Circuiti a tempo discreto Raffaele Parisi

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1 Uiversità di Roma La Sapieza Laurea specialistica i Igegeria Elettroica Circuiti a tempo discreto Raffaele Parisi : Esempi di Sequeze e di Circuiti TD Sequeze otevoli, periodicità delle sequeze, esempi di circuiti TD (filtro i media mobile), simulatori TD di circuiti aalogici. 1

2 SEGNALI A TEMPO DISCRETO: SEQUENZE I segali a tempo-discreto (TD) soo matematicamete rappresetati co ua sequeza di umeri: x[] oppure X = {x[]}, - < < ( itero). Nel caso i cui la sequeza derivi dal campioameto di u segale aalogico x a (t) si ha : x[] = x a (T) co T periodo di campioameto 2

3 Rappresetazioe grafica di u segale TD (sequeza umerica x[]): x[] x[0] x[-1] x[+1] x[-3] x[-2] x[+2] x[+3] x[+4] x[-4] x[+5] x[-5] x[+6] x[+7] 3

4 SEQUENZE NOTEVOLI: 1. Impulso uitario δ[] 1 δ[] = 1 = 0 0 altrove Proprietà del campioameto dell impulso uitario: Ua sequeza arbitraria può essere rappresetata come ua somma di impulsi ritardati e scalati 4

5 Esempio x[] 2 x[-3] = -2; x[-2] = -1; x[-1] = 1; x[0] = 2; x[1] = -1; x[2] = 2; x[ ] = " 2![ + 3] "![ + 2] +![ + 1] + 2![ ] "![ " 1] + 2![ " 2] I geerale: " x[ ] = $ x[ k]! [ # k] k=#" 5

6 2. Gradio uitario u[] 1 u[] = 1! 0 0 < 0 Proprietà: u[] = % k=#$ "[k] (somme accumulate) I alterativa, u[] può essere espresso come somma di impulsi ritardati: [ ]! [ ]! [ 1]! [ 2] u = + " + " +K 6

7 Si può verificare che valgoo le due relazioi segueti: +$ % k= 0 u[] = "[ # k] "[] = u[] # u[ #1] e quidi è possibile defiire famiglie di sequeze mediate le operazioi di somme accumulate e di differeza fiita, così come avviee per i segali a tempo cotiuo tramite le operazioi di itegrazioe e di derivazioe. 7

8 3. Rampa uitaria r[] [ ] u[ k] r = # k=!" [ ] = [ ]! [! 1] u r r 8

9 4. Espoeziale reale x[ ] = A! A, α reali Le sequeze espoeziali soo fodametali ello studio dei sistemi lieari (soluzioi di equazioi differeziali lieari a coefficieti costati). Adameti possibili: x[] A 0 < α < 1 x[] A -1 < α < 0 9

10 x[] α = 1 x[] α = -1 x[] x[] α >1 α < -1 10

11 5. Espoeziale complesso x[ ] = A! A, α complessi j " = " e! j A = A e! j! Formula di Eulero: e = cos! + j se!! [ ] x j(! + " ) = A # e = = A # cos! + " + j A # si! + " ( ) ( ) f =! 2 "! pulsazioe (rad/campioe) fase iiziale frequeza x[] ha u iviluppo idetico all adameto dell espoeziale reale!!! < 1 = 1 > 0 decrescete costate crescete 11

12 Casi particolari: α = 1 (espoeziale complesso puro): ( + ) j A e! " coseo reale: cos! + " = ( ) e (! + ") # (! + ") + e 2 j j seo reale: se! + " = ( ) e (! + ") # (! + ") j j # e 2 j 12

13 (! + " ) 0 2 Proprietà 1 dell espoeziale complesso (idistiguibilità i frequeza): Sostituedo al posto di si ottiee ua sequeza idetica a quella di parteza : Ciò sigifica che ci si può limitare a cosiderare per ω (e quidi f) u itervallo di lughezza 2π (f =1), per esempio:! 0 ( + + ) ( + ) j! 2 " # j! # j2 " 0 0 e = e e Questa proprietà vale per tutte le pulsazioi! 0 + 2" r 0 #! # 2" oppure #! $ " $! 0! f! 1 oppure! 0,5 " f " 0,5 =1, co r itero. (valore pricipale) Si può dire che le alte frequeze si hao per ω itoro a ± π, le basse per ω itoro a 0 e 2π. 13

14 ω 0 ω 0 = 0, 2π ω 0 = π/3, 7π/3 ω 0 = π/6, 13π/6 ω 0 = π, 3π Grafici della sequeza cos(ω 0 ) per diversi valori di ω 0 14

15 PERIODICITÀ DI UNA SEQUENZA La sequeza x[] si dice periodica di periodo N se risulta: x[] = x[ + N] per qualuque valore di. Importate è il caso dell espoeziale complesso, per il quale vale la seguete proprietà. 15

16 Proprietà 2 dell espoeziale complesso (periodicità el TD): No tutti gli espoeziali complessi soo periodici Secodo la defiizioe di sequeza periodica, deve ifatti risultare: j$ &! ( + N) + " % ' j[! + "] 2# k = ( 0 = ( =! e e! N 2# k N cioè solo se i valori di ω 0 e k soo tali che N risulta itero, allora la sequeza espoeziale è periodica! Siccome la sequeza siusoidale è u caso particolare di quella espoeziale complessa, e deriva che ua sequeza siusoidale può essere o periodica! 16

17 ESEMPI DI CIRCUITI-ALGORITMI TD 1. Filtro i Media Mobile (Movig Average, MA) Effettua ua media su ua fiestra che scorre sulla sequeza di igresso x[] ( slidig widow ): x[] x[] = {0, 1, 6, 3, 4, 5, 6, 6, 2, 4, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 9, 5, 4, 3, 2, 1, 0} 17

18 Algoritmo: y[ ] = = 0, 1, N = lughezza della fiestra [ ] x[ ] + x[ + 1] + K+ x + N! 1 N N.B. I questo caso il campioe dell uscita all istate dipede dai valori successivi dell igresso (circuito o causale). 18

19 Circuito TD per il calcolo della media mobile: x[+n-1] x[+n-2] D D 1/N y[] x[+1] x[] D y[ ] = [ ] x[ ] + x[ + 1] + K+ x + N! 1 N 19

20 Esempio (N = 3) y [ 0 ] = = ; [ ] y = = ; y[ 2 ] = = 13 ; [ ] 3 + y = = 4; 3 y [ 4] = = 5; [ ] y = 6 = ; y[ ] Il filtro i media mobile esegue ua regolarizzazioe (o smoothig ) sui dati. 20

21 2. Filtro i Media Mobile Pesata La media viee pesata co dei coefficieti opportui Algoritmo: [ ] = [ 0]! [ ] + [ 1]! [ + 1] + K+ [ " 1]! [ + " 1] y h x h x h N x N = 0,1, K h[ k] : coefficieti della media pesata 21

22 Circuito TD per la media mobile pesata: x[+n-1] x[+n-2] h[n-1] h[n-2] [ ] [ ] [ 0] [ 1] [ 1] y = x h + x + h +K x[+1] h[0] x[] 22

23 N! 1 I geere i coefficieti h[k] soo tali che: h[ k] Esempio " k = 0 = 1 h[k] 3/9 2/9 h[k] = 1 9 { 1,2,3,2,1 } 1/ k 23

24 SIMULAZIONE (O EMULAZIONE) DI UN CIRCUITO ANALOGICO (TC) TRAMITE UN CIRCUITO A TEMPO DISCRETO (TD) Circuito RL: e(t) + L - i(t) R Soluzioe del circuito TC: L di + Ri(t) = e(t) dt i(0) = i 0 I geerale (soluzioe el TC = calcolo equazioe differeziale): A dy + By(t) = x(t) dt y(0) = y 0 A " L B" R 24

25 L equazioe differeziale può essere risolta umericamete approssimado la derivata co il rapporto icremetale (è ciò che si fa ei programmi di aalisi automatica come SPICE): Ne segue: dy dt = y "(t) # y(t) $ y(t $ T) T A[y(t) " y(t " T)] + BTy(t) # Tx(t) T è il periodo di campioameto Poedo t = T (cioè campioado): (A + BT)y(T) " Ay(T " T) # Tx(T) 25

26 Si cosidera ora il circuito TD co memoria (è presete u ritardo) che produce la sequeza y[]=y(t): Poedo: (A + BT)y[] " Ay[ "1] = Tx[] a 0 =1; a 1 = A A + BT ; b 0 = T A + BT l equazioe si può riscrivere el modo seguete: y[] = b 0 x[] + a 1 y[ "1] Circuito TD: x[] y[] b 0 a 1 T Ritardo uitario 26

27 La soluzioe dell equazioe differeziale, suppoedo e(t) = E (costate) e i(0)=0, è: i(t) = E # R R 1" e" L t e rappreseta aturalmete il processo di carica di u iduttore. i(t) E R % $ & ( ' t 27

28 La soluzioe aalitica dell equazioe alle differeze: y[] = b 0 x[] + a 1 y[ "1] si può otteere calcolado successivamete (calcolo ricorsivo) i valori di y[] per =1,2,..., suppoedo x[]=e e y[0]=0: =1: y[1] = b 0 E = T L + RT E T = 2 : y[2] = L + RT E + L L + RT " # L & = % 1+ ( $ L + RT' T L + RT E T L + RT E = 28

29 = 3 : y[3] =... T L + RT E + ( = * 1+ ) ( = * 1+ ) L " $ L + RT # 1+ L L + RT + L " $ L + RT # 1+ L % ' L + RT& La soluzioe geerale ha quidi la seguete espressioe: ) y[] = + 1+ * L L + RT + " $ # L L + RT % ' & L % + T '- L + RT&, L + RT E = " L % $ ' # L + RT& T -, L + RT E " L % $ ' # L + RT& (1 T L + RT E =, T. - L + RT E Somma di -1 termii i progressioe geometrica co ragioe L/(L+RT) 29

30 che si può scrivere ache come: y[] = " L % 1- $ ' # L + RT& " L % 1- $ ' # L + RT& ( * " % T L + RT E = E, R 1) $ 1 ', $ $ 1+ RT ', ' +, # L & - / / /./ Se si fa l ipotesi che RT<< L (cioè che T<< L/R, il che è plausibile), si può approssimare l espoeziale e RT/L mediate i primi due termii dello sviluppo i serie di Taylor: e RT L "1+ RT L 30

31 I tal caso si ha: y[] " E $ R R 1# e# L T ' & ) = i(t) % ( cioè l uscita del circuito TD (simulatore) è ua approssimazioe dell uscita campioata del circuito TC. E R... 31

32 Osservazioi All equazioe differeziale el TC (el caso presete del primo ordie) corrispode u equazioe alle differeze el TD, dovuta al calcolo discreto della derivata. Per il calcolo discreto della derivata si possoo usare diversi metodi umerici, del primo ordie (Eulero diretto e iverso, trapezoidale) o di ordii superiori, ad oguo dei quali si associa u diverso equivalete circuitale. L errore d approssimazioe che si itroduce ievitabilmete ella simulazioe dipede dal metodo adottato per il calcolo umerico della derivata, dal periodo di campioameto T scelto e dalla struttura del circuito aalogico da simulare. Sussiste ua relazioe duale tra la soluzioe ricorsiva dell equazioe alle differeze (algoritmo) ed il fuzioameto del simulatore (circuito TD). 32