Introduzione all Analisi di Fourier. Prof. Luigi Landini Ing. Nicola Vanello. (presentazione a cura di N. Vanello)

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1 Itroduzioe all Aalisi di Prof. Luigi Ladii Ig. Nicola Vaello (presetazioe a cura di N. Vaello)

2 ANALII DI FOURIER egali tempo cotiui: egali periodici egali aperiodici viluppo i serie di Itroduzioe alla rasformata Cotiua di egali empo Discreti: - rasformata di di ua sequeza - rasformata Discreta di - Aalisi tramite DF di sequeze fiite Aalisi di di sequeze bidimesioali o Immagii.

3 ANALII DI FOURIER egali tempo cotiui: egali periodici viluppo i serie di - Criteri di Covergeza - Breve Itroduzioe sui Fasori - pettro di Ampiezza e Fase - pettro per i egali Reali -Esempi

4 ANALII DI FOURIER Itroduciamo l argometo co l esempio di u segale reale: questo può essere espresso come la somma di oscillazioi siuosidali opportuamete pesate.. Ricostruzioe aumetado il umero di compoeti L esempio mostra u oda quadra scomposta i quattro compoeti. Il umero di compoeti è, i geerale, ifiito

5 Lo sviluppo i erie di viee impiegato el caso di segali periodici: s(t)s(t ) per ogi t U segale s(t), periodico di periodo, può essere espresso come la somma pesata di ifiite fuzioi siusoidali del tipo e t periodiche di periodo e frequeza s( t ) e, ±, ±,... f Per i segali a poteza media fiita è possibile scrivere t

6 Vediamo i quali codizioi vale e che sigificato ha l uguagliaza appea idicata. Cosideriamo la combiazioe lieare di N fuzioi periodiche s N ( t ) N N e t E defiiamo l errore tra s N (t) e il segale origiario s(t) ε N ( t) s( t) s ( t) N

7 È possibile dimostrare che i coefficieti che miimizzao l errore quadratico medio tra s(t) e s N (t) soo dati da t t s( t ) e dt t Dove gli estremi di itegrazioe così idicati idicao che l itegrale può essere calcolato per qualsiasi itervallo di ampiezza. I queste codizioi l errore quadratico medio si può scrivere come (abbiamo posto t ) N ε N s( t ) dt N Per N, el caso di segale a poteza media fiita, l errore quadratico medio tede a zero

8 Co questa scelta dei coefficieti si ritrova l uguagliaza di Parseval s( t ) dt Che esprime la poteza media del segale i fuzioe dei coefficieti dello sviluppo i serie di

9 Criterio di Dirichlet Il criterio di Dirichlet stabilisce i quali codizioi u segale periodico è rappresetabile come sviluppo i serie di -s(t) deve essere assolutamete itegrabile sul periodo ; -s(t) deve essere cotiuo o presetare al più, i u periodo, u umero fiito di discotiuità di prima specie; -s(t) deve essere derivabile rispetto al tempo el periodo, escluso al più u umero fiito di puti ei quali, però, devoo esistere fiite le derivate destra e siistra. oddisfatte queste codizioi la serie di coverge a s(t). Nei puti di discotiuità di prima specie di s(t), la serie coverge alla semisomma del limite destro e siistro ei suddetti puti

10 : breveitroduzioesuifasori Cosideriamo il segale complesso s( t) Ae ( ftθ ) Questo viee detto fasore rotate: la posizioe del fasore sul piao di Gauss può essere idividuata da u vettore ruotate alla velocità agolare ωf e al tempo t forma u agolo pari a θ co l asse reale Nel seguito si visualizza u esempio di rotazioe co velocità agolare maggiore di zero A e θ6 radiati

11 Dalla formula di Eulero discede Ae Per cui il segale reale del fasore erie di : breveitroduzioesuifasori ( ft θ ) Acos( ft θ ) Asi( ft θ ) Acos( ft θ ) può essere trovato come parte

12 : breveitroduzioesuifasori La parte reale si può otteere ache come somma del fasore co il complesso coiugato divisa per due Re { s() t } s ( ft θ ) ( ft θ ) ( t) s ( t) Ae Ae Da questa aimazioe si ituisce il sigificato da attribuire alle frequeze egative: esse soo associate a fasori che ruotao el piao di Gauss i seso orario.

13 I coefficieti della serie di formao lo spettro del segale s(t). oo umeri complessi e soo rappresetabili come θ -modulo e fase e co θ -parte reale e parte immagiaria R I Im I θ R Re Il grafico del modulo di, al variare di, si dice spettro di ampiezza metre il grafico della fase di si dice spettro di fase di s(t)

14 Ciascu coefficiete di moltiplicare la fuzioe oscillate ella formula dello sviluppo va a t e La sommatoria diviee quidi ua sommatoria di fasori ( t ) θ t θ e e e di ampiezza e fase θ

15 e cosideriamo l aimazioe precedete possiamo dedurre che ogi segale reale è costituito da fasori tali per cui, per ogi fasore a frequeza positiva, deve esistere ache il corrispettivo a frequeza egativa tale per cui - e fase θ e la fase iiziale θ deve essere opposta

16 Rappresetazioi della erie di per segali reali Ricaviamo la forma trigoometrica i parte da R I ( ) ( ) t t R t I t R I R e I R e t s cos si si cos t si t cos t t ) (

17 e il segale è reale vale la relazioe (si verifica immediatamete dalla formula del coefficiete di ) Come cosegueza abbiamo R R - e I - I - * forma trigoometrica segale reale s( t ) [ ] R cos t I si t R Abbiamo ache la forma polare: s( t ) t cos θ

18 Esempi di viluppo i serie di : s ( t ) a cos( f t ) Dal cofroto co la forma polare dello sviluppo i serie di di u segale reale periodico si ricavao i coefficieti della erie di s( t) a cos(f t) Da questo cofroto si ricava e cos(f t a, ϑ Visto che il segale è reale si ha ϑ ), ϑ, * a e a

19 Altro caso: s ( t ) a si( f t ) Il segale si può scrivere come Dal cofroto co la forma polare si ottiee s( t) a cos f t a, ϑ, ϑ, * Dalla relazioe si ottiee a e a e

20 Nelle figure che seguoo si vede lo spettro del coseo e del seo per a Coefficieti di coseo Coefficieti di seo Nel caso del coseo è sufficiete u grafico visto che i coefficieti soo reali. I coefficieti el caso del seo soo complessi e possoo essere visualizzati i modulo e fase, oppure tramite u uico grafico della parte immagiaria.

21 A s(t) - viluppo i serie di del treo di impulsi rettagolari s(t) di periodo e duty cycle δ ) ( t t t t t t dt Ae Adt dt Ae dt Ae dt e t s altrimeti per

22 - A Adt - ± ± co k pari,...,, ) ( ) ( ) si( ) si( k- k A A e e A t e A dt t Ae k

23 viluppo i serie di del treo di impulsi rettagolari s(t) di periodo e duty cycle δ s(t) A Di seguito vegoo mostrati i coefficieti compresi ell itervallo [-:]