Esercizi svolti su successioni e serie di funzioni

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1 Esercizi svolti su successioi e serie di fuzioi Esercizio. Calcolare il limite putuale di f ) = 2 +, [0, + ). Dimostrare che o si ha covergeza uiforme su 0, + ), metre si ha covergeza uiforme su [a, + ) per ogi a > 0. Svolgimeto. Per ogi 0 si ha lim f ) = + lim =, metre per = 0 si ha Duque il limite putuale è lim f 0) = 0. + f) = { se 0 0 se = 0. No può esserci covergeza uiforme su [0, + ) perché f è discotiua i = 0. Si ha ivece covergeza uiforme su ogi semiretta [a, + ) co a > 0: ifatti, si ha [a, + ) ) f ) f) = 2 + = 2 + = ) 2 + a dove, per cocludere l ultima disuguagliaza, è stato usato il fatto che 2 + ) a [a, + ). Segue allora da ) che [a,+ ) f ) f) 0 per. a Esercizio 2. Calcolare il limite putuale su [0, + ) di arcta) l 2 ) + ) f ) = + si. 2 Il limite è ache uiforme? Svolgimeto. Covergeza putuale. Si osservi che per ogi 0 si ha arcta) l 2 + ) 2 0 per +, quidi, ricordado che siz) z per z 0, abbiamo arcta) l 2 ) + ) si 2 arcta) l2 + ) 2

2 e si ha arcta) l 2 ) lim si + ) + 2 = lim + arcta) l2 + ) 2 = 0. Duque Strategia geerale per provare che f putualmete. f NON coverge uiformemete al limite putuale f su I mostrare che esiste ua successioe { } I tale che f ) f ) 0 per. Allora o può esserci covergeza uiforme su I, perché si ha f ) f) f ) f ) 0! I Studio della Covergeza uiforme. Mostriamo che la covergeza di {f } o è uiforme. Cosideriamo i puti tali che arcta ) l 2 ) + ) 2) si =. Per questi puti si ha e duque 2 f ) = + = + f ) f ) = +. [0,+ ) Per otteere la 2), possiamo ad esempio cercare puti che soddisfio ) arcta ) l 2 + ) = π 2 2. L esisteza di ua successioe { } per la quale valga la ) è garatita dal teorema dei valori itermedi, i quato la fuzioe cotiua g) = arcta) l 2 + ) è tale che g0) = 0 e lim + g) = +. Quidi per ogi esiste co g ) = π 2 2. Esercizio. Dimostrare che la serie ) l2 ) si), 0, + ) coverge uiformemete sugli itervalli [a, b], per ogi 0 < a < b. 2

3 Svolgimeto. È facile vedere che lim + ) l2 ) si) = 0 > 0, cosicché è verificata la codizioe ecessaria per la covergeza putuale della serie su 0, + ). Dimostriamo la covergeza assoluta su 0, + ). Si ha per ogi 0, + ) f ) = 2 l) + l) si) l) + l) /2. Poiché le serie per il crit. cofroto cocludiamo che l) /2, l) /2 covergoo ) l2 ) si) coverge assolutamete su 0, + ). Covergeza totale su [a, b]. Si ha Siccome 2 l + l 2 l + l a + l b f ). [a,b] [a,b] /2 2 l + l a + l b /2 coverge su [a, b], si ha covergeza totale su [a, b] uiforme su [a, b] per ogi 0 < a < b. Esercizio 4. Determiare l isieme di covergeza putuale della serie = ) per R \ { 4}. + 4) Svolgimeto. Codizioe ecessaria per la covergeza: bisoga verificare per quali R \ { 4} si ha ) f ) = + 2) 2 0 per. + 4 Si oti che l adameto di f ) per + dipede dalla quatità z = Si ha Quidi lim + 2)z + = 0 se z <, = + se z, se z Se +4, cioè < 4, si ha lim + f ) = + serie o coverge. 2. Se +4, cioè 4 < 2, allora lim + f ) o esiste.

4 . Se < +4 <, cioè > 2, si ha lim + f ) = 0. Cocludiamo che = ) + 4) o coverge i, 2] \ { 4}. Studio della covergeza putuale. La serie coverge assolutamete su 2, + ). Ifatti la serie dei moduli f ) = + 2) per = 0 coverge. =0 =0 per 2, + ) \ {0}, la serie è a termii positivi, e posso applicare il criterio del rapporto: f + ) + ) + ) = f ) + 2) + 4 da cui f + ) lim = + f ) + 4 < su 2, + ). Duque si ha su 2, + ) covergeza assoluta putuale. Osservazioe. Lo studio della covergeza putuale/assoluta/uiforme/totale della serie può essere alterativamete sviluppato sulla base della teoria delle serie di poteze, dacché =2 + 2) può essere studiata come serie di poteze co il cambiameto di variabile z = questo uovo puto di vista, riotteere i risultati summezioati. ) +4. Esercizio: adottado Esercizio 5. Sia g) = Discutere la covergeza putuale e uiforme della serie { 2 se 2, 0 altrimeti. g ) Svolgimeto. Poiamo u ) = g ). Covergeza putuale: co u semplice ragioameto grafico si vede che R esiste al più u idice 0 = 0 ) N tale che u 0 ) 0. Quidi u ) = u 0 ) Perciò si ha covergeza putuale i R ad ua certa fuzioe f = + u. 4

5 Covergeza uiforme. Per ogi si cosideri la successioe delle somme parziali fio all idice f = k= La serie + u coverge uiformemete ad f i R se e solo se {f } coverge ad f uiformemete i R, ovvero se e solo se lim f ) f) = lim + R Ora, per fissato si calcola Allora lim + R + R k= k=+ R k=+ u k u k ) k= u k ) = u k ) = 2 + lim + R k=+ u k ) = 0 si ha covergeza uiforme i R. u k ) = 0. Esercizio 6. Determiare l isieme di covergeza putuale di ) si. Il limite è cotiuo sull isieme di covergeza della serie? Svolgimeto. Ricordiamo che siα) α, perciò si ha ) si. Siccome la serie è covergete, cocludiamo che la serie di fuzioi coverge assolutamete e duque putualmete su R. Cotiuità del limite. Si potrebbe cercare di vedere che la serie coverge totalmete su R. Ma si ha ) si = R e perciò o si può avere covergeza totale su R. Si può però osservare che la cotiuità è ua proprietà locale: quidi basta dimostrare che la fuzioe f, somma della serie, è cotiua su ogi itervallo limitato di R per cocludere la cotiuità su tutto R. Allora, è sufficiete dimostrare la covergeza totale su itervalli limitati. I effetti, su ogi itervallo della forma [ M, M] si ha f ) M [ M,M] co covergete. Quidi abbiamo covergeza totale e duque uiforme su [ M.M]. Poiché M è arbitrario, si deduce che il limite f è cotiuo su tutto R. Esercizio 6. Verificare che la serie è uiformemete covergete su [, ]. [ ] + + 5

6 Svolgimeto. Per ogi [, ] la serie è telescopica della forma g ) g + )), co g ) =. Quidi possiamo calcolare esplicitamete la successioe delle somme parziali: si ha S k ) = k g ) g + )) = g ) g k+ ) = k+ k + [, ]. Il problema si riduce quidi a studiare la covergeza uiforme della successioe {S k } k su [, ]. Basta allora osservare che k+ k + = k + 0 per k cosicché cocludiamo [,] S k ) uiformemete su [, ]. Esercizio 7. Determiare l isieme di covergeza putuale di )) ep si2 ) 2 Il limite è cotiuo? È derivabile? I caso affermativo, calcolare f π/2). Svolgimeto. Osservado che la serie Per ogi R, la serie è a termii positivi. Ioltre si ha [ )] ) ep si2 ) 2 si2 ) 2 = si2 ) 2. si 2 ) 2 è covergete cocludiamo per il criterio del cofroto asitotico che la serie )) ep si2 ) 2 coverge putualmete su R. ) Ora osserviamo che le fuzioi f ) = ep si2 ) soo derivabili su R e verifichiamo che la serie 2 delle derivate coverge uiformemete su R: se ciò è vero, il teorema di derivazioe per serie ci assicura che la fuzioe somma della serie è derivabile e quidi ache cotiua su tutto R. Si ha ) f ) 2 si cos = 2 ep si2 2 da cui f ) 2 R 2 co + covergete. Allora la serie delle derivate 2 =0 f ) coverge totalmete e duque uiformemete su R. Si ha f π/2) = f π/2) = 0. 6