169. Segmenti paralleli

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1 169. Segmeti paralleli Matematicamete.it UMERO 17 APRILE 01 Bruo Sachii Suto y ta x k b a ta ak x R cos ak Si utilizza il sistema: di ua grade famiglia di superfici. Lo scopo di questo studio è la ricerca di segmeti paralleli el piao e ello spazio. y ta x k b a ta ak x R cos ak Usig the system: of a great family of surfaces. The aim of this study is to research parallel segmets o a plae ad i space. Itroduzioe Per la ricerca, sarà opportuo descrivere il sistema: 5 y ta x k b a ta ak x R cos ak (1) itrodotto el suto, co 0 90 ; k 0,1,,3,... ; 1 (itero); R 0 ; a 0, b 0 (o cotemporaeamete uguali a zero); P ak, bk, che el piao cartesiao ortogoale oxy rappreseta ua superficie, formata da ifiiti k segmeti usceti a raggiera dal puto P k per formare co l asse delle x degli agoli co 0 90 ; simmetrica rispetto agli assi cartesiai ortogoali oxy. Se 1 il sistema rappreseta ifiiti settori circolari. Se il sistema rappreseta ifiiti semicerchi. Superfici diverse si avrao quado. Per ragioi di spazio mi limiterò a cosiderare sistemi e figure solo quado. Segmeti paralleli el piao A partire dal sistema precedete (1), se della doppia disuguagliaza dei valori di x, cosidero i valori di x Rcos ak quado 0, co 0 0 e 0 90, avrò x Rcos 0 ak ; e a seguire: se sull equazioe a icogite x e y del sistema sostituisco x co x Rcos 0 ak, avrò: y Rcos ta bk 0 y Rcos 0 ta bk perciò, il sistema: che, co x R cos 0 ak ; k 0,1,,3,... ; 1 (itero); R 0 ; a 0, b 0 (o cotemporaeamete uguali a zero); P ak, bk, rappreseterà el piao oxy ua curva simmetrica rispetto agli assi, formata da ifiiti k segmeti uguali, però o uguali ai due segmeti uguali che si hao quado k 0 ; comuque, tutti paralleli tra di loro. Per ogi valore di k 0 si hao coppie di segmeti.

2 Matematicamete.it UMERO 17 APRILE 01 Seguoo alcui esempi. Esempio 1. Co 0 30; ; R ; a 1; b 3 il sistema: e, quidi la curva: 3 y ta 3k 3 x k 0 30 ; k 0,1,,3,... Esempio. Co 0 30; ; R ; a 0 ; e, quidi la curva: 3 b il sistema: 3 3 y ta k 3 x 0 30 ; k 0,1,,3,... 6

3 Matematicamete.it UMERO 17 APRILE 01 È ua curva costituita da due rette parallele, simmetrica rispetto agli assi cartesiai, di equazioe x 3. Tali rette soo formate da ifiiti segmeti uguali che si hao per k 0,1,,3,... (qui, ache per k 0, cosidero due coppie di segmeti). Le due rette si dicoo: rette modulari. Rotazioe di segmeti ello spazio Ricosiderata la famiglia dei segmeti paralleli, se ello spazio cartesiao ortogoale oxzy li faccio ruotare di 1/ giro attoro all asse delle y, avrò ua superficie rappresetata dal sistema: Rcos 0 ak x z y R cos 0 ta bk e composta da ifiiti segmeti. Seguoo due altri esempi. Esempio 3. Se ; R ; a 0 ; 0 90 ; k 0,1,,3,..., 0 3 b ; 0 30, il sistema che e cosegue: 3 x z 3 3 y ta k 0 30 ; k 0,1,,3,... avrà come diagramma ua superficie otteuta dalla rotazioe di due rette modulari attoro all asse delle y, di mezzo giro, per i valori k 0,1,,3,... Esattamete, si tratta di ua superficie simmetrica rispetto ai piai cartesiai del sistema oxzy, formata da ifiite superfici laterali cilidriche di raggio 3, tutte uguali tra loro ma o uguali alla superficie laterale cilidrica che si ha quado k 0. Per ogi valore di k 0 avrò due superfici laterali cilidriche. Segue la figura s 1 : 7

4 Matematicamete.it UMERO 17 APRILE 01 Esempio. L esempio è u caso particolare dell esempio 1. Il sistema del caso s è quello del sistema del caso s 1, quado però k 0,,4,6,... Il diagramma del sistema ello spazio oxzy sarà quello rappresetato dalle ifiite superfici laterali 3 cilidriche di raggio r, separate ua dall altra e dette aelli. Il diagramma del sistema è stato limitato ai valori di 3 3 quado k ( uaello) y ta k, 1 quado k 0 ( / aello) ache se gli aelli soo ifiiti (uo si e l altro o). Il grafico è s : 8

5 Matematicamete.it UMERO 17 APRILE 01 Ripreso il sistema dell Esempio 1 3 x cos che posso scrivere ache così: z si k 0,1,,3, y ta k se lo cosidero quado 1 co , k 0,,4,6,..., avrò la seguete rappresetazioe geometrica s 3 : Come per l Esempio, il diagramma è stato limitato ad u aello per k ed a 1 aello per 0 k ache se gli aelli soo ifiiti (uo si e l altro o). Ricosideriamo la curva dell esempio. Sia A u arco dei archi uguali i cui divido ua qualuque circofereza della s, 180 ossia A ; se fisso gli estremi di questi archi: 180 h h ; h h h0,1,,3,..., 1; (tutti presi i seso orario e a partire dal piao z 0) e se cosidero i valori di dell itervallo h h 1, il sistema: 3 x cos k 0,,4, 6,... ; z si h h h 0,1,,3,..., 1; y ta k 9

6 rappreseta: Matematicamete.it UMERO 17 APRILE 01 Per u valore di ed u valore di k, archi dei archi uguali (uo si e l altro o) i cui divido etrambe le circofereze che soo la 3 3 itersezioe della superficie cilidrica idefiita co due piai di equazioe y ta k. Per i valori di ed u valore di k, superfici delle superfici uguali (ua si e l altra o) i cui divido u aello. Per i valori di ed i valori di k, superfici delle superfici uguali (ua si e l altra o) i cui divido tutti gli aelli. Facciamo u esempio: se cosidero il sistema per 4 si ha: 3 x cos 3 z si k 0,,4,6, y ta k h h1 45 e quidi la sua rappresetazioe geometrica s 4 : h 0,1,,3. Il diagramma è stato limitato a due gruppi di superfici, uo sulla superficie di u aello k e l altro su mezzo aello k 0 ache se i gruppi di superfici rappresetati dal sistema soo ifiiti, uo per ogi aello. Il piao di simmetria della superficie, rappresetata dal sistema, è y 0. A ripartire dalla famiglia dei segmeti paralleli all asse delle y, rappresetata dal sistema: 30

7 Matematicamete.it UMERO 17 APRILE 01 y R cos 0 ta bk x R cos 0 ak k 0,1,,3,... se la ricosideriamo per i valori di: 0 30 ; R ; ; a 1; b 3, 3 y ta 3 k ritroverò il già oto sistema: 3 x k, 0 30 k 0,1,,3,...; Se poi faccio ruotare questa famiglia di segmeti di 1 giro attoro all asse delle y, avrò ifiite superfici laterali cilidriche (aelli), luogo geometrico dei puti dello spazio oxzy le cui coordiate verificao il seguete sistema: 3 x z k 3 y ta 3k 0 30 k 0,1,, 3,... Segue la figura s 5 : 31

8 Scrivo il sistema della s 5 i quest altro modo: 3 x kcos 3 z ksi 3 y ta 3 k Matematicamete.it UMERO 17 APRILE ; k 0,1,,3, Se poi lo cosidero quado h (h 1) co h 0,1,,3. 4, il suo diagramma ello spazio sarà ua superficie di rotazioe di segmeti, formata da ifiiti gruppi di superfici 4, uo per ogi aello. Vedere la figura s 6. 3

9 Matematicamete.it UMERO 17 APRILE 01 Il sistema della s 6 potrà essere geeralizzato come appresso: x Rcos 0 ak cos z R cos 0 ak si y R cos 0 ta bk Co ; k 0,1,,3,...; a 0, b 0 (o cotemporaeamete uguali a zero); 1 (itero); R 0 ; quado h h 1, h 0,1,,3,..., 1,. Il suo diagramma ello spazio sarà ua superficie di rotazioe di ifiiti segmeti, formata da ifiiti gruppi di superfici, uo per ogi aello. Sarà grazie ad ua oculata scelta di valori dei parametri che il sistema, di cosegueza, potrà rappresetare ello spazio superfici di rotazioe di segmeti piuttosto complesse e/o particolari. 33