1. Considerazioni generali

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1 . osiderazioi geerali Il processaeto di ob su acchie parallele è iportate sia dal puto di vista teorico che pratico. Dal puto di vista teorico questo caso è ua geeralizzazioe dello schedulig su acchia sigola, etre dal puto di vista pratico è rilevate i quato l esisteza di risorse parallele i coue si verifica ella realtà. I pricipali obiettivi soo: akespa, tepo di copletaeto totale, assia lateess. Il akespa el caso di acchia sigola e rilevate solo se i tepi di set-up dipedoo dalla sequeza etre el caso di acchie parallele la iiizzazioe del akespa i ogi caso assicura u bilaciaeto del carico tra le acchie. Ioltre la preepzioe che el caso di accchia sigola è sigificativa solo i preseza di ready tie, acquista iportaza i questo caso ache co ob siultaei. Ifie, ache se ella aggioraza dei casi questi odelli dao luogo a schedule ottie che soo odelay, el caso di iiizzazioe del total copletio tie seza preepzioe e co acchie parallele ocorrelate la schedula ottia o è ecessariaete o-delay

2 . osiderazioi geerali (cotiua) Lo schedulig su acchie parallele è u processo i due passi: a) allocazioe dei ob alle acchie; b) sequeziaeto dei ob su ciascua acchia. Se l obiettivo è il akespa solo il passo a) è sigificativo. Questo odello ha u otevole iteresse pratico perché la iiizzazioe di ha u effetto di bilaciaeto del carico tra le varie acchie. Questo problea è NP-hard coe si può facilete osservare el caso più seplice P2 che è ricoducibile al oto problea del PARTITION che è u classico problea NP-copleto (i seso ordiario). Diostrazioe. Per diostrare la coplessità di P2 occorre richiaare la defiizioe del PARTITION proble: Dato u isiee di iteri positivi a, a 2,, a t e t b = ½ a i, esistoo due sottoisiei disgiuti S, S 2 i= tali che Σ i S a i = b, =, 2? 2

3 . osiderazioi geerali (cotiua) E evidete che il PARTITION si riduce al P2 poedo: t = t; p = a ; z = ½ a i = b E iediato verificare che esiste ua schedula co u t valore di ½ a i se e solo se esiste ua i= soluzioe per il PARTITION. Quidi il problea P2 è aleo tato coplesso quato il PARTITION. i= Di cosegueza olti algoriti euristici soo stati sviluppati per il odello geerale. 3

4 2. Il odello P La regola Logest Processig Tie first (LPT) Assega al tepo t = 0 gli ob più lughi alle acchie. Successivaete, quado ua acchia si libera assega ad essa il ob o schedulato co il più grade tepo di processaeto. Osservazioe Questa euristica cerca di assegare i ob più corti alla fie della schedula dove essi possoo essere usati per bilaciare i carichi tra le acchie. Per questa euristica esiste u approssiazioe garatita data dal seguete Teorea I u problea P se idichiao co (LPT) il akespa della schedula LPT e co (OPT) il akespa della schedula ottia vale la seguete relazioe (LPT) (OPT)

5 2. Il odello P (cotiua) Diostrazioe (per cotraddizioe). Suppoiao che esistao uo o più cotro-esepi per i quali la precedete relazioe vale col sego > e cosideriao quello co il più piccolo uero di ob. Siao essi. Questo cotro-esepio ha la seguete proprietà: i ua schedula LPT il ob più corto è l ultio ad essere processato e l ultio ad essere copletato. Sez altro la regola LPT assicura che il ob più corto e l ultio ad essere processato. Se o fosse ache l ultio ad essere copletato, allora l eliiazioe di questo ob darebbe luogo ad u cotro-esepio co u uero più piccolo di ob. Ifatti (LPT) resterebbe lo stesso etre (OPT) potrebbe restare lo stesso o decrescere. Pertato el cotro-esepio di cardialità iia lo startig tie del ob più corto i ua schedula LPT è (LPT) p. Poiché a questo istate le altre acchie soo occupate e segue che (LPT) p p = 5

6 2. Il odello P (cotiua) Ove il sego = si ha quado schedulado i prii ob secodo la regola LPT si verifica che il carico (tepo) di lavoro sulla geerica acchia i (soa dei tepi di processa eto dei ob allocati ad i) è esattaete lo stesso per tutte le acchie. Ora si ricava facilete che: (LPT) p + = p = p ( ) + = p Poiché per defiizioe (OPT) per il cotro-esepio devoo valere le segueti relazioi: p( ) + p 4 (LPT) = < = 3 3 (OPT) (OPT) = p ( ) (OPT) + = p (OPT) = p p ( ) + (OPT) 6

7 2. Il odello P (cotiua) Pertato < p ( / ) (OPT) + (OPT) < 3p Poiché l ultia relazioe è ua disuguagliaza stretta, questo iplica che per il cotro-esepio i esae la schedula ottia può avere al più due ob su ogi acchia. Poiché è facile diostrare che se ua schedula ottia preseta al più due ob su ciascua acchia, allora la schedula LPT è ottia ed il rapporto dei due akespa è pari ad, e risulta ua cotraddizioe co l assuto di parteza che per 2 ipoe che sia (LPT) (OPT) > Pertato deve valere la relazioe riportata ell euciato del teorea. c.v.d 7

8 2. Il odello P (cotiua) osideriao u istaza co = 4 acchie e la seguete cofigurazioe dei ob ob p Le schedule LPT e OPT soo le segueti: (LPT) = 5 P 8 9 P 2 P 3 P (OPT) = 2 P P 2 P 3 P t 8

9 2. Il odello P (cotiua) Dalle schedule si ricava che (LPT) 5 4 = = ; = (OPT) Ossia la particolare istaza esaiata rappreseta il caso peggiore (worst-case) quado si hao 4 acchie parallele (l approsiazioe è del 25%). Esistoo altre euristiche per il problea P che soo più sofisticate della regola LPT e che cosegueteete dao luogo a boud igliori. 9

10 Modelli di schedulig su acchie parallele 3. Il odello P pt osideriao il problea di processare u isiee di ob su acchie parallele ell ipotesi che sia aessa la preepzioe e la fuzioe obbiettivo sia il akespa. La preepzioe seplifica l aalisi del problea (i) osideriao la seguete forulazioe lieare (a) (b) (c) (d) i= i= = x i x x x i i i = p i, =,2, K,, =,2, K,, i =,2, K, 0, i =,2, K, ; =,2, K ove x i è l aotare del tepo totale speso dal ob sulla acchia i. I vicoli (a) ipogoo che il ob sia processato per u tepo pari a quello ecessario per la sua esecuzioe. I vicoli (b) ipogoo la codizioe che il tepo di processaeto di ogi ob o può superare il akespa. I vicoli (c) ipogoo che il tepo di lavoro di ciascua acchia o superi il valore del akespa. 0

11 3. Il odello P pt (cotiua) Poiché è ua variabile di decisioe e o u eleeto del vettore delle risorse del problea di PL i vicoli (b) e (c) si possoo riscrivere coe i= xi 0, =, K, xi 0, i =, K, i= Pertato questa forulazioe è del tipo i c A x x dove il vettore c e la atrice A cotegoo solo eleeti 0, ed il vettore b è forato da tepi di processaeto ed ( + ) zeri. Osservazioe Questo odello PL si può risolvere i tepo polioiale a la sua soluzioe o dà i realtà ua schedula perché specifica solo l aotare del tepo speso da ogi ob sulla acchia i. Ovviaete questa iforazioe può essere usata per costruire facilete ua schedula aissibile. 0 b x

12 3. Il odello P pt (cotiua) (ii) U altro algorito per questo problea si basa sul seguete risultato per il liite iferiore sui valori che può assuere. Sia il ob quello co il più grade tepo di processaeto. Lea Per il problea P pt si ha che p, p = = * Diostrazioe Poiché il ob è quello co più grade tepo di processaeto la precedete relazioe e deriva iediataete. 2

13 3. Il odello P pt (cotiua) Il seguete algorito perette di deteriare ua soluzioe aissibile di valore pari a * e quidi ottia. Algorito Passo 0: a) Se p / p vai al passo. b) Altrieti schedula al tepo 0 il ob sulla acchia. Passo : Processa i (restati) ob su ua acchia i odo da geerare ua qualsiasi sequeza. Il akespa che e deriva è pari alla soa dei tepi di processaeto ed è * (caso a) [ ( ) * (caso b)]. Passo 2: aso a): Partizioa la schedula precedete i parti coe segue: [0, * ], [ *, 2 * ],, [( ) *, * ]. aso b): Partizioa la schedula precedete i - parti coe segue: [0, * ], [ *, 2 * ],, [( 2) *, ( ) * ]. Passo 3: osidera la sequeza del prio itervallo coe la schedula della acchia (caso a) [2 (caso b)], la sequeza del secodo itervallo coe la schedula della acchia 2 (caso a) [3 (caso b)] e così via. 3

14 3. Il odello P pt (cotiua) Osservazioe La schedula forita è ovviaete aissibile. Ifatti poiché è aessa la preepzioe parte di u ob può coparire alla fie della schedula della acchia i e parte all iizio della schedula della acchia i+, e siccoe ogi p < o c è alcu ob che risulta coteporaeaete i esecuzioe su due acchie. Pertato ua tale schedula è aissibile. Ioltre poiché tale schedula ha = essa è ache ottia. (iii) U altra regola per il problea i esae è: Logest Reaiig Processig Tie first (LRPT) La schedula risultate è la versioe preeptiva della schedula LPT. Questa regola è più di iteresse teorico che pratico. Ifatti il uero di preepzioi ecessarie el caso deteriistico può essere ifiito. Esepio osideriao il caso = 2, p =, per =, 2 e =. o la strategia LRPT (a) i ob ruotao cotiuaete sulla acchia co periodicità ε. Il akespa è 2 ed ovviaete idipedete dalla schedula. Il copletio tie totale = 4, etre el caso o preeptivo (b) è pari a 3. 4

15 3. Il odello P pt (cotiua) ε a) = 2; = 4 b) 2 = 2; = t a) Schedula preeptiva secodo la regola LRPT. b) Schedula o preeptiva 5

16 4. Il odello P Σ osideriao acchie i parallelo ed ob. L obbiettivo è iiizzare il tepo di copletaeto totale. Ache i tal caso vale il seguete Teorea La regola Shortest Processig Tie first (SPT) dà ua soluzioe ottia per P Σ. Diostrazioe E aaloga a quella del caso di acchia sigola. Secodo questa regola il ob più piccolo è assegato alla acchia al tepo t = 0, il secodo più piccolo alla acchia 2 e così via fio al -o ob più piccolo. A questo puto si ricoicia assegado il ob (+)- o più piccolo alla acchia, il ob (+2)-o più piccolo alla acchia 2 e così via. E facile verificare che la schedula SPT corrispode ad u assegaeto ottio dei ob. La regola SPT o può però essere geeralizzata al caso pesato coe el caso di acchia sigola. Tuttavia la regola WSPT è ua buoa euristica per P Σw. w (WSPT) ( ) Si può diostrare che + 2 w (OPT) 2 6

17 4. Il odello P Σ (cotiua) Osservazioe La regola SPT i questo odello o esaurisce tutte le soluzioe ottie. Esepio osideriao la seguete istaza co = 2 e = 3: ob 2 3 p w La regola SPT dà luogo alla sequeza: 3 = w = t osideriao la sequeza seguete che o è SPT 3 2 = 6 w = t Si vede che esistoo più sequeze ottie per e o solo la SPT. Ioltre le due sequeze precedeti soo etrabe WSPT a o soo etrabe ottie. 7