempre (crca) possoae ma co u parametro ( E ( ) apputo) dverso. Se qud o calcolo la S facedo rfermeto a valor attes calcolat co le probabltà oeste, quelle coè della tabella, ma co gl geerat da dad truccat per cu quelle probabltà realtà o valgoo pù, verosmlmete troverò per S u valore pù grade, tato pù grade quato pù valor attes ver soo lota da quell oest. Questo suggersce u metodo per testare dad: faccamo N lac (ad esempo 8) coto success per tutt valor d (che può assumere valor da a ), formo la somma esempo pratco, co N 8. S e vado a vedere che umero m vee fuor. Ma faccamo prma u E( ) ( E( ) ) E( ) 3 5,8 3 6,6 4 5,6 5 7, , , ,6 9 3,45 7 5, ,9 8 5,8 TOT 8 8 7, Ora possamo domadarc: d quato s dscosta da quello che c s aspetterebbe? oco, fatt l rsultato è addrttura ferore a M (coè ). Ma vedamolo modo pù tecco : qual è la probabltà che ua v.a. dstrbuta come χ assuma u valore par o superore a quello [ ] trovato? Seza fare u calcolo accurato, adamo ella tabella e vedamo che l ostro valore è compreso tra valor crtc 4,865 e 9,34, che corrspodoo rspettvamete a ua I-5

53 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo probabltà (d vere superat) d,9 e d,5: qud l valore 7, ha ua probabltà scuramete superore a,5 d essere superato. No abbamo motvo d dubtare de ostr dad. Faccamo u altro espermeto co dad dvers: E( ) ( E( ) ) E( ) 3 5,8 3 5, , ,8 6 5, , ,64 9 5,5 9 5, ,6 5 5 TOT 8 8,3667 Se adamo a cotrollare sulla tabella de valor crtc, vedamo che u ch quadro a grad d lberta ha l,5% d probabltà d superare,483 (che è crca l valore che abbamo trovato): questo cosa vuol dre? Vuol dre: se dad che abbamo usato soo oest (coè se la dstrbuzoe d probabltà è propro quella tragolare della tabella) possamo otteere l rsultato vsto, a causa delle fluttuazo statstche, solo co ua probabltà del,5%. Questo logcamete c fa ascere ser dubb sull oestà d quest dad, coè, term matematc, sul fatto che la dstrbuzoe tragolare della tabella sa effettvamete quella seguta da dad esame. Questo argometo aturalmete è d valdtà pù geerale, e può essere applcato a qualuque problema cu ho a che fare co de cotegg. No fatt lo applcheremo al caso delle msure uclear. Qu la dstrbuzoe d o è pù tragolare, besì possoaa, e qud se eseguo N msure e le classfco sulla base del coteggo otteuto avrò, acora ua volta, u certo umero M d grupp, oguo corrspodete ad u valore d, etro cu cadrao msure, colla codzoe solta che N. Avrò qud M- dat dpedet. Se coosco l parametro della possoaa, chamamolo µ come I-53

54 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo al solto, posso mmedatamete scrvere le ( ) e qud valor attes E ( ) dffcoltà calcolare l solto S che sarà dstrbuto come u χ [ M ], e seza. Questo m permette d valutare se dat che ho rcavato soo verosmlmete campoat dalla possoaa co parametro µ, oppure se m sbaglo e sto msurado ua cosa dversa da quella che credevo. Ma faccamo l caso pù usuale: o NON coosco µ, besì facco le msure e po cerco d farm u dea sul suo valore. Tpcamete stmerò µ facedo l valore medo delle me msure e dcedo che µ. Ora che coosco (sa pure approssmatvamete) µ posso calcolare valor attes e E ( ) e qud S. Faccamo due osservazo: ) quello che sto facedo è u fttg: cerco d fttare dat ad ua possoaa d cu cerco d dvduare l parametro µ; ) per fare questo ho dovuto calcolare l parametro a partre da dat: qud, sccome lo userò po per l ch quadrato, è come dre che ho ua secoda relazoe tra dat oltre alla N, vale a dre partcolare µ. Qud grad d lbertà N dmuscoo d u altra utà. Quest ultmo fatto s può ache capre tutvamete dal seguete ragoameto. Il valor medo vee calcolato come quel umero che mmzza gl scart da dat effettvamete raccolt, per defzoe. Se gl scart l facess rspetto al vero µ (che o coosco, ma ragoamo va potetca) sarebbero scuramete maggor, qud avre u ch quadro maggore. Ottego lo stesso rsultato paragoado l umero che ottego al ch quadro co u umero d grad d lbertà ferore. I deftva: calcolo S e lo paragoo al [ M ] χ. Questa regola è pù geerale: se avess fatto u fttg ad ua gaussaa, per cu avre dovuto calcolare da dat parametr (µ e σ) avre dovuto rdurre d l umero d grad d lbertà. Qud la formula geerale è l M G ove G è l umero d tutt parametr che ho dovuto calcolare da dat per poter calcolare po S, e l è dovuto, come al solto, al fatto che N, coè che ot M- valor d l M-esmo è uvocamete determato dal fatto che l tutto deve sommare ad N. Cosderamo ora l seguete esempo d possoaa o ucleare. Ua produzoe d paell d compesato vee osservata per gor lavoratv, e og goro vee I-54

55 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo regstrato l umero d dfett rscotrat ell tera produzoe della gorata. S ottee l seguete rsultato. dfett. gor tot artedo dal presupposto che la geerazoe d dfett è casuale e qud dstrbuta come ua possoaa, occorre valutare l parametro d tale dstrbuzoe. Notamo che le ultme 4 class cotegoo pochssm dfett, qud le accorpamo (l metodo fuzoa bee se tutte le class hao almeo 5 rsultat), oltre calcolamo la meda otteedo µ, 7467, e co questo dato calcolamo valor attes. Trovamo l seguete rsultato: E( ) ( E( ) ) E( ) 95,3, ,, ,54, ,4,467 TOT 3,465 Ora abbamo M 4, abbamo stmato u solo parametro, qud l 4, adamo qud a vedere la dstrbuzoe χ [ ]. Vedamo dalla tabella de valor crtc che alla probabltà.5 corrspode l valore,386, metre alla probabltà, corrspode 4,65: l valore trovato è da qualche parte tra 5% e % d probabltà, qud certo accettable. I partcolare servedos d u calcolatore (se e trovao a osa su teret) trovamo che al I-55

56 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo valore 3,4 corrspode ua probabltà del 8,6% d vere superato elle ormal oscllazo statstche, coè capta quas ua volta su 5. Il ostro fttg è duque promosso. Eserczo: regolare l tempo d coteggo modo tale da otteere toro a -5 colp u perodo. Rpetere l coteggo 5 volte. S sarao determat dvers valor, d cu uo pù pccolo ed uo pù grade d tutt: defre 8 tervall cu categorzzare le msure, qud cotare quate msure cascao og tervallo. Idealmete, essu tervallo dovrà coteere meo d 5, qud evetualmete rdefre gl tervall. Applcare la procedura vsta sopra. A ttolo d eserczo calcolare ache la varaza campoara e verfcare che sa prossma alla meda campoara (cf. cap. II). I-56

57 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo II ARTE: STATISTICA II. Cos è la statstca? La statstca segue, u certo seso, l cammo verso d quato fatto fora: f qu, ota la dstrbuzoe ed parametr che la caratterzzao, abbamo calcolato la probabltà de var est. La statstca cerca d vece d desumere parametr dagl est osservat, avedo postulato la dstrbuzoe. Ad esempo: s sa che u certo processo aleatoro è goverato da ua dstrbuzoe d probabltà d osso, e le msure effettuate hao dato cert rsultat; da quest rsultat cerchamo d dedurre quale deve essere l parametro µ della dstrbuzoe. Od ache: u certo apparato scatola caffè, e l peso che mmette è verosmlmete dstrbuto come ua gaussaa; da u opportua sere d msure sul prodotto, s cerca d stmare parametr della dstrbuzoe, µ e σ. I geerale per stmare u parametro s utlzza ua quattà calcolata a partre da dat spermetal, che vee apputo detta ESTIMATORE. U estmatore deve soddsfare prma d tutto alla codzoe che l suo valore atteso cocda apputo col valore del parametro cercato. er charre cosa s teda co questa affermazoe atcpamo u rsultato che dscuteremo meglo fra poco: se da ua popolazoe estraggo u campoe d tagla (ad esempo, ho msurato l peso d caffè barattol) e facco la meda artmetca degl valor, vedremo che l valore atteso d questa meda è propro l parametro µ della destà d probabltà da cu ho campoato (ell esempo: la meda della gaussaa che descrve l rempmeto de barattol). Esstoo ache procedure statstche che fao cosderazo d altro tpo, e cu o vegoo determat degl estmator d parametr: soo dette statstche o parametrche, ma qu o ce e occuperemo. I quest apput c teresseremo solo della statstca de campo, partcolare volta a stmare parametr ed error. La prma cosa che voglamo dscutere soo le mede e le varaze campoare, coè de campo, argometo del prossmo paragrafo. II. La meda campoara U campoe è u certo umero, dcamo, d esemplar tratt da ua popolazoe che può essere fta o fta. Questo vee detto CAMIONE DI TAGLIA N. I-57

58 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo I-58 Se da u popolazoe s estrae u campoe d tagla, s può calcolare la meda artmetca d tale campoe: tale quattà è detta MEDIA CAMIONARIA ed è u buo estmatore della meda µ della dstrbuzoe da cu s è campoato, fatt calcolamoe l valore atteso: ( ) ( ) µ µ E E E Esso è propro uguale alla meda µ. II.3 La varaza campoara S cosder uovamete u campoe d tagla, e s esamo due cas possbl: ) s coosce la meda µ della dstrbuzoe da cu abbamo campoato. S calcol la somma degl scart quadratc da tale meda: ( ) µ µ S Domadamoc qual è l valore atteso d tale quattà. Svolgamo l quadrato ed applchamo le regole che cooscamo per l valore atteso della somma ( ) [ ] µ + µ + µ µ µ E E E E E S ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E E E E E E µ µ + µ µ + µ dal che s trova mmedatamete l rsultato [ ] ( ) ( ) V E E S E µ µ + µ µ e pertato µ S è adatto come estmatore della varaza. ) o s coosce la meda µ della dstrbuzoe da cu abbamo campoato. Dobbamo qud calcolare prmo luogo la meda campoara, che è u estmatore della meda µ

59 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo suddetta, chamamo tale quattà. o calcolamo la somma degl scart quadratc da tale meda campoara: S ( ) Ache qu svluppamo u po l quadrato, aggugedo e sottraedo la quattà (gota) µ e calcolamo l valore atteso: ( ) [( ) ( )] µ µ ( µ ) ( µ )( µ ) + E E ( µ ) E S E ( ) ( ) µ µ µ + ( µ ) E ( ) ( ) µ µ µ + ( µ ) E ( µ ) ( µ ) + ( µ ) E ( µ ) ( µ ) [ ] E µ ( µ ) E ( ) Il prmo terme lo cooscamo gà, è l medesmo calcolato poc az. Il secodo terme è l prodotto d per la varaza d, e quest ultma è legata alla varaza d (teamo presete che è la meda d u campoe d tagla, e s rcord la dscussoe fatta proposto el paragrafo sul teorema del lmte cetrale) E [( µ ) ] { V( ) } Mettedo tutto seme trovamo qud: ( S ) V( ) V( ) ( ) V( ) E ( ) V V( ) E S V( ) Vedamo che l fatto d utlzzare vece del valore vero µ della meda troduce [ ] u ulterore certezza (l terme E ( µ ), apputo), e qud la varaza campoara è u po pù grade, e la s ottee dvdedo la somma degl scart quadratc per azché per, qud: s ( ) I-59