Unità 11. Studio di più variabili. Interpolazione. Regressione. Correlazione. Notazione matriciale

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1 Utà 11 Studo d pù varabl Iterpolazoe Regressoe Correlazoe Notazoe matrcale 1

2 INTERPOLAZIONE Può spesso captare d scoprre l essteza d ua relazoe spermetale tra due (o pù) varabl ed è allora aturale rcercare u espressoe matematca (equazoe) che legh le varabl questoe. I questa sede c lmteremo ad aalzzare l caso cu s cosdero solo due varabl (X e Y). Dopo avere raccolto dat che forscoo valor corrspodet delle varabl X e Y, le osservazo otteute possoo essere rappresetate grafcamete u sstema d coordate cartesae. La rappresetazoe grafca che s ottee vee detta dagramma (o grafco) a dspersoe o scatter plot.

3 La fgura sotto mostra u esempo d dagramma a dspersoe otteuto u campoe d doe, cu ell asse delle ascsse è rportata l età (a) e quello delle ordate soo rportate le pulsazo cardache (battt al muto). 3

4 Dall aals dello scatter plot è spesso possble avere u dea tutva dell essteza o meo d ua possble relazoe fra X e Y e dell adameto d ua curva che passa abbastaza vco a dat. Ua curva d questo geere è detta curva terpolatrce. Nell esempo Fgura 1 dat sembrao bee terpolat da ua retta. I questo caso possamo pesare che tra le due varabl essta ua relazoe leare. Fgura 1 4

5 Cosderado vece l esempo Fgura s può acora potzzare che essta ua relazoe fra X e Y, ma questo caso la relazoe è o leare. Fgura 5

6 Cosderado fe l precedete scatter plot età vs pulsazo cardache (Fgura 3) è dffcle potzzare che essta ua relazoe fra X e Y, ache se sembra che v sa ua debole tedeza all aumeto delle pulsazo all aumetare dell età. Fgura 3 6

7 Il problema geerale d trovare l equazoe d ua curva che terpol cert dat è detto terpolazoe. Così per dat Fgura 1 s potrebbe usare l equazoe d ua retta Y a + b X metre per quell Fgura s potrebbe usare l equazoe d ua parabola Y a + b X + c X 7

8 REGRESSIONE Uo degl scop prcpal dell terpolazoe è stmare ua delle varabl (varable dpedete) per mezzo dell altra (varable dpedete). Il procedmeto d stma è detto regressoe. Se, utlzzado u opportua equazoe, Y è stmata a partre da X, la relazoe matematca mpegata è detta equazoe d regressoe d Y X. La curva corrspodete è detta curva d regressoe d Y X. 8

9 METODO DEI MINIMI QUADRATI Esste pù d ua curva d u certo tpo che terpola dat. Ode evtare valutazo persoal e soggettve, è ecessaro defre u metodo per otteere la mglore curva terpolate. A ttolo d esempo s cosder la curva Fgura 4, dove dat spermetal soo put (, ) co 1,,.,. Per og c sarà ua dffereza fra e l corrspodete valore determato dalla curva C. S dch co d tale dffereza, detta errore. Ovvamete d potrà essere maggore, more o uguale a 0. Fgura 4 9

10 Ua msura della botà dell adattameto della curva C all seme de dat è rappresetata dalla somma d tutt gl error elevat al quadrato, coè da J d1 + d d È ovvo che tato more è J, tato mglore è l adattameto. Defzoe. La mglore curva terpolatrce è quella che rede mma la precedete somma J (curva d regressoe de mm quadrat o, semplcemete, curva de mm quadrat ). I partcolare, se la curva C è ua retta, s parlerà d retta de mm quadrat. 10

11 CORRELAZIONE E REGRESSIONE LINEARE La correlazoe e la regressoe soo tecche per aalzzare la relazoe fra due o pù varabl cotue. La domada pù semplce da porre è: C è u assocazoe leare fra le varabl? Ovvero: Esste ua relazoe del tpo Y a + bx che lega le varable X e Y? Co la correlazoe s cerca u assocazoe leare fra due varabl e la forza dell assocazoe è dcata dal coeffcete d correlazoe. Quado l coeffcete d correlazoe è basato su osservazo d valor orgal è oto come coeffcete d correlazoe d Pearso. Quado vece è calcolato dopo avere ordato dat è oto come coeffcete d correlazoe per dat ordat d Spearma. 11

12 I cas cu può o essere approprato utlzzare l coeffcete d correlazoe soo: 1) l coeffcete d correlazoe o deve essere utlzzato se la relazoe è o leare [Fgure a e b]; ) l coeffcete d correlazoe deve essere utlzzato co prudeza preseza d uo pù put estrem (molto dstat dagl altr) [Fgura c]; 3) l coeffcete d correlazoe deve essere utlzzato co cautela quado le varabl soo msurate da pù d u gruppo dstto, ad esempo pazet affett da ua malatta e cotroll sa; 4) l coeffcete d correlazoe o deve essere usato quelle stuazo cu ua delle varabl è fssata a pror, ad esempo se s vuole aalzzare la rsposta a dos dverse d u farmaco. 1

13 VARIANZA E COVARIANZA S cosdero due varabl casual cotue X ed Y avet ua certa fuzoe d destà d probabltà p(,). Idcat co µ e µ valor med d X e d Y, le loro varaze soo rspettvamete defte come σ E [( X µ ) ] σ E [( Y µ ) ] I questo caso s può defre ache u ulterore quattà detta covaraza ed dcata co l smbolo σ σ E [( X µ )( Y µ )] Ø Quado X e Y soo dpedet allora σ 0; Ø quado fra X e Y esste ua completa dpedeza d tpo leare allora σ ±σ σ. Ø vale sempre la relazoe σ σ σ. 13

14 COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE Da quato detto segue che è possble trodurre ua msura d u evetuale dpedeza leare fra X e Y come ρ che è ua quattà admesoale detta coeffcete d correlazoe. Se c è ua completa dpedeza d tpo leare fra X e Y, allora ρ assume l valore +1 oppure 1. Quado ρ 0 allora σ 0. I questo caso s drà che X e Y soo correlate (le varabl soo dpedet o samo preseza d partcolar tp d dpedeza o leare). I tutt gl altr cas è mmedato verfcare che σ σ ρ 1, ovvero 1 ρ 1. ρ è postvo quado al crescere d X cresce ache Y, metre è egatvo quado Y decresce al crescere d X. σ 14

15 15 Dato u seme d osservazo appaate ( 1, 1 ), (, ),, (, ), le varaze d X e Y, la covaraza ed l coeffcete d correlazoe d Pearso soo calcolate come dove e dcao rspettvamete valor med delle varabl X e Y, calcolat dal campoe. Il calcolo d r è qud semplce perché rchede d determare solo gl scart d X e Y rspetto a valor med campoar. s 1 1 ) ( s 1 1 ) ( s 1 1 ) )( ( r ) ( ) ( ) )( (

16 Il coeffcete d correlazoe r del campoe permette o solo d rassumere la forza della relazoe leare, ma ache d verfcare l potes che l coeffcete d correlazoe ρ d popolazoe sa 0. I altre parole r permette d valutare se l apparete assocazoe tra le varabl possa essere dovuta al caso. Per fare cò è ecessaro calcolare l errore stadard ES(r) come ES( r ) [(1 r ) /( )] e qud l corrspodete valore d t come t r ES( r Il valore d t così otteuto va cofrotato co valor crtc della dstrbuzoe t d Studet co grad d lbertà. ) 16

17 Esempo Nella Tabella sotto soo rportat ( ltr) valor d volume espratoro massmo el 1 secodo (FEV1 o VEMS) e d capactà vtale forzata (FVC) msurat u gruppo d pazet. 17

18 Cofrotado l valore calcolato d t ( 1,73) co quell rportat ella tabella de valor crtc del t d Studet (per u test blaterale) co 5 3 grad d lbertà, s vede che l t calcolato è maggore d quello corrspodete ad α 0,0 (t 1,64), ma è more del t corrspodete ad α 0,10 (t,35). Qud 0,10 < p < 0,0. I altre parole, ache avedo trovato u valore d r uguale a 0,71, o s può rfutare l potes ulla che l apparete assocazoe tra le varabl possa essere dovuta al caso, se abbamo scelto α 0,05. 18

19 RETTA DI REGRESSIONE Quado s aalzza la correlazoe fra due varabl X e Y s può o essere teressat a valutare come X predca Y o vceversa. Quado s calcola la regressoe s parte dalla premessa che u cambameto d X porterà drettamete ad u cambameto d Y. I questo caso s può essere teressat a predre l valore d Y corrspodete ad u dato valore d X, ache se o s è autorzzat a credere che c sa u reale rapporto d causa-effetto. Covezoalmete valor della varable X (varable dpedete) soo rportat sull asse orzzotale e quell della Y (varable dpedete) quello vertcale. L equazoe è detta retta d regressoe. Y α + β X α è l tercetta e β è l coeffcete d regressoe. 19

20 N.B. Nell equazoe precedete s soo mpegate lettere greche per rcordare che s tratta d parametr d popolazoe. Data ua sere d coppe d osservazo ( 1, 1 ), (, ),, (, ) come s calcolao α e β? Pesado ad α e β come a parametr caratterstc d popolazoe, s vuole otteere ua loro stma (a e b, rspettvamete) a partre da u campoe d quella popolazoe. 0

21 1 Utlzzado l metodo de mm quadrat le stme b e a soo date da È mportate verfcare che b sa sgfcatvamete dverso da 0. Per fare cò s rcorre acora alla statstca t, calcolado s s b 1 1 ) ( ) )( ( b a dove ) ( ES b b t b b ) ( ) ( ) ( ) ( ) ES(

22 Il valore d t così otteuto vee cofrotato co quello rportato ella tabella t d Studet co grad d lbertà. Pertato l tervallo d cofdeza al 95% per l clazoe è dato da [ 05 b t0,05 ES( b) ; b + t0, ES( b)] dove t 0,05 è l valore d t rportato ella tabella (per u test blaterale) per l lvello d sgfcatvtà d 0,05 (5%) e grad d lbertà.

23 Per comodtà, a lato vee d uovo mostrata la tabella de valor crtc del t d Sudet per u test blaterale o ulaterale. 3

24 ESEMPIO S vuole calcolare la retta d regressoe fra altezza (cm) e FEV 1 (ltr) a partre da dat rportat ella tabella sotto, che mostra valor d 5 osservazo otteute pazet asmatc. 4

25 Utlzzado le precedet relazo s ottee b ( )( ) 1 8,3 149, ( ) 1 0,05576 (ltr/cm) a b 1,86 0, ,6 7,54 (ltr) La retta d regressoe è qud FEV1 (ltr) 7,54 + 0,05576 altezza(cm) 5

26 Fssato l lvello d sgfcatvtà al 5%, s effettu ora l test d sgfcatvtà su b. ES( b) 1 ( ) ( ) b 1 ( 1 ( ) ) 0,57 0, , 3 149, 0,0155 (l/cm) e qud t 0, ,0155 3,59 6

27 Cofrotado l valore otteuto d t co valor crtc rportat tabella co 3 ( 5 ) grad d lbertà s ottee p < 0,05 e qud, avedo fssato l lvello d sgfcatvtà al 5%, s può rfutare l potes ulla e qud b è sgfcatvamete dverso da 0. Ife, l tervallo d cofdeza al 95% per l clazoe della retta d regressoe è dato da [ 0, ,18 0,0155 ; 0, ,18 0,0155 (ltr/cm)] ovvero [ 0,007; 0,105 (ltr/cm)] 7

28 Varabl multdmesoal: otazoe matrcale VETTORE DELLE MEDIE È possble geeralzzare al caso multdmesoale l cocetto d dstrbuzoe d probabltà e, partcolare, el caso d pù varabl casual cotue, quello d destà d probabltà. Le cosderazo che potremmo fare questo caso soo del tutto sml a quelle fatte el caso moodmesoale. I questo modo le defzo che abbamo trodotto precedetemete per ua varable possoo essere estese a due o pù varabl. Ad esempo, el caso d ua varable bdmesoale (X,Y) possamo defre valor med d X e d Y E(X) µ E(Y) µ 8

29 Il valore medo M d ua varable -dmesoale vee d solto rportato ua coloa composta d elemet. Ad esempo, el caso bdmesoale M è scrtto come M µ µ Questo tpo d rappresetazoe utlzza la cosddetta otazoe matrcale, dove M è detto vettore delle mede. I geerale u vettore è ua strga composta d pù umer. Se la strga è messa su ua coloa s parla d vettore coloa, metre, se è messa su ua rga, prede l ome d vettore rga. 9

30 MATRICE DI COVARIANZA Quado s cosderao pù varabl casual, le varaze e le covaraze possoo essere messe ua tabella, che prede l ome d matrce d covaraza. Avedo, ad esempo, 3 varabl casual X, Y e Z, s defsce la seguete matrce d covaraza Σ σ σ σ z σ σ σ z σ σ σ z z z Ua matrce è ua tabella ordata d elemet umerc avete rghe e m coloe. La tabella a lato è ua matrce co 3 rghe e 4 coloe (s dce semplcemete 34). N.B. U vettore è ua partcolare matrce avete ua sola rga (vettore rga) o ua sola coloa (vettore coloa). A

31 S ot che la matrce d covaraza ha u uguale umero d rghe e d coloe, ovvero è ua matrce quadrata. Ioltre, per come è stata defta la covaraza è ovvo che σ σ, σ z σ z ed ache σ z σ z. Cò sgfca che gl elemet al d fuor della dagoale che parte dal puto alto a sstra e terma el puto basso a destra della matrce quadrata (detta dagoale prcpale) soo smmetrcamete ugual fra loro. Ua tale matrce è detta smmetrca. 31

32 MATRICE DI CORRELAZIONE Date pù varabl casual, ache coeffcet d correlazoe possoo essere mess ua tabella che prede l ome d matrce d correlazoe. Nel caso bdmesoale essa assume la forma ρ ρ ρ ρ ρ 1 ρ ρ 1 S ot che ache la matrce d correlazoe è ua matrce quadrata e smmetrca. 3

33 VANTAGGI DELLA NOTAZIONE MATRICIALE Impegare la otazoe matrcale è d estrema utltà quato: Ø permette d rappresetare dat modo orgazzato e partcolarmete adatto all mpego d u calcolatore elettroco; Ø medate l algebra delle matrc, che specfca le regole per l uso delle matrc, è possble estedere ache a queste le prcpal operazo matematche; Ø sarebbe estremamete dffcoltoso svluppare tecche d aals statstca multvarata facedo a meo delle matrc; Ø co moder calcolator è facle e rapdo effettuare operazo matematche sulle matrc e, qud, mplemetare tecche (ache complesse) d aals multvarata. 33