Analisi II. Foglio di esercizi n.3 1/11/2018. se max 1 i n x i > 1. + se x = 0. se x = 0. Stabilire se f è misurabile, argomentandone la risposta.

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1 Aalisi II Foglio di esercizi 3 //2 sercizi sull itegrazioe di più variabili Provare che le fuzioi f R R, defiita come f(x) = e g R 2 R, defiita come g(x, y) = soo etrambe misurabili se max i x i e x se max i x i + se x = x si ( x 2 +y ) se x 2 2 Defiiamo (, + ) trascurabile ed f [, + ) R come segue f(x) = log x se x (, + ) \ se x = + se x Stabilire se f è misurabile, argometadoe la risposta 3 Provare che R è misurabile se e solo se la sua fuzioe caratteristica è misurabile 4 Provare che f R è itegrabile su se tale isieme è trascurabile ed i tal caso f(x)dx = 5 Provare che se R è misurabile e x dx + allora ha misura fiita e ammette u baricetro 6 Stabilire se il seguete sottoisieme Ω = (x, y) R 2 y e, x + xy o ha area fiita ed i tal caso calcolarla

2 7 Siao α β 2π, e cosideriamo ρ [α, β] [, + ) cotiua Defiiamo l isieme = {(r cos θ, r si θ) α θ β, r ρ(θ)} Usado le coordiate polari, provare che vale la formula m 2 () = 2 β α ρ(θ)2 dθ Dati r e (x, y ) R 2, calcolare l area del disco (x, y) R 2 (x x ) 2 + (y y ) 2 r 2o utilizzado le coordiate polari volume del solido sferico Fissato (x, y, z ) R 3, si calcoli il (x, y, z) R 3 (x x ) 2 + (y y ) 2 + (z z ) 2 r 2o usado le coordiate sferiche 9 Per r defiiamo B(, r) = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 r 2 } e Calcolare Φ(r) Φ(r) = B(,r) (x2 + y 2 + z 2 ) 2 dxdydz Calcolare il volume dell iteresezioe di due cilidri Cosiderato l isieme = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 r 2, x 2 + z 2 r 2 } Ω = {(x, y, z) R x 2 + 2y 2 z 2 2x 2 2y 2 } Si tracci il grafico di tale isieme e se e calcoli il volume 2 Cosiderato l isieme = {(x, y) R 2 x, y, x + y 2}, si tracci il grafico di tale isieme Stabilire se esiste, ed i tal caso scrivere il valore dell itegrale x + y dxdy 3 Defiito l aperto Ω = {(x, y, z) R 3 x 2 +z 2 4 e x 2 +z 2 y 5}, se e tracci u grafico qualitativo e si scriva il valore del suo volume 4 Scrivere il valore del volume dell isieme O = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + (z ) 2 4 e z } 2

3 5 Cosideriamo λ = (x, y, z) R 3 x, y, z, x + y + z λ o Studiare l itegrabilità di z α su al variare di α e λ I tal caso calcolare λ z α dxdydz 6 Dimostrare l itegrabilità di (x, y) si(x + y) su = (, π/2) (, π) e calcolare si(x + y) dxdy 7 Stabilire se l isieme = {(x, y, z) x 2 z x y 2 } ha misura fiita ed i tal caso calcolarla Siao α ed α = {(x, y) R 2 y, y x } Provare che α α è misurabile e calcolare la misura per ogi α 9 Si provi che l isieme D R 2 costituito dai puti (x, y) R 2 tali che xy, x 2 + y 2 4 e mi{x y, x + y}, è misurabile Si studi l itegrabilità di f(x, y) = (x 2 y 2 ) cos(xy) su D ed i caso di itegrabilità si calcoli f(x, y) dxdy D 2 Si cosideri D = (x, y) R 2 2 x y y 2 o e si calcoli D (x2 y 2 ) dxdy 2 Stabilire l itegrabilità della fuzioe f(x, y, z) = z(3x 2 2y 2 ) ex2 +y 2 x 2 + y 2 sul domiio D = (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2, z 2 x 2 + y 2o ed i tal caso calcolare l itegrale 22 Provare che il seguete isieme A = {(x, y) R 2 x 2 + y 2, y x/2} è misurabile e calcolare Ì x2 y 2 + y 4 dxdy [, + ], A x x 2 y2 fiito o ifiito 23 Al variare di α stabilire se la misura dell isieme α = (x, y, z) R 3 z, y, y 2α (z + x 2 ) o è fiita ed i tal caso calcolarla Suggerimeto itegrare prima rispetto ad y [, + ) 3

4 24 Calcolare l itegrale Q (x3 + x 2 y xy 2 y 3 )(x + y) si(2z) dx dy dz ove si abbiamo defiito Q R 3 come l isieme dei puti (x, y, z) tali che z π ( ) 2, x + y mi cos z, e x y si z Suggerimeto cosiderare il cambio di variabile u = (x+y) e v = (x y) 25 Si provi l itegrabilità di f(x, y) = xy + y2 2 + x + y sull isieme D = (x, y) R 2 x y, x + y cambio di coordiate u = x + y v = y Utilizzado il si calcoli D f 26 Si cosiderio la fuzioe f α (x, y, z, t) = (z2 x 2 y 2 ) α t 2 log z ed A = (x, y, z, t) R 4 x 2 + y 2 z, t 2 + x 2 + y 2 z 2, t o Al variare di α i R si calcoli A f α [, + ] 27 (Avazato) Cosideriamo l isieme A = (x, y, u, v, z) R 5 x 2 + y 2 u 2 + v 2 + z 2 (x 2 + y 2 ) /3o Si determiio gli α reali tali che f α (x, y, u, v, z) = z z 2 + u 2 + v 2 ) α sia itegrabile i A e per tali valori si calcoli A f α 2 (Svolto) Si cosideri l isieme A = (x, y, z) R 3 e la fuzioe f A R defiita come segue x 2 + y 2 + (z ) 2 e y 2 + z 2 o f(x, y, z) = 2z z2 y 2! 4

5 Si osservi che f è be defiita su A e si calcoli f(x, y, z)dxdydz A Soluzioe Osserviamo che se (x, y, z) A, allora la prima disequazioe implica z, metre la secoda implica z, cocludiamo quidi che deve essere z Ioltre per tali puti abbiamo x 2 (z ) 2 y 2 = 2z z 2 y 2, pertato f è be defiita Per il Teorema di Toelli abbiamo Fissato z [, ], si ha A f(x, y, z)dxdydz = A z f(x, y, z)dxdy y 2 x 2 + y 2 2z z 2 e y 2 z 2, dz pertato defiedo ϕ(z) = mi{ z 2, 2z z 2 } e risulta che Cocludiamo pertato che A f = = ϕ(z) ϕ(z) ϕ(z) ϕ(z) y q ϕ(z) Œ f(x, y, z)dx dy dz (A z ) y o f(x, y, z)dx x x 2z z 2 y 2 dy dz e abbiamo Ne segue che x x 2z z 2 y 2 o 2z z2 y2dx = 2 A f = 4 mi{ z 2, 2z z 2 }dz = 4 /2 2z z2 dz + 4 z2 dz /2 Cosideriamo la traslazioe z = x +, otteedo Questo offre /2 2z z2 dz = /2 x2 dx A f = = /2 /2 x2 dx z2 dz 5

6 Co il cambio di variabile z = si t si ha /2 z2 dz = 2 π/2 π/6 ( + cos(2t)) dt = 4 2π 3 Cocludiamo che f = 4π A 3! 3 29 Utilizzare il teorema di Toelli per provare che se f [, + ] è misurabile, allora 3 f(x)dx = m + (x, t) R + x, t f(x) o = + m x f(x) t o dt 3 Poedo ω = m B(, ), ove B(, ) = {x R x }, provare che B (,r) x α dx = Sugg Usare l esercizio precedete co ω r α se α α + se α = (x, t) R + x r, t x αo, che corrispode al sottografico della fuzioe x x α 2 3 Ragioado come ell esercizio precedete, provare che R \B(,r) x αdxdy = ω r α (α ) se α + se α 6