Unità Didattica N 32 Grandezze geometriche omogenee e loro misura

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1 Uità Didattica N 3 Uità Didattica N 3 01) Classi di gradezze omogeee 0) Multipli e sottomultipli di ua gradezza geometrica 03) Gradezze commesurabili ed icommesurabili 04) Rapporto di due gradezze 05) Postulato della cotiuità 06) Misura di ua gradezza geometrica Pagia 1 di 7 30/01/005

2 Uità Didattica N 3 Classi di gradezze omogeee Si dice che u isieme di gradezze geometriche forma ua classe di gradezze quado : 1) è possibile defiire per esse ua relazioe di uguagliaza che goda delle proprietà simmetrica, riflessiva e trasitiva ) è possibile defiire l operazioe di somma, a risultato uivoco, che goda delle proprietà associativa e commutativa 3) è possibile defiire ua relazioe di disuguagliaza, tale che per due gradezze qualsiasi A e B della classe, si verifichi sempre ua sola delle tre relazioi ( tertium o datur ; pricipio del terzo escluso ) A < B, escluda il verificarsi delle altre due. A = B, A > B e che il verificarsi di ua di esse d) prese due gradezze qualsiasi A e B della classe, co A > B, esiste sempre ua ed ua sola gradezza C tale che sia A = B + C. Vedremo i seguito che la classe di gradezze sarà detta misurabile se per i suoi elemeti valgoo le segueti ulteriori proprietà : a) il Postulato di Eudosso-Archimede b) il Postulato della divisibilità idefiita Ifie, ua classe misurabile sarà detta cotiua, se i essa varrà il postulato della cotiuità. Le gradezze di ua stessa classe (cioè tali che si possao cofrotare,sommare e sottrarre tra loro ) si dicoo omogeee ; quelle apparteeti a classi diverse si dicoo eterogeee. Soo gradezze omogeee i segmeti, gli agoli, le superfici piae. Soo gradezze eterogeee u segmeto ed u agolo, u segmeto ed ua superficie piaa. Multipli e sottomultipli di ua gradezza geometrica Defiizioe : Data ua gradezza geometrica A ed u umero aturale, la gradezza geometrica B somma di gradezze tutte uguali ad A dicesi multipla di B secodo il umero e scriviamo : B = A Diciamo pure che la gradezza A è sottomultipla della gradezza B secodo il umero e scriviamo : A = 1 B Pagia di 7 30/01/005

3 Uità Didattica N 3 Dire che la gradezza B è multipla della gradezza A secodo il umero itero sigifica che la gradezza G cotiee volte la gradezza A. Dire che la gradezza A è sottomultipla della gradezza B secodo il umero itero vuole dire che la gradezza A è coteuta volte ella gradezza B. Postulato della divisibilità : Ogi gradezza geometrica è sempre divisibile i u umero qualuque di parti. Postulato di Eudosso-Archimede : Date due gradezze omogeee disuguali, esiste sempre ua gradezza multipla della miore che supera la maggiore. Gradezze commesurabili e gradezze icommesurabili Due gradezze omogeee A e B si dicoo commesurabili quado ammettoo ua comue sottomultipla, cioè quado esiste ua terza gradezza U, omogeea co A e B, coteuta u umero itero di volte ( ad esempio ) i A ed u umero itero ( ad esempio m ) di volte i B, A B cioè tale che : A = U B = m U [ = = U m A = B ] m Teorema : La diagoale ed il lato di u qualsiasi quadrato soo segmeti icommesurabili. Premessa : Due umeri iteri soo uguali quado decomposti i fattori primi ammettoo lo stesso umero di fattori uguali co gli stessi espoeti. Hp { ABCD è u quadrato D C Th AB ed AC soo segmetiicommesurabili U m U Dimostriamo questo teorema per assurda egado la tesi affermado, cioè, che i segmeti AB ed AC soo commesurabili. Questo sigifica che esiste u segmeto U coteuto volte i AC ed m volte i AB. I simboli matematici abbiamo : AC = U ; AB = BC = m U. Applico il teorema di Pitagora al triagolo rettagolo ABC. A m U Pagia 3 di 7 30/01/005 B

4 Uità Didattica N 3 Ottego : AC = AB + BC = AB U = m U Dividedo ambo i membri per U, cioè per il quadrato di lato U, otteiamo : = m Ma questa uguagliaza è assurda, perché il umero itero m cotiee il fattore u umero dispari di volte, metre il umero volte. Quidi l affermazioe << o o cotiee il fattore o lo cotiee u umero pari di AB ed AC soo segmeti commesurabili >> è falsa. Questo implica la verità della proposizioe cotraria : << AB ed AC soo segmeti icommesurabili >>. Rapporto di due gradezze Si defiisce rapporto fra le gradezze commesurabili A e B il umero m e si scrive : A B = A: B =. m Il rapporto fra due gradezze commesurabili è u umero razioale. Viceversa, se è razioale il rapporto fra due gradezze omogeee, allora esse soo commesurabili. Esistoo gradezze fra loro omogeee che o ammettoo ua comue sottomultipla. Esse predoo il ome di gradezze icommesurabili. Il rapporto fra due gradezze icommesurabili è u umero reale. Defiizioe di umero reale Dicesi umero razioale u qualsiasi umero che può essere scritto sotto forma di frazioe. Soo pertato umeri razioali : 1) tutti i umeri iteri ) tutti i umeri decimali limitati 3) tutti i umeri decimali periodici. Dicesi umero irrazioale ogi umero che o può essere scritto sotto forma di frazioe. U umero razioale o irrazioale dicesi reale. umeri reali 1) Numeri iteri RAZIONALI ( umeri frazioari ) ) Numeri decimali limitati 3) Numeri decimali periodici IRRAZIONALI = umeri che si possoo scrivere sotto forma di frazioe = = umeri decimali illimitati e o periodici Pagia 4 di 7 30/01/005

5 Uità Didattica N 3 Il postulato della cotiuità della retta Vediamo se possiamo chiarire il sigificato di cotiuità della retta. I precedeza abbiamo detto che tra due puti distiti, per quato vicii essi siao, esiste sempre almeo u altro puto distito dagli estremi, azi posiamo affermare che tra due puti ifiitamete vicii esistoo ifiiti puti. Questa affermazioe è u primo approccio elemetare col cocetto del cotiuo i geometria. Tuttavia esso va chiarito meglio mediate appropriate defiizioi ed opportui postulati. Defiizioe di classi cotigue di gradezze geometriche Cosideriamo due classi coteeti ciascua ifiite gradezze omogeee ( ad esempio due classi di segmeti ). Diciamo che tali classi soo cotigue se godoo delle due segueti proprietà : 01) Ogi gradezza ( segmeto ) della prima classe è miore di tutte le gradezze ( segmeti ) della secoda classe ( Questo ci cosete di affermare che le due classi soo separate ) 0) Comuque piccola si scegliamo ua gradezza (segmeto ) ε, omogeea alle gradezze delle due classi, è possibile trovare ua gradezza ( segmeto ) della secoda classe ed ua gradezza ( segmeto ) della prima classe la cui differeza è miore di ε. Postulato di Eudosso-Archimede : Date due gradezze omogeee disuguali, esiste sempre ua gradezza multipla della miore che supera la maggiore. L itroduzioe di questo postulato ci cosete di fare corrispodere ad u qualsiasi segmeto u umero reale. Ifatti, scelto il segmeto U, possiamo fare corrispodere al segmeto AB il AB umero reale α rapporto tra il segmeto AB ed il segmeto U : α =. U Però il detto postulato o ci cosete di potere stabilire che, viceversa, ad ogi umero reale α corrispode u segmeto AB. Per fare ciò occorre riformulare il postulato della cotiuità della retta. Pagia 5 di 7 30/01/005

6 Uità Didattica N 3 Postulato della cotiuità della retta secodo Cator ( 187 ) Dati due classi di segmeti di rette, se : : 1) essu segmeto della prima classe è maggiore di qualche segmeto della secoda classe ) fissato u segmeto ε piccolo a piacere, esiste sempre u segmeto della secoda classe ed uo della prima la cui differeza sia miore di ε Allora esiste u segmeto che o è miore di alcu segmeto della prima classe é maggiore di alcu segmeto della secoda classe. Postulato della cotiuità della retta secodo Dedekid Se u segmeto di retta AB è diviso i due parti, i guisa che : a) ogi puto del segmeto AB appartega ad ua sola delle due parti b) l estremo A appartega alla prima parte e l estremo B alla secoda parte c) u puto qualsiasi della prima parte preceda u puto qualsiasi della secoda parte ( ell ordie aturale fissato sul segmeto ) allora esiste u solo puto C del segmeto AB ( detto puto di separazioe ) apparteete alla prima o alla secoda parte, tale che ogi puto di AB che precede C appartiee alla prima parte ed ogi puto che segue C appartiee alla secoda parte ella divisioe stabilita. Osservazioe Il postulato di Dedekid cotiee i postulati di Cator e di Eudosso-Archimede. Questo sigifica che dal postulato di Dedekid possiamo dedurre i postulati di Cator e di Eudosso- Archimede. Il solo postulato di Cator o è equivalete a quello di Dedekid. Il postulato di Cator e quello di Eudosso-Archimede coducoo isieme al postulato di Dedekid Il postulato di Eudosso-Archimede è idipedete dal postulato di Cator. Le gradezze geometriche che verificao il postulato della cotiuità della retta secodo Dedekid soo dette gradezze cotiue. Le gradezze geometriche per le quali è valido il postulato della cotiuità della retta secodo Cator ma o il postulato di Eudosso-Archimede soo dette gradezze o archimedee. Pagia 6 di 7 30/01/005

7 Uità Didattica N 3 Misura di ua gradezza geometrica I ua classe di gradezze geometriche si scelga ua gradezza U, come uità di misura o gradezza uitaria per le gradezze della classe. Defiizioe : Dicesi misura di ua gradezza A, rispetto all uità prescelta U, il umero reale α che esprime il rapporto di A ad U. I simboli abbiamo : A U = α A = α U Se le gradezze A ed U soo commesurabili allora il umero α è il umero razioale m. Abbiamo : A m m = A = U U I questo caso il umero razioale è la misura della gradezza A rispetto alla gradezza U m scelta come uità di misura. Si può dimostrare che per ogi umero reale α esiste ua sola gradezza A la cui misura rispetto ad ua assegata gradezza uitaria U, sia α. Si esprime ciò dicedo che << itercede ua corrispodeza biuivoca tra le gradezze geometriche di ua stessa classe ed i umeri reali >>. Pagia 7 di 7 30/01/005