Lezione 14. Rappresentazione grafica della risposta in frequenza. F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 14 1
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- Ivo Santi
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1 Lezioe 4. Rappresetazioe grafica della risposta i frequeza F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4
2 Schema della lezioe. Rappresetazioi grafiche della risposta i frequeza. Diagramma di Bode del modulo: covezioi 3. Diagramma di Bode del modulo: tracciameto 4. Diagramma asitotico di Bode del modulo: regole per il tracciameto 5. Diagramma di Bode della fase: covezioi 6. Argometo di u umero complesso 7. Diagramma di Bode della fase: tracciameto 8. Diagramma asitotico di Bode della fase: regole per il tracciameto 9. Sistemi a fase miima. Diagramma polare F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4
3 . Rappresetazioi grafiche della risposta i frequeza Diagramma polare j, Diagramma di Bode del modulo j, della fase arg j,, j 3 F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 3 Im Re
4 . Diagramma di Bode del modulo : covezioi 8 Ordiata i db j db log j 6 4 Ascissa i scala logaritmica log - log log db (rad/s) F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 4
5 3. Diagramma di Bode del modulo : tracciameto s m g s i si i st i j m j g i jt ji i i g j log m - log j db guadago poli o zeri ell origie i log j T i zeri (reali & complessi coiugati) - i log j i poli (reali & complessi coiugati) F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 5
6 3. uadago log m retta costate m db m - -4 m (rad/s) F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 6
7 3. Poli o zeri ell origie 8 g - log j -g log per covezioe la pedeza si idica co -g retta co pedeza -g db per decade passate per db i g g- db g g F. Previdi - Fodameti (rad/s) di Automatica - Lez. 4 7
8 3.3.a Zero reale log jt log T T reale Il disego di questa fuzioe di o è facile. Si può trovare u approssimazioe ragioevole guardado il comportameto ad alte e basse pulsazioi. Basse se T <<, cioè << T log T db Alte se T >>, cioè >> T log T log T log logt F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 8
9 Quidi Basse per Alte per << >> T T retta costate a db retta passate per db i co pedeza + T Approssimazioe asitotica F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 9
10 Esempio Zero reale 4 Bode Diagram s s Magitude (db) Diagramma effettivo Diagramma asitotico Frequecy (rad/sec) F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4
11 Valutazioe dell errore massimo Si cosideri s st L errore i T vale: E log jt log T log T log 3 db T L errore massimo che si commette usado il diagramma asitotico è pari a 3 db (per ogi zero), i corrispodeza della pulsazioe dello zero. F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4
12 Esempio p zeri reali Nel caso di p zeri i T Bode Diagram 8 s s 3 p3 Magitude (db) 6 4 Diagramma effettivo Diagramma asitotico Frequecy (rad/sec) F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4
13 F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 3 T j T j log log T complesso ~ s s st st s Si ricordi che 3.3.b Zeri complessi coiugati j j j j - ~
14 Il modulo (i db) vale ~ j log - db Cerchiamo l approssimazioe asitotica: 4 Basse per << retta costate a db Alte per >> ~ j db 4log log retta passate per db i co pedeza + F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez log - 4log
15 Esempio Zeri complessi coiugati ~ s s s 4 Bode Diagram..3 Magitude (db) Diagramma asitotico Frequecy (rad/s) F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 5
16 Esempio (caso particolare) Zeri immagiari coiugati ~ s s 4 Bode Diagram Magitude (db) Frequecy (rad/sec) F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 6
17 F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 7 db 6 log se E - E se L errore i dipede da ξ - log 4 log 4 log E Valutazioe dell errore massimo
18 Per i poli valgoo i medesimi ragioameti, fatto salvo il sego F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 8
19 Esempio Polo reale Magitude (db) - Diagramma effettivo Bode Diagram Diagramma asitotico s s Frequecy (rad/sec) F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 9
20 Esempio Poli complessi coiugati Bode Diagram s s s Magitude (db) - Diagramma asitotico Frequecy (rad/sec) F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4
21 Esempio (caso particolare) Poli immagiari coiugati 4 Bode Diagram s s Magitude (db) Frequecy (rad/sec) F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4
22 4. Diagramma asitotico di Bode del modulo : regole per il tracciameto. la pedeza iiziale vale g. il tratto iiziale passa i μ db per ω rad/s 3. cambi di pedeza i corrispodeza di poli ( ) e zeri (+) Osservazioe La pedeza fiale (per è data da : zeri poli ( solo se (s) è o strett. propria) F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4
23 Esempio di tracciameto... F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 3
24 5. Diagramma di Bode della fase : covezioi 9 Ordiata i gradi j Ascissa i scala logaritmica log - log log gradi (rad/s) F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 4
25 6. Argometo o fase di u umero complesso Im Calcolo della fase se a a Re jb ata Covezioe: b a -8 < 8 La fase di u umero reale egativo è se a < b > se a < b b ata 8 a b ata -8 a 9 < < 8-8 < -9 F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 5
26 F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 6 m i i i i g s st s s - m - i i i i g j T j j j 7. Diagramma di Bode della fase : tracciameto guadago poli o zeri ell origie zeri (reali & complessi coiugati) poli (reali & complessi coiugati) m i i i i g j T j j j
27 7. uadago m se m> -8 se m< retta costate 9 m> gradi -9-8 m < (rad/s) F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 7
28 7. Poli & zeri ell origie - g j -g j -g9 retta costate 7 8 g 9 g gradi -9 g -8 g (rad/s) F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 8
29 7.3.a Zero reale jt atat T reale Il disego di questa fuzioe di è facile, ma si può trovare u approssimazioe valida per alte e basse pulsazioi. Basse per ata T Alte per ata T + 9 se T > (zero a s) 9 se T < (zero a d) Approssimazioe asitotica F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 9
30 Esempio Zero reale Bode Diagram Diag. asitotico (T>) Zero a s (T>) s s Phase (deg) Diag. asitotico (T<) Frequecy (rad/s) s - Zero a d (T<) F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 3 s
31 F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 3 T complesso T j T j 7.3.b Zeri complessi coiugati ~ s s st st s Si ricordi che j j j j - ~
32 ~ j - j Basse per ~ j (+8 se >) Alte per ~ j lim ata - 8 ( 8 se <) F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 3
33 Ma lim ata - Quidi ~ j per +8 se > (zeri a s) per 8 se < (zeri a d) F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 33
34 Esempio Zeri complessi coiugati Phase (deg) Diagramma asitotico Bode Diagram s s s Zeri a s Frequecy (rad/s) F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 34
35 - -4 Diagramma asitotico Bode Diagram s s s Zeri a d -. Phase (deg) Frequecy (rad/s) F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 35
36 Per (zeri immagiari) ~ j j - Fuzioe reale Essedo ~ j u umero reale, la fase vale quado è positivo e 8 quado è egativo. ~ j per per < > -8 F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 36
37 Per i poli valgoo i medesimi ragioameti, fatto salvo il sego F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 37
38 Esempio Polo reale Diag. asitotico (<) Bode Diagram Polo a d (<) s - s Phase (deg) Diag. asitotico (>) Frequecy (rad/s) s Polo a s (>) F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez s
39 Esempio Poli complessi coiugati Phase (deg) Diagramma asitotico Bode Diagram s s s Poli a d Frequecy (rad/s) F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 39
40 - -4 Diagramma asitotico Bode Diagram s s s Poli a s. Phase (deg) Frequecy (rad/s) F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 4
41 8. Diagramma asitotico di Bode della fase : regole per il tracciameto. valore iiziale m-g9. cambi di valore i corrispodeza. di poli e zeri F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 4
42 Esempio di tracciameto... F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 4
43 9. Sistemi a fase miima I sistemi a fase miima hao: guadago m> poli e zeri co parte reale egativa o ulla E quidi possibile dedurre i modo uivoco il diagramma della fase da quello del modulo (i geerale o possibile seza cooscere a priori il sego del guadago e delle sigolarità). polo zero F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 43
44 Esempio (sistemi a fase miima) 4 Diagram m a di B ode - M odulo db - -4 Sapedo che il sistema è a fase miima è possibile tracciare il diagramma della fase seza ulteriori iformazioi. -6 Diagramma di Bode - Fase pulsazioe 5-5 gradi pulsazioe F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 44
45 . Diagramma polare j, j Im j j Re j E possibile tracciare il diagramma polare usado i diagrammi di Bode. F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 45
46 Puti e curve salieti del piao complesso Im 9 7 ) j db 8 8 ) - Re 36 ) db - j 9 7 ) E utile cooscere alcui luoghi geometrici particolari del piao complesso. F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 46
47 Esempio s s m Modulo ( db) Fase. 4 3 Diagram m a di B ode - M odulo j j D iagramma di B ode - Fase db puls az ioe gradi pulsazioe F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 47
48 Per Per j j j j Il diagramma polare parte da ed arriva ell origie (cfr diagrammi di Bode). Ioltre, osservado i diagrammi di Bode si ota che: il modulo parte dal valore e decresce mootoamete verso ; la fase parte dal valore e decresce mootoamete fio a raggiugere il valore di 9. F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 48
49 Im Re E i mezzo che succede? F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 49
50 Immagiario Reale F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 5
51 Esempio s 4 - s s Diagram m a di B ode - M odulo m - Modulo ( db) Fase db 3 - j - j j puls az ioe gradi D iagra m m a di B ode - F as e puls az io e F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 5
52 Per Per j - j Il diagramma polare parte da ed arriva ell origie (cfr diagrammi di Bode). Ioltre, osservado i diagrammi di Bode si ota che: il modulo parte dal valore e decresce mootoamete verso ; la fase parte dal valore 8 e decresce mootoamete fio a raggiugere il valore di 36 ; il diagramma polare attraversa il semiasse immagiario positivo alla pulsazioe. dove il modulo vale circa 4; il diagramma polare attraversa la circofereza di raggio uitario alla pulsazioe.6 dove la fase vale circa -3. F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 5
53 Im 4. Re E i mezzo che succede? F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 53
54 8 Immagiario Reale F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 54
55 F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez s s s variabile Esempio m Modulo ( db) Fase j j - Risposta i frequeza
56 Bode Diagram Magitude (db) Phase (deg) Frequecy (rad/sec) F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 56
57 6 Polar Diagram 4. Imagiary Ais Real Ais F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 57
58 Caso patologico Si lasci qualsiasi s s s s Risposta i frequeza - j La risposta i frequeza è ua fuzioe reale! Il diagramma polare giace sull asse reale! s s F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 58
59 Per Per - - j Il diagramma polare parte da ed arriva ell origie (da siistra) Per Per Per Per - - < < > Il diagramma polare comprede il semiasse reale positivo da all ifiito e tutto il semiasse reale egativo. Per c è ua discotiuità! Ma il diagramma polare deve essere ua curva coessa. F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 59
60 Im - Re F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 6
61 Esempio 6 s s.s s D ia g ra m m a d i B od e - M od u lo m T. Modulo ( db) Fase tipo g 4 db - D ia gram m a di B o de - F a s e p u ls a z io e gradi p uls az io e F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 6
62 Per Per j j - 9 j C è u asitoto verticale! Il diagramma polare termia ell origie. La posizioe dell asitoto si ottiee risolvedo il seguete limite: lim Re j lim Re j - j lim Re j - - j 4-9 lim 4-9 F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 6
63 Im 9 Re F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 63
64 - - Immagiario Reale F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 64
65 Per j Immagiario Reale F. Previdi - Fodameti di Automatica - Lez. 4 65
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Di cosa parleremo Le derivate costituiscoo, per la maggioraza degli studeti, l argometo più semplice di questa parte dell aalisi matematica. I questo capitolo e daremo il cocetto assieme al sigificato
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