Analisi e Geometria 1

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1 Aalisi e Geometria Politecico di Milao Igegeria Preparazioe al primo compito i itiere. Risolvere el campo complesso l equazioe z z = 4z.. Sia f la fuzioe a valori complessi defiita da f(z = per ogi z D, dove D = Dom(f C. (a Determiare il campo di esisteza D di f. (b Determiare gli zeri di f. (c Determiare i puti fissi di f. (d Calcolare f(z 0, dove z 0 = e l i π Si cosiderio le trasformazioi z 3 + z z ( iz + 3 i T : C C, dove T (z = z i R : C C, dove R(z = + i z D : C C, dove D(z = 3 z. (a Ricooscere le trasformazioi T, R e D el piao di Gauss. (b Stabilire se le tre trasformazioi date commutao tra di loro. (c Sia A = {z C : z, arg z = π/4}. Disegare el piao di Gauss l isieme A e i suoi trasformati T (A, R(A e D(A. 4. Fissato θ [0, π], sia R θ : C C la trasformazioe defiita da R θ (z = e i θ z per ogi z C. Sia A = {z = ρe i ϕ C : ρ 3 ρ ρ + 0, cos ϕ = 0}. Determiare i valori del parametro θ per i quali R θ (A = A. 5. Utilizzado la defiizioe, dimostrare che la fuzioe f : R R defiita da è limitata. f( = Utilizzado la defiizioe, dimostrare che la fuzioe cosh è decrescete sull itervallo (, Calcolare i limiti L = L 3 = lim L = lim ( + l lim e L 4 = lim + 8. Determiare l immagie della fuzioe f : R R defiita da. per ogi R. f( = + + +

2 9. Si cosideri la fuzioe f : [0, e ] R defiita da + l per 0 < e f( = l per = 0. (a Verificare che la fuzioe f è defiita su tutto l itervallo [0, e ]. (b Stabilire se la fuzioe f è cotiua su tutto l itervallo [0, e ]. (c Stabilire se la fuzioe f è derivabile su tutto l itervallo [0, e ]. (d Determiare l immagie di f. 0. Si cosideri la fuzioe f : R R defiita da per ogi R. f( = e + e (a Studiare la fuzioe f (seza studiare la derivata secoda. (b Determiare l immagie I di f. (c I base allo studio precedete, stabilire il umero miimo di flessi che la fuzioe deve avere. (d Dimostrare che la fuzioe f è localmete ivertibile i 0 = e calcolare la derivata prima della fuzioe iversa f i 0 = f( 0.. Si cosideri la fuzioe f : D R defiita da per ogi D, dove D = Dom(f. (a Studiare la fuzioe f. (b Determiare l immagie I di f. f( = e e (c Stabilire se la fuzioe f : D I è ivertibile. (d Scrivere lo sviluppo di Talor della fuzioe f, cetrato i 0 =, trocato al secodo ordie, co resto secodo Peao.. Si cosideri la fuzioe f : D R defiita da per ogi D, dove D = Dom(f. (a Studiare la fuzioe f. (b Determiare l immagie I di f. f( = e e (c Stabilire se la fuzioe f : D I è ivertibile. I caso affermativo, disegare il grafico qualitativo della fuzioe iversa f : I D. Ifie, se possibile, determiare esplicitamete la fuzioe f. 3. Si cosideri la fuzioe f : D R defiita da per ogi D, dove D = Dom(f. (a Studiare la fuzioe f. (b Determiare l immagie I di f. f( = e e +

3 (c Stabilire se la fuzioe f è ivertibile. (d Stabilire se la fuzioe f è ivertibile i u opportuo itoro di 0 = 0. (e Scrivere lo sviluppo di Talor della fuzioe f, cetrato i 0 = 0, trocato al secodo ordie, co resto secodo Peao. (f Calcolare il limite 4. Si cosideri la fuzioe f : D R defiita da per ogi D, dove D = Dom(f. L = lim 0 f( + si si(f(. f( = e e + (a Studiare la fuzioe f (seza studiare la derivata secoda. (b Determiare l immagie I di f. (c Stabilire se la fuzioe f è ivertibile. (d Stabilire se la fuzioe f : [0, + [0, + è ivertibile. I caso affermativo, disegare il grafico qualitativo della fuzioe iversa f : [0, + [0, Calcolare i limiti L 0 = lim 0 artg(si l(cos, L = lim 0 artg(si l(cos, L = lim 0 artg(si l(cos. 6. (a Determiare il parametro α R i modo che le fuzioi f( = α e + e g( = siao asitoticamete equivaleti per +. (b Determiare il parametro α R i modo che le fuzioi 3 ( + e 3 + f( = + 4 tg( e g( = α artg(e cos siao asitoticamete equivaleti per 0 +. (c Determiare il parametro α R i modo che le fuzioi f( = 3 ( α l e g( = + siao asitoticamete equivaleti per Calcolare i limiti e (a L = lim 0 e cos l( + e l( + + (b L = lim 0 (e + (cos ( + 3( (c L = lim 0 (e e (l( + l( + + l( Si cosideri la fuzioe f : [, π/4] R defiita da e se < 0 l( + f( = se = 0 cos se 0 < π si 4. 3

4 (a Stabilire se f è cotiua ell itervallo [, π/4]. (b Stabilire se l immagie di f è u itervallo chiuso e limitato. 9. Sia f ua fuzioe localmete ivertibile i u puto 0. Scrivere lo sviluppo di Talor trocato al secodo ordie, co resto secodo Peao, della fuzioe iversa f i 0 = f( Scrivere lo sviluppo di Talor trocato al secodo ordie, co resto secodo Peao, della fuzioe iversa f i 0 = f( 0, dove (a f( = + artg e 0 = 0 (b f( = + e e 0 = 0 (c f( = e + e e 0 = 0. 4

5 Soluzioi. Prededo il modulo di etrambi i membri dell equazioe data, si ha z 4 = 4 z, ossia z ( z 4 = 0, da cui si ha z = 0 oppure z = 4. Se z = 0, allora si ha z = 0, che verifica l equazioe data. Se z = 4, allora z = e l equazioe diveta 4z = 4z, ossia z = z. Moltiplicado ambo i membri per z, si ha z 4 = (zz = z 4 = 4, ossia (z/ 4 =. Quidi, si ha z/ = ±, ±i, ossia z = ±, ±i.. (a Affiché la fuzioe f abbia seso, occorre che il deomiatore o si aulli. Poiché l equazioe z ( iz + 3 i = 0 ha come soluzioi z, = i ± 4 4i + 4i = i ± 9 = i ± 3i ossia z = + i e z = i, il campo di esisteza di f è D = C \ { + i, i}. (b Gli zeri di f soo le soluzioi dell equazioe z 3 + z = 0, ossia z = 0 e z = ±i. (c I puti fissi di f soo le soluzioi dell equazioe f(z = z, ossia Elimiado il deomiatore, si ha ossia z 3 + z z ( iz + 3 i = z. z 3 + z = z(z ( iz + 3 i = z 3 ( iz + (3 iz da cui si ricava z = 0 e z =. ( iz ( iz = 0 (d Iiziamo a scrivere i forma algebrica il umero z 0. Si ha z 0 = e l ( e i π 4 = (cos π ( + i si π = 4 4 Pertato, si ha f(z 0 = f( i = = ( i 3 + ( i ( i ( i( i + 3 i ( i = i. 3i + 3i i 3 + i i + i ( i i + i + 3 i = 3i 3 + i + i i + 3i i ossia f(z 0 = 3 i. 3. (a La trasformazioe T è ua traslazioe. Più precisamete, se z = + i, si ha T (z = + i i = ( i ( +. Pertato, T corrispode alla traslazioe T (, = ( + 3, +. Essedo la moltiplicazioe per il umero complesso +i = cos π 4 + i si π 4, la trasformazioe R corrispode alla rotazioe di u agolo θ = π 4 attoro all origie, i seso atiorario. Ifie, essedo la moltiplicazioe per u umero reale maggiore di, la trasformazioe D è ua dilatazioe (omotetia di ragioe k = 3. Più precisamete, corrispode alla dilatazioe D(, = (3, 3. 5

6 (b Due trasformazioi F e G commutao quado F (G(z = G(F (z per ogi z. Nel ostro caso, si ha T (R(z = + i z i R(T (z = + i (z i T (D(z = 3z i D(T (z = 3(z i R(D(z = + i ( + i (3z D(R(z = 3 z. Quidi, T ed R o commutao, T e D o commutao, metre R e D commutao. (c L isieme A è il segmeto di estremi P (, e Q (,. I trasformati T (A, R(A e D(A si ottegoo immediatamete ricordado il sigificato geometrico delle sigole trasformazioi: D(A T (A R(A A Essedo la moltiplicazioe di u umero complesso di modulo e di argometo θ, la trasformazioe R θ è ua rotazioe di u agolo θ attoro all origie, i seso atiorario. La prima codizioe che defiisce l isieme A, ossia ρ 3 ρ ρ+ 0 ρ (ρ (ρ 0, può essere scritta come (ρ + (ρ (ρ 0. Poiché ρ 0, essa è equivalete a (ρ (ρ 0, ossia a ρ. La secoda codizioe che defiisce l isieme A, ossia cos ϕ = 0, è equivalete alla codizioe ϕ = π + kπ co k Z, ossia a ϕ = π 4 + kπ co k Z, da cui si ha ϕ = π 4, 3π 4, 5π 4, 7π 4. Pertato, si ha A 6

7 L isieme A viee portato i se stesso da rotazioi di u agolo pari a u multiplo itero di π. Quidi, si hao i valori θ = 0, π, π, 3π. 5. Poiché il deomiatore di f( è sempre positivo, per ogi R, si ha f( ( Poiché quest ultima codizioe è sempre verificata, abbiamo che la fuzioe f è superiormete limitata. Aalogamete, si dimostra che la fuzioe f è iferiormete limitata. Ifatti, per ogi R, si ha f( ( ( I coclusioe, la fuzioe f è limitata. Più precisamete, abbiamo trovato che [ Im f 4, ] Per ogi, (, 0, si ha + e cosh cosh e + e e + + e e e e (e + e (e + e e + + e e + + e e + e + + e e 0 e + (e e (e e 0 (e + (e e 0 (e + 0 e e e 0 oppure (e + 0 e e e 0 (e + e e e oppure (e + e e e ( ( + 0 e oppure ( + 0 e (. ( Poiché la fuzioe espoeziale è sempre crescete. ( Poiché e soo egativi. I coclusioe, abbiamo che per ogi, (, 0, se, allora si ha cosh cosh. Questo dimostra che il coseo iperbolico è decrescete su tutto l itervallo (, 0. 7

8 7. Si ha L = L = lim lim + ( = = lim (/5 + (3/4 = 5 4 Poiché + l e 3 + e 3 per +, si ha L 3 = lim + 3 = 3. Poiché ( 4 π ( per +, si ha = e l ( e l 4 π = e (l 4 l π = e ( l 4 l π l π l 4 = e. Pertato, si ha L 4 = lim + el 4 l π = e l 4 = La fuzioe data è sempre positiva e possiede come asitoto orizzotale per ± la retta di equazioe =. Ioltre, poiché f ( = + ( + +, possiede u massimo M per = ed u miimo m per =. Più precisamete si ha M (, e m (, /3. Pertato, il grafico della fuzioe è 3 Di cosegueza, l immagie di f è Im f = [ 3, ]. 9. Si cosideri la fuzioe f : [0, e ] R defiita da { per 0 < e f( = per = 0. (a Affiché la fuzioe g( = codizioi > 0 +l l 0 l 0 +l l sia defiita, devoo essere soddisfatte le segueti ossia 0 < e, > Pertato, il campo di esisteza della fuzioe g è l isieme D = (0, e ] (, e di cosegueza la fuzioe f risulta defiita su tutto l itervallo [0, e ]. 8

9 (b La fuzioe f è sicuramete cotiua su tutto l itervallo (0, e ]. Resta da studiare la cotiuità (da destra el puto di raccordo 0 = 0. Poiché + l lim f( = lim = = f(0, l la fuzioe f è cotiua (da destra ache i 0 = 0 e quidi è cotiua su tutto l itervallo [0, e ]. (c La derivata della fuzioe g è g ( = l l + l. Pertato, la fuzioe g è derivabile su tutto l itervallo (0, e, ma o el puto = e, essedo lim (e g ( =. Ioltre, si ha f( f(0 lim 0 + = lim 0 + +l l ( 0 + = lim l = lim 0 + +l l + = +l l ( +l l + lim 0 + l =. Pertato, la fuzioe f è derivabile su tutto l itervallo (0, e, ma o egli estremi. (d Poiché f ( = g ( < 0 per ogi (0, e, si ha che la fuzioe è decrescete su tutto l itervallo (0, e. Poiché f è cotiua, si ha Im f = [f(e, f(0] = [0, ]. 0. (a i. Sego di f : si ha f( 0 per ogi R. I particolare, si ha f(0 = 0. Quidi, i = 0 la fuzioe preseta u miimo (assoluto. ii. Limiti agli estremi e asitoti: poiché lim f( = 0 e lim f( =, + la fuzioe ammette la retta di equazioe = 0 come asitoto orizzotale per, e la retta di equazioe = come asitoto orizzotale per +. iii. Derivata prima e derivabilità di f : si ha f ( = ( + e ( + e. La fuzioe è derivabile su tutto R. iv. Sego della derivata prima e puti di massimo e di miimo di f : si ha f ( 0 sse ( + 0 sse e 0. Pertato, la fuzioe possiede u massimo per = e u miimo (assoluto per = 0. Poiché f( < per ogi R, il massimo è locale. v. Grafico di f : F F F 3 (b Dallo studio precedete della fuzioe f, si ha I = Im f = [0,. 9

10 (c Dal grafico della fuzioe si ha che devoo esserci almeo tre flessi. (d Poiché f ( 0 = f ( = 3 e ( + e 0, la fuzioe f è localmete ivertibile i 0 =. Ioltre, si ha f ( 0 = f ( f( 0 = ( + e f =. ( 0 3 e. (a i. Domiio di f : la fuzioe è defiita per e 0, ossia per 0. Quidi D = [0, +. ii. Sego di f : si ha f( > 0 per ogi D. iii. Limiti agli estremi e asitoti: si ha f(0 = 0 e lim f( = + lim e / + e = lim + e / = 0. Pertato, la fuzioe ammette la retta di equazioe = 0 come asitoto orizzotale per +. iv. Derivata prima e derivabilità di f : si ha I particolare, si ha f ( = e e. lim f ( = La fuzioe possiede tagete verticale el puto = 0 e quidi o è derivabile i tale puto. La fuzioe è derivabile i ogi altro puto dell itervallo (0, +. v. Sego della derivata prima e puti di massimo e di miimo di f : si ha f ( 0 sse e 0, ossia sse l / = l. Pertato, la fuzioe possiede u puto di massimo (assoluto i M (l, /. vi. Derivata secoda di f : si ha f ( = e + 4e 6 4(e 3/ = e 6e + 4 4e (e 3/. vii. Sego della derivata secoda e flessi di f : si ha f ( 0 sse e 6e sse l( Quidi, la fuzioe possiede u flesso el puto ( F l( , 3 + (.65, viii. Grafico di f : F l l(3 + 5 (b Dallo studio precedete della fuzioe f, si ha I = Im f = [0, /]. (c La fuzioe f o è ivertibile (possiede u massimo itero a D. 0

11 (d Lo sviluppo di Talor della fuzioe f, cetrato i 0 =, trocato al secodo ordie, co resto secodo Peao, è Poiché si ha f( = f( = f( + f (( + f ( f( = e e e e ( + o(( per., f ( = e e e, f ( = e 6e + 4 4e(e 3/, + e e e ( + e 6e + 4 8e(e 3/ ( + o(( per.. (a i. Domiio di f : la fuzioe è defiita per e 0, ossia per 0. Quidi D = [0, +. ii. Sego di f : si ha f( > 0 per ogi D. iii. Limiti agli estremi e asitoti: si ha f(0 = 0 e lim f( = lim e + + e =. Pertato, la fuzioe ammette la retta di equazioe = come asitoto orizzotale per +. iv. Derivata prima e derivabilità di f : si ha I particolare, si ha f ( = e e. lim f ( = La fuzioe possiede tagete verticale el puto = 0 e quidi o è derivabile i tale puto. La fuzioe è derivabile i ogi altro puto dell itervallo (0, +. v. Sego della derivata prima e puti di massimo e di miimo di f : si ha f ( 0 per ogi D. Pertato, la fuzioe è strettamete crescete su tutto D. vi. Derivata secoda di f : si ha f ( = e e (e 3/ = e e (e 3/. vii. Sego della derivata secoda e flessi di f : si ha f ( 0 per ogi D. Quidi, la fuzioe ha cocavità sempre rivolta verso il basso. viii. Grafico di f : (b Dallo studio precedete della fuzioe f, si ha I = Im f = [0,. (c Poiché è strettamete crescete su tutto D, la fuzioe f : D I è ivertibile. Il grafico della fuzioe iversa f : I D è il simmetrico del grafico della fuzioe f : D I rispetto alla bisettrice del primo-terzo quadrate:

12 Ifie, si ha = f( = e e Pertato, per ogi [0, si ha = e (e = e e = = l( = l. f( = l. 3. (a i. Domiio di f : la fuzioe è defiita per ogi R. Quidi D = R. ii. Sego di f : si ha f( > 0 per ogi R. I particolare, si ha f(0 =. iii. Limiti agli estremi e asitoti: si ha lim f( = lim e + + lim f( = lim No ci soo asitoti orizzotali. Ioltre, si ha f( lim + = lim e + lim (f( = lim + e = e = + e = +. e + e e = lim e ( e + + e = 0. Pertato, la fuzioe ammette la retta di equazioe = come asitoto obliquo per +. Ifie, si ha f( e per, e quidi o possiede asitoto obliquo. iv. Derivata prima e derivabilità di f : si ha La fuzioe è derivabile su tutto R. f ( = e (e e +.

13 v. Sego della derivata prima e puti di massimo e di miimo di f : si ha f ( 0 sse e 0, ossia sse e. Dal cofroto grafico delle due fuzioi = e = e α si vede che e sse α, dove α è u umero reale compreso tra 0 e. Pertato, la fuzioe possiede u puto di miimo (assoluto i m (α, α + α. vi. Derivata secoda di f : si ha f ( = e ( + ( + + e ( e + 3/. vii. Sego della derivata secoda e flessi di f : si dimostra facilmete che f ( 0 per ogi D. Quidi, la fuzioe ha cocavità sempre rivolta verso l alto. viii. Grafico di f : α + α α (b Dallo studio precedete della fuzioe f, si ha I = Im f = [ α + α, +. (c La fuzioe f o è ivertibile (o è iiettiva i u itoro del miimo. (d I u itoro U = ( δ, δ di 0 = 0, co δ < α, si ha f ( < 0. I questo itoro, la fuzioe f è strettamete decrescete e di cosegueza è ivertibile. (e Lo sviluppo di Talor della fuzioe f, cetrato i 0 = 0, trocato al secodo ordie, co resto secodo Peao, è f( = f(0 + f (0 + f (0 3 + o( per 0.

14 Poiché f(0 =, f (0 = e f (0 =, si ha f( = + + o( per 0. (f Per 0, si hao gli sviluppi f( + si = + + o( + + o( = + o( si(f( = ( + o( = + o(. Pertato, si ha + o( L = lim 0 + o( = lim + o( 0 + o( =. 4. (a i. Campo di esisteza di f : D = R. ii. Sego di f : f( 0 sse 0. I particolare, si ha f(0 = 0. Di cosegueza, la fuzioe deve possedere u puto di miimo i corrispodeza di = 0. iii. Limiti agli estremi e asitoti: si ha lim f( = lim e + + e = + lim f( = lim + e = 0. Pertato, la fuzioe possiede u asitoto orizzotale di equazioe = 0 per. Ioltre, poiché f( lim + = lim e + e + = lim (f( = lim e e + = lim + e + + (e + e + e + = 0, la fuzioe possiede u asitoto obliquo di equazioe = per +. iv. Derivata prima di f : si ha f ( = ( + + e e (e + 3/. v. Sego della derivata prima e massimi e miimi di f : si ha f ( 0 sse + + e 0, ossia sse e. Dal cofroto grafico delle due fuzioi = e e = e α 4

15 si ha f ( 0 sse α, dove α è u umero reale egativo compreso tra e. Pertato, la fuzioe possiede u puto di miimo (assoluto m (α, α + α. vi. Grafico di ; f : α α + α (b L immagie di f è I = [ α + α, +. (c La fuzioe f o è ivertibile (o è iiettiva i u itoro del miimo. (d Poiché f ( > 0 per ogi 0, la fuzioe è strettamete crescete sull itervallo [0, +. Di cosegueza, essedo f cotiua co f(0 = 0 e f( + per +, l immagie dell itervallo [0, + è l itervallo [0, + e la fuzioe f : [0, + [0, + è be defiita ed è ivertibile. Il grafico della fuzioe iversa f : [0, + [0, + è il simmetrico rispetto alla bisettrice del primo-terzo quadrate del grafico della fuzioe f : [0, + [0, +, ossia 5. Per 0, si hao le equivaleze asitotiche artg(si si e l(cos = l( ( cos cos. Pertato, per 0, si ha artg(si l(cos si cos = si cos. Quidi, il limite L 0 o esiste, L = ed L = +. 5

16 6. (a Per +, si ha f( = α e + α e = α / e 3 ( + e 3 e g( = 3 + = e. 5/3 Pertato, per +, si ha Quidi, si ha (b Per 0 +, si ha f( g( α / e 5/3 e = α+7/6. f( lim = lim + g( + α+7/6 = α = 7 6. f( = + 4 tg( Pertato, per 0 +, si ha Quidi, si ha (c Per +, si ha g( = α artg(e cos α (e α = α+. f( g( α+ = α+. f( lim = lim α+ = α =. 0 + g( 0 + f( = 3 ( α l( + ( 3 ( α ( = 3 ( α+ g( = ( ( + 3 ( /. Pertato, per +, si ha Quidi, si ha f( g( 3 ( α+ 3 ( / = ( α+/. f( lim = lim ( α+/ = α = + g( (a Per 0, si hao gli sviluppi e = = o( ( o( + ( + + o( = o( o( o( = o( e cos l( + = = o( ( + o( ( 4 + o( = o( + + o( + + o( = 9 + o(. 6

17 Pertato, si ha L = lim 0 (b Per 0, si hao gli sviluppi Pertato, si ha o( 9 + o( = lim 0 e l( + + = = ( o( o( 9 + o( = 5 8. ( o(3 + = o( o( 3 + = o(3 e + = o( ( o( = o( + + o( = + o( cos = + o( ( + o( = + o(. L = lim o(3 ( + o( ( 6 = lim + o( + o( 0 ( + o(( + o( = 3. (c Per 0, si hao gli sviluppi + 3 = = ( 8 + o( 4 ( o( 9 + ( 8 + o( = o( = 4 + o( = = ( + + o( 4 ( o( + 3 = o( = 6 + o( e e = + + 0( ( + + o( = + o( l( + l( + + l( + 3 = = ( + o( ( 4 + o( = o( = + o(. Pertato, si ha L = lim 0 ( 4 + o( ( 6 + o( ( + o(( + o( = lim ( o( + (3 9 + o( ( 4 + o(( 6 + o( ( + o(( + o( = 4. 7

18 8. (a La fuzioe f è cotiua i ogi puto dell itervallo [, π/4] diverso da 0 = 0. Per 0, si ha e lim f( = lim 0 0 l( + = lim + + / + o( 0 ( / + o( = lim 0 / + o( / + o( = lim 0 / + o( / + o( = cos lim f( = lim si = lim ( + o( 0 + ( + o( = lim o( + o( = lim o( + o( =. Pertato esiste il limite di f per 0 ed è uguale a ossia lim f( = lim f( =, lim f( = = f(0. 0 Pertato, la fuzioe f è cotiua ache i = 0. (b Poiché f è ua fuzioe cotiua defiita su u itervallo chiuso e limitato, la sua immagie è acora u itervallo chiuso e limitato (per il teorema di Weierstrass e il teorema dei valori itermedi. 9. Se la fuzioe f è localmete ivertibile i u puto 0, la derivata prima della fuzioe iversa f i 0 = f( 0 è f ( 0 = f ( f( 0 = f ( 0. Per otteere la derivata secoda, deriviamo la fuzioe f ( = Utilizzado le proprietà delle derivate, si ha f ( f(. f ( = f (f ( f( f ( f( = f ( f( f ( f( 3. Pertato, si ha f ( 0 = f ( f( 0 f ( f( 0 3 = f ( 0 f ( 0 3. Quidi lo sviluppo di Talor di f i 0 = f( 0 è f( = f( 0 + f ( 0 ( 0 + f ( 0 ( 0 + o(( 0 = f( 0 + f ( f( 0 ( 0 f ( f( 0 ( 0 f ( f( + o(( 0, 0 3 ossia f( = 0 + f ( 0 ( f( 0 f ( 0 ( f( 0 f ( o(( f( 0. 8

19 0. (a Si ha 0 = f( 0 = f(0 = 0 e Quidi, si ha f ( = + + f ( 0 = f (0 = f ( = ( + f ( 0 = f (0 =. f ( 0 = f ( 0 = f (0 = e f ( 0 = f ( 0 f ( 0 3 = f (0 f (0 3 =. Pertato, lo sviluppo richiesto è (b Si ha 0 = f( 0 = f(0 = e Quidi, si ha f( = + o(. f ( = + e f ( 0 = f (0 = f ( = e f ( 0 = f (0 =. f ( 0 = f ( 0 = f (0 = e f ( 0 = f ( 0 f ( 0 3 = f (0 f (0 3 = 8. Pertato, lo sviluppo richiesto è f( = (c Si ha 0 = f( 0 = f(0 = e Quidi, si ha ( 6 + o((. f ( = e + e f ( 0 = f (0 = f ( = e + ( + 4 e f ( 0 = f (0 = 3. f ( 0 = f ( 0 = f (0 = e f ( 0 = f ( 0 f ( 0 3 = f (0 f (0 3 = 3. Pertato, lo sviluppo richiesto è f( = ( 3 ( + o((. 9