TEMPO A DISPOSIZIONE: 2 ORE

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1 VOTO Aalisi Matematica II 5 febbraio 2015 ore 1:0 DATI DELLO STUDENTE COGNOME NOME MATRICOLA CORSO DI LAUREA ESAME 6 CFU 7,5 CFU TEMPO A DISPOSIZIONE: 2 ORE Risposte ai quiz corretta=2, 5 puti; errata= 0, 5 puti; o data=0 puti Versioe Quiz 1 Quiz 2 Quiz Quiz 4 Quiz 5 Quiz 6 Quiz 7 Quiz 8 V1 Riservato al docete Quiz N Puti Risp corrette Risp errate Risp o date Esercizio F Puti Svolg= Scrivere il proprio COGNOME, NOME, MATRICOLA, CORSO DI LAUREA e tipo d ESAME ella tabella i alto La prova scritta si compoe di 8 quiz a risposta multipla e u esercizio a svolgimeto libero Ogi quiz ha ua sola risposta corretta Scrivere la risposta idividuata ad ogi quiz ella tabella i alto Lo svolgimeto dell esercizio va scritto sul foglio coteete la traccia No usare libri, apputi, calcolatrici, computer, telefoii Al termie della prova cosegare questi fogli debitamete compilati RESTITUIRE SOLO QUESTI FOGLI! Quiz 1: L itegrale di liea del campo vettoriale F x, y, z = y 5z, x 20y, z lugo la curva parametrica γ : [ ] 0, π 4 R defiita da γt = cos 2t, si 2t, 4 cos 2t vale A: 2 π 4 B: π 16 C: π D: π 8 E: 2 π 8 Quiz 2: La serie umerica [ 2 si! log ] A: è idetermiata o oscillate B: è egativamete divergete C: è assolutamete covergete D: è positivamete divergete E: è covergete ma o assolutamete Quiz : Siao Ω R 2 o vuoto, f ua successioe di fuzioi da Ω i R e f : Ω R ua fuzioe La successioe f coverge putualmete a f i Ω se A: per ogi x, y Ω si ha che lim f x, y = fx, y B: per ogi x 0, y 0 Ω si ha che lim x,y x 0,y 0 f x, y = fx 0, y 0 C: per ogi x, y Ω si ha che lim S x, y = fx, y, dove S x, y = D: f è cotiua i Ω E: esiste x, y Ω tale che lim f x, y = fx, y f k x, y, per ogi N k=0

2 Versioe V1 Quiz 4: Il campo vettoriale F x, y = A: { x, y R 2 : x 2 < y < 2 } B: { x, y R 2 : x 2 < y } C: { x, y R 2 : x 2 > y } D: { x, y R 2 : y 2 < 4 } E: { x, y R 2 : 2 < y < x 2} x y xy, x 2 y x 2 y è coservativo sull isieme 2 Quiz 5: Il volume di Ω = { x, y, z R : 2x 2 + 2z 2 y 2x 2 2z 2, x 0, z 0 } è A: 2 π 9 B: 16 π C: π D: 1 9 E: 2 π Quiz 6: Sia a ua successioe reale tale che a > 1 per ogi N e sia S = a k, per ogi N =0 S A: diverge egativamete B: coverge a zero C: coverge ad u umero positivo D: coverge ad u umero egativo E: è idetermiata o oscillate k=0 La serie Quiz 7: L isieme di covergeza putuale della serie di poteze A: B: C: D: E: [ 1 2, 5 2 2, 2 [ 2, 5 ] 2 1 2, 5 ] 2 [ 2, ] x 1 è Quiz 8: Siao h, k : R R due fuzioi di classe C 1, H, K : R R primitive rispettivamete di h e k su R, F : R 2 R 2 il campo vettoriale F x, y = hx, ky e γ : [a, b] R 2 ua curva parametrica semplice e regolare tale che γa = a, 0 e γb = 0, b L itegrale di liea di F lugo γ è uguale a A: H0 Ha + Kb K0 B: H Kb H Ka C: H0 Ha Kb + K0 D: H0 + Ha Kb + K0 E: Hb Ha

3 Esercizio 10 puti = 7 per lo svolgimeto corretto e per la forma Calcolare la circuitazioe del campo vettoriale F x, y, z = 11yz + e si8 x 4, xz + 2 x2 y + log 5 + 9y 6, 6xy + cos e z2 +4 lugo il bordo della superficie Σ = { x, y, z R : z = 4 x 2 y 2, x 0, y 0, z 0 } orietato positivamete rispetto al versore ormale a Σ che forma u agolo acuto co il versore fodametale dell asse z SVOLGIMENTO DELL ESERCIZIO

4 SVOLGIMENTO DELL ESERCIZIO

5 VOTO Aalisi Matematica II 5 febbraio 2015 ore 1:0 DATI DELLO STUDENTE COGNOME NOME MATRICOLA CORSO DI LAUREA ESAME 6 CFU 7,5 CFU TEMPO A DISPOSIZIONE: 2 ORE Risposte ai quiz corretta=2, 5 puti; errata= 0, 5 puti; o data=0 puti Versioe Quiz 1 Quiz 2 Quiz Quiz 4 Quiz 5 Quiz 6 Quiz 7 Quiz 8 V2 Riservato al docete Quiz N Puti Risp corrette Risp errate Risp o date Esercizio F Puti Svolg= Scrivere il proprio COGNOME, NOME, MATRICOLA, CORSO DI LAUREA e tipo d ESAME ella tabella i alto La prova scritta si compoe di 8 quiz a risposta multipla e u esercizio a svolgimeto libero Ogi quiz ha ua sola risposta corretta Scrivere la risposta idividuata ad ogi quiz ella tabella i alto Lo svolgimeto dell esercizio va scritto sul foglio coteete la traccia No usare libri, apputi, calcolatrici, computer, telefoii Al termie della prova cosegare questi fogli debitamete compilati RESTITUIRE SOLO QUESTI FOGLI! Quiz 1: L itegrale di liea del campo vettoriale F x, y, z = γ : [ ] 0, π 6 R defiita da γt = cos t, 2 cos t, si t A: π 2 B: π 6 C: π D: π 2 E: π 2 2z + 7y, y, 2x 14z vale lugo la curva parametrica Quiz 2: Siao Ω R 2 o vuoto, f ua successioe di fuzioi limitate da Ω i R e f : Ω R ua fuzioe La successioe f coverge uiformemete a f i Ω se A: f e f soo cotiue i Ω B: lim f + f = 0, dove f + f = sup f x, y + fx, y x,y Ω C: lim S f = 0, dove S x, y = k=0 f k x, y, per ogi N e S f = D: lim f f = 0, dove f f = sup f x, y fx, y x,y Ω E: lim f x, y fx, y = 0 per ogi x, y Ω sup S x, y fx, y x,y Ω Quiz : Sia b ua successioe reale tale che b < 1 per ogi N e sia S = b k 2, per ogi N La serie S A: coverge ad u umero positivo B: è idetermiata o oscillate C: diverge egativamete D: coverge a zero E: coverge ad u umero egativo k=1

6 Versioe V2 Quiz 4: Siao f, g : R R due fuzioi di classe C 2, F : R 2 R 2 il campo vettoriale F x, y = f x, g y γ : [a, b] R 2 ua curva parametrica semplice e regolare tale che γa = a, 0 e γb = 0, b L itegrale di liea di F lugo γ è uguale a A: f gb f ga B: f0 gb + fa + g0 C: fb fa D: f0 gb fa + g0 E: f0 + gb fa g0 e Quiz 5: Il volume di Ω = { x, y, z R : y 2 + z 2 x 4 y 2 z 2, y 0, z 0 } è A: π 4 B: 9 π 6 4 C: π 6 D: π E: Quiz 6: La serie umerica [ log ] cos2! A: è assolutamete covergete B: è covergete ma o assolutamete C: è egativamete divergete D: è positivamete divergete E: è idetermiata o oscillate Quiz 7: Il campo vettoriale F x, y = 2 x + y 2 xy 2, y x xy è coservativo sull isieme A: { x, y R 2 : < x < y 2} B: { x, y R 2 : x > y 2} C: { x, y R 2 : y 2 < x < } D: { x, y R 2 : x < y 2} E: { x, y R 2 : x 2 < 9 } Quiz 8: L isieme di covergeza putuale della serie di poteze A: B: C: D: E: 5, 2 2, 2 [ 5 ], 1 [ 2, 2 ] 5, x + 1 è

7 Esercizio 10 puti = 7 per lo svolgimeto corretto e per la forma Calcolare la circuitazioe del campo vettoriale F x, y, z = cos e x6 + 7yz, 1 7y 4 + 2x2 y + xz, e si5z xy lugo il bordo della superficie Σ = { x, y, z R : z = x 2 + y 2 9, x 0, y 0, z 0 } orietato positivamete rispetto al versore ormale a Σ che forma u agolo acuto co il versore fodametale dell asse z SVOLGIMENTO DELL ESERCIZIO

8 SVOLGIMENTO DELL ESERCIZIO

9 VOTO Aalisi Matematica II 5 febbraio 2015 ore 1:0 DATI DELLO STUDENTE COGNOME NOME MATRICOLA CORSO DI LAUREA ESAME 6 CFU 7,5 CFU TEMPO A DISPOSIZIONE: 2 ORE Risposte ai quiz corretta=2, 5 puti; errata= 0, 5 puti; o data=0 puti Versioe Quiz 1 Quiz 2 Quiz Quiz 4 Quiz 5 Quiz 6 Quiz 7 Quiz 8 V Riservato al docete Quiz N Puti Risp corrette Risp errate Risp o date Esercizio F Puti Svolg= Scrivere il proprio COGNOME, NOME, MATRICOLA, CORSO DI LAUREA e tipo d ESAME ella tabella i alto La prova scritta si compoe di 8 quiz a risposta multipla e u esercizio a svolgimeto libero Ogi quiz ha ua sola risposta corretta Scrivere la risposta idividuata ad ogi quiz ella tabella i alto Lo svolgimeto dell esercizio va scritto sul foglio coteete la traccia No usare libri, apputi, calcolatrici, computer, telefoii Al termie della prova cosegare questi fogli debitamete compilati RESTITUIRE SOLO QUESTI FOGLI! Quiz 1: Sia a ua successioe reale tale che a > 2 per ogi N e sia S = a k, per ogi N La serie S A: coverge a zero B: è idetermiata o oscillate C: coverge ad u umero positivo D: coverge ad u umero egativo E: diverge egativamete k=1 Quiz 2: Il volume di Ω = { x, y, z R : 2x 2 + 2z 2 y 2x 2 2z 2, x 0, z 0 } è A: 1 B: π 9 C: 2 π 9 D: 16 π E: 2 π Quiz : L itegrale di liea del campo vettoriale F x, y, z = R defiita da γt = cos 2t, si 2t, 4 cos 2t vale A: π B: π 8 C: 2 π 8 D: π 16 E: 2 π 4 5z y, x + 20y, z lugo la curva parametrica γ : [ ] 0, π 4

10 Versioe V Quiz 4: L isieme di covergeza putuale della serie di poteze [ 1 A: 2, 7 2 B: 2, 2 1 C: 2, 7 2 [ 1 D: 2, 5 2 E: ] ] 2, 2 ] Quiz 5: Il campo vettoriale F x, y = A: { x, y R 2 : y < x 2} B: { x, y R 2 : x 2 < y < 2 } C: { x, y R 2 : y > x 2} D: { x, y R 2 : 2 < y < x 2} E: { x, y R 2 : y 2 < 4 } Quiz 6: La serie umerica A: è idetermiata o oscillate B: è covergete ma o assolutamete C: è egativamete divergete D: è assolutamete covergete E: è positivamete divergete x 2 è x y 2 4 5xy, 5 y + x 2 x 2 y è coservativo sull isieme 2 [ si! log ] Quiz 7: Siao Ω R o vuoto, g ua successioe di fuzioi da Ω i R e g : Ω R ua fuzioe La successioe g coverge putualmete a g i Ω se A: per ogi x, y, z Ω si ha che lim g x, y, z = gx, y, z B: per ogi x 0, y 0, z 0 Ω si ha che lim x,y,z x 0,y 0,z 0 g x, y, z = gx 0, y 0, z 0 C: g è cotiua i Ω D: per ogi x, y, z Ω si ha che lim S x, y, z = gx, y, z, dove S x, y, z = E: esiste x, y, z Ω tale che lim g x, y, z = gx, y, z g k x, y, z, per ogi N k=0 Quiz 8: Siao h, k : R R due fuzioi di classe C 1, H, K : R R primitive rispettivamete di h e k su R, G : R 2 R 2 il campo vettoriale Gx, y = kx, hy e η : [c, d] R 2 ua curva parametrica semplice e regolare tale che ηc = c, 0 e ηd = 0, d L itegrale di liea di G lugo η è uguale a A: K0 + Kc Hd + H0 B: K0 Kc Hd + H0 C: K0 Kc + Hd H0 D: K Hd K Hc E: Kd Kc

11 Esercizio 10 puti = 7 per lo svolgimeto corretto e per la forma Calcolare la circuitazioe del campo vettoriale F x, y, z = 19yz + e cos8 x 4, xz x 2 y + log 9 + 5y 6, 10xy + si e 4z2 + lugo il bordo della superficie Σ = { x, y, z R : z = x 2 + y 2 4, x 0, y 0, z 0 } orietato positivamete rispetto al versore ormale a Σ che forma u agolo ottuso co il versore fodametale dell asse z SVOLGIMENTO DELL ESERCIZIO

12 SVOLGIMENTO DELL ESERCIZIO

13 VOTO Aalisi Matematica II 5 febbraio 2015 ore 1:0 DATI DELLO STUDENTE COGNOME NOME MATRICOLA CORSO DI LAUREA ESAME 6 CFU 7,5 CFU TEMPO A DISPOSIZIONE: 2 ORE Risposte ai quiz corretta=2, 5 puti; errata= 0, 5 puti; o data=0 puti Versioe Quiz 1 Quiz 2 Quiz Quiz 4 Quiz 5 Quiz 6 Quiz 7 Quiz 8 V4 Riservato al docete Quiz N Puti Risp corrette Risp errate Risp o date Esercizio F Puti Svolg= Scrivere il proprio COGNOME, NOME, MATRICOLA, CORSO DI LAUREA e tipo d ESAME ella tabella i alto La prova scritta si compoe di 8 quiz a risposta multipla e u esercizio a svolgimeto libero Ogi quiz ha ua sola risposta corretta Scrivere la risposta idividuata ad ogi quiz ella tabella i alto Lo svolgimeto dell esercizio va scritto sul foglio coteete la traccia No usare libri, apputi, calcolatrici, computer, telefoii Al termie della prova cosegare questi fogli debitamete compilati RESTITUIRE SOLO QUESTI FOGLI! Quiz 1: L itegrale di liea del campo vettoriale F x, y, z = γ : [ ] 0, π 6 R defiita da γt = cos t, 2 cos t, si t A: π 2 B: π 2 C: π 6 D: π 2 E: π 2z 7y, y, 2x + 14z vale lugo la curva parametrica Quiz 2: Il campo vettoriale F x, y = y 2 x xy 2, y x 2 9 2xy è coservativo sull isieme A: { x, y R 2 : y 2 < x } B: { x, y R 2 : y 2 > x } C: { x, y R 2 : y 2 < x < } D: { x, y R 2 : < x < y 2} E: { x, y R 2 : x 2 < 9 } Quiz : Siao f, g : R R due fuzioi di classe C 2, G : R 2 R 2 il campo vettoriale Gx, y = g x, f y η : [c, d] R 2 ua curva parametrica semplice e regolare tale che ηc = c, 0 e ηd = 0, d L itegrale di liea di G lugo η è uguale a A: g0 fd gc + f0 B: g0 + fd gc f0 C: gd fc D: g0 fd + gc + f0 E: g fd g fc e

14 Versioe V4 Quiz 4: Il volume di Ω = { x, y, z R : y 2 + z 2 x 4 y 2 z 2, y 0, z 0 } è A: 4 π 6 B: 4 9 π 6 C: π D: π E: Quiz 5: La serie umerica [ 5 cos! log ] A: è positivamete divergete B: è covergete ma o assolutamete C: è idetermiata o oscillate D: è assolutamete covergete E: è egativamete divergete Quiz 6: Siao Ω R o vuoto, g ua successioe di fuzioi limitate da Ω i R e g : Ω R ua fuzioe La successioe g coverge uiformemete a g i Ω se A: lim g x, y, z gx, y, z = 0 per ogi x, y, z Ω B: lim g + g = 0, dove g + g = sup g x, y, z + gx, y, z x,y,z Ω C: lim S g = 0, dove S x, y, z = k=0 g k x, y, z, per ogi N e S g = D: lim g g = 0, dove g g = sup g x, y, z gx, y, z x,y,z Ω E: g e g soo cotiue i Ω sup S x, y, z gx, y, z x,y,z Ω Quiz 7: Sia b ua successioe reale tale che b < 2 per ogi N e sia S = b k 4, per ogi N La serie =0 S A: coverge ad u umero positivo B: diverge egativamete C: è idetermiata o oscillate D: coverge a zero E: coverge ad u umero egativo k=0 Quiz 8: L isieme di covergeza putuale della serie di poteze [ A: 2, 2 ] [ B: 8 ], 4 C: 2, 2 D: 8, 4 [ E: 8 ], x + 2 è

15 Esercizio 10 puti = 7 per lo svolgimeto corretto e per la forma Calcolare la circuitazioe del campo vettoriale F x, y, z = si e x8 + 15yz, x 2 1 y + y 4 + xz, 4 ecos6z xy + 7 lugo il bordo della superficie Σ = { x, y, z R : z = 9 x 2 y 2, x 0, y 0, z 0 } orietato positivamete rispetto al versore ormale a Σ che forma u agolo ottuso co il versore fodametale dell asse z SVOLGIMENTO DELL ESERCIZIO

16 SVOLGIMENTO DELL ESERCIZIO