+ e. u G(s) Il Il luogo delle radici

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1 Il Il luogo delle radici r + e - KK u G(s) y Cotrollo proporzioale: u(t)=ke(t) Strumeti per aalizzare la stabilita` del sistema a catea chiusa al variare di K (criteri di Routh e Nyquist) Le prestazioi del sistema a catea chiusa dipedoo dalla posizioe dei poli della f.d.t. a catea chiusa W(s) Strumeto per aalizzare la posizioe dei poli di W(s) al variare di K: luogo delle radici 1

2 Il Il luogo delle radici Fuzioe di trasferimeto a catea chiusa G(s) = N(s) KG(s), W(s) = D(s) 1 + KG(s) = KN(s) D(s) + KN(s) N(s), D(s) moici e coprimi Poli di W(s) radici del poliomio p K (s) = D(s) + KN(s) Problema: determiare come variao gli zeri di p K (s) al variare di K R 2

3 Il Il luogo delle radici K puo` essere sia positiva che egativa Fatto: la fuzioe che associa ad u poliomio moico di grado le sue radici e` cotiua (piccole variazioi dei coefficieti piccole variazioi delle radici) Al variare di K, ciascua radice di p K (s) descrive ua curva cotiua i C Luogo delle radici relativo a p K (s) L = { s C : K t.c. p K (s) = 0} K 0: Luogo positivo K 0: Luogo egativo Ipotesi: G(s) propria (m=degn(s) =degd(s)) 3

4 Il Il luogo delle radici Imag Axis Real Axis 4

5 Il Il luogo delle radici Osservazioi prelimiari: se =m, per K=-1 p K (s) cala di grado (si cacellao i termii di grado =m) a ciascu valore di K corrispodoo radici del poliomio p K (s) (cotate co la propria molteplicita`) puti del luogo rami del luogo (curve parametrizzate i K) itersecatisi per i valori di K a cui corrispodoo radici multiple di p K (s) ogi itersezioe fra due rami del luogo corrispode a radici multiple di p K (s) E` possibile ua costruzioe per puti (per via grafica) Regole per il tracciameto del luogo derivate da proprieta` delle curve che costituiscoo il luogo 5

6 Equazioi del luogo Operazioe prelimiare: si poe G(s) ella forma fattorizzata (di Evas) G(s) = K (s z 1 )(s z 2 )K(s z m ) (s p 1 )(s p 2 )K(s p ) K = K B ( 1) m+ l p i z i l:tipo di G(s) Radici di p K (s) soluzioi dell equazioe N(s) D(s) = 1 K, K 0 6

7 Equazioi del luogo Sistema di due equazioi: codizioe di fase: idividua i puti s C che appartegoo al luogo Arg N(s) = D(s) (2h + 1)π K > 0 2hπ K < 0, h Z codizioe di modulo: determia, a meo del sego, il valore di K cui corrispode u particolare puto del luogo N(s) D(s) = 1 K 7

8 Equazioi del luogo Riformulazioe delle due equazioi: codizioe di fase: m Arg [(s z i )] Arg [(s p i )] = codizioe di modulo: (2h + 1)π K > 0 2hπ K < 0, h Z K = m (s p i ) (s z i ) 8

9 Regole per il il tracciameto del luogo Regola 1 (Numero dei rami e simmetria): per ogi K (escluso al piu` K=-1) p K (s) ha radici il luogo ha rami. Poiche` le radici figurao a coppie complesse coiugate, il luogo e` simmetrico rispetto all asse reale Regola 2 (Comportameto limite e asitoti): Per K=0 il luogo e` costituito dai poli di G(s). Per K ±, m puti tedoo agli zeri di N(s), metre, se >m, -m puti vao all lugo -m semirette asitotiche che formao due stelle regolari (ua per K + e ua per K - ). Le stelle hao cetro sull asse reale el puto σ a = p i m m z i 9

10 Regole per il il tracciameto del luogo Icliazioe degli asitoti: (2h + 1)π K + ϑ a,h = m K ϑ a,h = 2hπ m h = 0,1,K, m 1 Ogi ramo esce da uo zero di D(s) (=polo di G(s)) e tede ad uo zero di N(s) (=zero di G(s)) o verso se =m il luogo o va all per K ± (i rami tedoo agli zeri di N(s)). Situazioe particolare per K Regola 3 (Porzioe dell asse reale apparteete al luogo): Se K>0 (K<0), σ R appartiee al luogo se e solo se il umero totale di zeri e poli al fiito di G(s) a destra di σ e` dispari (pari) 10

11 Regole per il il tracciameto del luogo Regola 4 (Puti doppi): se due zeri reali di D(s) o soo separati da uo zero reale di N(s) (o, viceversa, se due zeri reali di N(s) o soo separati da uo zero reale di D(s)), allora il segmeto che li cogiuge appartiee iteramete al luogo positivo o a quello egativo x p 1 s* x p 2 o z 1 s* o z 2 Si ha quidi la preseza di u puto doppio i cui si icotrao due rami del luogo 11

12 Regole per il il tracciameto del luogo Caratterizzazioe aalitica dei puti doppi: se s* e` uo zero doppio di p K (s), allora vale che p K (s) = (s s*) 2 q(s) d ds p K (s) = 2(s s*)q(s) + (s d s*)2 ds q(s) d ds p K (s) = 0 s=s* s* e` uo puto doppio del luogo se p K (s*) = 0 d ds p K (s) = 0 s=s* 12

13 Regole per il il tracciameto del luogo Caratterizzazioi equivaleti: N (s) N(s) D(s) + KN(s) = 0 D (s) + K N (s) = 0 N (s)d(s) N(s) D (s) = 0 K = D(s) N(s) D (s) D(s) N(s) D (s) D(s) N (s) N(s) = 0 N (s) = 0 Q(s) = (s q i ) Q (s) = (s q j ) Q (s) Q(s) = j=1 j i (s q j ) j i = (s q j ) j 1 (s q i ) 1 ( s p ) m 1 = 0 i ( s z ) i 13

14 Esempio: G(s) = K Esempi s + 2 s(s + 1)(s + 3) luogo positivo (K 0) umero rami: =3 per K=0: poli di G(s) 0, -1, -3 per K + : u ramo tede verso lo zero i -2, due vao verso lugo gli -m=2 asitoti cetro stella degli asitoti σ a = p i m z i m = = 1 14

15 Esempi Icliazioe asitoti ϑ a,h = = (2h + 1)π m (2h + 1)π 2 (h = 0,1,K, m 1) (h = 0,1) = π 2 3π 2 Porzioe asse reale: [-3,-2] [-1,0] puto doppio tra 0 e -1 15

16 Esempi Imag Axis Real Axis 16

17 Esempi Determiazioe della posizioe del puto doppio e del corrispodete valore di K s 3 + 4s 2 + 3s + K(s + 2) = 0 1 ( s p ) m 1 = 1 i ( s z ) i s + 1 s s s + 2 = 0 2s s s + 6 = 0 roots([ ]) as = i i s 3 + 4s 2 + 3s + K(s + 2) s= = 0 K =

18 Esempio: G(s) = K Esempi s + 5 (s + 2)(s + 3) luogo positivo (K 0) umero rami: =2 per K=0: poli di G(s) -2, -3 per K + : u ramo tede verso lo zero i -5, u ramo va verso lugo -m=1 asitoto cetro stella degli asitoti: o sigificativo Icliazioe asitoti ϑ a,h = Porzioe asse reale: [-,-5] [-3,-2] (2h + 1)π m = π (h = 0) 18

19 Esempi puti doppi: tra [-,-5] e [-3,-2] Imag Axis Real Axis 19

20 Esempi Calcolo dei puti doppi e corrispodeti valori di K: D(s) + KN(s) = s 2 + 5s K(s + 5) = 0 D (s) + K N (s) = 2s K = 0 K = (2s + 5) s 2 + 5s + 6 (2s + 5)(s + 5) = s 2 10s 19 = 0 s 1,2 = 5 ± 6 = K 1,2 = 5 m 2 6 = 0.10 > > 0 20

21 Ulteriori regole per il il tracciameto del luogo Regola 5 (Attraversameto dell asse immagiario): gli (evetuali) puti i cui il luogo attraversa l asse immagiario e i corrispodeti valori di K possoo essere determiati utilizzado la tabella di Routh Esempio: G(s) = K 1 s(s + 1)(s + 2) luogo positivo (K 0) umero rami: =3 per K=0: poli di G(s) 0, -1, -2 per K + : i tre rami va verso lugo -m=3 asitoti 21

22 Ulteriori regole per il il tracciameto del luogo cetro stella e icliazioe degli asitoti: σ a = p i m z i m = = 1 ϑ a,h = (2h + 1)π 3 = π /3 π 5π /3 porzioe asse reale: [-,-2] [-1,-0] puto doppio i [-1,0] attraversameto asse immagiario riga riga 2 3 K riga 1 (6-K)/3 riga 0 K per K=6 fattore 3s 2 +6=3(s 2 +2) poli i ±j 2 22

23 Ulteriori regole per il il tracciameto del luogo j 2 Imag Axis 0-1 -j Real Axis 23