Lezione 1. I numeri complessi

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1 Lezoe Prerequst: Numer real: assom ed operazo. Pao cartesao. Fuzo trgoometrche. I umer compless Nell'attuale teora de umer compless cofluscoo due fodametal dee, ua artmetca, l'altra geometrca. La prma, rsalete all'opera L'Algebra (57) del matematco bologese Rafael Bombell, cosste ell'trodurre u "umero mmagaro" (da lu chamato pù d meo) l cu quadrato sa uguale a. La secoda, dovuta al matematco tedesco Carl Fredrch Gauss ( ), prevede d uscre dalla retta reale, e d vadere l pao al fe d trovare ua radce ad u qualsas polomo reale d grado postvo. Tal soo le org storche del coteuto d questa lezoe. Nel prodotto cartesao R = R R s defscoo le seguet due operazo: - ua somma, poedo, per og a, b, c, d R, ( a, b) + ( c, d) = ( a + c, b + d); - u prodotto, poedo, per og a, b, c, d R, ( a, b) ( c, d) = ( ac bd, ad + bc). La somma gode delle seguet propretà: (a) per og a, b, R, ( a, b) + (0,0) = (0,0) + ( a, b) = ( a, b) (l'elemeto (0,0) è lo zero); (b) per og a, b, R, ( a, b) + ( a, b) = ( a, b) + ( a, b) = (0,0) (l'elemeto ( a, b) è l'opposto d ( a, b ), dcato ache co ( a, b) ); (c) per og a, b, c, d R, ( a, b) + ( c, d) = ( c, d) + ( a, b) (la somma è commutatva); (d) per og,,,,,, assocatva). ( a, b) + ( c, d) + ( e, f ) = ( a, b) + ( c, d) + ( e, f ) (la somma è a b c d e f R ( ) ( ) Il prodotto gode delle seguet propretà: (e) per og a, b, R, ( a, b) (,0) = (,0) ( a, b) = ( a, b) ( l'elemeto (,0) è l'uo); (f) per og a, b, R tal che ( a, b) (0,0), a b a b ( a, b),, ( a, b) (,0) = = a + b a + b a + b a + b a b (l'elemeto, a + b a + b è l'verso d ( a, b ), dcato ache co ( a, b) ); (g) per og a, b, c, d R, ( a, b) ( c, d) = ( c, d) ( a, b) (l prodotto è commutatvo); (h) per og,,,,,, assocatvo). ( a, b) ( c, d) ( e, f ) = ( a, b) ( c, d) ( e, f ) (l prodotto è a b c d e f R ( ) ( )

2 Ioltre vale la seguete propretà: () per og,,,,,, ( a, b) ( c, d) + ( e, f ) = ( a, b) ( c, d) + ( a, b) ( e, f ) (l prodotto è a b c d e f R ( ) dstrbutvo rspetto alla somma). Eserczo.* Verfcare le propretà (a)-(). Svolgmeto: Effettuamo alcue delle verfche, lascado le rmaet al lettore. (c) Sao a, b, c, d R. Allora ( a, b) + ( c, d) = ( a + c, b + d) = ( c + a, d + b) = ( c, d) + ( a, b), ove la prma e la terza uguaglaza dervao dalla defzoe d somma cosegueza della propretà commutatva della somma R. (f) Sao a, b R tal che ( a, b) (0,0). Allora R, metre la secoda è a b a b b a ( a, b), a b, a b a b a b = + a b a b a b a b = a + b ab + ba =, (,0), = a + b a + b ove la prma uguaglaza segue dalla defzoe d prodotto R, metre la secoda e la terza dalle propretà delle operazo R. Aalogamete s prova l'dettà per l prodotto co fattor scambat. (h) Sao a, b, c, d, e, f R. Allora ( ) ( a, b) ( c, d) ( e, f ) = ( a, b) ( ce df, cf + de) = ( a( ce df ) b( cf + de), a( cf + de) + b( ce df )) = ( ace adf bcf bde, acf + ade + bce bdf ) = (( ac bd) e ( ad + bc) f,( ac bd) f + ( ad + bc) e) ( ) = ( ac bd, ad + bc) ( e, f ) = ( a, b) ( c, d) ( e, f ) Defzoe. L'seme R, dotato delle operazo d somma e prodotto sopra defte, s dce campo complesso, e lo s deota C. I suo elemet s dcoo umer compless. Vedremo pù avat l sgfcato della parola campo. Il ostro prossmo obettvo è vedere l campo complesso come u'estesoe del campo reale: s tratta d detfcare determat umer compless co umer real ed osservare che, tra ess, le operazo d somma e d prodotto sopra defte cocdoo co quelle d somma e d prodotto defte per umer real. Cò rsulterà dalle seguet cosderazo. Per og a R, detfchamo l umero complesso ( a, 0) col umero reale a. Allora, per og a, b R, la somma d umer real a + b s detfca co la somma d umer compless

3 ( a,0) + ( b,0), ed l prodotto d umer real ab s detfca co l prodotto d umer compless ( a,0) ( b,0). I effett, " cot torao", quato ( a,0) + ( b,0) = ( a + b,0 + 0) = ( a + b,0), ( a,0) ( b,0) = ( a b 0 0, a b) = ( ab,0). Potremo così scrvere a al posto d ( a,0). All'tero d C, dstgueremo, oltre, u partcolare elemeto. S ha (0,) = (0,) (0,) = (0 0,0 + 0) = (,0). Qud, state l'detfcazoe trodotta sopra, (0,) è u umero complesso l cu quadrato è uguale al umero reale. Lo s chama utà mmagara e lo s dca co. Osservazoe.3 Ache l quadrato d è uguale a, fatt (0, ) = (0, ) (0, ) = (0 0 ( ) ( ),0 ( ) + ( ) 0) = (,0). I umer e soo quell che Bombell chamava, rspettvamete, pù d meo e meo d meo. Per og ( a, b) C, s ha ( a,0) + ( b,0)(0,) = ( a,0) + ( b 0 0, b + 0 0) = ( a,0) + (0, b) = ( a, b) Pertato, l umero complesso z = ( a, b) s può scrvere ella forma a + b oppure a + b. Questa s dce forma algebrca del umero complesso z. Il umero reale a s dce parte reale, l umero reale b s dce parte mmagara. S scrve a = Re( z); b = Im( z). S ha ( a, b) R se e solo se b = 0; qud umer real s detfcao co umer compless avet parte mmagara ulla. I umer compless avet parte reale ulla s dcoo mmagar pur. Eserczo.4 Trovare due umer compless l cu quadrato sa uguale a. Svolgmeto: Tal umer soo e. Ifatt ( ) ( ) = =, = =. Pù geerale, le radc quadrate del umero reale egatvo a soo a e a.

4 Osservazoe.5 Scrvedo umer compless ella forma algebrca, le operazo tra umer compless s possoo effettuare pù agevolmete che o applcado, a memora, le defzo d somma e d prodotto date all'zo d questa lezoe. Ad esempo, calcolamo l prodotto de umer compless a + b e c + d : ( a + b)( c + d) = ac + bc + ad + bd = ac bd + ( ad + bc). Qu abbamo utlzzato le propretà delle operazo d somma e d prodotto, seme all'dettà =, e alla caratterzzazoe de umer real all'tero del campo complesso. Esempo.6 Presetamo alcu umer compless forma algebrca, dcado, ella seguete tabella, la parte reale e la parte mmagara. z Re( z ) Im( z ) 0 = = S ot che lo zero e l'uo d C cocdoo, rspettvamete, co umer real 0 e. Nell'Eserczo.4 abbamo determato le radc del polomo reale d secodo grado f ( x) = x +, ossa le soluzo dell'equazoe quadratca x + = 0. Geeralzzamo questo eserczo, estededolo ad og equazoe quadratca reale. Eserczo.7 Sao a, b, c R, ove a 0. Trovare le soluzo dell'equazoe quadratca + + = 0. ax bx c Svolgmeto: Posto - se 0, = b 4 ac, le soluzo soo b + b x =, x =, a a (real, oltre cocdet se = 0). - se < 0, b +, b x x = = a a complesse o real.

5 I geerale, le soluzo soo umer della forma dscrmate. b +δ, ove δ è ua radce quadrata del a Quado l dscrmate è egatvo, le soluzo hao la stessa parte reale mmagare che soo ua l'opposto dell'altra: questa relazoe predoo u ome partcolare. e a a, ma part a. Due umer compless legat da Defzoe.8 I umer compless z e z s dcoo (compless) cougat se Re( z) = Re( z) e Im( z) = Im( z). S dce ache che z è l (complesso) cougato d z, e vceversa. Duque, se a + b, co a, b R, l suo complesso cougato è a b. Quest'ultmo s dca ache co z. Proposzoe.9 (Propretà del complesso cougato) Sao z, w C. Allora valgoo le seguet propretà. a) z = z. b) z è u umero reale se e solo se z = z. c) z è u umero mmagaro puro se e solo se z = z. d) z + z = Re( z). e) z z = Im( z). f) z + w = z + w. g) z w = z w. h) z z = z + z Re( ) Im( ). Dmostrazoe: Provamo solo g), lascado al lettore la verfca delle rmaet propretà. Sao z = a + b, w = c + d, ove a, b, c, d R. Allora s ha e, d'altra parte, z w = ( a + b)( c + d) = ac bd + ( ad + bc) = ac bd ( ad + bc). z w = a + b c + d = ( a b)( c d) = ac bd + ( ad bc). Vale duque l'uguaglaza voluta. Itroducamo ora la rappresetazoe de umer compless el pao. Il pao d Gauss è l pao cartesao, cu l'asse delle ascsse prede l ome d asse reale, l'asse delle ordate prede l ome d asse mmagaro, e s detfca, per og a, b R, l puto d coordate ( a, b ) co l umero complesso a + b. I questo modo, lo zero è assocato all'orge, l umero reale a al puto

6 dell'asse reale d ascssa a, l umero mmagaro puro b al puto dell'asse delle ordate d ascssa b. Osservamo che og puto P dstto dall'orge è dvduato uvocamete da due gradezze geometrche: - la dstaza eucldea d P dall'orge; - l'ampezza dell'agolo che l'asse reale deve percorrere, ruotado toro all'orge seso atoraro, per sovrappors alla retta cogugete l'orge ed l puto P. ρ θ Detto z l umero complesso assocato a P, la prma gradezza s dce modulo d z, deotato z, la secoda s dce argometo o aomala d z, deotato arg( z ). Quest'ultmo è defto a meo d multpl ter dell'agolo gro, ossa a meo d π, ove Z. Detto ρ l modulo d z e detto ϑ l'argometo d z, s scrve z = ρ, ϑ. [ ] Questa s dce la forma trgoometrca del umero complesso z. Osservamo che [ ρ, ϑ] [ ρ ', ϑ '] = se e solo se ρ = ρ ' ϑ = ϑ ' + π per qualche Z Qud, due forme trgoometrche rappresetao lo stesso umero complesso se e solo se modul soo ugual e gl argomet dfferscoo per u multplo tero d π (crtero d uguaglaza per le forme trgoometrche). La forma trgoometrca è legata alla forma algebrca z = a + b dalle seguet dettà: Pertato Ioltre s ha a = ρ cos ϑ, b = ρ s ϑ. z = ρ(cosϑ + s ϑ). () ρ = a + b.

7 Esempo.0 Determamo le forme trgoometrche d alcu umer compless, assegat forma algebrca. π a) z = =, ; 3π b) z = =, ; z = =,0 ; c) [ ] d) z = = [ π ] 3 3, ; π e) z = + =, ; 4 π Eserczo. Determare la forma algebrca del umero complesso z =, 6. Svolgmeto: S ha, base alla (), π π 3 z = cos + s = + = Eserczo. Calcolare l modulo de seguet umer compless: a) b)* ( + ) c)* ( + )( ) d)* e)* ( + 3 )(4 7 ). Svolgmeto: Svolgamo solo a). S ha = + + =, l cu modulo è. La forma trgoometrca è partcolarmete utle el calcolo del prodotto d umer compless. Sao z ρ, ϑ, w = σ, ϕ. Allora dat umer compless = [ ] [ ] ( cos( ) s( )) ( ) z w = ρ(cosϑ + s ϑ) σ (cosϕ + s ϕ) = ρσ (cosϑ cosϕ sϑ s ϕ) + (cosϑ sϕ + sϑ cos ϕ). = ρσ ϑ + ϕ + ϑ + ϕ Pertato s ha [ ρ ϑ] [ σ ϕ] [ ρσ ϑ ϕ],, =, +. ()

8 Il prodotto d umer compless forma trgoometrca s effettua, duque, moltplcado modul e sommado gl argomet. Questa propretà suggersce la cosddetta forma espoezale d u umero complesso: z = ρe ϑ. Rspetto a questa forma, la () s scrve el modo seguete: ( + ). ρ σ = ρσ (3) e ϑ e ϕ e ϑ ϕ I questa uguaglaza rtrovamo l modo cu, el campo reale, vegoo moltplcate le poteze avet la stessa base. Dalla () e dalla (3) seguoo, co u facle ragoameto duttvo, le formule per l'elevameto alla poteza -esma d u umero complesso forma trgoometrca ed forma espoezale. Per og N s ha: e [ ] ρ, ϑ = ρ, ϑ. (4) ( ϑ e ) e ϑ ρ ρ. = (5) Possamo utlzzare, dfferetemete, la (4) o la (5) per estrarre le radc -esme da u umero complesso o ullo. Defzoe.3 Sa N,. S dce radce -esma del umero complesso z og umero complesso w tale che w = z. Proposzoe.4 (Formule d De Movre). Sa z u umero complesso o ullo, d modulo ρ ed argometo ϑ. Allora z ha esattamete radc -esme, date dalle seguet formule: - (forma trgoometrca) - (forma espoezale) x ϑ + π = ρ, x ( = 0,..., ); ϑ + π = ρe ( 0,..., ). = Dmostrazoe: Utlzzeremo la otazoe espoezale. Provamo aztutto che, = 0,...,, x è ua radce -esma d z = ρe ϑ. I effett s ha, base alla (5), per og ϑ+ π ( ϑ+ π ) ϑ ρ ρ ρ x = e = e = e = z. Provamo qud che og radce -esma d z è uguale ad uo degl x. Sa w ua radce -esma d z, w = σ e ϕ. Allora, sempre base alla (5), s ha ( σ ϕ ) σ ϕ ρ ϑ. w = e = e = e

9 Dall'ultma uguaglaza, che traduce la codzoe w = z, segue, cofrotado modul e gl argomet secodo l crtero d uguaglaza per le forme trgoometrche, σ = ρ ϕ = ϑ + π per qualche Z, ossa σ = ρ ϑ + π ϕ = per qualche Z. Sa ora r l resto della dvsoe d per. Allora r { } q Z. Segue che ϑ + π ϑ + ( q + r) π ϑ + rπ = = + qπ. 0,...,, e = q + r per u opportuo ϑ + π ϑ + rπ Duque è dfferete predere, come argometo, oppure. Segue che ϑ+ rπ ϕ w = σ e = ρe = x r. Abbamo così provato che le formule d De Movre forscoo tutte le radc -esme d z. Provamo allora che umer x soo a due a due dstt (e qud soo esattamete ). Sao { }, ' 0,...,, '. Allora gl argomet d x e ( ') π ' = π, che o è u multplo tero d π : fatt per cu ( ) ', e ' 0, ' o è dvsble per, e, d cosegueza, uguaglaza per le forme trgoometrche segue che x x ' dfferscoo per Eserczo.5* Calcolare le radc quadrate, cubche, quarte e qute d. l umero ' o è u tero. I base al crtero d x, come volevas. Svolgmeto: Applchamo le formule d De Movre a z = = [, 0], successoe, per =, 3, 4,5. Per = otteamo le radc quadrate, che soo ' Rtrovamo le radc a o gà ote. 0 π 0 0 = = = x e e π, π x = e = e =.

10 Per = 3 otteamo le radc cubche, che soo 0 π = = = x e e, π π π π x = e = e = cos + s = +, 3 3 4π 4π 4π 4π x = e = e = cos + s =. 3 3 Per = 4 otteamo le radc quarte, che soo 0 π = = = x e e 4π 4, π π π π 4 x = e = e = cos + s =, π x = e = e = cosπ + sπ =, 6π 3π 3π 3π 4 x3 = e = e = cos + s =. A quelle gà ote, che soo e, s soo aggute l'utà mmagara ed l suo opposto. D'altrode sappamo che Il calcolo delle radc qute è lascato al lettore. Eserczo.6* Calcolare a) le radc seste d +, b) le radc quarte d 3 +. ( ) 4 4 ( ) = = = ( ) =.