Ingegneria Elettronica, Informatica e delle Telecomunicazioni Prova scritta di ANALISI B - 23/06/2006

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1 Igegeria Elettroica, Iformatica e delle Telecomuicazioi Prova scritta di ANALISI B - 23/06/2006 CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA... NOME E COGNOME:... NUMERO DI MATRICOLA:... (scrivere ome e cogome ache su ciascu foglio di bella copia) TEMA 1 [E.1] (esercizio di sbarrameto) Calcolare il raggio di covergeza della serie di poteze =1 ( ) 2 x. RISULTATO: Lo svolgimeto dei segueti esercizi deve essere riportato i bella copia i modo da permettere la valutazioe da parte del docete. [E.2] Calcolare lim x x x x[si( x 4 ) + e 1 x] [E.3] Si cosideri la successioe di fuzioi (f ), dove f : R R è defiita come f (x) = (x + 1)e (x+1)2. 1. Studiare la covergeza putuale, ovvero determiare il piú grade isieme I i cui la successioe coverge putualmete, specificado la fuzioe limite f. 2. Dire se la successioe coverge uiformemete ell isieme I. 3. Studiare la covergeza totale della serie f (x) ell itervallo [ 3, 2]. [E.4] Data la fuzioe f(x,y) = l(1 + x 2 + y 2 ), si chiede di: 1. trovare i puti critici i R 2 e determiare la atura; 2. determiare massimi e miimi assoluti ell isieme A = {(x,y) R 2 : y 1 x, x 2 + y 2 1}. [E.5] Data ua fuzioe differeziabile f : A R 2 R i A isieme aperto, scrivere l equazioe del piao tagete al grafico di f el puto (x 0,f(x 0 )), co x 0 A.

2 Formule di Taylor e x = 1 + x x ! x ! x + o(x ) log (1 + x) = x 1 2 x x ( 1)+1 x + o(x ) si x cosx arctax = x 1 3! x ! x ( 1) (2+1)! x2+1 + o(x 2+2 ) = x ! x ( 1) (2)! x2 + o(x 2+1 ) = x 1 3 x x ( 1) 2+1 x2+1 + o(x 2+2 ) (1 + x) α = 1 + αx + α(α 1) 2 x 2 + o(x 2 ) α R

3 Igegeria Elettroica, Iformatica e delle Telecomuicazioi Prova scritta di ANALISI B - 23/06/2006 CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA... NOME E COGNOME:... NUMERO DI MATRICOLA:... (scrivere ome e cogome ache su ciascu foglio di bella copia) TEMA 2 [E.6] (esercizio di sbarrameto) Calcolare il raggio di covergeza della serie di poteze =1 ( 1 5 ) 2 x. RISULTATO: Lo svolgimeto dei segueti esercizi deve essere riportato i bella copia i modo da permettere la valutazioe da parte del docete. [E.7] Calcolare lim x x x x[si( x 4 ) e 1 x] [E.8] Si cosideri la successioe di fuzioi (f ), dove f : R R è defiita come f (x) = (x 2)e (x+2)3. 1. Studiare la covergeza putuale, ovvero determiare il piú grade isieme I i cui la successioe coverge putualmete, specificado la fuzioe limite f. 2. Dire se la successioe coverge uiformemete ell isieme I. 3. Studiare la covergeza totale della serie f (x) ell itervallo [ 10, 3]. [E.9] Data la fuzioe f(x,y) = e x2 +y 2, si chiede di: 1. trovare i puti critici i R 2 e determiare la atura; 2. determiare massimi e miimi assoluti ell isieme A = {(x,y) R 2 : x 1 y, x 2 + y 2 1}. [E.10] Data ua fuzioe differeziabile f : A R 2 R i A isieme aperto, scrivere l equazioe del piao tagete al grafico di f el puto (x 0,f(x 0 )), co x 0 A.

4 Formule di Taylor e x = 1 + x x ! x ! x + o(x ) log (1 + x) = x 1 2 x x ( 1)+1 x + o(x ) si x cosx arctax = x 1 3! x ! x ( 1) (2+1)! x2+1 + o(x 2+2 ) = x ! x ( 1) (2)! x2 + o(x 2+1 ) = x 1 3 x x ( 1) 2+1 x2+1 + o(x 2+2 ) (1 + x) α = 1 + αx + α(α 1) 2 x 2 + o(x 2 ) α R

5 Igegeria Elettroica, Iformatica e delle Telecomuicazioi Prova scritta di ANALISI B - 23/06/2006 CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA... NOME E COGNOME:... NUMERO DI MATRICOLA:... (scrivere ome e cogome ache su ciascu foglio di bella copia) TEMA 3 [E.11] (esercizio di sbarrameto) Calcolare il raggio di covergeza della serie di poteze =1 ( 1 7 ) 2 x. RISULTATO: Lo svolgimeto dei segueti esercizi deve essere riportato i bella copia i modo da permettere la valutazioe da parte del docete. [E.12] Calcolare lim x x x x[si( x 4 ) e 1 x] [E.13] Si cosideri la successioe di fuzioi (f ), dove f : R R è defiita come f (x) = (x + 3)e (x+3)3. 1. Studiare la covergeza putuale, ovvero determiare il piú grade isieme I i cui la successioe coverge putualmete, specificado la fuzioe limite f. 2. Dire se la successioe coverge uiformemete ell isieme I. 3. Studiare la covergeza totale della serie f (x) ell itervallo [ 9, 4]. [E.14] Data la fuzioe f(x, y) = 1 1+x 2 +y 2, si chiede di: 1. trovare i puti critici i R 2 e determiare la atura; 2. determiare massimi e miimi assoluti ell isieme A = {(x,y) R 2 : y x 1, x 2 + y 2 1}. [E.15] Data ua fuzioe differeziabile f : A R 2 R i A isieme aperto, scrivere l equazioe del piao tagete al grafico di f el puto (x 0,f(x 0 )), co x 0 A.

6 Formule di Taylor e x = 1 + x x ! x ! x + o(x ) log (1 + x) = x 1 2 x x ( 1)+1 x + o(x ) si x cosx arctax = x 1 3! x ! x ( 1) (2+1)! x2+1 + o(x 2+2 ) = x ! x ( 1) (2)! x2 + o(x 2+1 ) = x 1 3 x x ( 1) 2+1 x2+1 + o(x 2+2 ) (1 + x) α = 1 + αx + α(α 1) 2 x 2 + o(x 2 ) α R

7 Igegeria Elettroica, Iformatica e delle Telecomuicazioi Prova scritta di ANALISI B - 23/06/2006 CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA... NOME E COGNOME:... NUMERO DI MATRICOLA:... (scrivere ome e cogome ache su ciascu foglio di bella copia) TEMA 4 [E.16] (esercizio di sbarrameto) Calcolare il raggio di covergeza della serie di poteze =1 ( 1 9 ) 2 x. RISULTATO: Lo svolgimeto dei segueti esercizi deve essere riportato i bella copia i modo da permettere la valutazioe da parte del docete. [E.17] Calcolare lim x x x x[si( x 4 ) e 1 x] [E.18] Si cosideri la successioe di fuzioi (f ), dove f : R R è defiita come f (x) = (x 4)e (x+4)4. 1. Studiare la covergeza putuale, ovvero determiare il piú grade isieme I i cui la successioe coverge putualmete, specificado la fuzioe limite f. 2. Dire se la successioe coverge uiformemete ell isieme I. 3. Studiare la covergeza totale della serie f (x) ell itervallo [ 8, 5]. [E.19] Data la fuzioe f(x,y) = arcta( x 2 y 2 ), si chiede di: 1. trovare i puti critici i R 2 e determiare la atura; 2. determiare massimi e miimi assoluti ell isieme A = {(x,y) R 2 : x y 1, x 2 + y 2 1}. [E.20] Data ua fuzioe differeziabile f : A R 2 R i A isieme aperto, scrivere l equazioe del piao tagete al grafico di f el puto (x 0,f(x 0 )), co x 0 A.

8 Formule di Taylor e x = 1 + x x ! x ! x + o(x ) log (1 + x) = x 1 2 x x ( 1)+1 x + o(x ) si x cosx arctax = x 1 3! x ! x ( 1) (2+1)! x2+1 + o(x 2+2 ) = x ! x ( 1) (2)! x2 + o(x 2+1 ) = x 1 3 x x ( 1) 2+1 x2+1 + o(x 2+2 ) (1 + x) α = 1 + αx + α(α 1) 2 x 2 + o(x 2 ) α R