Serie di funzioni. Convergenza puntuale. f n converge: Date f n : D R, diciamo che la serie

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1 Serie di fuzioi Serie di fuzioi = addizioe dei termii di ua successioe di fuzioi (f ) 0, dove f : D R R. Scrittura formale: f = f 0 + f 1 + f oppure f (x) =f 0 (x)+f 1 (x)+f 2 (x)+.... f 0, f 1, f 2,... : termii della serie; f : termie geerale della serie. Il sigificato è dato come al solito dalla successioe delle ridotte (S N ) N0 : S 0 = f 0, S 1 = f 0 + f 1,..., S N := f 0 + f f N1 + f N,.... Si tratta di ua successioe di fuzioi S N : D R R (lo stesso D delle f ) è possibile applicare ad (S N ) tutte le ozioi di covergeza viste tali ozioi vegoo riferite alla serie f che ha geerato (S N ). Covergeza putuale Date f : D R, diciamo che la serie f coverge: i u puto x 0 D se la successioe delle ridotte (S N ) coverge i x 0, cioè se la serie umerica f (x 0 ) coverge putualmete ad ua fuzioe f su u isieme A D se S N f putualmete su A, cioèse f (x) =f (x) per ogi x A.

2 Chiamiamo poi: isieme di covergeza putuale della serie f l isieme di covergeza putuale della successioe (S N ),cioèl isieme dei puti i cui la serie coverge: = x D : lim S N (x) esiste fiito = x D : f (x) coverge N serie umerica (x è fisso) a cui applicare tutti i criteri visti discutedo i base al parametro x fuzioe somma della serie f la fuzioe limite S : R della successioe (S N ) cioè la fuzioe S (x) = f (x) per ogi x. S N o è quasi mai esprimibile i forma chiusa determiare S è possibile i pochi casi: serie geometrica, serie telescopiche e serie ricoducibili a serie ote. Esempi. Determiare l isieme di covergeza putuale e la fuzioe somma delle serie log x e ( x ( +1) x ). =2

3 Igeere:cisiaccotetadidetermiare ricorredo ai criteri per le serie umeriche. Esempio. Studiare la covergeza putuale della serie =1 1 si x x 2 3. Si ricordi (tra gli altri) il criterio di covergeza assoluta: fissato x D, vale f (x) coverge = f (x) coverge. Si dà ache ua defiizioe apposita: Defiizioe. Si dice che la serie f coverge assolutamete i x 0 D se la serie umerica f (x 0 ) coverge; coverge assolutamete su A D se coverge assolutamete i ogi x A. Ovviamete la covergeza assoluta implica quella putuale (i x 0 osua).

4 Covergeza uiforme Date f : D R, diciamoche f coverge uiformemete ad ua fuzioe f su u itervallo I D se S N f uiformemete su I, cioèse lim S N f N =0. Ovviamete la covergeza uiforme implica quella putuale (su I). Lo studio di S N f è impraticabile (trae ei soliti pochi casi i cui coosco S N ). Esempio. Studiare la covergeza uiforme della serie geometrica x.

5 L uico strumeto geerale a disposizioe è u criterio solo suciete, che usa la seguete: Defiizioe (di covergeza totale). Siao f : D R esiai D u itervallo. Si dice che f coverge totalmete su I se coverge la serie umerica f (co calcolata su I). Equivaletemete: esiste ua successioe di umeri reali M 0 tali che i) 0 e x I risulta f (x) M ii) M coverge. Teorema (criterio di Weierstrass). Siao f : D R esiai D u itervallo. Se f coverge totalmete su I, allora coverge uiformemete e assolutamete su I. Attezioe! il viceversa è falso: ua serie può covergere uiformemete e assolutamete seza covergere totalmete (cotroesempio: più avati) Valgoo duque le segueti implicazioi (o rovesciabili): covergeza totale = covergeza uiforme covergeza assoluta = covergeza putuale

6 Esempio. Determiare u itervallo di covergeza uiforme per la serie =1 1 si x x 2 3. Proprietà della covergeza uiforme Cotiuità e limitatezza della fuzioe somma. Siao f : D R ed I D u itervallo qualsiasi. Se (i) le f soo cotiue (risp. limitate) su I (ii) f (x) =S (x) co covergeza uiforme su I allora S è cotiua (risp. limitata) su I.

7 Itegrazioe termie a termie. Siao f : D R esia[a, b] D. Se (i) le f soo itegrabili su [a, b] (ii) f (x) =S (x) co covergeza uiforme su [a, b] allora S è itegrabile su [a, b] e b a S (x) dx = b a f (x) dx. I altri termii: posso scambiare gli operatori di serie ed itegrale: b a f (x) dx = b a f (x) dx. Derivazioe termie a termie. Siao f : D R ed I D u itervallo qualsiasi. Se (i) le f soo di classe C 1 su I (iii) f coverge uiformemete su I (ii) f (x) =S (x) putualmete su I allora S è di classe C 1 su I ed S (x) = f (x) co covergeza uiforme su I. Ioltre f (x) =S (x) co covergeza uiforme su I. I altri termii: posso scambiare gli operatori di serie e derivata: f (x) = f (x) per ogi x I.