Approfondimenti sui diagrammi di Bode

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1 Approfodmet su dagramm d ode L espressoe (4.4) d ua fuoe d trasfermeto m m N( s) ams + am s a = = D( s) b s + b s b può essere rscrtta el seguete modo: ( )( )...( ) ( z)( z)...( ) z z ( p )( p )...( p ) ( )( )...( ) e chamado K la uova costate (otteuta moltplcado K per l prodotto degl zer real e o ull cambat d sego dvso l prodotto tra pol real e o ull cambat d sego) s rcava: ( )( )...( ) z z ( )( )...( ) Poedo s = j s ottee l espressoe della rsposta frequeza: ( j )( j )...( j ) z z z m ( j )( j )...( j ) Nel caso cu la fuoe d trasfermeto preset uo zero o u polo ullo (ell orge), dall espressoe (4.4) s deduce che al umeratore o al deomatore della sarà presete u terme j. C s rfersce al caso d rete stable co zer e pol real egatv o ull e qud: p Cambado l sego a zer e pol s ottegoo valor postv, corrspodet a pulsao, la cu coosceza è utle per la costruoe de dagramm astotc: S può qud scrvere: = z = p p ( + j )( + j )...( + j ) z z ( + j )( + j )...( + j ) p p p A volte è utle rscrvere la (3) esplctado le costat d tempo τ della rete: () () (3) Questo fle costtusce u approfodmeto ole de cors d elettrotecca ed elettroca d Stefao Mradola - Zachell Edtore SpA, ologa [66]

2 ( + jτ z)( + jτ z )...( + jτ ) ( + jτ )( + jτ )...( + jτ ) p p p (4) dove τ = = e z τ p = =. p p Rcavado l modulo della rsposta frequeza (3) s ottee la rsposta ampezza del quadrpolo. Nell espressoe del modulo compare l valore assoluto della costate K e l modulo d cascu umero complesso compreso tra le paretes al umeratore e al deomatore: + ( ) + ( )... + ( ) + ( ) + ( )... + ( ) z z p p p Esprmedo decbel la rsposta ampezza, s ottee, grae alle propretà de logartm, la seguete espressoe: = log = log K + log + ( ) d + log + ( ) log + ( )... log + ( ) p p z Dalla rsposta frequeza (3) s rcava l espressoe della rsposta fase del quadrpolo: = K + ( + j ) ( + j ) ( + j )... z p (7) ( + j ) = K + arctg arctg arctg... arctg p (5) (6) z p p Fuo co zer e pol compless cougat Alle cque fuo elemetar appea studate s aggugoo due cas d fuoe co coppe d zer o coppe d pol compless cougat. Nella aals computa so ad ora, la forma ormale de polom del orde preset al umeratore N(s) o al deomatore D(s) della fuoe d trasfermeto, è stata espressa come: F( s) = s + a s + b Sovete, spece el caso d polomo a radc complesse cougate, s rcorre ad ua forma ormale che, quado F(s) corrspode al deomatore della fuoe d trasfermeto [F(s) D(s)], poe evdeza due parametr che rsultao d otevole mportaza ell aals del quadrpolo. Tale forma è: F( s) s = + ξ s + (8) Questo fle costtusce u approfodmeto ole de cors d elettrotecca ed elettroca d Stefao Mradola - Zachell Edtore SpA, ologa [66]

3 La corrspodeza tra parametr delle due espresso precedet è data da: b = = b (9) a a = ξ ξ = () b dove : pulsaoe propra o smorzata, o pulsaoe aturale ξ : smorzameto. Rcavado pol dalla (8), s ottee: p = ( ξ ± ξ ) (), La relaoe tra la pulsaoe propra o smorzata ed pol è: = b = p p La relaoe tra lo smorzameto ed pol è: a p + p ξ = = b p p Come tutte le equao d grado, la (8) ammette due radc, la cu atura dpede dal sego del dscrmate ( ξ ) cosderado che lo smor- zameto ξ o può assumere valor egatv, rsulta: se ξ > s hao due pol real e dstt, cu valor soo fort dalla () se ξ = s hao due pol real e cocdet: p, = se ξ < s hao due pol compless cougat. PROCEDIMENTO Per traccare dagramm d ode el caso cu l umeratore o l deomatore della G(s) compredao polom d secodo grado co radc complesse cougate, occorre: ) portare polom stess alla forma ormale (8), rededo utaro l coeffcete del terme s ) raccoglere a fattore l terme, otteedo l espressoe: s s F( s) = + ξ + () 3) l terme costtusce u fattore (el caso sa al umeratore), o u dvsore (el caso sa al deomatore), della costate K s effettua la rappresetaoe della parte resdua d F(s), coteuta tra le paretes quadre della (). ) Zer compless cougat Per effettuare l aals el domo della frequeza, s sosttusce s co j ella () e la fuoe da aalzzare rsulta: Questo fle costtusce u approfodmeto ole de cors d elettrotecca ed elettroca d Stefao Mradola - Zachell Edtore SpA, ologa [66] 3

4 F( j) jξ = + Cosderado cluso ella costate K, s aalzza modulo ed argometo della parte resdua, che è costtuta da ua espressoe complessa ove: parte reale = coeffcete dell mmagaro = ξ Modulo: Md = log 4ξ + = = log 4ξ + Nel caso de pol compless cougat, è opportuo aalzzare sa l adameto astotco che quello reale del modulo della fuoe, determado l valore d M(j) d per alcu valor rlevat d : M d [ M d ] = log = [ ] tede a log perché questo terme cresce pù rapdamete degl altr al tedere d all s ha qud: M 4 log 4 log d Nel sstema d coordate cu è traccato l dagramma d ode del modulo, l espressoe rcavata è ua retta d equaoe y = m x + q, co: ordata all orge: q = 4 log pedeza: m = 4 d/decade tersez. co asse x: =. Se e coclude che l dagramma astotco d ode del modulo d ua coppa d zer compless cougat è costtuto da ua spezzata d due semrette, d cu ua cocde co l asse delle ascsse da = ad = l altra a da = e sale co pedeza d 4 d/decade, per (FIGURA ). Lo scostameto tra l dagramma reale e quello astotco questo caso o è fsso, come accade per gl zer real, ma dpede dal valore d ξ. I partcolare, l puto cu la dffereza tra la spezzata astotca e la curva reale è massma s ha per = effett: [ ] = [ ] = log ξ ella spezzata astotca: M d ella curva reale: M d Questo fle costtusce u approfodmeto ole de cors d elettrotecca ed elettroca d Stefao Mradola - Zachell Edtore SpA, ologa [66] 4

5 4 A G(j) d ξ = ξ =,77 ξ =,5 ξ =, 4 d/dec ϕ = G(j) 3 45 [rad/s] ξ =, 9 /dec ξ = ξ =,77 ξ =,5 3 [rad/s] FIGURA Dagramm d ode d ua coppa d zer compless cougat (ξ < ). Il valore d [ M d ] o è l puto d mmo delle curve real effett s può dmostrare che la pulsaoe corrspodete al modulo mmo è: = ξ per cu rsulta: M log ξ m Argometo: arctg Im ϕ = = arctg Re [ ] = d m (3) ( ) ( ) La rappresetaoe astotca dell argometo è costtuta da ua spezzata tre part: ua semretta cocdete co l asse delle ascsse da = ad =, u segmeto che s stacca dall asse delle ascsse el puto =, e sale co pedeza d 9 per decade, assumedo l valore ϕ = 9 per = e termado a ϕ = 8 per = ua semretta parallela all asse delle ascsse corrspodeza d ϕ = 8, che a da = e prosegue per. Ache l dagramma reale dell argometo s dscosta da quello astotco d ua quattà che dpede dal valore d ξ, come rportato ella FIGURA. ) Pol compless cougat L adameto de dagramm d ode, el caso d pol compless cougat, è smmetrco a quello degl zer rspetto all asse delle ascsse. Valgoo pertato le cosderao matematche effettuate per gl zer, grae alle qual s gustfcao gl adamet de dagramm ella FIGURA. ξ G(j) d ϕ = G(j) ξ =, ξ = ξ =,77 ξ =,5 3 [rad/s] 4 d/dec ξ =, 9 /dec [rad/s] ξ = ξ =,77 ξ =,5 FIGURA Fuo d trasfermeto e dagramm d ode d ua coppa d pol compless cougat (ξ < ). Questo fle costtusce u approfodmeto ole de cors d elettrotecca ed elettroca d Stefao Mradola - Zachell Edtore SpA, ologa [66] 5