PROPRIETA DELLE FUNZIONI ARMONICHE

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1 CAPITOLO PROPRIETA DELLE FUNZIONI ARMONICHE - Defiizioi ed esempi Le fuzioi armoiche vegoo defiite ello spazio euclideo; i questa tesi sarà cosiderato u umero itero positivo maggiore di metre Ω sarà u sottoisieme di R aperto e o vuoto. Detto ciò si afferma che defiita ua fuzioe u complessa, differeziabile e defiita i Ω, questa sarà armoica i Ω se u 0 dove D + + D. L operatore è detto laplaciao e l equazioe 0... u è chiamata equazioe di Laplace. Le più semplici fuzioi armoiche o costati soo le fuzioi coordiate, per esempio, ( x) x complesso è rappresetato dalla fuzioe i u. U esempio u po più R defiita da ( x) x + x x3 ix u + Come si vedrà più tardi,la fuzioe u ( x) x co x R, è di fodametale importaza ello studio delle fuzioi armoiche quado >.

2 Possiamo otteere ulteriori esempi di fuzioi armoiche dalla teoria della differeziazioe, i particolare; differeziado l ultimo esempio rispetto a x si può vedere che x x è ua fuzioe armoica i \ { 0} R quado si verifica la codizioe >. Più i là el discorso si dimostrerà che ogi fuzioe armoica è ifiitamete differeziabile e per questo motivo si potrà dedurre che ogi derivata parziale di ua fuzioe armoica è acora ua fuzioe armoica. Ritorado u attimo alla fuzioe x x, si può vedere che essa è armoica i { 0} R \ ache quado, questo caso può essere immediatamete verificato otado che x x è ua derivata parziale del log x, cioè di ua fuzioe armoica i \ { 0} R. La fuzioe log x quado gioca lo stesso ruolo della fuzioe x quado quest ultima abbia >, ma c è ua sottile ma importate differeza,cioè che il lim x log x ma lim x x 0 e che il log x o è limitata é superiormete é iferiormete metre x è sempre positiva. Questo fatto ci mostra il cotrasto isito ella teoria delle fuzioi armoiche tra le fuzioi el piao e quelle i dimesioi maggiori. U altra differeza chiave si ota dalla stretta coessioe tra fuzioi olomorfe e fuzioi armoiche el piao, ifatti ua fuzioe reale e defiita i Ω R è armoica se e solo se lo è la parte reale della fuzioe olomorfa.ivece essu risultato comparabile si può trovare cosiderado dimesioi maggiori di.

3 - Proprietà d ivariaza I tutta la tesi, qualsiasi fuzioe presa i esame si assumerà che sia complessa a meo che o sia esplicitamete scritto il cotrario. Detto ciò passiamo a cosiderare u altra questioe delle fuzioi armoiche: l ivariaza. k Si preda k itero positivo, co ( Ω) C si cosidererà l isieme delle k volte che ua fuzioe defiita i Ω sia differeziabile cotiuamete; assumiamo che C ( Ω) k sia l isieme di fuzioi che appartegoo a ( Ω) C per ogi k. Per E R, si dirà che C ( E) è l isieme di fuzioi cotiue i E. Poiché il laplaciao è u operatore lieare i C ( Ω) loro stessi fuzioi armoiche., allora le somme ed i multipli scalari di ua fuzioe armoica soo Ioltre per y R e u fuzioe defiita i Ω, la y traslata di u è la fuzioe i Ω + y della quale il valore alla x è ( x y) u. Co ciò, chiaramete si può affermare che la traslazioe di ua fuzioe armoica dà come risultato u altra fuzioe armoica. Adado avati i questo tipo di cosiderazioi, prediamo i esame r umero positivo e u fuzioe i Ω, la r dilatata di u, u r è la fuzioe ( u r )( x) u( rx) defiita per x i ( / r ) Ω {( / w : w Ω}. Se u C ( Ω), allora u semplice calcolo ci mostra che ( u r ) r ( u) r i ( / Ω. Quidi la dilatata di ua fuzioe armoica è a sua volta armoica. Si può otare ora la somigliaza tra il laplaciao 3

4 D + + D e la fuzioe... x... x, della quale sappiamo che l isieme x + dei livelli è defiito dalle sfere co cetro ell origie. La stretta coessioe tra le fuzioi armoiche e le sfere è u argometo cetrale ello studio della teoria delle suddette fuzioi. La proprietà del valore medio mostrerà meglio questa coessioe e verrà illustrata ella prossima sezioe. U altro legame coivolge la trasformazioe lieare i R, vale a dire che coserva la sfera uità; questo tipo di trasformazioi soo chiamate ortogoali. Ifatti ua mappa lieare T : R R è ortogoale se e solo se x Tx per ogi x R. L algebra lieare mostra che T è ortogoale se e solo se i vettori coloa di ua matrice di T formao u isieme ortoormale. Ora si vedrà la relazioe tra il laplaciao e le trasformazioi ortogoali, più precisamete, se T è ortogoale e C ( Ω) u allora ( uot ) ( u) ot i T ( Ω) base stadard di. Per dimostrare tutto ciò, cosideriamo t jk come matrice di T relativa alla R. Allora abbiamo che D ( uo t) t jk ( D ju) j ot dove D è la derivata parziale rispetto alla -esima variabile coordiata. Differeziado ulteriormete e sommado su m 4

5 ( uo t) tkmt jm ( Dk D ju) m k, j o T k, j m t km t jm ( D D u) k j o T ( D j D ju) j ( u) o T o T come detto i precedeza. La fuzioe uo T viee chiamata rotazioe di u. Possiamo quidi cocludere che la rotazioe di ua fuzioe armoica è a sua volta u altra fuzioe armoica. - La proprietà del valore medio Molte delle proprietà delle fuzioi armoiche soo evideti dall idetità di Gree (della quale si avrà maggiormete ecessità el particolare caso che Ω sia ua palla): Ω ( u v v u ) dv ( ud v vd u ) Ω ds. 5

6 I questa formula Ω è u sottoisieme aperto e limitato di R co cofii omogeei, metre u e v soo fuzioi C ell itoro di Ω, isieme chiuso di Ω. La misura V V è la misura del volume Lebesgue i R, metre s rappreseta la misura della frotiera Ω. Il simbolo D rappreseta la differeziazioe rispetto alla ormale estera uitaria. Perciò per ζ Ω, ( u)( ζ ) ( u)( ζ ) ( ζ ), dove D ( D u,..., D u) u rappreseta il gradiete di u e rappreseta il prodotto itero euclideo. La seguete e utile forma dell idetità di Gree si preseta quado u è armoica e v : Ω D uds 0. L idetità di Gree diveta quidi la chiave per la dimostrazioe della proprietà del valore medio. Prima di iiziare a trattare tale proprietà, bisoga itrodurre alcue otazioi: B( a { x R : x a < r}, è la palla aperta co cetro i a di raggio r, la sua chiusura è la palla chiusa B ( a, ; la palla uità ( 0,) B è rappresetata da B metre la sua chiusura da B. Quado la dimesioe assume importaza si scriverà B ivece che B. La sfera uità, frotiera di B, è rappresetata da S, la misura della superficie ormalizzata i S è rappresetata da σ, cosicchè ( S ).3 Proprietà del valore medio: Se u è armoica i ( a media di u su B ( a,, e più precisamete σ. B,, allora u è uguale alla 6

7 u ( a) u( a rζ s ) dσ ( ζ ) + Dimostriamo ora questa proprietà: iazitutto si assuma che >. Poi si può assumere ache che B ( a, B, fissiamo ε ( 0,). Applichiamo ora l idetità di Gree co Ω { x R : < x < } ε e v( x) x ed otteiamo 0 ( ) uds ( ) ε uds Duds ε s εs s εs D uds Dalla., possiamo vedere che gli ultimi due termii soo 0, perciò s uds ε εs uds che è come dire udσ s u s ( εζ ) dσ ( ζ ) lasciado ε 0 e utilizzado la cotiuità di u a 0, si ottiee il risultato desiderato.la dimostrazioe, el caso i cui, è la stessa, co l uica eccezioe che x dovrà essere rimpiazzato da log x. Le fuzioi armoiche coservao la proprietà del valore medio ache rispetto alle misure di volume; i questo caso è idispesabile acceare alla formula delle coordiate polari. Tale formula afferma che per ua fuzioe itegrabile e misurabile co Borel f i R si ha 7

8 V ( B) R fdv 0 r s f ( rζ ) dσ ( ζ ) dr.4 La costate V ( B) viee fuori dalla ormalizzazioe di σ..5 Proprietà del valore medio el caso del volume. Se u è armoica i ( a allora u ( a) è uguale alla media di u su ( a B, ; e più precisamete B,, u ( a) V B ( B( a, ) ( a, r ) udv Dimostriamo ora questa proprietà. Si assuma che B ( a B,. Applichiamo la formula delle coordiate polari cosiderado f uguale a u volte la fuzioe caratteristica di B, e poi utilizzado ache la proprietà del valore medio precedetemete illustrata si otterrà la.5. Si coclude questa sezioe co u applicazioe della proprietà del valore medio. Sappiamo che ua fuzioe armoica a valori reali può avere ua sigolarità isolata e o rimovibile; per esempio, ha ua sigolarità i 0 se >. Ma x comuque ua fuzioe armoica u a valori reali o può avere zeri isolati..6 Corollario: Gli zeri di ua fuzioe armoica a valori reali o soo mai isolati. Per dimostrarlo suppoiamo che u sia armoica e a valori reali i Ω, a Ω, e ( a) 0 u. Cosideriamo che > 0 r così che ( a Ω B ( a, è uguale a 0, o u è ideticamete 0 i B ( a, B,. Poiché la media di u su o u prede sia el caso 8

9 positivo che egativo u determiato valore i B ( a, coessioe di B ( a, implica che u abbia uo zero su B ( a,. Nel recete caso la. Perciò u ha uo zero sul bordo di ogi palla sufficietemete piccola co cetro i a, provado così che a o è uo zero isolato di u. L ipotesi che u sia reale è ecessaria el precedete corollario. Ciò o sorprede quado 0,perché le fuzioi olomorfe o costati hao zeri isolati. - Il pricipio di massimo U importate cosegueza della proprietà del valore medio è il seguete pricipio di massimo che verrà illustrato i questa sezioe..7 Il teorema di massimo: Suppoiamo che Ω sia chiuso,che u sia reale ed armoica i Ω e che ifie u abbia u massimo o u miimo i Ω. Allora u è costate. Passiamo ora alla dimostrazioe di questa asserto. Si suppoga che u raggiuga u massimo per a Ω. Si scelga > 0 r tale che B ( a, Ω. Se u è miore di ( a) u i qualche puto di B ( a,, allora la cotiuità di u mostra che la media di u su B ( a, è miore di u ( a), cotraddicedo così il pricipio del valore medio. Perciò u è costate i ( a B,,provado che l isieme dove u raggiuge il suo massimo è aperto i Ω. Poiché questo isieme è ache chiuso i Ω (acora dalla cotiuità di u ), deve allora accadere che l isieme appartiee a Ω. Perciò u è costate su Ω, come detto i precedeza. Se u raggiuge u miimo i Ω, il pricipio è valido comuque perché si prederà i cosiderazioe -u. 9