LA FUNZIONE DI VEROSIMIGLIANZA

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1 A FUNZIONE DI VEROSIMIGIANZA HA UN RUOO IMPORTANTE NEA PROCEDURE DI INFERENZA STATISTICA COME: ) METODO DI COSTRUZIONE DI STIMATORI (IN SITUAZIONI COMPESSE) ) METODO DI INDIVIDUAZIONE DI TEST UNIFORMEMENTE PIU POTENTI

2 Fuzoe d verosmglaza, K, Osservato u determato campoe estratto da ua popolazoe la cu dstrbuzoe dpede da u parametro a fuzoe d verosmglaza dca la probabltà d osservare l campoe al varare del parametro Poché le osservazo campoare soo dpedet e detcamete dstrbute possamo scrvere la fuzoe d verosmglaza come prodotto delle probabltà delle sgole osservazo campoare: ( ) P( dat osservat; ) P(, K, ; ) P ( ; ) KP( ; ) f ( ; ) ( ; ) dove f corrspode alla probabltà o alla destà a secoda se è dscreta o cotua.

3 Metodo d massma verosmglaza Osservazoe: Nella fuzoe d verosmglaza dat campoar soo fssat, metre l valore del parametro cogto può varare. Qud la deve essere vsta come ua fuzoe del solo parametro che c dca quato è plausble uo specfco valore del parametro goto, ua volta che sa stato osservato l campoe. Se e soo due valor del parametro goto e se, dato l campoe, ( ) > ( ), dremo che l valore è pù verosmle d, alla luce del campoe osservato.

4 Metodo d massma verosmglaza Il metodo d massma verosmglaza per otteere ua stma del parametro goto, cosste el predere l valore d che massmzza la fuzoe d verosmglaza. Il valore che massmzza la è la stma d massma verosmglaza d ed è dcato co. ˆ Per coveeza s utlzza massmzzare l logartmo della detta log-verosmglaza,. log ( ) a stma d massma verosmglaza d è l valore che massmzza la, ossa log log ( ˆ ) suplog( ) ˆ

5 Stmatore d massma verosmglaza a stma d massma verosmglaza d è la soluzoe dell equazoe d verosmglaza: log 0 che el puto soddsfa ˆ log 0 Al varare del campoe osservato s avrà geerale ua dversa stma d massma verosmglaza del parametro. S ottee percò ua v.c. detta stmatore d massma verosmglaza del parametro. Se la popolazoe è Normale co meda µ e varaza σ gl stmator d massma verosmglaza per µ e σ soo: ˆ σ ( )

6 Il lvello del corso o permette ua trattazoe approfodta del metodo d costruzoe della massma verosmglaza Ma se: ˆ P ( λ ) λ ˆ E p λ λ f e s e : B e r ( ) ˆ

7 Esempo Popolazoe Beroullaa co parametro Campoe osservato,, K ; p [ ] 0 log log 0 ˆ

8 Test del rapporto delle massme verosmglaze U test co lvello d sgfcatvtà par ad α e ua fuzoe d poteza *( ) è detto uformemete pù potete a lvello α se:, Θ per og altro test co uguale lvello d sgfcatvtà α e fuzoe d poteza (). Test uformemete pù potet possoo essere dvduat medate l approcco basato sul rapporto delle massme verosmglaze.

9 Test uformemete pù potet possoo essere dvduat medate l approcco basato sul rapporto delle massme verosmglaze Dato u problema d verfca d potes: H : Θ cotro H : la statstca rapporto delle massme verosmglaze è: λ ( ) ( ) ( ) ma ˆ Θ ( 0 0) ma ( ) Θ Θ 0 0 dove ˆ è la stma d ma verosmglaza d co l vcolo Θ 0 0 metre ˆ è la stma d ma verosmglaza o vcolata. Λ() vara tra 0 e : pù è vco a 0 pù è grade l evdeza forta da dat cotro l potes ulla. Qud è logco cosderare u test che port a rfutare H0 a favore d H quadoλ() assume valor pccol: Per u opportuo c tale che 0<c<. R.C.: Λ() c I geere è scelto tale che l lvello d sgfcatvtà del test sa par ad u α prefssato.

10 Test ch-quadrato sull adattameto Tale test permette d verfcare se u modello teorco è adeguato a rappresetare u feomeo d teresse per l quale è stata osservata la dstrbuzoe d frequeza. Il test può essere applcato sa su varabl quattatve dscrete o cotue (suddvse class) sa su varabl qualtatve. Data ua varable co K modaltà A, A, K, A alle qual sao assocate ella popolazoe d rfermeto k le probabltà P( A),,, Kk. S suppoga d avere osservato le frequeze,, K, (frequeze osservate) corrspodeza d A, A, K, A. k k

11 obettvo è verfcare sulla base d ua dstrbuzoe d frequeze osservata, se u modello teorco è doeo a descrvere l feomeo. U modello teorco cosste ua dstrbuzoe d probabltà: P( A ) p, P( A ) p, K, P( A ) p co p 0 e p. k k 'potes ulla che s vuole sottoporre a test è: H : P( A ) p, per,, K, k. o l'potes alteratva, sotttesa assume che vece la dstrbuzoe dell e o è adeguata. Per effettuare l test s debboo cofrotare le frequeze osservate co le frequeze teorche, ossa quelle attese sotto l potes ulla p

12 Se l potes ulla è vera le frequeze attese u campoe d osservazo soo par a : ˆ p, ˆ p, K, ˆ p. Il test s esegue cofrotado le frequeze teorche co quelle osservate: quato pù è grade la dstaza tra esse tato meo verosmle è H. S utlzza la statstca test: χ ( ) k ˆ ˆ k k che sotto l'potes ulla è ota ed al crescere d s dstrbusce come ua v.c. ch-quadrato co k- g.d.l. Il valore della statstca test aumeta all'aumetare del umeratore per cu è ragoevole dvduare la regoe d accetazoe per valor pccol della statstca test: quato pù è pccolo l suo valore osservato tato pù plausble appare l'potes ulla: R.A.: χ χ e R.C.: χ > χ k, α k, α soo le rego d accetazoe e rfuto al lvello d sgfcatvtà α. 0

13 Nota: Sul test d omoschedastctà Nel caso d test d cofroto tra mede per due campo dpedet proveet da due popolazo ormal co σ e σ cogte essedo 30 e/o 30 è ecessaro effettuare l test d omoschedastctà ossa d uguaglaza delle varaze. Se s accetta l potes d omoschedastctà s utlzza ella statstca test dffereza tra le mede campoare studetzzata come stmatore della varaza (uca e par aσ ) della popolazoe la varaza pooled. S ot che se s rfuta l potes d omoschedastctà la statstca test dveta: S S T t c o g S S S S g