ESERCIZI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA A

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1 ESERCIZI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA A Igegeria Elettroica e delle Telecomuicazioi ao accademico Gli esercizi idicati co presetao maggiori difficoltà teciche. Biomio di Newto. Sviluppare il biomio ( + ) 7. Estremo superiore ed estremo iferiore Studiare la itatezza e determiare estremo superiore, estremo iferiore ed evetuali massimo e miimo per i segueti isiemi:. (, 0] [, ) } +. : = 0,,, 3, [0, ] \ : = 0,,, 3,... } } 4. ( ) : =,, 3,.... Fuzioi. Determiare estremo superiore, estremo iferiore ed evetuali massimo e miimo per le segueti fuzioi (a) f() = si, [0, + ) 4 [, ] (b) f() = ], ].. Studare la mootoia (ache delle restrizioi) delle segueti fuzioi (a) f() = +, R (b) f() = log 0 ( + ) log 0 (), (0, + ) (c) f() = [], R (parte itera di ) (d) f() = [], R (matissa di ). 3. Stabilire se le segueti fuzioi soo periodiche e, i caso affermatico, determiare il periodo miimo. (a) f() = [], R (b) f() = si, R. 4. Date le fuzioi f() = + e g() = + stabilire se è possibile cosiderare f g e, i caso affermativo, calcolare f(g())

2 5. Data f() = + l() studiare l ivertibilità e calcolare f () 6. Data f() = studiare l ivertibilità e determiare l iversa della restrizioe a [ 3, + ). Topologia Dati i segueti isiemi trovare i puti iteri, di accumulazioe e di frotiera e stabilire se soo aperti o chiusi. }. A = [0, ] [, 3] 4} + ( ) 4. D = : =,, 3,... } 3 +. B = : =,, 3, C = A B 5. E = D [ 4 3, ]. Numeri Complessi. Scrivere i forma algebrica i segueti umeri complessi: (a) z = ( 3i)( + i) (b) z = 3 + i 4 3i (c) z = + i i. Calcolare parte reale, parte immagiaria e modulo di ( 4 (d) z = (i ) i + i ) + i z = ( + i)(3 i)( + i) ( i). (a) z = i( + 3i) + (3 i)( + i) (b) z = 7 + i ( + i). (3 4i) 3. Calcolare (a) 3z + i z ( i)z per z = + i Re (z) Im (z) iz z (b) per z = 3 i z (c) Re (iz + z ) per z = + i. 4. Scrivere i forma trigoometrica i segueti umeri complessi: (a) z = i 3 (b) z = + i (c) z = + 3i (d) z = 3i. 5. Rappresetare el piao di Gauss i segueti isiemi: (a) z C : z + z = } (b) z C : z + i = } (c) z C : z + + i } (d) z C : z = e Im (z) } z C : z e Im (z) } (f) z C : z + = e z } (g) z C : z 3 e z i } (h) z C : z 3 o z i }

3 (i) z C : ( i)z ( + i)z = i} (j) z C : z i = z + } (k) z C : z i z } (m) z C : z i z C : z i e e } z z + i = } z z + i. 6. Calcolare (a) 4 ( + i 3) (b) 3 8i (c) 3 + i (d) 3 + i. 7. Risolvere le segueti equazioi (a) z 4 = ( + i 3) (b) (z + i) 3 = (c) (z + 3i) 3 = i (d) (z + i) 4 = (z + ) 5 = ( 3 i) Risolvere le segueti equazioi (a) z 4 = z (b) z 3 = iz (c) z = i z (d) z 4 = z z = iz (f) z 4 = z. 9. Risolvere le segueti equazioi (a) z + iz + + i = 0 (b) z + z + i = 0 (c) z 4iz 3 i 3 = 0 (d) 4z + 4z i 3 = 0 z + z i = Risolvere le segueti equazioi (a) z + i z + iz + = 0 (b) z + z iz = i (c) z + z + z = 0 (d) z z = z + 3z + 6iz z = 0 (f) z + z i + = 0 (g) z z + = z (h) z 5 z z 6 z 4 + z 4 = 0. Successioi. Posto a =. Posto a = cos(π), calcolare a 5, a 8 e a. + ()!! ( + )!, calcolare a 4 e a + a. 3. Studiare la mootoia delle segueti successioi: 3

4 (a) a = +, N (b) a = si, N (c) a = cos, N (d) a = 5 +, N a = l( + ), N 4 + (f) a =, N. 4. Calcolare, se esistoo, i segueti iti: (a) (b) (c) (d) (f) (g) (h) (i) (j) (k) si e! + ( + )! + ( ) 4 3! [l( + 4 ) ] + ( ) + (m) () (o) (p) (q) (r) (s) (t) (u) (v) (log 0 ) 5 + l ( ) arcta 3 ( ) + 4 ( ) + l + ( ) + + ( ( ) ) 3 ( + ) + + cos. ( ) 5. Calcolare + + al variare di R. Limiti e cotiuità. Calcolare, se esistoo, i segueti iti: 3 4 (a) (b) (l(3) l(si )) 0 cos (c) 0 + si 3 (d) ( + ) l 0 l( + ) + 3 e si cos (f) 0 ta si (g) 0 3 ( ) + 3 (h) 0 si + 3 (i) 0 l(cos ) si l( ) 4

5 (j) (cos si ) 0 (k) + ( ) (m) ( + ) 0 si + l( + ) () ( e ) (o) + + e + si. + l. Stabilire se esistoo c R che redao le segueti fuzioi cotiue su R c + < + < 0 (a) f() = + (c) f() = c = 0 cos (b) f() = > 0 + > 0. c 0 Calcolo differeziale. Determiare i puti di massimo e di miimo locale della fuzioe f : [, 4] R defiita da 0 f() = 0 < < ( ) 4.. Determiare i puti di massimo e di miimo locale della fuzioe f : [ π, π] R defiita da cos π 0 l 0 < < < π f() = = π π < π. 3. Scrivere l equazioe della retta tagete al grafico di f() = 3 + el puto di ascissa =. 4. Determiare i puti di derivabilità delle segueti fuzioi: (a) f() = l( + 3 ), R (b) f() = e si, R. 5. Determiare α, β R i modo che la fuzioe f : R R defiita da cos(e ) > 0 f() = α + β 0 sia derivabile su R. 6. Determiare α R i modo che la fuzioe f : R R defiita da cos < π f() = α π sia cotiua su R e studiare la derivabilità. 7. Calcolare, se esistoo, i segueti iti: 5

6 ( ) (a) 0 cota l(e ) (b) 0 + l (c) (d) ( ) ta si π arcta 8. Disegare il grafico delle segueti fuzioi: (a) f() = (b) f() = l (c) f() = + (d) f() =. 9. Determiare il umero delle soluzioi dell equazioe al variare di α R. α = 0 Calcolo itegrale. Calcolare le segueti primitive di fuzioi razioali: 4 6 (a) d + 5 (b) 3 d 5 (c) 3 + d (d) ( 3 + ) d. Calcolare le segueti primitive: (a) cos 3 si 4 d (b) ( 3 e + 3 e ) d (c) ( + 3) cos d (d) 3 d + + d + 4 (f) d 3. Calcolare i segueti itegrali defiiti: (f) (g) (g) (h) (i) (j) (k) 3 3 d 3 ( + 4) d d. 3 + d d d 3 4 cos + e e d l( + ) d (arcta ) d. 6

7 (a) (b) 4 d d (c) e + d 4. Calcolare le fuzioi itegrali delle segueti fuzioi: + [0, ) [, 4] (b) f() = (a) f() = 0 = e 4 4 (4, 5]. 3 (, 3] 5. Determiare c R i modo che la fuzioe itegrale di si si [0, π] f() = c (π, 5] sia derivabile su [0, 5] e calcolarla. TEST A RISPOSTA MULTIPLA PROPOSTI E RISOLTI IN: S. Salsa A. Squellati Esercizi di Matematica Calcolo ifiitesimale e algebra lieare volume Numeri reali: pag. 7-8, tutti. Fuzioi: pag , tutti. Numeri complessi: pag. 3, tutti. Successioi: pag. 4-4, tutti trae l esercizio 8. Limiti di fuzioi: pag , da a 5, 6, da a 3. Cotiuità: pag. 94, tutti. Calcolo differeziale: pag. 03, tutti pag 9, da a 4 pag 0, tutti. Primitive: pag , tutti. Calcolo itegrale: pag. 60, da a 4, 6. 7