«MANLIO ROSSI-DORIA»

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1 «MANLIO ROSSI-DORIA» Collaa a cura del Cetro per la Formazoe Ecooma e Poltca dello Svluppo Rurale e del Dpartmeto d Ecooma e Poltca Agrara dell Uverstà d Napol Federco II 6

2 Nella stessa collaa:. Qualtà e valorzzazoe el mercato de prodott agroalmetar tpc, a cura d F. de Stefao, L ecooma agrobologca Campaa: u dffcle percorso, a cura d F. de Stefao, G. Cca e T. del Gudce, Isttuzo, captale umao e svluppo del Mezzogoro, a cura d M.R. Carrllo e A. Zazzaro, Itroduzoe alla statstca per le applcazo ecoomche. Vol. I, Statstca descrttva, C. Vtale Aspett ecoomc e prospettve dela coltvazoe della patata Itala, a cura d P. Lombard, Itroduzoe alla statstca per le applcazo ecoomche. Vol. II, Probabltà e Statstca, C. Vtale 00. I preparazoe: O. W. MAIETTA, L aals quattatva dell effceza. Tecche d base ed esteso recet.

3 COSIMO VITALE INTRODUZIONE ALLA STATISTICA PER LE APPLICAZIONI ECONOMICHE Volume secodo PROBABILITÀ E STATISTICA Edzo Scetfche Italae

4 VITALE Cosmo Itroduzoe alla statstca per le applcazo ecoomche vol. II, Probabltà e statstca. Collaa: «Malo Ross - Dora, a cura del Cetro per la Formazoe Ecooma e Poltca dello Svluppo Rurale e del Dpartmeto d Ecooma e Poltca Agrara dell Uverstà d Napol Federco II, 4 Napol: Edzo Scetfche Italae, 00 pp. X+30; cm 4 ISBN by Edzo Scetfche Italae s.p.a. 80 Napol, va Chatamoe Roma, va de Taur 7 Iteret: E-mal: fo@esspa.com I drtt d traduzoe, rproduzoe e adattameto totale o parzale e co qualsas mezzo (compres mcroflm e le cope fotostatche) soo rservat per tutt Paes. Fotocope per uso persoale del lettore possoo essere effettuate e lmt del 5% d cascu volume/fasccolo d perodco detro pagameto alla SIAE del compeso prevsto dall art. 68, comma 4 della legge aprle 94,. 633 ovvero dell accordo stpulato tra SIAE, AIE, SNS e CNA, CONFARTIGIANATO, CASA, CLAAI, CONFCOMMERCIO, CONFESERCENTI l 8 dcembre 000. Assocazoe Italaa per Drtt d Rproduzoe Delle Opere dell gego (AIDRO) Va delle Erbe, 0 Mlao Tel. E fa ; e-mal: adro@ol.t

5 INDICE Captolo Itroduzoe al calcolo delle probabltà. Itroduzoe. I cocett prmtv del calcolo delle probabltà 4 Prova Eveto Probabltà.3 I postulat del calcolo delle probabltà 5 Prmo postulato Secodo postulato Terzo postulato Quarto postulato Quto postulato.4 La msura della probabltà 0.5 Il teorema d Bayes 6 Captolo Le varabl casual. Itroduzoe 3. Varabl casual dscrete e dstrbuzo d frequeza 34 La meda artmetca La varaza Il mometo d orde r L'dce d asmmetra L'dce d curtos.3 Le varabl casual doppe dscrete 38 Mometo msto d orde, La covaraza La correlazoe Momet codzoat.4 Le varabl casual cotue 4

6 VIII Idce La meda La varaza La medaa L'dce d asmmetra L'dce d curtos.5 Le varabl casual doppe cotue 5 Mometo msto d orde, La covaraza Momet codzoat Captolo 3 Varabl casual d uso comue 3. La varable casuale uforme 57 La uforme dscreta La uforme cotua 3. La varable casuale bomale La varable casuale d Posso La varable casuale Normale Alcue v.c. dervate dalla Normale 89 La v.c. Ch-quadrato La v.c. T d Studet La v.c. F d Fsher La v.c. Logormale 3.6 La varable casuale Normale doppa Alcu teorem lmte 03 Alcue legg d covergeza Il teorema del lmte cetrale La dsuguaglaza d Chebychev Captolo 4 Elemet d teora della stma parametrca 4. Itroduzoe 3 4. La stma parametrca Ce d teora delle decso 6 Metodo del m-ma Metodo dell'area mma Metodo delle propretà ottmal 4.4 Alcue propretà ottmal degl stmator 9 La suffceza La o dstorsoe L'effceza La cossteza 4.5 Alcu metod d costruzoe delle stme 3 Metodo de momet

7 Idce IX Metodo de mm quadrat Metodo d massma verosmglaza 4.6 La dstrbuzoe d probabltà d alcu stmator campoar 39 Dstrbuzoe d probabltà della meda campoara Dstrbuzoe d probabltà de percetl campoar Dstrbuzoe d probabltà della varaza campoara Dstrbuzoe d probabltà della correlazoe campoara 4.7 Due metod d fereza basat sul rcampoameto 48 La procedura jakkfe La procedura bootstrap Captolo 5 Itroduzoe al test delle potes 5. Itroduzoe Il lemma d Neyma Pearso Test basato sul rapporto d verosmglaza. Caso d Ho semplce Test basato sul rapporto d verosmglaza. Caso d Ho complessa Partcolar test basat su MLR 65 Test sulla meda Test sulla dffereza fra mede Test su ua proporzoe Test sul cofroto d proporzo Test su dat appaat Test sulla varaza Cofroto fra due varaze Test sul coeffcete d correlazoe 5.6 Alcu test o parametrc 9 Test d adattameto Test sull'dpedeza Test d Wlcoo Test de seg 5.7 Ce agl tervall d cofdeza 0 Itervallo d cofdeza per la meda Itervallo d cofdeza per ua percetuale Itervallo d cofdeza per la varaza Itervallo d cofdeza per la correlazoe Captolo 6 Il modello d regressoe 6. Itroduzoe 7 6. La costruzoe del modello d regressoe Il modello d regressoe leare semplce 0

8 X Idce 6.4 La stma de parametr del modello Propretà delle stme de mm quadrat La verfca del modello d regressoe 40 Test su parametr del modello Msura della botà d adattameto Aals de resdu 6.7 Modello d regressoe o leare 54 Modell o lear elle esplcatve Modell o lear ma learzzabl Modell o learzzabl 6.8 Modello d regressoe leare forma matrcale 58 Appedce 63 Tavole statstche 64 Bblografa 93 Idce aaltco 97

9 Captolo INTRODUZIONE AL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ. Itroduzoe Ne captol rportat el Volume I: Statstca Descrttva, abbamo llustrato ua sere d strumet statstc doe per descrvere feome che s suppogoo completamete ot. I altr term rteevamo d operare u uverso certo : l certezza è badta, s possoo solo raccoglere e stetzzare formazo e dervare le evetual relazo esstet fra pù feome. U uverso c o- sì fatto vee ache detto determstco : ua causa produce sempre e scuramete gl stess effett, gl stess rsultat. I altr term è come se s vvesse u modo regolato da u orologo perfetto capace d msurare modo precso ed dscutble l trascorrere del tempo. I questo e e captol che seguoo c occuperemo d u modo domato dall certezza : ete è scuro, tutto è certo per la preseza costate d elemet aleator, casual. I u uverso determstco la rpetzoe d u dato espermeto produce sempre gl stess rsultat, ua mplcazoe mportate d tale cocezoe è che le stesse legg valgoo qualsas tempo, az è come se s potesse rtorare - detro el tempo per potere rpetere esattamete l espermeto ed otteere esattamete lo stesso rsultato. I tale uverso vale la reversbltà temporale s può vaggare avat ed detro el tempo a propro pacmeto, quato meo da u puto d vsta teorco. I u modo domato dall certezza, vece, la rpetzoe d uo stesso espermeto o è detto che produca detc rsultat e come cosegueza o è possble potzzare l rreversbltà temporale dato che tal caso è mpossble essere cert d rtrovare lo stesso precso eveto che s è verfcato u tempo precedete. Il tempo ha ua determata drezoe accordo co l secodo prcpo della termodamca. D altro lato, per potere potzzare u modo domato dall certezza, dalla

10 Captolo casualtà, dall aleatoretà, è ecessaro spegare come questa certezza asce e perché o è cotrollable quato meo da u puto d vsta teorco. U modo per defre l caso è quello d supporre che tutto cò che esste evolve, s modfca el tempo rreversble e ella loro evoluzoe rsultat geerat soo molto sesbl alle codzo zal, coè alle codzo da cu s è partt per geerare tutta la successoe d feome effettvamete realzzat. I altr term, el modo della casualtà, feome soo geerat da sstem damc, coè sstem d forze che evolvoo el tempo, e quest sstem soo estremamete sesbl alle codzo zal: pccolssme varazo elle codzo zal producoo, dopo u tempo pù o meo lugo, effett completamete dvers. E questa sesbltà cò che rede cert rsultat otteut da espermet che, appareza, sembrao detc. Questo perché, ella realtà, è pratcamete m- possble rcreare esattamete le codzo zal d u sstema e se l sstema è sesble alle codzo d parteza dopo qualche d tempo rsultat che s ottegoo dalla catea d reazo e cotro reazo dvetao del tutto mprevedbl. E teressate osservare che essedo gl evet l rsultato d sstem d - amc è mpossble verfcare se e qual evet soo smultae. Il caso qud è frutto della o coosceza esatta, della goraza delle codzo zal. Se fossmo grado d cooscere, msurare e rprodurre modo esatto le codzo zal saremmo grado d prevedere qualsas feomeo. E la ostra lmtatezza d uma che o c permette e o c permetterà ma d capre e prevedere esattamete feome. Isomma, galleggamo u modo d certezza solo perché samo lmtat: l caso o è trseco a feome ma è l cocetrato della ostra lmtatezza, della ostra goraza. Esempo Se s laca ua moeta l rsultato può essere testa o croce, ma è mpossble predre co scurezza che l laco d ua data moeta u dato mometo da come rsultato, per esempo, testa. Questo è dovuto al fatto che l rsultato geerato dal sstema d forze che lo goverao è molto sesble alle codzo d parteza: poszoe zale della moeta, crcofereza, peso e spessore della moeta, forza mpressa alla moeta, forza d gravtà operate quel puto ed quel tempo, codzo clmatche esstet al mometo del laco, e così va. Nella fgura seguete è schematzzato, a sstra, l caso d sstema sesble alle codzo zal ove la palla sottoposta ad ua spta scvolerà lugo ua qualsas drezoe della semsfera per fermars uo qualsas de put della superfce sottostate. Il puto cu la palla s ferma è estremamete sesble alle codzo zal (forza mpressa, sua drezoe ecc.) e qud o è possble prevedere co certezza dove questa va a fermars. Nella stessa fgura, a destra, è schematzzato l caso d u sstema dpedete dalle codzo zal: l puto cu la palla s ferma è sempre lo stesso qualsas sao le codzo zal.

11 Itroduzoe al calcolo delle probabltà 3 Ua dversa cocezoe ( Curout) del caso è legata alla essteza d sere d feome dpedet: l caso è geerato dall cotro d sere d feome dpedet fra d loro. I questa defzoe d caso è mplcta l potes che ell uverso possoo esstere feome che soo fra d loro dpedet. Questo vuole dre mettere dscussoe la supposzoe che l tero uverso sa soldale co se stesso. Esempo Cosderamo le due sere d feome seguet: ) u dvduo s avva all usco della propra abtazoe ) ua tegola del tetto s muove per effetto delle codzo meteorologche queste due sere s possoo cosderare dpedet fra d loro. Suppoamo che metre l dvduo s affacca sulla sogla d casa u colpo d veto gl facca cadere la tegola testa procuradogl ua profoda cotusoe: è successo che le due sere dpedet s soo cotrate ed hao prodotto u eveto casuale: la ferta del persoaggo preso cosderazoe. Osservamo che rpetedo l espermeto elle stesse codzo o è detto d otteere lo stesso rsultato, la testa rotta del malcaptato. I questo captolo o c addetreremo ulterormete sulle vare terpretazo ed potes formulate per spegare l caso. Questo lo prederemo come dato: predamo atto del fatto che molt, se o tutt, gl att che domao la ostra essteza e quella dell uverso soo fluezat dal caso ed l ostro scopo sarà quello d dvduare delle legg capac d goverare feome casual. Per fare questo dobbamo elaborare regole che c permettoo d msurare la casualtà de dvers feome a questo scopo utlzzeremo ua metodologa che prede l ome d assomatzzazoe. I altr term, fsseremo de cocett prmtv, formuleremo degl assom o postulat, mescoleremo queste due ettà per der-

12 4 Captolo vare de teorem che permetterao, operatvamete, d regolare e domare l caso.. I cocett prmtv del calcolo delle probabltà I cocett prmtv soo tre e soo tal perché cocett prmtv o vegoo deft. Nel calcolo delle probabltà quest cocett soo: prova, eveto, probabltà Vsto che quest cocett soo o defbl, ma lascat alla comue tuzoe, vedamo d llustrarl co degl esemp e de som. PROVA Prova è somo d espermeto cu soo ot rsultat possbl che possoo otteers, ma o quello partcolare che po effettvamete s preseterà ua data prova. I questo seso, l rsultato che s verfcherà a seguto d u espermeto è, prma d effettuare la prova, certo. Se l espermeto vee rpetuto, ammesso che cò sa teccamete possble, o è certo che s possa otteere l rsultato precedete. Da questo puto d vsta og atto del modo reale può essere teso come u espermeto, ua prova. Così, è ua prova: (a) l laco d u dado, (b) l orgazzazoe d uo scopero, (c) ua maovra ecoomca del govero, (d) sottopors ad u terveto chrurgco, (e) l tempo d vta d u maccharo, ecc. EVENTO L eveto è uo de possbl rsultat che la prova, l espermeto può geerare. Formalmete u eveto è ua proposzoe, coè ua frase computa che caratterzza completamete uo de possbl rsultat d ua determata prova. Gl evet dervat da ua data prova possoo essere ft, ft ed ache ua ftà cotua. Così, è u eveto: (a) esce la facca del dado co due put, (b) l fallmeto dello scopero, (c) la ruscta della maovra, (d) la guargoe dell ammalato, (e) la durata d 3 a, mes, gor, 0 ore, 5 secod della vta del maccharo. Nel seguto gl evet geerat da ua prova verrao dcat co le prme lettere mauscole dell alfabeto lato ( A, B, C, D,...) evetualmete accompagate co u dce ( E, E, E 3,..., E k,...).

13 Itroduzoe al calcolo delle probabltà 5 PROBABILITÀ La probabltà è u umero compreso fra zero ed uo che vee assocato ad og eveto geerato da ua data prova e msura l grado d verfcars d quell eveto. I partcolare, la probabltà vale zero per evet che o possoo ma verfcars e vale uo per quell che scuramete s preseterao og prova. D solto, per dcare la probabltà d u eveto s usao smbol: p, P(A), p, p( ). I tre cocett prmtv del calcolo delle probabltà sopra rportat soo be llustrat dalla seguete frase: ua prova geera gl evet co determate probabltà. Fssata ua data prova questa geera u seme d evet che dchamo co S. Questo seme vee chamato seme campoaro assocato a quella prova. D ora po supporremo che gl evet costtuet S soo fra d loro - compatbl el seso che o se e possoo presetare smultaeamete due o pù d due..3 I postulat del calcolo delle probabltà Come tutte le dscple assomatzzate, ache el calcolo delle probabltà esstoo, accato a cocett prmtv, postulat che soo delle affermazo che o vegoo dmostrate. Nel calcolo delle probabltà postulat (o assom) soo cque. Il prmo d quest rguarda gl evet. PRIMO POSTULATO Gl evet geerat da ua prova formao ua algebra d Boole completa Vedamo cosa s tede co questa affermazoe. I prmo luogo cerchamo d capre cos è u algebra d Boole. Osservamo, a questo proposto, che gl evet soo delle fras, delle proposzo e qud se voglamo sottoporle a mapolazo bsoga utlzzare u algebra dversa da quella be ota de umer: l algebra che utlzzeremo è quella d Boole. L algebra d Boole, come tutte le algebre, è chusa rspetto alle operazo su d essa defte. Questo vuole dre che quado effettueremo quelle operazo

14 6 Captolo su evet dervat da ua prova (gl elemet d S ) saremo scur d otteere acora u eveto rferble alla prova cosderata. Ioltre, questo cocetto d chusura s suppoe valdo ache per partcolar successo fte d evet ed è per questo motvo che s dce che l algebra è completa. I stes, se sottopoamo gl elemet d S alle operazo che defremo qu d seguto rsultat soo acora evet. E solo e solamete su questo uovo seme d evet otteuto a partre da S che vegoo calcolate le probabltà. Nell algebra d Boole le operazo fodametal soo tre e precsamete: uoe, dcata co l smbolo tersezoe, dcata co l smbolo egazoe, dcata co l smbolo ) L uoe d due evet L uoe (o somma logca) tra due evet A e B è quell eveto, dcamo D, che s verfca quado s verfca A, oppure B, oppure A e B cotemporaeamete. Formalmete s scrve: A B = D e s legge: A uto a B, oppure A o B ) L tersezoe d due evet L tersezoe (o prodotto logco) de due evet A e B è l eveto, dcamo E, che s verfca se e solo se s verfcao cotemporaeamete sa A che B. Formalmete s scrve: A B = E e s legge: A tersecato B, oppure A e B 3) La egazoe d u eveto La egazo d u eveto A è l eveto, dcamo F, che s verfca quado o s verfca A. Formalmete s scrve: A= F e s legge: A egato, oppure o A. Le operazo d uoe e d tersezoe vegoo dette ache bare perché per poterle utlzzare soo ecessar almeo due evet, l operazoe d ega-

15 Itroduzoe al calcolo delle probabltà 7 zoe vee detta uara dato che per poterla utlzzare è suffcete u solo eveto. Naturalmete, le operazo suddette possoo essere utlzzate per u umero qualsas d evet d S. Tra tutt possbl evet geerat a partre da S, e esstoo due partcolar: l eveto mpossble l eveto certo. L eveto mpossble s dca co l smbolo Ø ed è l eveto che o s verfca ma og prova; l eveto certo s dca co l smbolo Ω ed è l eveto che s verfca sempre og prova. Le operazo dell algebra d Boole possoo essere schematcamete llustrate co de grafc che vegoo dett dagramm d Ve. I quest dagramm l eveto certo vee dsegato co u quadragolo all tero del quale vegoo delmtat degl sem che rappresetao gl evet. Qu d seguto llustramo, utlzzado dagramm d Ve, le tre operazo (aree tratteggate) sugl evet che abbamo defto precedeza. L uoe fra due evet A e B A B = D L tersezoe fra due evet A e B A B = E

16 8 Captolo La egazoe d u eveto A Defamo ora gl evet compatbl. Dat due evet A e B se rsulta A B = Ø, s dce che A e B soo compatbl. Itutvamete, due evet soo compatbl se o possoo presetars cotemporaeamete e qud o s preseta l uo, oppure s preseta l altro. Per due evet compatbl, da u puto d vsta grafco, s ha ua stuazoe come quella rappresetata ella fgura che segue A B = Ø Come s può otare dalla fgura, due evet compatbl o hao aree comue fra d loro, soo completamete dsgut. Come tutte le algebre ache quella d Boole ha delle regole che elechamo qu d seguto: a) propretà commutatva A B = B A; b) propretà d dempoteza A A = A; A B = B A A A = A c) propretà assocatva

17 Itroduzoe al calcolo delle probabltà 9 ( A B ) C = A ( B C ); ( A B) C = A ( B C) d) propretà dstrbutva A ( B C) = (A B) ( A C); A ( B C) = ( A B) ( A C) e) propretà volutora A= A f) regole del de Morga A B = = A Β; A B = = A Β. Osservamo che le regole del de Morga mettoo relazoe fra d loro tutte e tre le operazo defte ell algebra d Boole. Ioltre, da queste regole segue che per defre l algebra d Boole basta defre solo due d quelle operazo: l uoe e la egazoe, oppure l tersezoe e la egazoe. La terza operazoe, fatt, può essere dervata dalle due cosderate propro tramte le regole del de Morga. Esempo 3 Cosderamo ua prova che cosste el laco d u dado. I possbl evet che questa prova può geerare soo: esce la facca co u puto = A esce la facca co due put = A esce la facca co tre put = A 3 esce la facca co quattro put = A 4 esce la facca co cque put = A 5 esce la facca co se put = A 6 Osservamo che se evet soo fra d loro compatbl e che l seme campoaro questo caso è S = {A, A, A 3, A 4, A 5, A 6 }. Da S dervamo seguet evet: D = esce ua facca co u umero dspar d put = { A A 3 A 5 } P = esce ua facca co u umero par d put = { A A 4 A 6 } M = esce ua facca co u umero prmo d put = { A A A 3 A 5 } Ω = esce ua qualsas delle se facce = { A A A 3 A 4 A 5 A 6 } Avremo così che

18 0 Captolo D = P; D P = Ω ; P M = A ; M = {A 4 A 6 }; D P = Ø; P M = A ; D Ω = D. Dalle defzo delle operazo e delle regole dell algebra e da quelle relatve agl evet mpossble e certo seguoo mmedatamete ache le relazo seguet Ø A = A Ø A = Ø Ø = Ω SECONDO POSTULATO Ω A = Ω Ω A = A Ω = Ø Dato u eveto A qualsas apparteete ad ua algebra d Boole, la sua probabltà è uca e o egatva. I smbol s ha P(A) 0. L affermazoe dell uvoctà della probabltà è molto mportate: mplca che allo stesso eveto o è possble attrbure pù d ua probabltà. TERZO POSTULATO La probabltà dell eveto certo è sempre par ad uo: P( Ω) = Questo postulato serve per defre u lmte superore alla probabltà, oltre, combato co l precedete permette d dmostrare che la probabltà d u qualsas eveto A è sempre compresa fra zero ed uo: QUARTO POSTULATO 0 P(A). Se A e B soo evet compatbl la probabltà della loro uoe è uguale alla somma delle probabltà d cascuo d ess.

19 Itroduzoe al calcolo delle probabltà I smbol abbamo: se è A B = Ø allora rsulta P( A B) = P(A) + P(B) I altr term, se s hao due evet compatbl la loro somma logca s trasforma, tramte l applcazoe della probabltà, ella somma artmetca. Quato detto è llustrato el dagramma d Ve seguete cu gl evet soo rappresetat dalle fgure crcolar e le probabltà dalle aree esse racchuse. Come s può otare dalla fgura, la probabltà d A B (msurata term d aree) è data dall area d A pù l area d B. Dmostramo alcu semplc teorem che dervao da quattro postulat f qu presetat. Teorema La probabltà dell eveto mpossble è sempre par a zero: Dmostrazoe Sappamo che è sempre P(Ø) = 0. Ω Ø = Ø Ω Ø = Ω e qud l eveto certo e quello mpossble soo compatbl ed applcado l terzo ed l quarto postulato s ha = P( Ω ) = P( Ω Ø) = P( Ω ) + P(Ø) = + P(Ø) Da cu, teedo coto del prmo e dell ultmo terme d questa catea d uguaglaze, s rcava P(Ø) = - = 0 che dmostra quato asserto.

20 Captolo Teorema Dato u eveto A qualsas s ha sempre P( A ) = - P(A) Dmostrazoe A Osservamo prmo luogo che due evet A e A soo compatbl dato che o s verfca A o s verfca la sua egazoe A. Ioltre, rsulta sempre A A= Ω. Se su quest ultma dettà applchamo l terzo ed l quarto postulato otteamo = P(Ω) = P( A A) = P(A) + P( A), da cu s rcava P( A) = - P(A) che dmostra quato asserto. Teorema 3 Se A, B, C soo tre evet compatbl a due a due fra d loro: s ha che A B = Ø, A C = Ø, B C = Ø, P( A B C) = P( A) + P( B) + P( C). Dmostrazoe Dalla regola assocatva dell algebra d Boole sappamo che è sempre poamo A B C = (A B) C, D = (A B) e faccamo vedere che D e C soo compatbl. Ifatt, D C = (A B) C = (A C) (B C) = Ø Ø = Ø, ove s è utlzzata la propretà dstrbutva e quella dell dempoteza. Ma allora per l eveto D C, così come per l eveto A B, possamo utlzzare l quarto postulato ed otteere

21 Itroduzoe al calcolo delle probabltà 3 P( A B C) = P( D C) = P( D) + P( C) = P( A B) + P( C) = che dmostra quato asserto. = P( A) + P( B) + P( C) Il teorema appea dmostrato può essere geeralzzato faclmete al caso d ua successoe A, A,..., A d evet a due a due compatbl, e qud tal che A A j = Ø per og j, otteedo P( A A... A ) = P( A ) + P( A ) P( A ). Teorema 4 Dat due evet A e B qualsas, e qud tal che potrebbe ache essere A B Ø, s ha P( A B) = P( A) + P( B) - P( A B). Dmostrazoe Damo prmo luogo ua dmostrazoe eurstca basata su dagramm d Ve. Dato che A e B o soo compatbl s avrà ua stuazoe come quella descrtta dalla fgura seguete e la probabltà d A B sarà data dall area tratteggata fgura che è uguale a tutta l area A + tutta l area B l area della parte comue A B questa sottrazoe è ecessara altrmet l area comue verrebbe cotata due volte. Questo c forsce l rsultato cercato. Dmostramo ora formalmete quato abbamo cercato d fare tutvamete, a tale proposto otamo che è sempre

22 4 Captolo A = A Ω = A ( B B ) = ( A B) (A B ) come è ache llustrato ella fgura seguete Ma due evet ( A B) e (A B ) soo fra d loro compatbl (come s vede ache dalla fgura) dato che rsulta ( A B) ( A B ) = ( A A) ( B B ) = A Ø = Ø, per cu s avrà P( A) = P[( A B) ( A B )] = P( A B) + P( A B ), da cu s rcava P( A B ) = P( A) - P( A B). D altro lato, s può ache scrvere ( A B) = B ( A B ) e gl evet B ed (A B ) soo compatbl per cu, rcordado l rsultato prma otteuto, rsulta P( A B) = P( B) + P( A B ) = P( B) + P( A) - P( A B) che dmostra quato affermato. Teorema 5 Sao A, B, C tre evet qualsas, s ha P( A B C) = P( A) + P( B) + P( C) - P( A B) - P( A C) - P( B C) + + P( A B C). Dmostrazoe Poamo D = A B per cu, utlzzado rpetutamete l teorema 4 avremo, P( A B C) = P( D C) = P( D) + P( C) - P( D C) =

23 Itroduzoe al calcolo delle probabltà 5 = P( A B) + P( C) - P(D C) = P(A) + P(B) - P(A B) + P(C) - P(D C) = = P( A) + P( B) + P( C) - P( A B) - P( D C). D altro lato, abbamo P( D C) = P[( A B) C] = P[( A C) (B C)] = = P( A C) + P( B C) - P[( A C) ( B C)] = = P( A C) + P( B C) - P[( A B) ( C C)] = = P( A C) + P( B C) - P( A B C). Sosttuedo questa espressoe quella precedetemete rcavata s ottee P( A B C) = P( A) + P( B) + P( C) - P( A B) - [P( A C) + P( B C) - P( A B C)] = = P( A) + P( B) + P( C) - P( A B) - P( A C) - P( B C) + P( A B C) che dmostra quato affermato. Sul teorema precedete osservamo che gl added che compogoo l espressoe a destra soo sette e precsamete: quell che covolgoo u solo eveto soo tre: P( A), P( B), P( C), coè soo 3 ed hao sego postvo; quell che covolgoo due evet soo acora tre: P( A B ), P( A C ), P( B C), coè soo 3 ed hao sego egatvo; quell che covolgoo tre evet è uo solo: P(A B C), coè 3 3 ed ha sego postvo. Questa osservazoe c permette d geeralzzare l teorema precedete al caso della pro- babltà dell uoe d k evet qualsas. Ove, geerale, vale la seguete uguaglaza! k = k! ( k )! co! = (-) (-)... 3,

24 6 Captolo e s legge fattorale, coè l prodotto de prm umer ter. QUINTO POSTULATO Per trodurre l ultmo postulato dobbamo defre gl evet codzoat. Dat due evet A e B s dce che B codzoa A, e s scrve (A B), se l verfcars d B altera la probabltà del verfcars d A. L eveto codzoato (A B) s legge ache: A dato B. L eveto A è detto eveto codzoato metre B vee detto codzoate. Osservamo che affché A sa codzoato da B questo secodo eveto deve verfcars prma d A per cu v è u ordameto temporale da B ad A ache se per alcu è plausble ua relazoe d smultaetà fra due evet (che però o è osservable essu modo, come gà acceato all zo del captolo) e qud sarebbe gustfcato cosderare smultaeamete due evet codzoat ( A B) e ( B A). Da u puto d vsta geometrco effettuare l codzoameto B sgfca restrgere lo spazo da Ω a B e qud teressars a come A s comporta el uovo spazo B. Grafcamete s ha ua stuazoe schematzzata el dagramma che segue ove l eveto certo s rduce da Ω ad Ω* = B e l eveto codzoato ( A B) è dato dal comportameto d A all tero del uovo eveto certo B. Possamo ora formulare l quto postulato che afferma: co P( B) > 0. P( A B) = P( A B) P( B)

25 Itroduzoe al calcolo delle probabltà 7 Osservamo che: (a) l eveto codzoate B deve essere dverso dall eveto mpossble altrmet quel rapporto perderebbe d sgfcato; (b) se l eveto codzoate B cocde co l eveto certo Ω questo o esercta alcu codzoameto su A: (c) la dvsoe per P(B) el quto postulato serve per fare modo che P(A B) ragguga l valore uo se e solo se A = B, coè se A cocde co l uovo eveto certo Ω*. Dalla formulazoe del postulato s ha ache P( A B) = P( A B) P( B). Possamo ora defre gl evet dpedet. L eveto A è dpedete dall eveto B se e solo se rsulta P( A B) = P( A) I altr term, A è dpedete da B se B o esercta alcu codzoameto, alcua flueza sulla probabltà del verfcars d A. Ua dversa defzoe d evet dpedet s ottee sosttuedo l rsultato d questa uguaglaza ell espressoe del quto postulato: P( A B) = P( A B) = P( A) P( B) da cu s rcava mmedatamete che A è dpedete da B se e solo se rsulta P( A B) = P( A) P( B) e qud se e solo se l prodotto logco s trasforma el prodotto artmetco. Da questa ultma espressoe segue mmedatamete che se A è dpedete da B ache B è dpedete da A. Teorema 6 Se A e B soo dpedet lo soo ache A e B.

26 8 Captolo Dmostrazoe Bsoga dmostrare che se è vera questa uguaglaza P(A B) = P(A) P(B), allora è vera ache la seguete P( A B ) = P( A) P( B ). Da ua delle due formule del de Morga sappamo che A B = = A Β. Applcado la probabltà ad ambo membr d questa uguaglaza e teedo coto dell'dpedeza fra A e B, dvee P ( A B )= P( A B) = P( A) P( B). D altra parte rsulta P ( A B )= - P( A B ) = - P( A) - P( B ) + P( A B ). Uguaglado gl ultm membr d queste due ultme espresso otteamo da cu s rcava P(A) P(B) = - P( A) - P( B ) + P( A B ), P( A B ) = P( A) + P( B ) - + P(A) P(B) = = P( A) + [ - P(B)] - + P(A) P(B) = = P( A) - P(B) + P(A) P(B) = P( A) - P(B)[ - P(A)] = = P( A) - P(B) P( A) = P( A) [- P(B)] = P( A) P( B ) che dmostra quato affermato. Teorema 7 Se A e B soo due evet dpedet allora lo sarao ache A e B. Dmostrazoe Rcordamo che è sempre

27 Itroduzoe al calcolo delle probabltà 9 A Ω = A (B B ) = (A B) (A B ) ed due evet (A B) e (A B ) soo compatbl per cu rsulta da cu rcavamo P(A) = P(A B) + P(A B ) = P(A) P(B) + P(A B ), P(A B ) = P(A) - P(A) P(B) = P(A)[- P(B)] = P(A) P( B ) che dmostra quato affermato. S osserv che dato k evet A, A,..., A k se soo dpedet a due a due o è detto che lo sao a tre a tre e così va. Questo vuole dre che k evet soo dpedet se lo soo a due a due, a tre a tre, a quattro a quattro,, a k a k. Nel prossmo paragrafo mostreremo co u esempo quato qu affermato. Cerchamo d capre, ora, le relazo che passao fra evet compatbl ed evet dpedet. Se A e B soo compatbl, per defzoe s ha A B = Ø. Da u puto d vsta logco, l fatto che A e B sao compatbl vuole dre che l presetars d uo d quest evet esclude l presetars dell altro e qud fra due evet deve esstere u legame ( questo caso d repulsoe) molto forte per cu due evet compatbl o possoo ma essere dpedet Questa coclusoe può essere otteuta ache per va aaltca el modo che segue. Teorema 8 Se è P(A) > 0 ed A e B soo compatbl quest due evet o possoo ma essere dpedet. Dmostrazoe Se A e B soo compatbl rsulta e sosttuedo el quto postulato s ha P(A B) = P(Ø) = 0

28 0 Captolo P(A B) = P( A B) 0 = P( B) P(B) = 0 < P(A), pertato o può ma essere P(A B) = P(A) (che è la defzoe d dpedeza fra A e B) coclusoe A o può essere dpedete da B..4 La msura della probabltà Fo ad ora abbamo studato, a partre da cocett prmtv e da postulat, alcue delle legg che regolao la probabltà. D altro lato, o samo ache teressat a forre ua msura della probabltà degl evet. I questo paragrafo affroteremo propro questo argometo. Cosderamo ua prova che geera k evet S = {A, A,..., A k } e suppoamo che quest k evet soddsfo le seguet tre codzo: ) ecessaretà: almeo uo de k evet deve ecessaramete presetars, coè A A... A k = Ω; ) compatbltà: k evet soo compatbl a due a due: A A j = Ø, per og j; 3) equprobabltà: tutt k evet hao la stessa probabltà d verfcars: P(A ) =p per =,,...,k. I questo problema l cogta è l valore p della probabltà d cascu eveto. Questo valore, se soo vere le tre codzo specfcate, s calcola molto semplcemete. Ifatt, dalla prma codzoe s ha che utlzzado la secoda dvee P(A A... A k ) = P(Ω) =

29 Itroduzoe al calcolo delle probabltà = P(Ω) = P( A A... A k ) = P(A ) + P(A ) P(A k ). Se usamo ache la terza codzoe s avrà fe = P( A ) + P( A ) P( A k ) = k p, da cu s rcava p =. k I coclusoe, possamo affermare che dat k evet A, =,,...,k, se soo ecessar, compatbl ed equprobabl rsulta P(A ) = k, =,,...,k. Dat k evet A, A,..., A k ecessar, compatbl ed equprobabl, s vuole determare la probabltà dell eveto A= A A 7 A, rsulta mmedatamete P(A A 7 A ) = P(A ) + P(A 7 ) + P(A ) = k + k + k = k 3 e come s vede, al umeratore v è l umero de cas favorevol ( questo caso tre) ed al deomatore l umero de cas equamete possbl (coè k ). Questo c permette d eucare la seguete regola pratca: se ua prova geera k evet ecessar, compatbl ed equprobabl, la probabltà d A = uoe d u sotto seme de k evet, è data da P(A) = Numero de cas favorevol ad A Numero d tutt cas possbl Esempo 4 Cosderamo come prova l laco d u dado regolare. I possbl evet geerat da que-

30 Captolo sta prova, come sappamo, soo se per cu rsulta k=6. Quest 6 evet soo ecessar dato che ua facca ecessaramete deve presetars, soo compatbl perché se s preseta ua facca o se e può presetare u altra, soo equprobabl perché abbamo supposto l dado regolare. Questo vuole dre che la probabltà d presetars d cascua facca è 6. Metre 3 P{Esce ua facca co u umero par d put } = =. 6 Nell esempo che segue mostramo che evet dpedet a due a due o ecessaramete lo soo a tre a tre. Esempo 5 Cosderamo u ura co 4 palle detche umerate da a 4. I tal modo, posto A = palla umerata co, =,, 3, 4 avremo: Ω = {A A A 3 A 4 } e rsulta Cosderamo gl evet: P(A ) = 4 ; =,, 3, 4 A = {A A }, B = {A A 3 }, C = {A A 4 } per cu rsulta: P( A) = P( A ) + P( A ) = P( B ) = P( A ) + P( A 3 ) = = P( C) = P( A ) + P( A 4 ) = = Ioltre: A B = A C = B C = A e qud: P( A B ) = = = P( A) P( B) 4

31 Itroduzoe al calcolo delle probabltà 3 P(A C) = = = P(A) P(C) 4 P(B C) = = = P(B) P(C) 4 ed mplca che A, B, C soo dpedet a due a due. D altro lato A B C = A per cu P(A B C) = P(A ) = 4 metre P(A) P(B) P(C) = = 8 4 I deftva, possamo dre che tre evet A, B, C sopra deft soo dpedet a due a due, ma o lo soo a tre a tre. Aalzzamo ora le tre codzo (ecesstà, compatbltà, equprobabltà) dspesabl per msurare la probabltà co l metodo sopra descrtto. Questo c servrà per verfcare se questa procedura è abbastaza geerale da potere e s- sere utlzzato ua grade classe d cas o s tratta solo d ua partcolare s - tuazoe seza rlevate utltà applcatva. ) ecesstà: è sempre possble defre gl evet geerat da ua prova, aggugedoe ed elmadoe alcu, d modo che quest sao u sstema d evet ecessar; ) compatbltà: è sempre possble defre gl evet geerat da ua prova d modo che quest sao fra d loro compatbl a due a due; 3) equprobabltà: questa codzoe può essere verfcata solo quelle prove, quegl espermet, che possoo essere programmat e rpetut (estrazo da ure, laco d dad regolar, laco d moete o truccate ecc.). I altr term, delle tre codzo date, la terza è quella pù dffcle da verfcare e gustfcare. Per esempo, se la prova cosste ell estrazoe d palle da ure l equprobabltà s può otteere rchededo che le palle sao tutte della stessa dmesoe e dello stesso materale, a meo del colore, ed effettuare l estrazoe al buo. Se vece l espermeto cosste el sottopors ad u - terveto chrurgco possbl evet (guargoe, valdtà, morte ecc.) quas ma soo equprobabl, é possoo essere rformulat modo da rederl tal. Ma

32 4 Captolo c è d pù, rchedere la equprobabltà ell ambto della msura della probabltà vuole dre avere msurato quello che s vuole msurare: s cade ua tautologa, u crcolo vzoso. Il problema della msura della probabltà vee comuque rsolto modo pragmatco rcorredo ad u ulterore postulato che, pur o facedo parte del corpus de postulat del calcolo delle probabltà, è utle per otteere ua msura emprca della probabltà d u determato eveto. Tale postulato è l postulato emprco del caso. Il postulato emprco del caso afferma che ua successoe d prove r - petute molte volte, sempre elle stesse codzo, la frequeza relatva f delle volte cu u eveto s è effettvamete verfcato: f = umero de cas cu s è presetato l' eveto, umero delle prove effettuate s avvca sempre pù alla probabltà p del verfcars dell eveto stesso al crescere delle prove effettuate. I modo pù stetco possamo affermare che all aumetare del umero delle prove, la frequeza relatva d u eveto (s calcola dopo che le prove soo state effettuate) tede alla probabltà dell eveto stesso (s calcola prma che la prova vega effettuata): p f Notare che la frequeza è u cocetto a posteror: s calcola dopo avere effettuato l espermeto, la probabltà è u cocetto a pror: s calcola prma che l espermeto sa stato effettvamete fatto. Esempo 6 Cosderamo u ura coteete 50 palle tutte delle stesse dmeso e dello stesso m a- terale a meo del colore: 30 soo bache e 0 soo rosse. Idchamo co:

33 Itroduzoe al calcolo delle probabltà 5 B = esce, all -esma estrazoe, palla d colore baco, R = esce, all -esma estrazoe, palla d colore rosso. Suppoamo d volere estrarre due palle dall ura e d essere teressat a calcolare la probabltà dell eveto seguete: A = esce ua palla baca ed ua rossa. Questo eveto, term formal, può essere scrtto el modo seguete: A = (B R ) (R B ). Osservamo che o samo teressat all orde de color e che due evet (B R ) e (R B ) soo fra d loro compatbl dato che o s preseta la prma coppa d palle o s preseta la secoda coppa. Osservamo acora che le due palle possoo essere estratte due mod alteratv: a) co remmssoe (estrazoe beroullaa): la prma palla estratta vee reserta ell ura per effettuare la secoda estrazoe; b) seza remmssoe (estrazoe blocco): la prma palla estratta vee tolta dall ura per cu, alla secoda estrazoe, questa s modfca. Aalzzamo due cas separatamete: a) Co remmssoe: Questo tpo d estrazoe dà luogo ad evet dpedet el seso che le estrazo successve soo dpedet dalle precedet dato che o modfcao la composzoe dell ura. Abbamo P(A) = P[(B R ) (R B )] = P(B R ) + P(R B ) = = P(B ) P(R ) + P(R ) P(B ) = + = = b) Seza remmssoe: Questo tpo d estrazoe dà luogo ad evet dpedet: le estrazo successve dpedoo da quelle precedet dato che modfcao la composzoe dell ura:

34 6 Captolo Avremo: P(A) = P[(B R ) (R B )] = P(B R ) + P(R B ) = P(B ) P(R B ) + P(R ) P(B R ) = = Come s può otare, le probabltà otteute co due metod d estrazoe soo dfferet. E facle verfcare che al crescere della umerostà dell ura le due probabltà tedoo ad avvcars..5 Il teorema d Bayes I questo paragrafo preseteremo u rsultato che va sotto l ome d teorema o regola d Bayes e s ottee come applcazoe del quto postulato. Questo rsultato s rfersce al caso cu u dato eveto, dcamo E, o s preseta ma da solo, ma sempre seme ad altr evet, dcamo H, H,..., H k. Da u puto d vsta pratco, l teorema d Bayes permette d rsolvere l seguete problema: soo ote le probabltà P(H ), =,,...,k soo ote le probabltà P(E H ), =,,...,k; sappamo che E s è verfcato; voglamo calcolare le probabltà: P(H E).

35 Itroduzoe al calcolo delle probabltà 7 Notare che, se le H soo dvduate come le possbl cause che possoo geerare E, la formula d Bayes permette d calcolare la probabltà che l verfcars d E sa attrbuble alla causa H. S tratta del complcato ed rrsolto problema della rcerca delle cause essedo, come detto, fuzoe delle P(H ) che ella realtà soo cogte e lascate alla determazoe soggettva del rcercatore: s è verfcato cotrovertblmete u dato fatto, bsoga valutare quale è stata la causa che pù verosmlmete lo ha determato. Vedamo ora come l problema sopra llustrato può essere rsolto. Suppoamo, seza perdere geeraltà, che k evet H sao ecessar ed compatbl: H H... H k = Ω H H j = Ø, j Possamo così scrvere le dettà seguet E = E Ω = E ( H H... H k ) = = ( E H ) ( E H )... ( E H k ) Osservamo che gl evet ( E H ), ( E H ),..., ( E H k ) soo a due a due compatbl e qud possamo scrvere P(E) = P( E H ) + P( E H ) P( E H k ). Ioltre, per l quto postulato rsulta

36 8 Captolo P( E H ) = P( H E) P( H ) da cu rcavamo P( H E) = P( H ) P( E H ), che sosttuta P( E) dvee P( E) = P( H ) P( E H ) + P( H ) P( E H ) P( H k ) P( E H k ). Rutlzzado l quto postulato s ha P( H E) = P( H E) P( E) e sosttuedo quest'ultma espressoe le precedet due otteamo la regola d Bayes: P( H ) P( H E) = E = P( E) = P( H )P( E H ) P( H )P( E H ) + P( H )P( E H ) P( H k )P( E H k, =,,...,k ) Le probabltà P( H ) vegoo dette a pror, le probabltà P( E H ) vegoo dette probatve o verosmglaze, le probabltà P( H E) vegoo dette a posteror. Cò che d solto rsulta d dffcle determazoe soo propro le probabltà a pror che spesso vegoo lascate alla soggettvtà del rcercatore o s basao su espereze passate. Esste u floe molto mportate della statstca che vee svluppato a partre dal teorema d Bayes e prede l ome d Statstca Bayesaa. Nel seguto o affroteremo ua tale problematca. Esempo 7 Nella produzoe d u lotto d dad s è verfcato u guasto per cu e due terz de dad prodott al posto del umero è stato mpresso l umero 3. Scelto u dado a caso, seza

37 Itroduzoe al calcolo delle probabltà 9 guardare se è buoo o dfettoso, s effettuao 5 lac otteedo l rsultato E={F F 3 F 3 F 5 F 4 } ove F dca l eveto: s preseta la facca co put. Voglamo calcolare la probabltà che l dado estratto sa dfettoso. Idchamo co D : l dado estratto è dfettoso D : l dado estratto è buoo s ha mmedatamete Ω = D D e qud bsoga calcolare P(D E). E charo che s tratta d u tpco problema d rcerca della causa che può essere rsolto utlzzado la formula d Bayes ove rsulta k=, H = D, H = D. S otterrà qud P( D E) = P( D )P( P( D )P( E D ) E D ) + P( D )P( E D ) e dato che P(D) = 3 ; P( D ) = - 3 = 3 ; P( E D) = P[( F F 3 F 3 F 5 F 4 ) D] = P( E D ) = P[( F F 3 F 3 F 5 F 4 ) D - ] = = 5 ; 6 = 5 ; 6 avremo P( D E) = = 9 8. S osserv che abbamo supposto ote le probabltà a pror P( D) e P( D ) metre tutto l resto è stato dervato.

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39 Captolo LE VARIABILI CASUALI. Itroduzoe Fo ad ora abbamo trattato degl evet (possbl rsultat d ua data prova stetzzat ell seme campoaro S) e della probabltà che a cascuo d quest evet rmae assocata. I altr term, defta ua data prova, rsultao ad essa assocat k evet co le relatve probabltà A, A,..., A k p, p,..., p k. Abbamo vsto che le probabltà soo de umer o egatv metre gl evet soo delle fras, delle proposzo e come tal d dffcle mapolazoe (s deve rcorrere a operazo logche come avvee ell algebra d Boole). Scopo d questo captolo è quello d assocare agl evet de umer per avere elemet che possao essere faclmete aalzzat co la ormale algebra umerca. Rcordamo, tato, che gl elemet d S possoo essere sempre mapolat d modo che sao ecessar ed compatbl. Qu d seguto supporremo, per l apputo, che k evet A geerat da ua specfca prova sao e f- fettvamete ecessar ed compatbl. Questo vuol dre che è sempre p = P(A ) 0, =,,...,k; k = p =. I tal modo k evet ottebl dall espermeto, asseme alle propre probabltà, possoo essere rportat ua tabella:

40 3 Captolo Evet Probabltà A p A p A k p k Defamo ora ua fuzoe uvoca X(.) che assoca ad og eveto A u umero della retta reale, =,,...,k. I tal modo questa tabella dvee Valor Probabltà p p k p k Questa tabella rappreseta la varable casuale (el seguto v.c.) geerata da quell espermeto sotto la fuzoe X( ). Naturalmete, o è detto che la relazoe fra umer real ed evet debba essere ecessaramete buvoca, ma ad evet dvers potrebbe corrspodere lo stesso valore della retta reale come evdezato ella fgura seguete S = ove agl otto evet geerat dalla prova corrspodoo, tramte la X( ), cque

41 Le varabl casual 33 valor dstt della retta reale. Pù precsamete, la relatva v.c. assocable alla precedete fgura avrebbe la struttura qu d seguto rportata p p 4 p +p 5 3 p 4 p 3 +p 6 5 p 7 +p 8 Le varabl casual, così come abbamo fatto per le dstrbuzo d frequeza, le dcheremo co ua delle ultme lettere mauscole dell alfabeto lato (X, Y, Z, U, V,...). Poché la legge d assocazoe fra evet e umer è soggettva, vuol dre che dagl evet geerat da ua data prova s possoo dervare pù varabl casual mutado la legge d assocazoe X( ). I pratca, dato u certo espermeto, la legge d assocazoe X( ) sarà scelta fra le fte possbl base alle esgeze cocrete che s vogloo studare. Esempo Cosderamo come prova l laco d u dado regolare. I questo caso possbl evet geerat dalla prova soo se che dchamo co A, A,..., A 6, ove s è posto A = Esce la facca co put. Sappamo che è P(A ) = p = /6 e qud possamo scrvere A A A A 3 A 4 A 5 A 6 p Se sceglamo come fuzoe d seme la seguete X(A ) =, =,,...,6 otteamo la v.c. ad essa assocata: p

42 34 Captolo Suppoamo ora che l laco del dado sa da mettere relazoe ad ua scommessa: se s verfcao gl evet A oppure A oppure A 3 vco ua lra, metre se escoo le facce A 4 oppure A 5 oppure A 6 perdo ua lra. I questo caso la fuzoe d seme che c teressa ha la struttura seguete X(A ) = se =,,3 se = 4,5,6 e la relatva v.c. assocata allo stesso espermeto avrà la struttura seguete: p 6 6. Varabl casual dscrete e dstrbuzo d frequeza Come abbamo fatto per le dstrbuzo d frequeza, ache le varabl casual s dstguoo dscrete e cotue, semplc e multple ed partcolare doppe. Ua v.c. X è dscreta se valor che assume soo umero dscreto fto o umerable. Ua varable casuale dscreta è ota se lo è la sua dstrbuzoe d probabltà, ovvero se soo ot sgol valor assut co le rspettve probabltà. La d - strbuzoe d probabltà d ua v.c. dscreta fta assume ua struttura come quella qu d seguto rportata p p p k p k

43 Le varabl casual 35 p Affché X sa ua v.c. dscreta è ecessaro e suffcete che le probabltà, =,,...,k, soddsfo le due codzo gà mezoate: p 0, =,,...,k ; k = p =, dpedetemete dalla prova che la ha geerata. Notare che valor soo assut dalla X, o co certezza, ma co probabltà p, da cu l ome d varable casuale o varable aleatora. Mostramo ora che le v.c. soo, el seso che llustreremo fra poco, ua geeralzzazoe delle dstrbuzo d frequeza. A tale proposto cosderamo l seguete esempo. Esempo Suppoamo d aver rlevato l umero de compoet d 05 famgle otteedo la dstrbuzoe d frequeza che segue ove, accato alle frequeze assolute, abbamo rportato ache quelle relatve f Se estraamo a caso ua famgla delle 05 cosderate otteamo uo de seguet evet A, A, A 3, A 4, A 6, A 7, ove l dce dca l umero de compoet della famgla estratta, così per esempo rsulta Osservamo che A 3 = Vee estratta ua famgla co tre compoet P(A ) = ; P(A ) = ; P(A3 ) = ; P(A4 ) = ; P(A6 ) = ; P(A 7 ) = 05 ove queste probabltà soo state calcolate utlzzado la regola del rapporto fra cas favorevol

44 36 Captolo e cas possbl. I tal modo, possbl rsultat dell'espermeto soo rassut ella tabella che segue A A A 3 A 4 A 6 A p Cosderamo ora la seguete regola che assoca a cascuo degl evet A u umero reale X(A ) = altr term X(A ) è la fuzoe che assoca all'eveto A l umero de compoet della famgla cu l eveto s rfersce. Otteamo la v.c. dscreta p Come s può otare, questa varable casuale ha la stessa struttura della dstrbuzoe d frequeza ache se la sua terpretazoe e sgfcato logco è del tutto dfferete: la dstrbuzoe d frequeza è ua fotografa della realtà, la varable casuale è legata alla aleatoretà dell estrazoe d u elemeto dalla popolazoe delle famgle. Da quato abbamo llustrato ell esempo precedete segue che ad og dstrbuzoe d frequeza e ad og popolazoe rappresetable co ua dstrbuzoe d frequeza è possble assocare ua varable casuale che ha la stessa struttura della dstrbuzoe d frequeza data. I geere, però, o vale l vceversa dato che possoo esstere feome potetc che o possoo essere descrtt co dstrbuzo d frequeza, ma possoo essere aalzzat rcorredo a varabl casual. U esempo tpco è costtuto da possbl reddt che u dvduo avrebbe potuto guadagare u dato ao. S tratta d u feomeo potetco che può essere aalzzato co ua qualche varable casuale, ma o può essere descrtto da ua dstrbuzoe d frequeza. Tutto questo mplca che la classe delle varabl casual clude quella delle dstrbuzo d frequeza: le varabl casual soo ua geeralzzazoe delle dstrbuzo d frequeza.

45 Le varabl casual 37 Ua mplcazoe d questo rsultato è che tutte le aals, sao esse grafche o aaltche, che abbamo fatto per le dstrbuzo d frequeza valgoo per le varabl casual. I partcolare, avremo momet seguet. LA MEDIA ARITMETICA Data la v.c. X la sua meda artmetca è data da k µ= E(X) = = p. LA VARIANZA Data la v.c. X la sua varaza è data da σ = E[(X - µ) ] = µ ) k = ( IL MOMENTO DI ORDINE r Data la v.c. X l suo mometo d orde r è dato da k µ r = E(X r ) = = r p p. L INDICE DI ASIMMETRIA Data la v.c. X l suo dce d asmmetra è dato da 3 X µ γ =E = σ σ k 3 = ( µ ) 3 p L INDICE DI CURTOSI Data la v.c. X l suo dce d curtos è dato da 4 k γ = E X µ - 3 = ( ) σ 4 µ 4 p - 3 σ = Le propretà e l terpretazoe d quest dc, e d quell aalogh qu o

46 38 Captolo rportat per brevtà, soo le stesse d quelle vste el volume prmo per le d - strbuzo d frequeza. Esempo 3 Calcolamo meda, medaa e varaza delle due varabl casual rportate ell esempo Per la prma varable casuale otteamo µ = ( ) = = M e = = σ = µ - µ = ( ) - (3.5) = = -.5 = = Per la secoda varable casuale otteamo µ = ( + ) = 0 M e = + = 0 σ = µ = [(-) + ] =. Osservamo che questa secoda varable casuale è stadardzzata..3 Le varabl casual doppe dscrete Oltre alle varabl casual semplc dscrete esstoo quelle multple dscrete ed partcolare le doppe. I questo paragrafo c occuperemo brevemete d queste ultme. Ua varable casuale doppa dscreta d solto vee dcata co (X, Y) e descrtta ua tabella a doppa etrata come quella rportata qu d seguto all tero delle cu caselle soo poste le probabltà che cascua coppa

47 Le varabl casual 39 (, y j ) assume: Y\ X 3... k y p p p 3... p k p. y p p p 3... p k p. y 3 p 3 p 3 p p k3 p y h p h p h p 3h... p kh p.h p. p. p p k. I partcolare p j = P{X= Y=y j }. I altr term, p j è la probabltà che la varable casuale X assuma l valore e cotemporaeamete la varable casuale Y assuma l valore y j. D solto, per semplfcare la scrttura s usa la smbologa seguete Osservamo acora che è p j = P{X=, Y=y j } h p. = j = k p j ; p. j = = p j ; k = = h p. = j = p. j = k = h j = p j Così come abbamo fatto per le dstrbuzo d frequeza, ache dalle varabl casual doppe è possble dervare le due varabl casual margal X ed Y, le h varabl casual codzoate (X Y=y j ) le cu rspettve probabltà codzoate soo date da p j p j = P{X= Y=y j } = =,,, k p e le k varabl casual codzoate (Y X= ) le cu rspettve probabltà codzoate soo date da p j p j = P{Y=y j X= } = j=,,, h ; p oltre, X ed Y soo dpedet se e solo se rsulta. j.

48 40 Captolo p j = p. p. j per og, j. Ovvamete le elaborazo che abbamo fatto sulle dstrbuzo d frequeza doppe possoo essere effettuate sulle varabl casual doppe. I partcolare, u ruolo rlevate assumoo momet d seguto rportat. MOMENTO MISTO DI ORDINE, Data la v.c. doppa (X, Y) questo mometo è dato da µ = µ y = E( X Y) = k = h j = y j p j. LA COVARIANZA Data la v.c. doppa (X, Y) questo mometo è dato da h ( j y j = σ y = cov(x, Y) = E[(X-µ )(Y-µ y )] = µ )( y µ ) k = p j che msura gl evetual legam lear esstet fra X ed Y. LA CORRELAZIONE Data la v.c. doppa (X, Y) questo mometo è dato da ρ y = corr(x,y) = σ σ y σ y che msura l testà degl evetual legam lear esstet fra le due varabl casual X ed Y. MOMENTI CONDIZIONATI Dalle v.c. doppe del tpo (X, Y) è possble dervare le h varabl casual semplc codzoate del tpo (X Y=y j ). Naturalmete, d queste h varabl casual semplc possamo calcolare relatv momet otteedo gl h momet codzoat. I partcolare, la meda d (X Y=y j ), d solto dcata co µ y j oppure co E X (X Y=y j ), è defta come

49 Le varabl casual 4 µ yj = E (X Y=y j ) = k = k p j = = p p j. j, per j=,...,h E facle verfcare che la meda della margale è par alla meda delle mede codzoate, smbol: E y [E ( X Y=y j ) ] = E( X). Ifatt, E y [E ( X Y=y j )] = h j = µ yj p.j = h j = k = p p j. j p. j = h j = k = p j = k j = h = k p j = j = p. = µ = E( X) Cosderazo del tutto sml valgoo per µ y = E ( Y X= ). U rsultato aalogo può essere esteso alla varaza, fatt s può verfcare (lo abbamo gà dmostrato per le dstrbuzo d frequeza doppa) che: la varaza della margale è par alla meda delle varaze codzoate pù la varaza delle mede codzoate, smbol Var( X) = E y [Var( X Y=y j ) ] + Var y [E( X Y=y j ) ]..4 Le varabl casual cotue Accato a prove che geerao u umero fto o umerable d evet ed a cu, fssata ua fuzoe d seme X(A ), rmae assocata ua v.c. dscreta X, e esstoo altre che geerao ua ftà cotua d evet a cu potrà essere assocata ua v.c che assumerà tutt valor d u tervallo (che potrà cocdere

50 4 Captolo evetualmete co l tera retta reale). I tal modo s otterrà ua v.c. X cotua. Per le v.c. cotue o sarà possble utlzzare ua formalzzazoe detca a quella delle dscrete dato che questo caso valor assut o soo elecabl e qud o sarà possble attrbure a cascuo d quest ua probabltà corrspodete, ma sarà ecessaro defre ua fuzoe che e descrva l meccasmo probablstco. Per charre meglo la stuazoe del caso cotuo llustramola co u esempo. Esempo 4 Cosderamo u sstema d ass cartesa ed u cercho d raggo utaro e cetro l orge degl ass. Suppoamo che su questo cercho sa fssata ua frecca perfettamete equlbrata co pero l cetro del sstema e puta che ruota toro alla crcofereza del cercho. Se s fa ruotare la frecca toro al pero la sua puta, dopo u certo umero d gr, s fermerà qualche puto della crcofereza. Se s rpete l espermeto o è certo che la frecca s ferm ello stesso puto. Questo vuol dre che l espermeto geera ua ftà cotua d evet casual detfcabl co tutt put della crcofereza che, per quato detto, è par all tervallo [0; ð]. La fgura che segue llustra l meccasmo dell espermeto sopra descrtto. S vuole calcolare la probabltà che la frecca s ferm esattamete el puto A della crcofereza e la v.c. defta dalla fuzoe X(A) = lughezza dell arco (0, A) La varable casuale così descrtta è ua varable casuale cotua dato che può assumere valor tutt put dell tervallo [0; π ]. Vedamo ora se, per calcolare P(A) valgoo le codzo d ecesstà, compatbltà ed equprobabltà per cu rsulta possble utlzzare, per calcolare le probabltà, la formula: cas favorevol dvso cas possbl. Gl evet geerat da questa prova soo scuramete ecessar dato che la frecca deve fermars u qualche puto della crcofereza; soo scuramete compatbl dato che se s