Non presenta difficoltà concettuali il passaggio dalle equazioni lineari a coefficienti costanti del secondo ordine a quelle di ordine maggiore.

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1 Le equazioi differeziali lieari di ordie > a coefficieti costati. No preseta difficoltà cocettuali il passaggio dalle equazioi lieari a coefficieti costati del secodo ordie a quelle di ordie maggiore. Cosideriamo l equazioe differeziale (A) () + () + () = () co a i (i = 0, 1,,, ) costati reali, a 0, f fuzioe cotiua i u itervallo I. Sia (B) () + () + () = 0 l equazioe omogeea associata. L itegrale geerale di (A) si ottiee sommado all itegrale geerale di (B) u itegrale particolare di (A). L itegrale geerale della omogeea è dato dalle combiazioi lieari di soluzioi idipedeti; le soluzioi soo idipedeti se il loro wroskiao è diverso da 0. Le soluzioi idipedeti di (B) si trovao poedo y = e x e sostituedo ella (B): si ottiee così l equazioe caratteristica di grado associata a (B): = 0 Questa equazioe, per il teorema fodametale dell algebra, ammette soluzioi, evetualmete ripetute, reali o complesse: ricordiamo che se i coefficieti dell equazioe soo reali, le soluzioi complesse si presetao come coppie di umeri complessi coiugati: questo implica che se è dispari, c è sempre almeo ua soluzioe reale. Ogi radice reale di molteplicità s forisce s soluzioi della (B): e x, x e x, x e x, x 3 e x,, x s 1 e x Ogi coppia di radici compesse coiugate, a +i b e a ib, di molteplicità r, corrispode a r coppie di soluzioi: e ax cos bx x e ax cos bx x e ax cos bx e ax cos bx xe ax cos bx x e ax cos bx.. x r 1 e ax cos bx x r 1 e ax cos bx. I questo modo possiamo scrivere l itegrale geerale di (B) come combiazioe lieare delle soluzioi e i x otteute. U itegrale particolare di (A) può trovarsi co il metodo di somigliaza o co il metodo di Lagrage; se vogliamo applicare il metodo di Lagrage, esprimiamo l itegrale particolare come = : ua volta otteute le soluzioi y i, i=1,.,, della (B), poiamo = u' 1y1 u' y... u' y u' 1y' 1 u' y'... u' y' u' 1y'' 1 u' y''... u' y''... ( ) ( ) ( ) u' 1y1 u' y.. u' y ( 1) ( 1) ( 1) u' 1y1 u' y.. u' y f ( x) 36

2 Il determiate dei coefficieti di questo sistema, elle icogite u i, coicide co il wroskiao degli itegrali y i ed è diverso da zero se le soluzioi soo idipedeti: il sistema lieare ha sempre u uica soluzioe ( u 1,., u ). Itegrado le fuzioi u i, otteiamo = u 1 y 1 + u y + + u y e quidi l itegrale geerale della (A) y = Vale acora il teorema di esisteza ed uicità, ell ipotesi della cotiuità del termie oto di (A): impoedo all equazioe (A) le codizioi iiziali: y( x0) b 0 y' ( x0 ) b1 y'' ( x0 ) b y''' ( x ) b ( 1) y ( x0 ) b 1 Ua volta calcolate le derivate i x 0 dell itegrale geerale di (B) fio all ordie 1, la soluzioe del problema ai valori iiziali (problema di Cauchy) cosiste allora el risolvere elle icogite c i, i=1,.,, il sistema c1 y1 ( x0) c y( x0)... c y( x0) b 0 c1 y 1' ( x0 ) c y ' ( x0 )... c y ' ( x0) b1... c y ( x ) c y ( x )... c y ( x ) b ( 1) ( 1) ( 1) Nell ipotesi di idipedeza delle soluzioi y i la soluzioe esiste ed è uica. Esempio. y 6y + 11 y 6 y= 3x 1. Itegriamo L(y) = 0, poedo y = e x. Otteiamo ( ) = 0 Risolviamo l equazioe caratteristica, ricordado che le evetuali radici itere coicidoo co i divisori del termie oto: 6 ammette i divisori 1,, 3, 6. Sostituedo co 1, risulta = 0: duque 1 è ua soluzioe dell equazioe caratteristica. Dividedo per 1, si ottiee 5 + 6; questo triomio si scompoe come ( ) ( 3). L itegrale geerale di L(y) = 0 è uguale a y = c 1 e x + c e x + c 3 e 3x, perché e x, e x, e 3x soo liearmete idipedeti: ifatti W(y 1, y, y 3)= e x e x e 3x e x e x 3 e 3x e x 4 e x 9 e 3x risulta uguale a e 6 x sempre diverso da zero. Per itegrare () = 3 1, procediamo co il metodo disomigliaza cercado ua soluzioe particolare del tipo = + +. Derivado successivamete 37

3 = + + = + da cui, sostituedo i () = 3 1, = = 0 1 A + Ax +11 B 6 A x 6 Bx 6C = 3 x 1. Uguagliado i coefficieti delle poteze di ugual espoete: 6A = 3, A = A 6 B = 0, = = = 1, = 6, =. Itegrale gerale di () = 3 1: = = + + Esercizi svolti.. 1. y 3y 10 y +4 y = e x. L(y) = y 3y 10 y +4 y = 0. Si ottiee l equazioe caratteristica: = 0. (C) I divisori di 4 soo:1,, 3, 4, 6, 1, 4. Poedo =1 ella (C), si ottiee L equazioe ( C )è soddisfatta da =. Si divide il primo membro di ( C ) per = ( ) ( 1) = ( ) ( 4) ( + 3). Abbiamo duque l itegrale geerale di L(y) =0: = + +. Cerchiamo u itegrale particolare della o omogeea ella forma =. = = = =, sostituedo i 1. : ke x 3 k e x 10 k e x +4 k e x = e x. Quidi = =. L itegrale geerale di 1. è Cosideriamo y 3y 10 y +4 y = e x. = I questo caso l itegrale particolare da trovare sarebbe =. 38

4 = = + = ( + 1) = ( + 1) + = (4 + 4) = (8 + 1). Sostituedo i L(y) = e x : (8 + 1) (1 + 1) + ( 0 10) + 4 =. 10k e x = e x, =.. y (4) 4 y (3 ) +6 y () 4 y ( 1) +y = = 0. Cosideriamo il triagolo di Tartaglia: Il primo membro dell equazioe coicide co ( 1) 4 : Si ua radice quadrupla uguale a 1. L itegrale geerale è = y ( 5) y (4) +8 y () 1 y ( 1) + 8y = = 0 ( + )( + ) = 0 1 = = 1+ i, di molteplicità 3= 1 i, di molteplicità. Ci soo 5 soluzioi idipedeti: y 1 = e x, y = e x cos x, y 3 = x e x cos x, y 4 = e x se x, y 5 = x e x se x. 4. y y = 5x. Soluzioe: y =c 1 +c e x + c 3 e x. Equazioe differeziale di Eulero del terzo ordie = 4, () = 3 = 0. Sia y = x y = x 1 y = ( 1) x y = ( 1) ( ) x 3. 39

5 Sostituedo i L(y) = 0, ( 1) ( ) x 3 x 3 3 ( 1) x x = 0, si ottiee l equazioe idiciale: ( 1) ( 3) = 0, che ha soluzioi 1 = 0, = 1, 3 =5. Itegrale geerale di L(y) = 0: = + +. Cerchiamo u itegrale particolare = = = = 6 + = 6. Sostituedo ell equazioe o omogeea: 6A x 3 3x (6Ax +B) = 4x 3, (6A 18A)x 3 6Bx = 4 x 3, =, B= 0. = Esercizio proposto. + + = 0. Equazioi differeziali lieari i cui compaioo coefficieti complessi = (0) = A(x) =i dx = i x, e A(x) = e ix e ix (y + iy) = e ix x, ( y e ix ) = e ix x, = = = + + = Se y(0) =, c +1 =, c = 1 y = x y i y y = 0, equazioe caratteristica i 1 = 0, ( i) = 0, = i radice doppia: soluzioe = = (0) = 0 A(x) =( 1) dx = x, e A(x) = e x e x ( y y) = e x e -ix, (e x x (1 +i) y) = e = () = () + = (0) = 0 0 = = =, = = 1. 40

6 Esercizi. 10. y (4) = x. Procededo per serie: = = =! () = 3! () = 4! Sostituedo i 10., 4! =, da cui a 4 = 0, 5! a 5 = 1, a 6 = a 7 =.. = a = a +1 =. = 0. Ifie: = !. I alterativa, si può risolvere prima l equazioe differeziale L( y (4)) ) = 0, cui è associata l equazioe caratteristica 4 = 0; si cerca poi la soluzioe particolare = Itegrare l equazioe di Beroulli: y =y e x y. 41