si ha: giacciano all interno del cerchio unitario. Inoltre, poiché:

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1 2.4 PROCESSI STOCASTICI A MEDIA MOBILE (MA) U processo MA di ordie p esprime il valore correte del processo come ua somma fiita di p campioi di rumore biaco pesati secodo dei coefficieti θ i ossia 1 1 posto ( θ q L θ q = Θ( q) si ha: = Θ q a 1 1 ( 1 ) z = a θ a L θ a = θ q L θ q a 1 1 p p 1 p 1 1 (2.43) z ( ) p ) CONDIZIONI DI INVERTIBILITA' E STAZIONARIETA' Cofrotado la (2.43) co la (10) si deduce che H(q) = θ-1(q) per cui la codizioe di ivertibilità per u processo MA(q) è che θ-1 (q) coverga al di fuori del cerchio uitario ( q >1). Posto (2.44) espadedo i fratti si ha (2.45) che coverge se Hj < 1 per j = 1,2,..p. Poiché le radici di θ(q) = O (44) soo Hj-1, la codizioe di ivertibilità per u processo MA(p) è che le radici dell'equazioe caratteristica (2.46) giacciao all itero del cerchio uitario. Ioltre, poiché: (2.47) [relazioe (2.46)] è ua serie fiita, o è ecessaria alcua restrizioe sui parametri θ i del modello MA(p) per assicurare la stazioarietà.i altre parole, u processo MA di ordie fiito p è itrisecamete stazioario. 52

2 2.4.2 FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE (ACF). Come fatto per i processi AR, ache per i processi MA è possibile valutare la fuzioe di autocorrelazioe R k data da: E' possibile, ioltre, dimostrare: (2.48 ) La fuzioe di autocorrelazioe per u processo MA(p) è ulla per k>p. I altre parole ha u 'cutoff' al ritardo p mo. Stimado i p valori R k della fuzioe di autocorrelazioe come visto el capitolo precedete, le equazioi (2.48) al variare di k costituiscoo u set di p equazioi elle icogite θ i che, risolto, forisce ua stima dei parametri del processo DUALITA' TRA PROCESSI AUTOREGRESSIVI E PROCESSI A MEDIA MOBILE Quello che è opportuo far otare, è che costituisce u otevole strumeto di aalisi dei segali, è la dualità tra u processo AR(p) ed uo MA(q).U processo MA(q) ha, ifatti, ua ACF ulla oltre il ritardo q metre la sua PACF è ifiita ed è domiata da termii espoeziali e siusoidali. Dualmete, u processo AR(p) ha ua ACF ifiita e domiata da termii espoeziali e siusoidali, metre la sua PACF è ulla oltre il ritardo p. Ache le codizioi di stazioarietà ed ivertibilità risultao duali. Ifatti per u processo AR(p) la scelta dei parametri o è legata alla codizioe di ivertibilità che è sempre verificata. Ivece, per la stazioarietà,è richiesto che le radici dell'equazioe caratteristica ϕ(q)=0 siao al di fuori del cerchio uitario. Dualmete, i parametri di u processo MA(q) o soo legati alla codizioe di stazioarietà ma a quella di ivertibilità per cui le radici dell equazioe caratteristica θ(q)=0 debboo essere all itero del cerchio uitario. L'ultimo importate aspetto di dualità tra processi AR ed MA è che u processo AR stazioario può essere visto come ua somma ifiita e pesata di campioi di rumore biaco o come ua somma fiita di valori precedeti del processo stesso metre u processo MA ivertibile è dato da ua somma fiita di campioi di rumore biaco o ua somma ifiita dei valori atecedeti del processo. I altre parole, se u processo fosse realmete MA(1) potrebbe essere valutato i termii di u modello AR o parsimoioso e viceversa per u processo del tipo AR(1) i termii di modello MA. Questa circostaza suggerisce che per ua 53

3 idetificazioe parsimoiosa del processo è talvolta ecessario cosiderare termii AR ed MA. Otteiamo i tal modo u modello stazioario geerale ARMA(p,q). 2.5 PROCESSI AUTOREGRESSIVI A MEDIA MOBILE (ARMA). U modello ARMA(p,q) è dato da ua combiazioe, opportuamete pesata, di campioi del segale Z e di rumore biaco a. Risulta cioè : o equivaletemete : i termii di fuzioe di trasferimeto, si ha : (2.49) Risulta quidi chiaro, che u processo ARMA (p,q) può essere visto come u processo autoregressivo del p mo ordie : (2.50) essedo e u processo MA di ordie q dato da : Dualmete, u processo ARMA(p,q) può essere visto come processo MA(q): essedo b u processo AR (p) dato da : CONDIZIONI DI STAZIONARIETA' ED INVERTIBILITA' Da quato detto, segue che la codizioe di stazioarietà del processo ARMA è imposta dalla sola parte autoregressiva del processo stesso, ossia le radici dell'equazioe ϕ(q) = 0 devoo essere all itero del cerchio uitario. Similmete, la codizioe di ivertibilità è imposta dalla parte a media mobile del processo AR5MA e richiede che le radici dell'equazioe θ(q) = 0 siao all itero del cerchio uitario. 54

4 2.5.2 FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE (ACF). Moltiplicado la (49) per Z -k e calcolado la media statistica, si ha : ( 2.52 ) dove R zak = E[z-k a] è al variare di k la fuzioe di mutua correlazioe tra Z ed a. Poiché Z -k dipede solo dai campioi di a oltre l'istate -k segue : (2.53) Sostituedo la (2.53) ella (2.52) si ha : (2.54) o equivaletemete: (2.55) Quidi, come già visto per u processo autoregressivo, la fuzioe di autocorrelazioe di u processo ARMA cosiste,i geerale, di ua combiazioe di espoeziale e/o siusoidi decresceti FUNZIONE DI PARZIALE AUTOCORRELAZIONE (PACF). La PACF di u processo ARMA è ifiita i durata. Essa segue, i pratica, l'adameto della PACF di u processo MA determiato da siusoidi ed espoeziali decresceti e dipedete dall'ordie del processo MA e dai valori dei parametri che esso cotiee. Per u processo, ad esempio, ARMA(1,1) di parametri ϕ1 e θ1 il cui itervallo di variabilità è fissato dalle codizioi di stazioarietà ed ivertibilità, è possibile mostrare l'adameto della ACF e della PACF al variare, stavolta, di ϕ1 e θl.i figura, si ota come l'adameto della ACF dipeda dal valore e dal sego del coefficiete autoregressivo ϕ1. La fuzioe di parziale correlazioe, al cotrario, per u processo ARMA(1,1) mostra u adameto caratteristico di u processo MA(1) e dipedete dal valore e dal sego del coefficiete θl. Come riepilogo delle proprietà dei processi AR, MA, ARMA riportiamo ua tabella molto utile i fase di idetificazioe del modello. 55

5 Codizioi di stazioarietà Codizioi di iveribilità Autocorrelazioe (ACF) Parziale autocorrelazioe (PACF) Processo Autoregressivo Processo a Media Processo Misto (AR) Mobile (MA) (ARMA) le radici del poliomio a sempre stazioario le radici del poliomio a deomiatore devoo essere deomiatore devoo essere all itero del cerchio all itero del cerchio uitario uitario sempre ivertibile le radici del poliomio a le radici del poliomio a umeratore devoo essere umeratore devoo essere all itero del cerchio all itero del cerchio uitario uitario Ifiita (espoeziali e Fiita Ifiita (espoeziali e siusoidi smorzate) siusoidi smorzate dopo i Fiita Ifiita (espoeziali e siusoidi smorzate) ptimi q-p ritardi) Ifiita (espoeziali e siusoidi smorzate dopo i ptimi p-q ritardi) 56