CORSO STATISTICA MATEMATICA LUCIO BERTOLI BARSOTTI

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2 CORSO DI STATISTICA MATEMATICA LUCIO BERTOLI BARSOTTI

3 Idce I PARTE Sezoe I... Probabltà classca. Il problema d Galleo della somma del puteggo d tre dad Aagramm d parole co lettere rpetute o meo. Sezoe I... Problem d coteggo dovut all terpretazoe della vera molteplctà de cas osservabl 3. Evet ua formalzzazoe astratta Eveto verfcato. Eveto certo. Eveto mpossble Iterpretazoe logca degl operator semstca 5 5. Evet compatbl 5 6. Cocezo probablstche.5 Sezoe I.3.. Gl assom del Calcolo...6. Prm teorem...7 Sezoe I.4.. Ua ota sulla formulazoe degl assom.7. Evet stocastcamete dpedet 8 3. Probabltà codzoata ad u eveto 8 4. Teorema delle probabltà total e formula d Bayes.8 Sezoe I.5.. Formula della probabltà codzoata per successo d evet 0. Nota su dpedeza e compatbltà

4 3. Varabl casual. 4. Dstrbuzo.. 5. Put d salto d ua f.d.r... Sezoe I.6.. Corrspodeza fra v.c. e f.d.r V.c. dscrete V.c. cotue Altre vv.cc....4 Sezoe I.7..Valore atteso d ua varable casuale 5. Goch equ 5 3. Il paradgma della scommessa e la costruzoe della Probabltà soggettva Il problema della coereza ell assegazoe della Probabltà soggettva.6 Sezoe I.8.. Assegazoe della Probabltà soggettva e paradosso d S.Petroburgo 7. Leartà dell operatore valore atteso 7 3. La varaza d ua varable casuale Alcue propretà della varaza 8 5. Momet o cetral d ua v.c...8 Sezoe I.9.. Momet cetral d ua v.c Momet cetral fuzoe de momet o cetral 9 3. Idc d forma della dstrbuzoe 9 4. Momet fattoral d ua v.c V.c. dscrete d partcolare teresse applcatvo schema dell ura 0 6. V.c. beroullaa 0 7. V.c. bomale 0 Sezoe I.0.. V.c. pergeometrca.... V.c. d Posso 3. V.c. geometrca.. 3

5 Sezoe I... U tegrale otevole dell Aals e alcue formule da esso coseguet...3. V.c. ormale stadard V.c. ormale...5 Sezoe I... La fuzoe specale Gamma d Eulero.5. Ua applcazoe d calcolo co la Gamma d Eulero: momet d orde par della ormale.6 3. V.c. gamma 6 Sezoe I.3.. Vv.cc. collegate alla v.c. gamma: v.c. espoezale e v.c. ch quadrato 7. V.c. d Cauchy 9 3. V.c. d Laplace (espoezale doppa 9 4. V.c. logstca V.c. beta V.c. Webull V.c. t d Studet 3 8. V.c. beta bomale Dsuguaglaza d Chebyshev 34 Sezoe I.4.. Vv.cc. dpedet Vv.cc. somglat Meda e varaza d ua somma e d ua meda d vv.cc. dpedet e somglat...36 Sezoe I.5.. Covergeze stocastche..36. Legge de grad umer Teorema del Lmte Cetrale...37 v

6 II PARTE Sezoe II... Fuzo d rpartzoe multvarate.39. U cotroesempo Compoet margal d ua v.c. multpla (a compoet dpedet Esempo: v.c. multomale.4 Sezoe II... Valore atteso d ua fuzoe d ua v.c. multpla Momet d ua v.c. multpla...4. Matrce d covaraza e matrce d correlazoe Esempo Dstrbuzo codzoate: destà Dstrbuzo codzoate: valor attes Esempo..46 Sezoe II.3.. Dstrbuzoe ormale bvarata stadard Esempo Dstrbuzoe ormale bvarata: destà Dstrbuzoe ormale bvarata: dstrbuzo codzoate.5 5. Dstrbuzoe ormale multvarata* 5 6. Dstrbuzoe ormale multvarata: dstrbuzo codzoate* 5 Sezoe II.4.. Fuzoe caratterstca..53. V.c. specal fuzo caratterstche Teorema del lmte cetrale (TLC: dmostrazoe...59 Sezoe II.5..Trasformazo d vv.cc.60. Esemp d trasformazo: la trasformazoe leare famgla locazoe e scala Esemp d trasformazo: ua trasformazoe mootoa a tratt Esemp d trasformazo: trasformazo regolar somma d vv.cc Esemp d trasformazo: ua partcolare trasformazoe regolare.65 v

7 Sezoe II.6.. Varable d campoameto Alcue mportat trasformazo otteute a partre da c.c.s. da ormale Somma campoara e meda campoara (varaza ota Dstrbuzo collegate alla varaza campoara Meda campoara (varaza gota 68 Sezoe II.7.. Ifereza statstca parametrca..69. Stmatore Errore quadratco medo Effceza 70 Sezoe II.8.. Metodo de momet 70. Massma verosmglaza: cocetto base Fuzoe d verosmglaza Aspett computazoal approssmazo umerche per l calcolo della stma d ML Ivaraza della stma d massma verosmglaza 77 Sezoe II.9.. Suffceza..78. Crter per la verfca della suffceza Completezza Famgla espoezale Effceza secodo Rao Blackwell / Lehma Scheffé 8 6. Effceza secodo Rao Cramér.8 Sezoe II.0.. Itervall d cofdeza 83. Itervallo d cofdeza per la meda d ua ormale varaza ota Itervallo d cofdeza per la meda d ua ormale varaza gota Itervallo d cofdeza per la varaza d ua ormale Itervall d cofdeza astotc per la meda Itervall d cofdeza astotc per la varaza 86 v

8 Premessa Questa breve moografa è stata pesata come testo a supporto d u corso d Statstca Matematca d 60 ore. La Statstca Matematca è basata sulla Teora della Probabltà; buoa parte d questo lavoro (quato meo tutta la I Parte tratta tem che s quadrao tpcamete quest ultma. L obettvo fale del corso è quello d arrvare a trodurre lo studete alle classche tecche dell Ifereza Statstca, partcolare la Stma, putuale e tervallare. Il testo è suddvso sezo, co efas alla rpartzoe temporale (puttosto che tematca dell esposzoe del docete: le 5 sezo della prma parte corrspodoo fatt a 5 lezo, cascua composta da ore accademche, elle qual può essere artcolato u modulo da 30 ore. Nella II Parte le sezo soo pù rcche d coteut, pertato alcue d esse soo pesate per essere dlute ell arco d lezo. L esposzoe è relatvamete scara, essedo teso, partcolare, che l lettore è rmadato: a per gl esercz, all apposto rfermeto Bertol-Barsott (996; b per le tavole statstche al programma PQRS scarcable gratutamete all drzzo teret: Luco Bertol Barsott v

9 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA I PARTE SEZIONE I... Probabltà classca S dà per ota la ozoe tutva d probabltà come grado d certezza rguardo al verfcars d u accadmeto aleatoro. Il modello d rfermeto geuo cosddetto della probabltà classca, terpreta la probabltà come l rapporto fra l umero d cas favorevol e l umero d cas possbl elle stuazo d smmetra che cosetao d rteere cas oggetto come equprobabl. Pur essedo evdete l cossteza, da u puto d vsta epstemologco -a rgore-, d tale terpretazoe della probabltà (propro perché questa è defta appoggados a ua o-defta ozoe d equprobabltà, se e rcoosce la rlevaza: a per elaborazo d calcolo rferbl a cotest partcolarmete semplc qual quell tpc de goch d sorte utl a f ddattco-esemplfcatv; b per la costruzoe e l terpretazoe d modell probablstc compless.. Il problema d Galleo della somma del puteggo d tre dad S cosdera u problema descrtto da Galleo Galle ( el suo lavoro Sopra le scoperte de dad (per ua breve troduzoe ad alcu de problem probablstc classc s veda Bertol-Barsott, 995; u rfermeto per u quadro storco completo sulle org è Hald, 990; per ua aals del cocetto da u puto d vsta storco-epstemologco s veda Hackg, 987, ossa l calcolo della probabltà d otteere l rsultato 9 e quella d otteere 0, come somma de putegg prodott el laco d tre dad equ. S eumerao, ordatamete, le 6 possbl combazo d facce che dao luogo al rsultato 9, e le 6 possbl combazo d facce che dao luogo al rsultato 0 (tutte le possbl combazo d facce soo 56, a meo d permutazo:

10 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA somma 9 somma 0 6,, 6,3, 5,3, 6,, 5,, 5,4, 4,4, 5,3, 4,3, 4,4, 3,3,3 4,3,3 A questo puto c s può chedere: due rsultat hao la medesma probabltà d uscta? come eumerare rsultat possbl? a meo d permutazo? Poché l dstgubltà de dad è u effetto apparete, ma o sostazale (è possble ad es. cotrassegare dad per dversfcarl, essedo dad oggett macroscopc dfferet (s veda però I.., per u caso pù geerale, s coclude che vao cotate tutte le dverse permutazo delle tere dvduate. 3. Aagramm d parole co lettere rpetute o meo Il calcolo della probabltà classca porta spesso, duque, a rsolvere problem d calcolo combatoro. S studa qud l problema dell eumerazoe d strghe d smbol che possoo o meo rpeters (ovvero aagramm d parole co lettere rpetute e o. Ua parola d lettere dverse ha! aagramm (permutazo. Ua parola d lettere d r ( r tp dvers ha! s! s!... s r aagramm, dove s è l umero d lettere d tpo, =,,..., r. S dmostra che s cotao, partcolare, le combazo se e solo se s cotao gl aagramm d parole co due sol tp d lettere. Le combazo, o coeffcet bomal, compaoo el tragolo d k Pascal, calcolate teratvamete rga per rga; s osserv che la somma d tutte le combazo rfermeto ad u prefssato umero d oggett (totale d rga!

11 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA -ma del tragolo dà la cardaltà dell seme delle part d u seme d cardaltà, coè. Esempo - soluzoe del problema d Galleo. Per l rsultato 9 s trova: tera aagramm 6,, 3! 5,3, 3! 5,, 3!/! 4,4, 3!/! 4,3, 3! 3,3,3 TOTALE 5 Per l rsultato 0 s trova: tera aagramm 6,3, 3! 6,, 3!/! 5,4, 3! 5,3, 3! 4,4, 3!/! 4,3,3 3!/! TOTALE 7 SEZIONE I... Problem d coteggo dovut all terpretazoe della vera molteplctà de cas osservabl Il problema d Galleo propoe l eumerazoe delle cofgurazo dverse ottebl co r oggett (dad che possoo assumere (aleatoramete e co ugual probabltà dvers stat (le dverse facce umerate: altr term s tratta d cotare le possbl cofgurazo ottebl dspoedo celle dverse r oggett (che possamo pure supporre spermetalmete dstgubl all occho 3

12 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA dello spermetatore. S può aalzzare l problema tre dverse potes così formulate (cfr. Gedeko, 99, p. 3-34: a gl oggett soo dvers (qud, ad es., AAB è dverso da ABA; cdd. statstca d Maxwell-Boltzma; b soo possbl ed equprobabl le cofgurazo dverse, a meo dell orde (qud, ad es., AAB è dstguble da ABA; cdd. statstca d Bose-Este; c soo possbl ed equprobabl le cofgurazo dverse, a meo dell orde, co al pù u oggetto per cella (qud, ad es., AAB è mpossble, metre ABC è dstguble da CAB, cdd. statstca d Ferm- Drac. Rspettvamete s trova: a Oguo degl stat può essere assuto da cascuo degl r oggett, qud s r hao cofgurazo. b I dvers stat soo ordatamete elecat co seg d separazoe del tpo, metre gl r oggett -dstgubl- da seg del tpo *. S cotao + r qud cofgurazo. r c I dvers stat soo ordatamete elecat co seg e 0, rspettvamete per dcare se lo stato è occupato o meo da qualche oggetto. Poché c soo r seg, s cotao cofgurazo. r Tutt quest cotest soo fscamete rlevat e vald. L esempo mostra che c è ua fodametale e eludble rlevaza dell effettvo cotesto spermetale d rfermeto, ella determazoe della probabltà del verfcars d u eveto aleatoro.. Evet ua formalzzazoe astratta S troduce la ozoe astratta d espermeto aleatoro E. Og rsultato d E è detto eveto elemetare. L seme Ω degl evet elemetar è detto d spazo fodametale. I seso lato, u eveto è ua collezoe (evetualmete vuota d evet elemetar. Qud, partcolare, u eveto elemetare è u eveto. La defzoe va però meglo precsata term pù rgoros. S cosdera, az tutto, l paradgma d rfermeto pù elemetare, costtuto dal famlare caso cu Ω ha cardaltà fta. S può allora defre eveto 4

13 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA u qualsas elemeto dell seme delle part d Ω, P (Ω. S ot che, rfermeto ad uo spazo Ω co cardaltà s hao, corrspodeza, evet. Pù geerale, se Ω è umerable, allora og suo sottoseme può cosderars u eveto. Vceversa, se Ω o è umerable, o tutt suo sottosem possoo essere cosderat evet (vd. sezoe I Eveto verfcato. Eveto certo. Eveto mpossble U eveto E s dce verfcato se l rsultato dell espermeto attua (.e. soddsfa, rede vero E el seso che appartee semstcamete ad E. I tal seso Ω è u eveto che è sempre verfcato dall espermeto E; percò s dce ache eveto certo. Al cotraro, l seme vuoto o è ma verfcato; percò s dce ache eveto mpossble. 4. Iterpretazoe logca degl operator semstc S rcordao sgfcat logc degl operator semstc: uoe= oppure, tersezoe= e, complemeto (rspetto a Ω = o, dffereza= ma o. 5. Evet compatbl Due evet s dcoo compatbl se la loro tersezoe è l seme vuoto. I altr term, due evet soo compatbl se o c è essu rsultato d che possa verfcarl cogutamete. 6. Cocezo probablstche Il problema della determazoe della specfca probabltà d u eveto verrà toccato per cert vers solo drettamete questo Corso. Quado sarà esplctamete posto (p.es. sede d eserczo, d esempo o d problema questo problema verrà rsolto, questa sede, facedo essezalmete rfermeto a cotest deal (ad es. quell tpc de goch d sorte -peraltro co utlzzo dad, mazz d carte, moete, ecc. perfett - o smlar ragoevolmete passbl d essere affrotat co l solo rcorso alla ozoe d probabltà classca. Tuttava è l caso d rmarcare che, el caso geerale, tale mpostazoe, come acceato (cfr. I.., è del tutto suffcete. 5

14 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA La determazoe della probabltà d u eveto, geerale, è operata ogg secodo uo de due seguet paradgm (per approfodmet s veda Hackg, 987: l mpostrazoe frequetsta; l mpostrazoe soggettvsta. La prma -detta ache oggettvsta o statstca- assega la probabltà solo a ua rstretta classe d espermet aleator: quell che possoo rteers (ache solo potezalmete operatvamete rpetbl elle stesse, ovvero smlar, codzo spermetal. Il laco d ua moeta, ad es., è comuemete rteuto u espermeto rpetble elle stesse codzo (percò lo s accetta comuemete come crtero sul quale basare l operazoe d scelta del campo prma d ua partta d calco. La rpetzoe, d u espermeto rpetble, u grade umero N d volte coduce a frequeze relatve tedoo a stablzzars. S tratta d ua evdeza emprca. L dea è che propro questo valore lmte della frequeza relatva, dcamo ( E / N, del verfcars d u eveto aleatoro E possa essere terpretato come la probabltà d E. U umero dealmete determable co qualsas grado d approssmazoe, spermetalmete oggettvo. La secoda mpostazoe -detta ache epstemca- cosete d assegare la probabltà a ua classe be pù ampa d espermet aleator (o ecessaramete rpetbl, ma perde, geerale, og speraza d essere determata uvocamete. Secodo l mpostazoe soggettvsta l valore della probabltà d u eveto E dpede fatt dall osservatore. Poché la ozoe ecessta, per essere meglo llustrata, d quella d valore atteso, s rmada per ulteror partcolar al captolo I.7. SEZIONE I.3.. Gl assom del Calcolo Abbamo ora tutt gl elemet ozostc che c servoo per trodurre la assomatzzazoe d Kolmogorov. L assomatzzazoe d Kolmogorov (933 cosete d defre la probabltà quato oggetto matematco dotato d alcue ragoevol (coeret, partcolare co l sgfcato tutvo d tale ozoe propretà, mettedo fra paretes l problema della sua determazoe pratca. L dea è qud quella d stablre u certo umero d propretà matematche che possao essere (pù o meo peamete accettate a prescdere dalla specfca cocezoe probablstca (cfr. I..6. 6

15 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA S troduce qud la ozoe d probabltà come fuzoe reale P co domo su u assegato spazo probablzzable, ovvero su ua assegata collezoe d sottosem d Ω. Facedo prma battuta rfermeto al caso d Ω fto (o al pù umerable, s cosdera domo della fuzoe P l seme delle part d Ω, P ( Ω. S rchede ua volta per tutte, covezoalmete, che tale fuzoe soddsf tre propretà (assomatzzazoe d Kolmogorov: I (o-egatvtà e lmtatezza P(A [0,], A P ( Ω ; II (ormalzzazoe P(Ω =; III (addtvtà fta la probabltà dell uoe d u umero fto d evet compatbl è la somma delle probabltà d quegl evet. Questo terzo assoma può pors forma pù forte cosetedo l operazoe d uoe su ua ftà umerable d evet. III* (addtvtà umerable la probabltà dell uoe d ua ftà umerable d evet compatbl è la somma delle probabltà d quegl evet.. Prm teorem Alcu semplc rsultat s deducoo mmedatamete dagl assom, come teorem. I partcolare: (probabltà del complemeto Se A P ( Ω, allora P( A = P( A ; (probabltà dell seme vuoto P ( = 0 ; 3 (probabltà dell uoe Se A, B P ( Ω, allora P( A B = P( A + P( B P( A B ; 4 (mootoctà della probabltà Se A, B P ( Ω, allora A B mplca P( A P( B ; 5 (cotutà Se A,... P ( Ω, allora A A A... mplca, A 3 7

16 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA P A = lmp( A. ( SEZIONE I.4.. Ua ota sulla formulazoe degl assom. Possamo chederc se esstoo class pù semplc dell seme delle part d Ω, P ( Ω, che possao costture u approprato domo per la fuzoe probabltà P. La domada è gustfcata per l fatto che, quado Ω è partcolarmete complesso (p.es. quado Ω cocde co u sottoseme d R, l seme P ( Ω rsulta essere troppo esteso per poter costture, coeretemete, u domo per P. La rsposta alla domada è sì: esstoo class pù semplc d P ( Ω. Occorre comuque chedere che tal class soddsfo cert requst. Per esempo debboo rsultare chuse rspetto ad operazo semstche su suo elemet - vrtù del sgfcato logco d queste operazo (cfr. I..4. Precsamete, l ambete deale è la struttura d σ algebra. Ua collezoe B d sottosem d Ω ha la struttura d σ algebra quado: - cotee l seme vuoto ; - cotee Ω ; - è chusa rspetto all operazoe d complemeto (.e. se A B allora A B ; - è chusa rspetto alle operazo semstche d uoe, tersezoe e dffereza, ache terate fte volte (.e. se A,A,... B allora A B. = Soo esemp d σ algebra: a l seme delle part P (Ω ; b l seme {,Ω }; c l seme {, A, A,Ω }. Gl assom del calcolo possoo duque essere r-formulat el caso pù geerale ( cu Ω può ache avere la cardaltà del cotuo cosderado evet (ossa sottosem d Ω su qual è defble la probabltà solamete tutt e sol gl elemet d ua opportua σ algebra B. 8

17 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA. Evet stocastcamete dpedet S troduce la ozoe d dpedeza stocastca (detta ache dpedeza o dpedeza statstca : A, B B soo stocastcamete dpedet se e solo se P ( A B = P( A P( B. Gl evet A, A,..., A soo dpedet se, per og k-pla, k =,...,, d evet dstt scelt fra A, A,..., A, vale la codzoe d fattorzzazoe della probabltà (la probabltà dell tersezoe è l prodotto delle probabltà. 3. Probabltà codzoata ad u eveto Sao A, B B. S defsce probabltà codzoata d A dato (o codzoato B, e s scrve P ( A B, l rapporto P( A B / P( B. Nel caso cu P ( B = 0 la probabltà codzoata P ( A B o è defta. I partcolare s trova P (A = P( A Ω. Qud la cosueta otazoe P ( può rteers la forma semplfcata della pù esplcta otazoe P( Ω. Ioltre, vsto l puto precedete, se P ( B 0, allora P ( A B = P( A se e solo se A e B soo dpedet. 4. Teorema delle probabltà total e formula d Bayes Sao B,B,... B, co B B =, per og j, e P ( 0. Allora j P( A = P{ ( A B } = P ( A B = P( A B P( B. Ioltre, poché P( A B P( B = P( B A P( A, s ottee P ( B A = P( A B P( B / P ( A B P( B (formula d Bayes. B Esempo. S suppoga che ua aals d laboratoro per verfcare la preseza d ecefalopata spogforme bova ( morbo della mucca pazza u capo d bestame abba le seguet caratterstche: a l test rsulta postvo co probabltà 0.99 se la mucca è effettvamete malata; b l test rsulta postvo co probabltà se la mucca è saa (falso postvo. S suppoga oltre che 9

18 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA la mucca sa presa a caso u allevameto collocato ua regoe dove l cdeza della malatta è stata stmata caso su Quale è la probabltà che la mucca sa ammalata se l test è rsultato postvo? Posto B = mucca malata, B = mucca saa, T = l test è postvo, s ha per potes: P( B = ; P( B = ; P(T B = 099. ; P(T B = Allora s trova P(T = P(T BP(B+ P(T B P( B = , e qud la probabltà rchesta P( B T = P(T B P( B / P(T = Questa probabltà può sembrare sorpredetemete bassa (s tratta comuque d ua probabltà della quale è tpcamete dffcle forre ua corretta valutazoe tutva, vsto che l test è scuro quas al 00%. Bsoga tuttava cosderare che, alla luce del rsultato del test, la probabltà d malatta è crescuta dal valore codzoato d 0.000, al valore 0.03, be pù alto del prmo. Possamo qud cocludere che l peso dell evdeza emprca -pur o portado alle cosegueze certe che avremmo dealmete auspcato- ha gocato maera, tutto sommato, relatvamete forte ell aggorare l valore della probabltà studo, facedolo crescere d 30 volte. SEZIONE I.5.. Formula della probabltà codzoata per successo d evet Nello schema degl espermet co prove rpetute (s possoo ctare, come esemp, l problema della dvsoe della posta d Luca Pacol ( : A e B gocao u certo umero d partte, co ugual probabltà d vcere cascua partta; s aggudca l tera posta palo ch ragguge per prmo N vttore. Se allorquado A ha gà vto a<n partte e B ha gà vto b<n partte l goco vee terrotto, quale è l modo equo d dvdere la posta. [R., per N=6, a=5, b=3, s trova 7:] e u problema d Huyghes (69-695: A e B lacao a turo dad; A deve otteere 6 e B deve otteere 7. Vce ch per prmo ragguge l suo obettvo. Se comca a lacare A, ch de due ha maggor probabltà d vcere? [R. P ( A = 30 6], soo utl le formule che geeralzzao al caso d (> evet (successo d evet la probabltà dell tersezoe 0

19 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA P( A A... A = P( A A... A... P( A3 A A P( A A P( A I partcolare se gl evet soo dpedet allora: A... A = P( A = P( A.. Nota su dpedeza e compatbltà Attezoe a o cofodere dpedeza e compatbltà. Se due evet -co probabltà postva- soo dpedet, allora o soo compatbl; se soo compatbl, allora o soo dpedet. (Naturalmete due evet possoo ache o esser é dpedet é compatbl. 3. Varabl casual U espermeto aleatoro che produce rsultat umerc defsce ua varable casuale (v.c.; co u terme pù tpco lgua fracese s potrebbe parlare d umero aleatoro. I altr term lo spazo Ω deve essere u sottoseme d k R (quado k= la v.c. s dce udmesoale, altrmet essa è multdmesoale. Ua v.c. è be defta quado la probabltà è assegata ad ua opportua classe d sottosem d Ω R k co la struttura d σ algebra (cfr. I.4.. Tuttava, s può dmostrare che per defre uvocamete ua v.c. è suffcete assegare la k probabltà ad ua classe d sottosem semplc d R (cfr. I.6. e II..: gl tervall. Cò gustfca la rlevaza d u partcolare tpo d fuzoe che determa la probabltà degl tervall, e pertato rappreseta tutta la v.c.: la fuzoe d rpartzoe. 4. Dstrbuzo Co rfermeto al caso uvarato, s dce dstrbuzoe, o fuzoe d rpartzoe (f.d.r., ua fuzoe F reale d varable reale, F : R [0,], co le seguet propretà: F ( x per x ; F ( x 0 per x ;

20 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA 3 F è mootoa o decrescete; 4 F è cotua da destra og puto, ossa: lm F ( x + ε = F( x, ε > 0, x R. ε 0 5. Put d salto d ua f.d.r. L seme de put d salto d ua f.d.r. F ha cardaltà al pù umerable. Ifatt, poché F è lmtata, essa o può avere pù d - salto d ampezza compresa (,] ; - salt d ampezza compresa (, ] ; salt d ampezza compresa (, ] ; + - Ora, l seme d tutt quest potezal put d salto è charamete umerable. Qud l seme de put d salto d F -che esso è coteuto- lo è a fortor. SEZIONE I.6.. Corrspodeza fra v.c. e f.d.r. E be defta la corrspodeza fra ua v.c., dcamo, e ua f.d.r. F. Precsamete, essa è data dalla uguaglaza seguete: P ( x = F( x. (* E mportate otare che: a data ua v.c., la fuzoe P( x, defta tramte l uguaglaza (*, è ua f.d.r.. Vceversa, b data ua f.d.r. F, l uguaglaza (* defsce ua v.c.. a Ifatt, per le ote propretà della probabltà, s vede che: P ( x P( R = per x ;

21 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA P ( x P( = 0 per x ; 3 P ( x P( x per og x < x (poché (,x ] (,x ] e P è mootoa 4 lm P( x + ε = lm { P( > x + ε } = P ( > x = P( x, ε 0 ε 0 dove ε > 0, e dove per la prma e la terza uguaglaza s applca la propretà della probabltà del complemeto (vd. I.3..(, metre per la secoda s applca la propretà d cotutà (vd. I.3..(5. b Ua gustfcazoe eurstca d quest mplcazoe versa (ua dmostrazoe rgorosa va oltre gl obettv d questo corso sta el fatto che la (* è suffcete ad esempo per assegare la probabltà ad og tervallo ( a,b], quato P{ ma ache ad og puto x, essedo ( a,b]} = F( b F( a, P( = x = P( x P( x < = F( x lm F( x ε ε 0 ( ε > 0. A questo puto le propretà della probabltà cosetoo d estedere uvocamete la assegazoe ad u grade umero d altr evet va va pù compless, otteut terado opportuamete operazo semstche sugl sem d parteza (vd. ad es. Zaella, 980, per ua trattazoe sstematca.. V.c. dscrete Se F è a grad, ossa ha u umero fto o ua ftà umerable d put d salto, al d fuor de qual F è costate, allora s dce che la v.c. defta tramte l uguaglaza (* è dscreta. I questo caso se x è u puto d salto per F, allora F( x lm F( x ε > 0 ε 0 ( ε > 0. Detto S l seme de put d salto d F la fuzoe de salt p: p ( x = F( x lm F( x ε ε 0, x S p( x = 0, x S 3

22 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA è detta fuzoe d probabltà (f.p.. Pertato: x S p( x = e F ( x = p( y. y x 3. V.c. cotue Al cotraro, se F è cotua allora s ha P( = x = F( x lm F( x ε = 0 ε 0 ( ε > 0 per og x R. Se, partcolare, F è dervable per og x R, allora è dspoble ua utle rappresetazoe d F, F ( x = x f ( y dy, tramte ua fuzoe, f, che dremo fuzoe d destà d probabltà (f.d.p.. La f.d.p. f è ua fuzoe o- egatva e tale che f ( y dy =. I questo caso la v.c. s drà assolutamete cotua o, co abuso d lguaggo, pù brevemete, cotua. I questo caso è possble calcolare la probabltà degl tervall tramte la formula: P { ( a,b ]} = f ( y dy. Ad esempo, la v.c. co f.d.p. f ( x = π ( + x (cdd. v.c. d Cauchy ha f.d.r. F( x = + π arctgx. Per essa s trova, ad es., + P{ (, + } = f ( y dy = b a 4. Altre vv.cc. Oltre alle due ctate, esstoo altre tpologe d f.d.r. (e qud d varabl casual. I partcolare F potrebbe avere de put d salto, o essedo però 4

23 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA costate al d fuor d ess. I questo caso F defrebbe ua v.c. d tpo msto (per esemp vd. ad es. Bertol-Barsott, 996, p.5 e p.6. Ife, s dao cas d f.d.r. cotue che però o ammettoo l essteza d ua fuzoe d destà (co quella rappresetazoe tegrale. Tuttava el seguto l ostro teresse sarà crcoscrtto esclusvamete alle sole vv.cc. da aoverare ucamete e cas descrtt a precedet put e 3, co le deomazo trodotte, rspettvamete, d vv.cc. dscrete e vv.cc. cotue. SEZIONE I.7.. Valore atteso d ua varable casuale S defsce supporto d ua v.c. l sottoseme S d R su cu la f.d.p., o la f.p. è dversa da 0. Nel caso cotuo S è, geere, u tervallo aperto (ache llmtato d R. Nel caso dscreto, S è u sottoseme fto, o al pù ftoumerable, d R. S defsce valore atteso (expectato, o meda, della v.c. l umero, se esste, + E ( = x f ( x dx = x S f ( x dx el caso cotuo e E( = x S x p( x el caso dscreto. No sempre la meda E ( esste (u cotroesempo è dato dalla v.c. d Cauchy. I geerale E ( è dversa dalla moda (.e. l puto d massmo per la f.d.p., o f.p. e dalla medaa (.e. l puto x 0 tale che -ella otazoe del cotuo- P ( x = Goch equ U goco equo (far game è u goco, l cu esto aleatoro è u dare/avere ecoomco, cu guadag attes cotroblacao le perdte attese, ovvero 5

24 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA cu la meda della varable casuale blaco ecoomco totale esste ed è par a Il paradgma della scommessa e la costruzoe della Probabltà soggettva Se G e T soo, rspettvamete, l guadago ecoomco etto el caso d vcta, e la perdta ecoomca etta ( valore assoluto el caso d ovcta, u goco equo, allora posta P( vcta =p, s trova che, per defzoe, vale l uguaglaza Gp + ( T ( p = 0. Da essa s trae G / T = ( p / p, ossa p = /(Q +, dove Q = G / T è detta quota (odds. S può duque trodurre la defzoe soggettvsta della Probabltà. Secodo l mpostazoe soggettvsta, u eveto aleatoro E ha ua certa probabltà d accadere solo ella msura cu u soggetto osservatore è ua codzoe d o-suffcete coosceza per esprmers e pù precs term d certezza assoluta. La probabltà è duque ecessaramete ua sorta d opoe soggettva che può essere esplctata utlzzado l paradgma della scommessa el modo seguete. Ipotzzado che s possa cotrattare sulla quota Q, cocerete ua scommessa sul verfcars d E, fo a gugere alla quota mma Q 0 che l soggetto accetterebbe per etrare acora el goco (è teso che l soggetto o accetterebbe quote feror a Q 0, metre accetterebbe, a fortor, quote superor a Q 0, la probabltà (soggettva cercata è p =. Q0 + Naturalmete tale valore dpede, per costruzoe, dalle aspettatve e dalle coosceze che l soggetto cosderato rpoe el verfcars d E. Og altro soggetto produrrebbe, geerale, u valore d p dverso. 4. Il problema della coereza ell assegazoe della Probabltà soggettva Nell assegazoe della probabltà a dvers evet (assegazo multple d uo spazo fodametale Ω co l paradgma soggettvsta, sorge l problema del soddsfacmeto delle legg della probabltà. Ache se la codzoe d o egatvtà è soddsfatta (essedo Q ( 0, +, è tuttava possble, ella pratca, che le assegazo multple rvelo coereza (p.es. può verfcars P ( A > P( B metre A B. I ultma aals l problema della coereza è rsolto se: a s cosderao solo espermet co u umero fto d evet 6

25 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA elemetar E,E,...,Ek ; b s attrbusce la probabltà a tutt e sol tal evet elemetar procededo per cascuo d ess alla determazoe secodo lo schema descrtto al puto 3, sotto l ulterore codzoe P( E =. A questo puto la probabltà d og eveto potrà essere uvocamete determata base al terzo assoma (addtvtà fta e l prcpo d coereza sarà sez altro soddsfatto. k = SEZIONE I.8.. Assegazoe della Probabltà soggettva e paradosso d S.Petroburgo Il seguete paradosso mostra come l tuzoe (soprattutto d frote a espermet co ft rsultat possbl possa dar luogo a cotrast problematc co cò che può suggerre l calcolo. S cosder u goco che, corrspodeza all espermeto che cosste el laco d ua moeta equa, asseg u premo d euro se l sego testa compare per la prma volta all - esmo laco, =,,. La domada è: quale è la tassa che s rtee equo pagare (ossa l mporto massmo che s è dspost a pagare, oltre l quale c è la percezoe d adare perdta gocado per etrare questo goco? Per rspodere alla domada occorre calcolare l guadago etto atteso. L ammotare cercato della tassa dovrebbe essere ( valore assoluto esattamete par a tale guadago (cfr. la ozoe d goco equo. I questo espermeto gl evet elemetar soo le successo {T}, {C,T}, {C,C,T},, che hao 3 probabltà, rspettvamete, /, /, /,. La v.c., guadago etto, è la legge che rcodfca -co le stesse probabltà- suddett evet elemetar 3 co umer, rspettvamete,,,,... (le vcte corrspodet. ha valore atteso 3 3 E ( = ( / + ( / + ( / +... = =. La meda d è llmtata, eppure è probable che, per chuque, la percezoe d adare perdta vega ragguta per valor be pù bass!. Leartà dell operatore valore atteso Se sottopoamo la v.c. ad u cambo d utà d msura e/o u cambo dell orge (traslazoe, smbol a + b, c possamo chedere come camba 7

26 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA l valore atteso. La leartà dell tegrale e della sommatora mplcao modo dretto la leartà dell operatore malore atteso. Pertato possamo scrvere ua volta per tutte -sa per l caso cotuo che per l caso dscreto- che: E ( a + b = ae( + b ( a L operatore varaza A partre da ua v.c. assegata, dotata d meda fta E (, è possble defre la seguete v.c. scarto (dalla meda E(. A partà d valore atteso, due vv.cc. possoo dfferre ella forma della varable scarto (s osserv che la varable scarto ha meda 0. Precsamete ua può presetare u maggor grado d dspersoe, rspetto alla meda, dell altra. Questo fatto può essere quatfcato calcolado l valore atteso del quadrato della v.c. scarto, ossa E{( E( }, posto che essta. Tale valore è detto varaza della v.c. ed è dcato co Var (. La radce quadrata della varaza Var ( / è detta scarto quadratco medo (o devazoe stadard. 4. Alcue propretà dell operatore varaza Co semplc passagg algebrc s dmostrao alcue semplc propretà dell operatore Var, utlzzado la propretà d leartà dell operatore valore atteso d cu al precedete puto. Se la varaza esste, allora: E{( E( } = E( E( (formula assa utle per l calcolo operatvo. Var ( E( = Var( (la varaza d cocde co quella della v.c. scarto E(. 3 Var( a + b = a Var( ( a Momet o-cetral d ua v.c. Le costat E ( e E( cotrate e put precedet possoo rteers r cas partcolar della formula pù geerale μ r = E(, che forsce, per r =,,..., cosddett momet (o-cetral d orde r della v.c.. Per semplctà d otazoe, el caso dell orde useremo, equvaletemete, l smbolo μ luogo d μ. 8

27 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA SEZIONE I.9.. Momet cetral d ua v.c. r La formula μr = E{( μ }, forsce, per r =, 3,..., cosddett momet cetral d orde r della v.c.. S osserv che μ = 0 (meda della v.c. scarto. I momet cetral d orde dspar soo ull se la dstrbuzoe è smmetrca.. Momet cetral fuzoe de momet o-cetral Svolgedo la poteza r-esma del bomo μ e sfruttado la leartà dell operatore valore atteso, è facle esprmere l geerco mometo cetrale d orde r fuzoe de momet o cetral (d orde more o uguale a r. I partcolare s può scrvere: Var( = μ = μ ( μ. 3. Idc d forma della dstrbuzoe 3 4 I rapport α 3 = μ 3 σ (dce d asmmetra d Fsher e α 4 = μ 4 σ (dce d curtos soo utl per msurare, rspettvamete, l grado d smmetra -attoro ad u asse medao- della dstrbuzoe e la quattà d probabltà assegata alle zoe d coda della dstrbuzoe. (Il rfermeto deale quado s calcolao quest dc è quello della dstrbuzoe d tpo ormale -vd.sezoe -: per essa α = 0 e 3 3 α 4 = 4. Momet fattoral d ua v.c. Spesso, el caso d v.c. d tpo dscreto è pù agevole calcolare momet fattoral. La formula E{ ( (... ( r + }, forsce, per r =,, 3,..., cosddett momet fattoral d orde r della v.c.. Per r = s ottee la meda μ. Ache qu è facle esprmere l geerco mometo fattorale d orde r fuzoe de momet o cetral (d orde more o uguale a r. Per es., per r = s ha E { ( } = μ μ ; possamo qud esprmere ache la varaza fuzoe de momet fattoral el modo seguete: Var( = E { ( } + μ μ. 9

28 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA 5. V.c. dscrete d partcolare teresse applcatvo schema dell ura Alcue vv.cc. dscrete rvestoo partcolare teresse perché soo assocate ad espermet aleator frequetemete rcorret ambto applcatvo. I partcolare, l modello dell ura (o schema dell ura dealzza u tpo d espermeto aleatoro dove s compoo estrazo d palle da u ura co dverse possbl composzo e modaltà d estrazoe. 6. V.c. beroullaa Se s compe ua estrazoe da u ura coteete due sol tp, dcamo A e B, d palle, e p è la proporzoe d palle d tpo A ell ura (se ( A è l umero d palle d tpo A ell ura e ( B è l umero d palle d tpo B ell ura, p = ( A /[ ( A + ( B ], la v.c. che esprme l umero d palle d tpo A osservate ell estrazoe ha supporto S = { 0, }. è detta v.c. beroullaa. Essa assoca la probabltà p al umero e (-p al umero 0. E facle vedere che ha meda p e varaza p(-p. La varaza è massma per p=/. 7. V.c. bomale Se s compoo ( estrazo dall ura, codzo d dpedeza stocastca (.e. co remmssoe, la v.c. che esprme l umero d palle d tpo A osservate tal estrazo ha supporto S = { 0,,,..., }. è ua v.c. bomale. S scrve B (, p ; el caso = s ha la v.c. beroullaa. Precsamete, la probabltà d osservare x palle d tpo A elle estrazo è p( x = p ( x p =. x x, x 0,,,..., S vede faclmete che p( x = x= 0 [ p + ( p ] = =. Ioltre:! x x E ( = x p ( p = x= 0 x!( x! (! = p ( x!( ( x! x= p x ( p ( x = p. 0

29 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA (l ultmo passaggo sosttuedo y = x e m =. Co passagg smlar, s trova Var ( = E{ ( } + p ( p = p( p (s ot l mpego de momet fattoral. S può trovare po: μ 3( = pq( q p e ( μ 4 = 3( pq + pq( 6pq. Qud per che tede all fto l dce d curtos α ( 4 tede al valore 3, metre α 3( tede a 0. SEZIONE I.0.. V.c. pergeometrca Se s compoo estrazo seza remmssoe (ovvero blocco da u ura coteete due sol tp, dcamo A e B, d palle, e ( A = a ( a N è l umero d palle d tpo A ell ura e ( B = N a è l umero d palle d tpo B ell ura, la v.c. che esprme l umero d palle d tpo A osservate elle ( estrazo è detta pergeometrca. E facle otteere la f.p. (cfr. I..3 p( a N a N x = /. x x Ora, valor possbl d x soo ecessaramete o-egatv e o superor a ; ma x o può superare eache a; fe, se supera N a qualche palla d tpo A deve essere estratta. I coclusoe p ( x è defta sul supporto: max{ 0, ( N a } x m{,a }. La v.c. pergeometrca ha meda E( = delle bomale e varaza Var( = a N a ( pea aaloga co la meda N N a (. N N

30 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA. V.c. d Posso S cosdera u espermeto el quale s osserva l rpeters d u certo accadmeto casuale, u certo tervallo d tempo o d spazo, co ua assegata frequeza meda λ ( λ >0. L accadmeto osservato può essere, ad esempo, l emssoe d ua partcella radoattva da ua sorgete d materale radoattvo u certo tervallo d tempo; oppure la preseza d mpurtà su u wafer d slco (qu la collocazoe dell mpurtà è d tpo spazale, essedo l tervallo la superfce del wafer. S vuole determare la probabltà d osservare x accadmet el geerco tervallo. S suddvde l tervallo sottotervall ugual, suffcetemete pccol perché cascu sottotervallo cotega essuo o al pù accadmeto. S suppoe fe che gl evet {sottotervallo-vuoto} e {sottotervallopeo} sao dpedet per og e che la probabltà dell eveto {sottotervallo-peo} o dpeda dalla partcolare collocazoe del sottotervallo all tero dell tervallo (rsultado qud λ /. S trova pertato, applcado la formula della f.p. bomale, λ p( x = ( x λ x x (. Allora, per abbastaza grade, rmaedo x fssato, è valda l approssmazoe x x λ (... ( x + λ x λ λ seguete: p ( x = ( e, dove x x! x! x { 0,,, 3,... }, che defsce la f.p. della cosddetta v.c. d Posso. (Quest approssmazoe è buoa ella msura cu è grade rspetto ad x; cò mplca, partcolare, che la f.p. della bomale è be approssmata, per og x, ella msura cu l rapporto λ / è pccolo. Da E{ (... ( r + } = x λ λ x( x...( x r + e = x= 0 x! x r r λ λ r = λ e = λ ( x r! x= r s trae, fra l altro: E( = λ, Var( = E{ ( } + λ λ = λ. Ioltre s può trovare: μ3( = λ e ( μ4 = 3 λ + λ. Qud al crescere d λ l dce d curtos α ( 4 tede al valore 3, metre α 3( tede a 0.

31 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA 3. V.c. geometrca Se s compoo estrazo da u ura -co ua proporzoe p d palle d tpo A e q = pd palle d tpo B- co remmssoe, la v.c. che esprme l umero d palle d tpo B estratte prma d osservare la prma palla d tpo A, è detta geometrca. La sua f.p. è, evdetemete, p( x = ( p x p, dove x {0,,,...}. q S trova faclmete E( = p, E( = ( p q q e Var( = p p. Fgura. Fuzoe d probabltà della v.c. geometrca co p = 0.5. (I evdeza la meda e le probabltà d stare al d sotto e al d sopra d essa [Grafca PQRS (Kypstra, 00] Fgura. F.d.r. della v.c. geometrca co p = 0.5. (I evdeza la meda e la probabltà cumulata corrspodete [Grafca PQRS (Kypstra, 00] SEZIONE I... U tegrale otevole dell Aals e alcue formule da esso coseguet S troduce l seguete tegrale otevole: (I + e x dx = π 3

32 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA (sugg. per l calcolo: s calcola cosderado l equvalete tegrale + e x + dx e y Da esso s rcava (I + / t 0 dy = π e sosttuedo le coordate polar alla varable ( x, y. + 0 e x dx = che, sosttuedo x = t, a sua volta equvale a: e t π dt = π. Itegrado quest ultmo per part, s rcava fe: (I3 + / π e t t dt = 0.. V.c. ormale stadard La f.d.p. della v.c. ormale ha la sua pea gustfcazoe costruttva u teorema che verrà trodotto successvamete (Teorema del lmte cetrale. Tuttava, teedo coto d (I, è provato che la fuzoe f ( x / e x =, < x < +. π è postva ed ha tergale su R ; è questa la f.d.p. della v.c. ormale stadard. S tratta d ua fuzoe par (smmetrca rspetto all asse delle ordate co puto d massmo 0. Pertato moda, medaa e meda cocdoo co 0. D pù, tutt momet d orde dspar (esstoo e soo ull: μ k + = 0. Per l calcolo della varaza s ottee faclmete, vsto (I3, Var ( = M( = = x + x / e 0 dx π + t / e = t 0 π dt =. I valor pù teressat della f.d.r. (tpcamete dcata co l smbolo Φ x y / e dy soo tabulat. Naturalmete dalle tavole s possoo rcavare, π 4

33 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA partcolare, valor de percetl della v.c. (l percetle p 00 esmo, p ( 0, (fssato al cetesmo, della v.c. è l valore x p tale che P( x p = p. 3. V.c. ormale Co la sosttuzoe + t a x = sotto l sego d tegrale, dove a R, b > 0, b t a ( x / b e e l uguaglaza dx = dveta, equvaletemete, = π dt. π b La fuzoe tegrada è pertato la pù geerale espressoe della f.d.p. d ua v.c. d tpo ormale. La uova f.d.p. è arrcchta -rspetto alla versoe stadardd due parametr, uo d locazoe (a e uo d scala (b. La v.c. ormale, dcamo Y, co tale f.d.p. ha, evdetemete, meda a e varaza b (cfr. I.8. e I.8.4. Usado qud, luogo d a e b pù evocatv smbol μ e σ, s dcherà l fatto che Y è d tpo ormale co meda μ e varaza σ co la scrttura: Y N( μ, σ. La destà assocata a Y ha qud forma: + f Y ( y μ / e ( y =, < x < +. πσ SEZIONE I... La fuzoe specale Gamma d Eulero S troduce ora la fuzoe specale Γ, detta gamma d Eulero, + t 0 α e t dt = Γ ( α, α > 0. S vede faclmete, per tegrazoe elemetare, che Γ ( = Γ ( =. Ioltre, + + ( α + α t t t per α s trova, tegrado per part, t e dt = e dt. α 0 0 5

34 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA Ma allora: Γ ( α + = α Γ ( α ( α. I partcolare s ha: Γ ( 3 = Γ ( + = Γ ( =!, Γ ( 4 = Γ ( 3 + = 3 Γ ( 3 = 3!, ecc.. I geerale: Γ ( + =!, =,,... (la fuzoe gamma d Eulero geeralzza l fattorale a tutt umer real postv. Ioltre s è gà mostrato (v. I...(I che: Γ ( = π ; pertato 3 π π Γ ( = Γ ( =, Γ ( = Γ ( =, ecc.. I geerale: Γ ( k + = 3... ( k π, k =,,.... k. Ua applcazoe d calcolo co la Gamma d Eulero: momet d orde par della ormale S cosder la v.c. ormale stadard N( 0,. S trovao momet d orde par + x k e μ k = μk = x dx ; co la sosttuzoe x / = t π + 0 / k k ( k+ / t μ k = t e dt = Γ ( k + = 3... ( k-. π π 0 s può scrvere 4 4 I partcolare se Y N( μ, σ, allora α = E {(Y μ } / σ = 3, per og μ e 4 σ. Tale valore d curtos, 3, è pertato caratterstco del modello ormale. 3. V.c. gamma α x x e Per defzoe della Gamma d Eulero, la fuzoe f ( x =, x > 0, è Γ ( α + postva ed ha tergale su R per og α > 0 ; è questa la f.d.p. della v.c. cosddetta d tpo gamma. La costate α è terpretable come parametro d forma d questa famgla d vv.cc.. t a Co la solta sosttuzoe x =, dove a R, b > 0, s ottee la uova b α ( t a ( t a / β e famgla d f.d.p. f ( t =, t > a, co parametr d forma β α Γ ( α (α, locazoe (a e scala ( β. La f.d.p. è pù spesso utlzzata ella forma 6

35 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA f ( y = α y y / e β α Γ ( α β, y > 0, co parametro d scala, β > 0, e d forma, α > 0. S dca l fatto che Y è d tpo gamma co tale f.d.p. co la scrttura: Y G( α, β. Per tale v.c., co facle tegrazoe s trova: E(Y k = 0 y k y α e y / β β α Γ ( α Γ ( α + k k dy = β Γ ( α = α( α α β k +... ( + k. I partcolare E (Y = αβ e Var (Y = αβ. SEZIONE I.3.. vv.cc. collegate alla v.c. gamma: v.c. espoezale e v.c. ch-quadrato Se Y G( α, β co α =, allora Y è ua v.c. d tpo espoezale. Idchamo cò co la scrttura Y E( β. La f.d.p. è pertato f Y ( y = e, 0 < y < +. y / β β y / β metre la f.d.r. è F( y = e, per y > 0 e zero altrove. Se Y G( α, β co α = / e β =, allora Y è ua v.c. d tpo ch-quadrato co u grado d lbertà. Idchamo cò co la scrttura Y χ. Se Y G( α, β co α = k / e β =, allora Y è ua v.c. d tpo ch-quadrato co k grad d lbertà. Idchamo cò co la scrttura Y χ. La f.d.p. è pertato k k y y / e f Y ( y =, 0 < y < +. k k Γ ( 7

36 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA r Per la v.c. Y χ s trova: E(Y = k( k +... ( k + ( r. I partcolare, E (Y = k, Var(Y = k, l dce d curtos (Y 4 k 8 α 3 (Y =, α 4 (Y = 3 +. Al crescere d k k k α tede a 3, metre α 3(Y tede a 0. Fgura. Fuzo d destà della v.c. ch-quadrato co, e 8 grad d lbertà. (I evdeza la meda e le probabltà d stare al d sotto e al d sopra d essa [Grafca PQRS (00] 8

37 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA. v.c. d Cauchy La v.c. d Cauchy è defta dalla f.d.p. f ( x = π ( + x, < x < +, y a ovvero dalla f.d.r. F( x = + π arctgx. Co la sosttuzoe x =, dove b y a a R, b > 0, s ottee la famgla d f.d.p. f ( y = ( + (. La b πb v.c. d Cauchy o ha momet. 3. v.c. d Laplace (espoezale doppa x La v.c. dotata d f.d.p. f ( x = e, < x <, è detta d Laplace (o espoezale doppa. Co la sosttuzoe ottee la famgla d f.d.p. y a x =, dove a R, b > 0, s b f ( y = e b y a b, < y < ; meda e varaza soo: E (Y = a, Var (Y = b. I momet cetral d orde dspar soo ull; quell d orde par dao μ (Y = b k ( k! ; qud 4 α 3 (Y = 0, α ( = 4! b /( b 6 (perormaltà. 4 = k 4. v.c. logstca x e Se ha f.d.p. f ( x = x ( + e, < x <, è detta logstca. Co la y a sosttuzoe x =, dove a R, b > 0, s ottee la famgla d f.d.p. b f ( y a y a b b y = e ( + e, < y < + b 9

38 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA co f.d.r. F( y a b y = ( + e ; meda e varaza soo: E (Y = a, Var(Y π = 3 b 3. I partcolare, per b = e a = 0 s ottee ua v.c. molto π prossma alla ormale stadard (l massmo scostameto fra le f.d.r. è: max F( z Φ ( z = La curtos ( μ 4 / μ vale 4. (perormaltà. z 5. v.c. beta La v.c. che ha f.d.p. f t ( t ( x = B( α, β α β, 0 < x <, β > 0, α > 0, dove B(, dca la fuzoe specale beta -defta fuzoe Γ( α Γ( β della gamma da B(, = - è detta v.c. d tpo beta. Γ ( α + β Γ ( α + k Γ ( α + β S trovao momet: μ k ( =. Γ ( α Γ ( α + β + k α αβ I partcolare E ( =, Var ( =. α + β ( α + β ( α + β + Fgura. Fuzoe d destà della v.c. beta co parametr α = e β =6. (I evdeza la meda e le probabltà d stare al d sotto e al d sopra d essa [Grafca PQRS (Kypstra, 00] 30

39 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA 6. v.c. Webull a Se Y è espoezale, Y E(, e Y =, co b,c > 0, allora la v.c. ha b la dstrbuzoe d Webull. S trova c x a c c f ( x = exp ( x a, x > a. c b b La Webull è spesso adoperata elle parametrzzazo a due e ad u solo c parametro. Nella parametrzzazoe co due parametr ( a = 0 e posto β = / b s ha ache ( x = β c x f c c c β x e c, x > 0. Co questa parametrzzazoe la f.d.r. β x è F ( x = e. Nella parametrzzazoe (stadard co u solo parametro ( a = 0, b = s ha ( f x = c x c c x e, x > 0. Per quest ultma s trova k E k = Γ +. c c = 0.5 c = c = Fgura. Fuzo d destà della v.c. Webull stadard co parametro c uguale a 0.5,.5 e 3. 3

40 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA 7. v.c. t d Studet Se N( 0, e χ soo vv.cc. dpedet, allora la v.c. ha f.d.p. k = k / k f ( x k + Γ ( = k+ k x π kγ ( ( k +, < x < + ed è chamata t d Studet co k grad d lbertà. Per k = s ottee la v.c. d Cauchy. S trova E = 0. Qud Var ( x = E ; per l dpedeza d e (cfr. k I.4. s trova E = ke E = ke =, per k >. I geerale k momet d orde dspar soo ull; per quell d orde par s trova vece r... ( r E k r / 3 =, per k > r. L dce d curtos rsulta ( k r ( k r +...( k k qud α 4 ( = 3 (per k > 4. Al crescere d k l dce d curtos tede a k Fgura. Cofroto fra le fuzo d destà della v.c. ormale stadard (tratto pù spesso e della Cauchy (t d Studet co grado d lbertà. 3

41 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA Fgura. Cofroto fra le fuzo d destà della v.c. ormale stadard (tratto pù spesso e della t d Studet co 4 grad d lbertà. 8. v.c. beta-bomale La v.c. (d tpo dscreto che ha f.d.p. p B( α + x, β + x ( x = x B( α, β, x = 0,,,..., s dce beta-bomale. Rcorredo allo schema dell ura, questa v.c. s può descrvere el modo seguete: essa rappreseta l umero d success ella estrazoe beroullaa d palle da u ura la cu composzoe è caratterzzata da ua proporzoe p d palle vcet che è a sua volta ua v.c., e precsamete ua v.c. d tpo beta co parametr α e β. φ + α S trova: E ( = π e Var ( = π( π, dove π = e φ + α + β φ = (s ottee l modello bomale per α + β α = costate. α + β α, β tal che 33

42 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA 9. Dsuguaglaza d Chebyshev A partà d meda e varaza, due vv.cc. possoo acora esser dfferet. Tuttava, esse restao accomuate dal fatto che valor d probabltà rego d coda soo, per etrambe, lmtat secodo l vcolo stablto dal seguete mportate rsultato (dsuguaglaza d Chebshev: se è ua qualsas v.c. dotata d mometo secodo, co meda μ e varaza σ, e t è ua costate σ postva fssata, allora P{ μ t }. Ifatt (co la otazoe per ua v.c. t cotua, σ = ( x μ f ( x dx + ( x μ f ( x dx S S' S' ( x μ f ( x dx t f ( x dx = t P{ μ t }, dove S = { x : x μ < t } e S = { x : x μ t } ( S S = R e S S =. S' SEZIONE I.4.. Vv.cc. dpedet,..., è ua collezoe d vv.cc. dpedet se e solo se vale la seguete codzoe d fattorzzazoe della probabltà P( x, x,..., x = P( x cò che può ache scrvers = per og ( x,...,x R, F... ( x,...,x = = F ( x per og ( x,...,x R, terpretado, per defzoe, F ( x,...,x = P(... x, x,..., x, 34

43 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA aaloga al caso uvarato. (D fatto la codzoe d fattorzzazoe della f.d.r. equvale alla codzoe d fattorzzazoe della f.d.p. (caso cotuo o della f.p. (caso dscreto: rspettvamete f... ( x,...,x = = f ( x... = e p ( x,...,x = p ( x. Esempo. Due vv.cc. e dscrete uform su { 0, } (cfr. l espermeto del laco d ua moeta equa rpetuto volte hao ua f.d.r. che è l prodotto delle due f.d.r. F ( x, =,, così defte: F ( x = 0 per x < 0 ; F ( x = 0. 5 per 0 x < ; F ( x = per x. Pertato s trova la f.d.r. F ( x,x così defta: F 0 ( x,x = per m{ x } < 0 ; F ( x,x 0. 5 = per 0 x <, =, ; F ( x,x 0. 5 = per x, 0 x < e per x, 0 x < ; F ( x,x = per x, =,.. Vv.cc. somglat,..., è ua collezoe d vv.cc. somglat se e solo se hao tutte la stessa f.d.r., ossa F (z = F (z per og e j,, j =,,...,, e per og z R. j 3. Meda e varaza d ua somma e d ua meda d vv.cc. dpedet e somglat Sao,..., dpedet e somglat (s dce ache che soo..d., ossa dpedet e detcamete dstrbute, co meda μ e varaza σ fte. E facle dmostrare le seguet propretà: a Sa S = = la v.c. somma (somma campoara. Allora: 35

44 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA M( S = μ e Var( S = σ. (Ifatt -co otazoe del cotuo- s trova: M( S =... ( x x f... ( x,...,x dx... dx =... x f... ( x,...,x dx... dx x f... ( x x f ( x dx... f ( x dx + + f ( x dx... f ( x dx x f ( x dx = μ ,...,x = dx... dx b Sa = = / la v.c. meda (campoara. Allora (cfr. I.8., I.8.4: M( = μ e Var( = σ /. SEZIONE I.5.. Covergeze stocastche Se Y,Y,... è ua successoe d vv.cc., s dce che: A Y coverge probabltà alla v.c. Y, e s scrve lm P{ Y Y < ε } =, ε > 0 ; B Y coverge dstrbuzoe alla v.c. Y, e s scrve Y d Y p Y, se Y, se, dette F,F,... ed F le corrspodet fuzo d rpartzoe, s verfca che lm F ( t = F( t, per og puto t d cotutà d F. I partcolare, le covergeze probabltà e dstrbuzoe possoo essere cosderate ell mportate caso partcolare cu Y è degeere u puto c (.e. P {Y = c } =. I tal caso s equvalgoo. S osserv che geerale vale l mplcazoe Y Y Y Y : la covergeza dstrbuzoe è pù debole della covergeza probabltà. p d 36

45 Luco Bertol Barsott CORSO DI STATISTICA MATEMATICA S dà u cotroesempo a quest mplcazoe. Sa Ω = { ω, ω }, co P( ω = P( ω = 0.5. Sao Y,Y,... ed Y dpedet e somglat, co Y( ω = 0 e Y( ω =. Essedo somglat, Y ed Y hao la medesma fuzoe d rpartzoe, qud, baalmete, la covergeza è verfcata. Vceversa, come fuzo d ω Ω, esse corrspodoo a valor umerc (0 e apputo che possoo (co ua probabltà che o dveta ftesma, ma che resta maggore d u δ > 0 o rsultare vc, é tato meo cocdere, al dvergere d. E facle vedere fatt che la probabltà che Y ed Y corrspodao a valor d dstaza (.e. P{ Y Y = } rmae sempre uguale a d. Legge de grad umer Sao,..., vv.cc. dpedet e somglat, co meda e varaza fte, dcamo, rspettvamete μ = M( e σ = Var(. Dalla dsuguaglaza d Chebyshev, applcata alla v.c. meda campoara Y P{ Y ε VarY ε M(Y } = σ, ovvero l lmte: ε =, s trae P{ Y μ ε } 0, per (cosddetta Legge de grad umer. Questa covergeza può qud ache essere scrtta: Y μ. p 3. Teorema del Lmte Cetrale Se,,... è ua successoe d vv.cc...d., co meda μ e varaza fte, allora: S μ Z σ d N (0,. La tes del teorema s può leggere dcedo che la v.c. S è astotcamete ormale co meda μ e varaza σ. I smbol s scrve σ 37