Problema 1 PROBLEMA 1. Sia f la funzione definita da f ( x) = 1 + x e. dove n è un intero positivo e x R

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1 Problema PROBLEMA Sia f la fuzioe defiita da f ( ) e!! dove è u itero positivo e R. Si verifichi che la derivata di f è: f '( ) e!. Si dica se la fuzioe f ammette massimi e miimi (assoluti e relativi) e si provi che, quado è dispari, f per ogi reale.. Si studi la fuzioe g otteuta da f quado e se e disegi il grafico. 4. Si calcoli Soluzioe. a) g( ) d e se e dia l iterpretazioe geometrica. f ( ) e!! f '( ) e e! ( )!!! f '( ) e! b) f '( ) e ( )! Per pari ho l espoeziale sempre positiva e quidi da cui mai verifica perchè sempre positiva. e ulla per quidi ho u flesso a tag. orizzotale. dispari f '( ) e ho u massimo per ( )! Dato che per dispari ho u massimo per Il valore massimo è da cui. f ( ) f!! () e e quidi

2 ) f ( ) + + e ; C.E. ( ) f ( ) + + e + + dato che l espoeziale è sempre positiva E dato che 4 < ache l espressioe di grado è sempre positiva e mai ulla. Quidi f ( ) > sempre f () da cui passa per A(,) lim + + e lim + A.O y + e f '( ) e per Flesso a tagete orizzotale i A e f '( ) e + e ( ) Flesso i A e i B(,5 e ) + + e d e + e + e d e Dato che e d de ( ( e ) e d) ( e ) e e d de ( ( e ) e d) ( e ) + e d ( e ) ( e ) e

3 Ho che + + e d ( e ) ( e ) e e e d ( e ) ( e ) e e + + e + + e d e ( 9) + ( ),7 9 Che rappreseta l area compresa tra le rette, (flessi), y e f() Problema f ( ) + k f k ( ) ( + ) f '( ) + k f ''( ) 6 Per k > sempre crescete (o preseta massimi e miimi) co flesso i a tagete obliqua.

4 Per k sempre crescete (o preseta massimi e miimi) co flesso i a tagete orizzotale Per k < preseta u massimo per co flesso i a tagete obliqua ) g( ) y Mettedo a sistema ho che Cosiderata la fuzioe f ( ) + ell itervallo [ ] k e u mi per da cui + k, ho che f () f () Per il teorema degli zeri ho almeo ua soluzioe. Dato che f '( ) + è sempre positiva ho ua sola soluzioe. f ( ) Per il metodo delle tageti. f '( ). f ( ) f '( ) f() f'(),5 -,75,75,7486,7877,56,688,4,45,688,49E-6,9677,688,4E-,9675 ) g( ) e la iversa h( ) Le due curve soo simmetriche rispetto alla retta y E si icotrao per ( ) el primo quadrate per e per d

5 4) Dato che g e la sua iversa so simmetrici rispetto a y cosidero la distaza massima dei puti di g dalla retta y y d d da cui ' ( ) d massima Quidi la sezioe massima ha area A 9 Il volume ivece essedo u prisma si calcola aria di base per altezza. V 6 Quesito ( a) ( a) ( b a) ( b a) a d ( a) d + ( a) d + + ( b a) ( b a) b + a + ab b + a ab a d + + b + a b a b b b a b b Quesito a b b a Di suriettive sì p.e. Di iiettive o perché u elemeto rimae sempre fuori.. e quidi per defiirlo deve avere u immagie già usata. Di Biettive o perché A e B o hao la stessa cardialità

6 Quesito Areamoeta ( l r) (,875) p,55 55% Area l mattoella Quesito 4 No puo esistere. Perché la somma delle facce deve essere miore di u agolo giro Ifatti, dato che u agolo di u esagoo è, se e metto tre isieme ho *6 e quidi o può essere miore di 6. Quesito 5 Solo alla prima idet er mi ata impossibile Quesito 6 Applicado il metodo della tagete. l e e forma idetermiata f f' N.,4 -,98999,4547 -,95 -,459 4,48E- - Ricordiamo che π,4596 Quesito 7 k (sviluppado soo il secodo membro ho che) k + k k +! k! k! k k! ( k )! k ( k ) k! ( k )( k )! ( k + )!( k )! Quesito 8 Ammettiamo che gli ivitati siao e che uomii e doe e quidi + Se i è l età di ua persoa per defiizioe ho u + u u I particolare se u i è l età di u uomo per defiizioe ho che u 6 d + d d I particolare se d i è l età di ua doa per defiizioe ho che d ( u + u u ) + ( d + d d ) m da cui dividedo per r + 9 6r + 9 r + r r + 4

7 Quesito 9 Il pricipio di cavalieri dice: che se secado due solidi co piai paralleli, si ottegoo aree uguali allora i due volumi soo uguali. Ad ua distaza dal vertice V ho la sezioe del coo la cui area è data da A base _ coo A base R R R π π A A coo base R Abase _ Scodella Abase _ coo Acerchio _ cilidro π r π ( r ) π Dove il raggio el secodo cerchio è VK r Quesito Per il teorema delle rette parallele le due rette ecessariamete si icotrao. Tale teorema si basa sul quito postulato, che per secoli è stato oggetto di discussioi, ed è stata cercata ua dimostrazioe a partire dai 4 postulati. No potedolo dimostrare il quito postulato è stato egato, ammettedo la possibilità di avere più rette parallele per u puto, e dado la possibilità di avere geometrie o euclidee, dove la somma degli agoli di u triagolo o ecessariamete è 8